第二十四章 圆综合复习（含解析）
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九年级数学圆综合复习
一．垂径定理（共5小题）
1．如图，在⊙O中，CD是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，若AB＝8，CE＝2，则⊙O的半径为（ ）
A． B． C．3 D．5
2．如图，⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，连接BD．若CD＝8，OE＝3，则BD的长为（ ）
A． B．2 C． D．2
3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE＝8cm，CD＝8cm，则BE为（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
4．如图，P为⊙O内的一个定点，A为⊙O上的一个动点，射线AP，AO分别与⊙O交于B，C两点，若⊙O的半径为3，OP＝，则弦BC的最大值为 ．
5．如图，⊙O的直径AB＝5，弦AC＝3，点D是劣弧BC上的动点，CE⊥DC交AD于点E，则OE的最小值是 ．
二．圆心角、弧、弦的关系（共5小题）
6．已知点O，C在直线m的同一侧，作⊙O交m于点A，B．连结AC，BC，OA，OB，若点C在⊙O外，∠AOB＝110°，则∠C的角度可能是（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
7．如图，AB为⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F，若AE＝3，⊙O的直径为15，则AC长为（ ）
A．10 B．13 C．12 D．11
8．如图，在半径为13的⊙O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝24，则OP的长是 ．
9．如图，⊙O的弦AC＝BD，且AC⊥BD于点E，连接AB，若⊙O的半径是3cm，则AB的长是 cm．
10．如图，在⊙O中，AC＝AB，直径BC＝2，，则AD＝ ．
三．圆周角定理（共4小题）
11．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且CO⊥AB于点O，弦CD与AB相交于点E，连接AD，若∠A＝20°，则∠BED的度数为（ ）
A．45° B．55° C．65° D．75°
12．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，若∠BOC＝130°，则∠ADC＝（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
13．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，∠CDB＝30°，BC＝4.5，则AB的长度为（ ）
A．6 B．3 C．9 D．12
14．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠BCD＝34°，则∠ABD等于（ ）
A．66° B．34° C．56° D．68°
四．圆内接四边形的性质（共1小题）
15．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD＝105°，则∠BOD的度数是（ ）
A．150° B．120° C．105° D．85°
五．切线的性质（共2小题）
16．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，点C在⊙O上，且∠ACB＝56°，则∠APB等于（ ）
A．58° B．68° C．78° D．124°
17．如图，PA是⊙O的切线，A为切点，连接OP交⊙O于点C，点B在⊙O上，且∠ABC＝24°，则∠APC等于（ ）
A．31° B．42° C．53° D．64°
六．切线的判定与性质（共2小题）
18．已知，如图，AB为圆O直径，AC＝FC，E为弧BD中点．
（1）求证：AC为圆O切线；
（2）若AB＝4，AC＝3，求DF的长．
19．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AC平分∠BAD，且AD⊥CD于点D．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若AD＝4，CD＝2，求⊙O的半径．
七．三角形的内切圆与内心（共1小题）
20．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，⊙O与△ABC的三边相切于点D、E、F，则AD长为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
八．正多边形和圆（共5小题）
21．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为上的一点（点P不与点D重合），则∠CPD的度数为（ ）
A．72° B．60° C．36° D．30°
22．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠CBD的度数是（ ）
A．30° B．36° C．60° D．72°
23．一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为72°，则该正多边形的边数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
24．正六边形的边长为2，⊙O是它的内切圆，则⊙O的面积为（ ）
A．2π B．π C． D．3π
25．如图，点M、N分别是正五边形ABCDE的边BC、CD上的点，且BM＝CN，AM交BN于点P，则∠APN的度数为（ ）
A．120° B．118° C．110° D．108°
九．弧长的计算（共3小题）
26．若120°的圆心角所对的弧长是2π，则此弧所在圆的半径为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
27．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆上两点，且满足∠ADC＝120°，BC＝1，则的长为（ ）
A． B． C． D．
28．如图，AB为⊙O的直径，AB＝4，CD＝2，劣弧BC的长是劣弧BD长的2倍，则AC的长为（ ）
A． B． C．3 D．
一十．弧长的计算（共1小题）
29．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE是⊙O的直径．若⊙O的半径为6，∠ADC﹣∠ABC＝40°，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
一十一．圆锥的计算（共2小题）
30．已知圆锥的母线长为6，侧面展开图的面积是12π，则这个圆锥底面圆的半径是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
31．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，△ABC绕AC所在直线旋转一周，所形成的圆锥侧面积等于（ ）
A．4πcm2 B．8πcm2 C．12πcm2 D．15πcm2
参考答案与试题解析
一．垂径定理（共5小题）
1．如图，在⊙O中，CD是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，若AB＝8，CE＝2，则⊙O的半径为（ ）
A． B． C．3 D．5
【解答】解：设⊙O的半径为r，
∵CD是⊙O的直径，AB⊥CD，AB＝8，
∴AE＝AB＝4，
在Rt△OAE中，由勾股定理得：AE2+OE2＝OA2，
即42+（r﹣2）2＝r2，
解得：r＝5，
即⊙O的半径为5，
故选：D．
2．如图，⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，连接BD．若CD＝8，OE＝3，则BD的长为（ ）
A． B．2 C． D．2
【解答】解：
连接OD，
∵AB⊥CD，AB过圆心O，CD＝8，
∴CE＝DE＝4，∠OED＝∠DEB＝90°，
∵OE＝3，
∴OD＝＝＝5，
∴OB＝OD＝5，
∴BE＝OB﹣OE＝5﹣3＝2，
由勾股定理，得BD＝＝＝＝2，
故选：D．
3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE＝8cm，CD＝8cm，则BE为（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
【解答】解：∵CD⊥AB，
∴CE＝DE＝CD＝4cm，
设⊙O的半径为rcm，则OC＝rcm，OE＝（8﹣r）cm，
在Rt△OCE中，（8﹣r）2+42＝r2，
解得r＝5，
∴OE＝8﹣5＝3（cm），
∴BE＝OB﹣OE＝5﹣3＝2（cm）．
故选：C．
4．如图，P为⊙O内的一个定点，A为⊙O上的一个动点，射线AP，AO分别与⊙O交于B，C两点，若⊙O的半径为3，OP＝，则弦BC的最大值为 2 ．
【解答】解：如图，过点O作OE⊥AB于E，
∵O为圆心，
∴AE＝BE，
∴OE＝BC，
∵OE≤OP，
∴BC≤2OP，
∴当E、P重合时，即OP垂直AB时，BC取最大值，
∴弦BC的最大值为：2OP＝2，
故答案为：2．
5．如图，⊙O的直径AB＝5，弦AC＝3，点D是劣弧BC上的动点，CE⊥DC交AD于点E，则OE的最小值是 ．
【解答】解：如图，作△AEC的外接圆⊙O′，延长BC交⊙O′于D2R，连接AR，则AR是直径，连接OO′，EO′．
∵EC⊥CD，
∴∠ECD＝90°，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴BC＝＝＝4，
∵∠D+∠DEC＝90°，∠B+∠BAC＝90°，∠B＝∠D，
∴∠DEC＝∠BAC＝定值，
∴∠AEC是定值，
∴点E的运动轨迹是，
∵∠R+∠AEC＝180°，∠AEC+∠DEC＝180°，
∴∠R＝∠DEC＝∠BAC，
∴∠R+∠B＝90°，
∴∠BAR＝90°，
∵∠B＝∠B，∠ACB＝∠BAR＝90°，
∴△BCA∽△BAR，
∴＝，
∴＝，
∴BR＝，
∴CR＝BR﹣BC＝，
∴AR＝＝＝，
∴EO′＝AR＝，
∵AO＝OB，AO′＝O′R，
∴OO′＝BR＝，
∵OE≥OO′﹣EO′＝﹣＝，
∴OE的最小值为．
故答案为：．
二．圆心角、弧、弦的关系（共5小题）
6．已知点O，C在直线m的同一侧，作⊙O交m于点A，B．连结AC，BC，OA，OB，若点C在⊙O外，∠AOB＝110°，则∠C的角度可能是（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
【解答】解：如图，设⊙O交AC于点T，连接BT．
∵∠ATB＝∠AOB＝55°，
又∵∠ATB＞∠C，
∴∠C＜55°，
故选：A．
7．如图，AB为⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F，若AE＝3，⊙O的直径为15，则AC长为（ ）
A．10 B．13 C．12 D．11
【解答】解：连接OF，
∵DE⊥AB，AB过圆心O，
∴DE＝EF，＝，
∵D为弧AC的中点，
∴＝，
∴＝，
∴AC＝DF，
∵⊙O的直径为15，
∴OF＝OA＝，
∵AE＝3，
∴OE＝OA﹣AE＝，
在Rt△OEF中，由勾股定理得：EF＝＝＝6，
∴DE＝EF＝6，
∴AC＝DF＝DE+EF＝6+6＝12，
故选：C．
8．如图，在半径为13的⊙O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝24，则OP的长是 5 ．
【解答】解：作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OB，OD，
由垂径定理、勾股定理得：OM＝ON＝＝5，
∵弦AB、CD互相垂直，
∴∠DPB＝90°，
∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，
∴∠OMP＝∠ONP＝90°
∴四边形MONP是矩形，
∵OM＝ON，
∴四边形MONP是正方形，
∴OP＝5
故答案为：5．
9．如图，⊙O的弦AC＝BD，且AC⊥BD于点E，连接AB，若⊙O的半径是3cm，则AB的长是 cm．
【解答】解：连接AD，OA，OB，
∵AC＝BD，
∴弧AC＝弧BD，
∴弧AC﹣弧BC＝弧BD﹣弧BC，
即弧AB＝弧CD，
∴∠ADB＝∠CAD，
∵AC⊥BD，
∴∠AED＝90°，
∴∠ADB＝∠CAD＝45°，
∴∠AOB＝2∠ADB＝90°，
∴AB＝．
10．如图，在⊙O中，AC＝AB，直径BC＝2，，则AD＝ 3 ．
【解答】解：如图，连接DB，DC，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC的延长线于点F．
∵BC是直径，
∴∠BAC＝90°，
∵BC＝2，AB＝2AC，
∴AC＝2，AB＝4，
∵∠DEA＝∠EAF＝∠DFA＝90°，
∴四边形DEAF是矩形，
∵AD平分∠BAC，
∴DE＝DF，
∴四边形DEAF是正方形，
∴AD＝AF，
∵∠DAB＝∠DAC，
∴＝，
∴BD＝CD，
∵∠DEB＝∠F＝90°，DB＝DC，DE＝DF，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），
∴BE＝CF，
∴AB+AC＝AE+BE＝AF﹣CF＝2AF＝6，
∴AF＝3，
∴AD＝AF＝3，
故答案为：3．
三．圆周角定理（共4小题）
11．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且CO⊥AB于点O，弦CD与AB相交于点E，连接AD，若∠A＝20°，则∠BED的度数为（ ）
A．45° B．55° C．65° D．75°
【解答】解：∵OC⊥AB，
∴∠COA＝90°，
∴∠D＝∠COA＝45°，
∵∠BED＝∠D+∠A，∠A＝20°，
∴∠BED＝45°+20°＝65°，
故选：C．
12．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，若∠BOC＝130°，则∠ADC＝（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【解答】解：∵∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣130°＝50°，
∴∠ADC＝∠AOC＝25°，
故选：C．
13．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，∠CDB＝30°，BC＝4.5，则AB的长度为（ ）
A．6 B．3 C．9 D．12
【解答】解：如图，连接AC．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CAB＝∠CDB＝30°，BC＝4.5，
∴AB＝2BC＝9，
故选：C．
14．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠BCD＝34°，则∠ABD等于（ ）
A．66° B．34° C．56° D．68°
【解答】解：连接AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB+∠ABD＝90°，
∵∠DAB＝∠BCD＝34°，
∴∠ABD＝90°﹣34°＝56°，
故选：C．
四．圆内接四边形的性质（共1小题）
15．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD＝105°，则∠BOD的度数是（ ）
A．150° B．120° C．105° D．85°
【解答】解：如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD＝105°，则∠A＝180°﹣∠BCD＝180°﹣105°＝75°．
∴∠BOD＝2∠A＝2×75°＝150°，
故选：A．
五．切线的性质（共2小题）
16．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，点C在⊙O上，且∠ACB＝56°，则∠APB等于（ ）
A．58° B．68° C．78° D．124°
【解答】解：连接OA、OB，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
由圆周角定理：∠AOB＝2∠ACB＝2×56°＝112°，
∴∠APB＝360°﹣90°﹣90°﹣112°＝68°，
故选：B．
17．如图，PA是⊙O的切线，A为切点，连接OP交⊙O于点C，点B在⊙O上，且∠ABC＝24°，则∠APC等于（ ）
A．31° B．42° C．53° D．64°
【解答】解：连接OA，
∵∠ABC＝24°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝48°，
∵PA是⊙O的切线，
∴∠OAP＝90°，
∴∠APC＝90°﹣∠AOP＝42°，
故选：B．
六．切线的判定与性质（共2小题）
18．已知，如图，AB为圆O直径，AC＝FC，E为弧BD中点．
（1）求证：AC为圆O切线；
（2）若AB＝4，AC＝3，求DF的长．
【解答】（1）证明：如图1，连接BE，
∵E为弧BD中点，
∴＝，
∴∠DBE＝∠BAE，
∵AB为⊙O直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠DBE+∠BFE＝90°，
∴∠BAE+∠BFE＝90°，
∵∠BFE＝∠CFA，
∴∠BAE+∠CFA＝90°，
∵AC＝FC，
∴∠CAF＝∠CFA，
∴∠BAE+∠CAF＝90°，
∴AB⊥AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴AC为⊙O切线；
（2）如图2，连接AD，过点F作FG⊥AB于点G，
由（1）知：∠BAC＝90°，
∴BC＝＝＝5，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ADB＝90°，
∴BC AD＝AB AC，
∴AD＝＝＝，
∴BD＝＝＝，
∵＝，
∴∠DAE＝∠BAE，
∵FD⊥AD，FG⊥AB，
∴FD＝FG，设FD＝FG＝x，
∵S△ABD＝S△ADF+S△ABF，
∴××＝×x+×4x，
解得：x＝，
∴DF＝．
19．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AC平分∠BAD，且AD⊥CD于点D．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若AD＝4，CD＝2，求⊙O的半径．
【解答】（1）证明：如图中，连接OC．
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠CAB＝∠ACO，
∴AD∥OC，
∵AD⊥CD，
∴OC⊥DC，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：如图，过点O作OE⊥AD于点E，
得矩形OEDC，
∴OE＝CD＝2，DE＝OC，
∴AE＝AD﹣DE＝4﹣OC＝4﹣OA，
在Rt△AEO中，根据勾股定理，得
OA2＝AE2+OE2，
∴OA2＝（4﹣OA）2+22，
解得OA＝．
∴⊙O的半径为．
七．三角形的内切圆与内心（共1小题）
20．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，⊙O与△ABC的三边相切于点D、E、F，则AD长为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
【解答】解：如图，连接OD、OE、OF，
∵∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，
∴AB＝＝＝13，
设OE＝OF＝OD＝r，
∵S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC，
∴13r+12r+5r＝12×5，
解得r＝2，
∵⊙O与Rt△ABC的三边相切于点D、E、F，
∴OE⊥AC，OF⊥BC，
∴四边形OECF为正方形，
∵⊙O的半径为2，BC＝5，
∴CE＝CF＝2，BD＝BF＝3，
∴AD＝AB﹣BD＝13﹣3＝10．
故选：B．
八．正多边形和圆（共5小题）
21．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为上的一点（点P不与点D重合），则∠CPD的度数为（ ）
A．72° B．60° C．36° D．30°
【解答】解：如图，连接OC，OD．
∵多边形ABCDE是正五边形，
∴∠COD＝＝72°，
∴∠CPD＝∠COD＝36°，
故选：C．
22．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠CBD的度数是（ ）
A．30° B．36° C．60° D．72°
【解答】解：∵正五边形ABCDE内接于⊙O，
∴CD＝BC＝＝108°，
∴∠CBD＝∠CDB＝（180°﹣108°）＝36°，
故选：B．
23．一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为72°，则该正多边形的边数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【解答】解：设正多边形的边数为n．
由题意可得：＝72°，
∴n＝5，
故选：B．
24．正六边形的边长为2，⊙O是它的内切圆，则⊙O的面积为（ ）
A．2π B．π C． D．3π
【解答】解：如图，连接OA、OB，OG；
∵六边形ABCDEF是边长为4的正六边形，
∴△OAB是等边三角形，
∴OA＝AB＝2，
∴OG＝OA sin60°＝2×＝，
∴边长为2的正六边形的内切圆的半径为，
∴内切圆面积为π×（）2＝3π．
故选：D．
25．如图，点M、N分别是正五边形ABCDE的边BC、CD上的点，且BM＝CN，AM交BN于点P，则∠APN的度数为（ ）
A．120° B．118° C．110° D．108°
【解答】：∵五边形ABCDE为正五边形，
∴AB＝BC，∠ABM＝∠C，
在△ABM和△BCN中，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BAM＝∠CBN，
∵∠BAM+∠ABP＝∠APN，
∴∠CBN+∠ABP＝∠APN＝∠ABC＝＝108°，
∴∠APN的度数为108°；
故选：D．
九．弧长的计算（共3小题）
26．若120°的圆心角所对的弧长是2π，则此弧所在圆的半径为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：由题意得，n＝120°，l＝2π，
故可得：，
解得：r＝3．
故选：C．
27．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆上两点，且满足∠ADC＝120°，BC＝1，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：如图，连接OC．
∵∠ADC＝120°，
∴∠ABC＝60°，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝∠B＝60°，
OB＝OC＝BC＝1，
∴的长为＝，
故选：A．
28．如图，AB为⊙O的直径，AB＝4，CD＝2，劣弧BC的长是劣弧BD长的2倍，则AC的长为（ ）
A． B． C．3 D．
【解答】解：如图，连接OC、OD、BC．
∵AB为⊙O的直径，AB＝4，
∴∠ACB＝90°，OC＝OD＝AB＝2，
∵CD＝2，
∴OC2+OD2＝22+22＝8＝CD2，
∴∠COD＝90°，
∵劣弧BC的长是劣弧BD长的2倍，
∴∠COB＝2∠BOD，
∴∠COB＝∠COD＝×90°＝60°，
∴∠A＝∠COB＝30°．
在Rt△ABC中，
AC＝AB cosA＝4×＝2．
故选：D．
一十．弧长的计算（共1小题）
29．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE是⊙O的直径．若⊙O的半径为6，∠ADC﹣∠ABC＝40°，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：如图，连接OC．
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
∵∠ADC﹣∠ABC＝40°，
∴∠ADC＝110°，∠ABC＝70°．
∴∠AOC＝2∠ABC＝140°，
∴∠COE＝180°﹣∠AOC＝40°，
∵⊙O的半径为6，
∴的长度为＝．
故选：B．
一十一．圆锥的计算（共2小题）
30．已知圆锥的母线长为6，侧面展开图的面积是12π，则这个圆锥底面圆的半径是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：设这个圆锥底面圆的半径为r，
根据题意得×2πr×6＝12π，
解得r＝2，
即这个圆锥底面圆的半径是2．
故选：B．
31．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，△ABC绕AC所在直线旋转一周，所形成的圆锥侧面积等于（ ）
A．4πcm2 B．8πcm2 C．12πcm2 D．15πcm2
【解答】解：根据题意，△ABC绕AC所在直线旋转一周，所形成的圆锥侧面积＝×2π×3×5＝15π（cm2）．
故选：D．
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九年级数学圆综合复习
一．垂径定理（共5小题）
1．如图，在⊙O中，CD是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，若AB＝8，CE＝2，则⊙O的半径为（ ）
A． B． C．3 D．5
2．如图，⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，连接BD．若CD＝8，OE＝3，则BD的长为（ ）
A． B．2 C． D．2
3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE＝8cm，CD＝8cm，则BE为（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
4．如图，P为⊙O内的一个定点，A为⊙O上的一个动点，射线AP，AO分别与⊙O交于B，C两点，若⊙O的半径为3，OP＝，则弦BC的最大值为 ．
5．如图，⊙O的直径AB＝5，弦AC＝3，点D是劣弧BC上的动点，CE⊥DC交AD于点E，则OE的最小值是 ．
二．圆心角、弧、弦的关系（共5小题）
6．已知点O，C在直线m的同一侧，作⊙O交m于点A，B．连结AC，BC，OA，OB，若点C在⊙O外，∠AOB＝110°，则∠C的角度可能是（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
7．如图，AB为⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F，若AE＝3，⊙O的直径为15，则AC长为（ ）
A．10 B．13 C．12 D．11
8．如图，在半径为13的⊙O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝24，则OP的长是 ．
9．如图，⊙O的弦AC＝BD，且AC⊥BD于点E，连接AB，若⊙O的半径是3cm，则AB的长是 cm．
10．如图，在⊙O中，AC＝AB，直径BC＝2，，则AD＝ ．
三．圆周角定理（共4小题）
11．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且CO⊥AB于点O，弦CD与AB相交于点E，连接AD，若∠A＝20°，则∠BED的度数为（ ）
A．45° B．55° C．65° D．75°
12．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，若∠BOC＝130°，则∠ADC＝（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
13．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，∠CDB＝30°，BC＝4.5，则AB的长度为（ ）
A．6 B．3 C．9 D．12
14．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠BCD＝34°，则∠ABD等于（ ）
A．66° B．34° C．56° D．68°
四．圆内接四边形的性质（共1小题）
15．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD＝105°，则∠BOD的度数是（ ）
A．150° B．120° C．105° D．85°
五．切线的性质（共2小题）
16．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，点C在⊙O上，且∠ACB＝56°，则∠APB等于（ ）
A．58° B．68° C．78° D．124°
17．如图，PA是⊙O的切线，A为切点，连接OP交⊙O于点C，点B在⊙O上，且∠ABC＝24°，则∠APC等于（ ）
A．31° B．42° C．53° D．64°
六．切线的判定与性质（共2小题）
18．已知，如图，AB为圆O直径，AC＝FC，E为弧BD中点．
（1）求证：AC为圆O切线；
（2）若AB＝4，AC＝3，求DF的长．
19．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AC平分∠BAD，且AD⊥CD于点D．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若AD＝4，CD＝2，求⊙O的半径．
七．三角形的内切圆与内心（共1小题）
20．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，⊙O与△ABC的三边相切于点D、E、F，则AD长为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
八．正多边形和圆（共5小题）
21．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为上的一点（点P不与点D重合），则∠CPD的度数为（ ）
A．72° B．60° C．36° D．30°
22．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠CBD的度数是（ ）
A．30° B．36° C．60° D．72°
23．一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为72°，则该正多边形的边数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
24．正六边形的边长为2，⊙O是它的内切圆，则⊙O的面积为（ ）
A．2π B．π C． D．3π
25．如图，点M、N分别是正五边形ABCDE的边BC、CD上的点，且BM＝CN，AM交BN于点P，则∠APN的度数为（ ）
A．120° B．118° C．110° D．108°
九．弧长的计算（共3小题）
26．若120°的圆心角所对的弧长是2π，则此弧所在圆的半径为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
27．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆上两点，且满足∠ADC＝120°，BC＝1，则的长为（ ）
A． B． C． D．
28．如图，AB为⊙O的直径，AB＝4，CD＝2，劣弧BC的长是劣弧BD长的2倍，则AC的长为（ ）
A． B． C．3 D．
一十．弧长的计算（共1小题）
29．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE是⊙O的直径．若⊙O的半径为6，∠ADC﹣∠ABC＝40°，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
一十一．圆锥的计算（共2小题）
30．已知圆锥的母线长为6，侧面展开图的面积是12π，则这个圆锥底面圆的半径是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
31．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，△ABC绕AC所在直线旋转一周，所形成的圆锥侧面积等于（ ）
A．4πcm2 B．8πcm2 C．12πcm2 D．15πcm2
参考答案与试题解析
一．垂径定理（共5小题）
1．如图，在⊙O中，CD是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，若AB＝8，CE＝2，则⊙O的半径为（ ）
A． B． C．3 D．5
【解答】解：设⊙O的半径为r，
∵CD是⊙O的直径，AB⊥CD，AB＝8，
∴AE＝AB＝4，
在Rt△OAE中，由勾股定理得：AE2+OE2＝OA2，
即42+（r﹣2）2＝r2，
解得：r＝5，
即⊙O的半径为5，
故选：D．
2．如图，⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，连接BD．若CD＝8，OE＝3，则BD的长为（ ）
A． B．2 C． D．2
【解答】解：
连接OD，
∵AB⊥CD，AB过圆心O，CD＝8，
∴CE＝DE＝4，∠OED＝∠DEB＝90°，
∵OE＝3，
∴OD＝＝＝5，
∴OB＝OD＝5，
∴BE＝OB﹣OE＝5﹣3＝2，
由勾股定理，得BD＝＝＝＝2，
故选：D．
3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE＝8cm，CD＝8cm，则BE为（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
【解答】解：∵CD⊥AB，
∴CE＝DE＝CD＝4cm，
设⊙O的半径为rcm，则OC＝rcm，OE＝（8﹣r）cm，
在Rt△OCE中，（8﹣r）2+42＝r2，
解得r＝5，
∴OE＝8﹣5＝3（cm），
∴BE＝OB﹣OE＝5﹣3＝2（cm）．
故选：C．
4．如图，P为⊙O内的一个定点，A为⊙O上的一个动点，射线AP，AO分别与⊙O交于B，C两点，若⊙O的半径为3，OP＝，则弦BC的最大值为 2 ．
【解答】解：如图，过点O作OE⊥AB于E，
∵O为圆心，
∴AE＝BE，
∴OE＝BC，
∵OE≤OP，
∴BC≤2OP，
∴当E、P重合时，即OP垂直AB时，BC取最大值，
∴弦BC的最大值为：2OP＝2，
故答案为：2．
5．如图，⊙O的直径AB＝5，弦AC＝3，点D是劣弧BC上的动点，CE⊥DC交AD于点E，则OE的最小值是 ．
【解答】解：如图，作△AEC的外接圆⊙O′，延长BC交⊙O′于D2R，连接AR，则AR是直径，连接OO′，EO′．
∵EC⊥CD，
∴∠ECD＝90°，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴BC＝＝＝4，
∵∠D+∠DEC＝90°，∠B+∠BAC＝90°，∠B＝∠D，
∴∠DEC＝∠BAC＝定值，
∴∠AEC是定值，
∴点E的运动轨迹是，
∵∠R+∠AEC＝180°，∠AEC+∠DEC＝180°，
∴∠R＝∠DEC＝∠BAC，
∴∠R+∠B＝90°，
∴∠BAR＝90°，
∵∠B＝∠B，∠ACB＝∠BAR＝90°，
∴△BCA∽△BAR，
∴＝，
∴＝，
∴BR＝，
∴CR＝BR﹣BC＝，
∴AR＝＝＝，
∴EO′＝AR＝，
∵AO＝OB，AO′＝O′R，
∴OO′＝BR＝，
∵OE≥OO′﹣EO′＝﹣＝，
∴OE的最小值为．
故答案为：．
二．圆心角、弧、弦的关系（共5小题）
6．已知点O，C在直线m的同一侧，作⊙O交m于点A，B．连结AC，BC，OA，OB，若点C在⊙O外，∠AOB＝110°，则∠C的角度可能是（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
【解答】解：如图，设⊙O交AC于点T，连接BT．
∵∠ATB＝∠AOB＝55°，
又∵∠ATB＞∠C，
∴∠C＜55°，
故选：A．
7．如图，AB为⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F，若AE＝3，⊙O的直径为15，则AC长为（ ）
A．10 B．13 C．12 D．11
【解答】解：连接OF，
∵DE⊥AB，AB过圆心O，
∴DE＝EF，＝，
∵D为弧AC的中点，
∴＝，
∴＝，
∴AC＝DF，
∵⊙O的直径为15，
∴OF＝OA＝，
∵AE＝3，
∴OE＝OA﹣AE＝，
在Rt△OEF中，由勾股定理得：EF＝＝＝6，
∴DE＝EF＝6，
∴AC＝DF＝DE+EF＝6+6＝12，
故选：C．
8．如图，在半径为13的⊙O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝24，则OP的长是 5 ．
【解答】解：作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OB，OD，
由垂径定理、勾股定理得：OM＝ON＝＝5，
∵弦AB、CD互相垂直，
∴∠DPB＝90°，
∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，
∴∠OMP＝∠ONP＝90°
∴四边形MONP是矩形，
∵OM＝ON，
∴四边形MONP是正方形，
∴OP＝5
故答案为：5．
9．如图，⊙O的弦AC＝BD，且AC⊥BD于点E，连接AB，若⊙O的半径是3cm，则AB的长是 cm．
【解答】解：连接AD，OA，OB，
∵AC＝BD，
∴弧AC＝弧BD，
∴弧AC﹣弧BC＝弧BD﹣弧BC，
即弧AB＝弧CD，
∴∠ADB＝∠CAD，
∵AC⊥BD，
∴∠AED＝90°，
∴∠ADB＝∠CAD＝45°，
∴∠AOB＝2∠ADB＝90°，
∴AB＝．
10．如图，在⊙O中，AC＝AB，直径BC＝2，，则AD＝ 3 ．
【解答】解：如图，连接DB，DC，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC的延长线于点F．
∵BC是直径，
∴∠BAC＝90°，
∵BC＝2，AB＝2AC，
∴AC＝2，AB＝4，
∵∠DEA＝∠EAF＝∠DFA＝90°，
∴四边形DEAF是矩形，
∵AD平分∠BAC，
∴DE＝DF，
∴四边形DEAF是正方形，
∴AD＝AF，
∵∠DAB＝∠DAC，
∴＝，
∴BD＝CD，
∵∠DEB＝∠F＝90°，DB＝DC，DE＝DF，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），
∴BE＝CF，
∴AB+AC＝AE+BE＝AF﹣CF＝2AF＝6，
∴AF＝3，
∴AD＝AF＝3，
故答案为：3．
三．圆周角定理（共4小题）
11．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且CO⊥AB于点O，弦CD与AB相交于点E，连接AD，若∠A＝20°，则∠BED的度数为（ ）
A．45° B．55° C．65° D．75°
【解答】解：∵OC⊥AB，
∴∠COA＝90°，
∴∠D＝∠COA＝45°，
∵∠BED＝∠D+∠A，∠A＝20°，
∴∠BED＝45°+20°＝65°，
故选：C．
12．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，若∠BOC＝130°，则∠ADC＝（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【解答】解：∵∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣130°＝50°，
∴∠ADC＝∠AOC＝25°，
故选：C．
13．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，∠CDB＝30°，BC＝4.5，则AB的长度为（ ）
A．6 B．3 C．9 D．12
【解答】解：如图，连接AC．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CAB＝∠CDB＝30°，BC＝4.5，
∴AB＝2BC＝9，
故选：C．
14．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠BCD＝34°，则∠ABD等于（ ）
A．66° B．34° C．56° D．68°
【解答】解：连接AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB+∠ABD＝90°，
∵∠DAB＝∠BCD＝34°，
∴∠ABD＝90°﹣34°＝56°，
故选：C．
四．圆内接四边形的性质（共1小题）
15．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD＝105°，则∠BOD的度数是（ ）
A．150° B．120° C．105° D．85°
【解答】解：如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD＝105°，则∠A＝180°﹣∠BCD＝180°﹣105°＝75°．
∴∠BOD＝2∠A＝2×75°＝150°，
故选：A．
五．切线的性质（共2小题）
16．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，点C在⊙O上，且∠ACB＝56°，则∠APB等于（ ）
A．58° B．68° C．78° D．124°
【解答】解：连接OA、OB，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
由圆周角定理：∠AOB＝2∠ACB＝2×56°＝112°，
∴∠APB＝360°﹣90°﹣90°﹣112°＝68°，
故选：B．
17．如图，PA是⊙O的切线，A为切点，连接OP交⊙O于点C，点B在⊙O上，且∠ABC＝24°，则∠APC等于（ ）
A．31° B．42° C．53° D．64°
【解答】解：连接OA，
∵∠ABC＝24°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝48°，
∵PA是⊙O的切线，
∴∠OAP＝90°，
∴∠APC＝90°﹣∠AOP＝42°，
故选：B．
六．切线的判定与性质（共2小题）
18．已知，如图，AB为圆O直径，AC＝FC，E为弧BD中点．
（1）求证：AC为圆O切线；
（2）若AB＝4，AC＝3，求DF的长．
【解答】（1）证明：如图1，连接BE，
∵E为弧BD中点，
∴＝，
∴∠DBE＝∠BAE，
∵AB为⊙O直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠DBE+∠BFE＝90°，
∴∠BAE+∠BFE＝90°，
∵∠BFE＝∠CFA，
∴∠BAE+∠CFA＝90°，
∵AC＝FC，
∴∠CAF＝∠CFA，
∴∠BAE+∠CAF＝90°，
∴AB⊥AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴AC为⊙O切线；
（2）如图2，连接AD，过点F作FG⊥AB于点G，
由（1）知：∠BAC＝90°，
∴BC＝＝＝5，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ADB＝90°，
∴BC AD＝AB AC，
∴AD＝＝＝，
∴BD＝＝＝，
∵＝，
∴∠DAE＝∠BAE，
∵FD⊥AD，FG⊥AB，
∴FD＝FG，设FD＝FG＝x，
∵S△ABD＝S△ADF+S△ABF，
∴××＝×x+×4x，
解得：x＝，
∴DF＝．
19．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AC平分∠BAD，且AD⊥CD于点D．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若AD＝4，CD＝2，求⊙O的半径．
【解答】（1）证明：如图中，连接OC．
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠CAB＝∠ACO，
∴AD∥OC，
∵AD⊥CD，
∴OC⊥DC，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：如图，过点O作OE⊥AD于点E，
得矩形OEDC，
∴OE＝CD＝2，DE＝OC，
∴AE＝AD﹣DE＝4﹣OC＝4﹣OA，
在Rt△AEO中，根据勾股定理，得
OA2＝AE2+OE2，
∴OA2＝（4﹣OA）2+22，
解得OA＝．
∴⊙O的半径为．
七．三角形的内切圆与内心（共1小题）
20．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，⊙O与△ABC的三边相切于点D、E、F，则AD长为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
【解答】解：如图，连接OD、OE、OF，
∵∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，
∴AB＝＝＝13，
设OE＝OF＝OD＝r，
∵S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC，
∴13r+12r+5r＝12×5，
解得r＝2，
∵⊙O与Rt△ABC的三边相切于点D、E、F，
∴OE⊥AC，OF⊥BC，
∴四边形OECF为正方形，
∵⊙O的半径为2，BC＝5，
∴CE＝CF＝2，BD＝BF＝3，
∴AD＝AB﹣BD＝13﹣3＝10．
故选：B．
八．正多边形和圆（共5小题）
21．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为上的一点（点P不与点D重合），则∠CPD的度数为（ ）
A．72° B．60° C．36° D．30°
【解答】解：如图，连接OC，OD．
∵多边形ABCDE是正五边形，
∴∠COD＝＝72°，
∴∠CPD＝∠COD＝36°，
故选：C．
22．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠CBD的度数是（ ）
A．30° B．36° C．60° D．72°
【解答】解：∵正五边形ABCDE内接于⊙O，
∴CD＝BC＝＝108°，
∴∠CBD＝∠CDB＝（180°﹣108°）＝36°，
故选：B．
23．一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为72°，则该正多边形的边数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【解答】解：设正多边形的边数为n．
由题意可得：＝72°，
∴n＝5，
故选：B．
24．正六边形的边长为2，⊙O是它的内切圆，则⊙O的面积为（ ）
A．2π B．π C． D．3π
【解答】解：如图，连接OA、OB，OG；
∵六边形ABCDEF是边长为4的正六边形，
∴△OAB是等边三角形，
∴OA＝AB＝2，
∴OG＝OA sin60°＝2×＝，
∴边长为2的正六边形的内切圆的半径为，
∴内切圆面积为π×（）2＝3π．
故选：D．
25．如图，点M、N分别是正五边形ABCDE的边BC、CD上的点，且BM＝CN，AM交BN于点P，则∠APN的度数为（ ）
A．120° B．118° C．110° D．108°
【解答】：∵五边形ABCDE为正五边形，
∴AB＝BC，∠ABM＝∠C，
在△ABM和△BCN中，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BAM＝∠CBN，
∵∠BAM+∠ABP＝∠APN，
∴∠CBN+∠ABP＝∠APN＝∠ABC＝＝108°，
∴∠APN的度数为108°；
故选：D．
九．弧长的计算（共3小题）
26．若120°的圆心角所对的弧长是2π，则此弧所在圆的半径为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：由题意得，n＝120°，l＝2π，
故可得：，
解得：r＝3．
故选：C．
27．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆上两点，且满足∠ADC＝120°，BC＝1，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：如图，连接OC．
∵∠ADC＝120°，
∴∠ABC＝60°，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝∠B＝60°，
OB＝OC＝BC＝1，
∴的长为＝，
故选：A．
28．如图，AB为⊙O的直径，AB＝4，CD＝2，劣弧BC的长是劣弧BD长的2倍，则AC的长为（ ）
A． B． C．3 D．
【解答】解：如图，连接OC、OD、BC．
∵AB为⊙O的直径，AB＝4，
∴∠ACB＝90°，OC＝OD＝AB＝2，
∵CD＝2，
∴OC2+OD2＝22+22＝8＝CD2，
∴∠COD＝90°，
∵劣弧BC的长是劣弧BD长的2倍，
∴∠COB＝2∠BOD，
∴∠COB＝∠COD＝×90°＝60°，
∴∠A＝∠COB＝30°．
在Rt△ABC中，
AC＝AB cosA＝4×＝2．
故选：D．
一十．弧长的计算（共1小题）
29．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE是⊙O的直径．若⊙O的半径为6，∠ADC﹣∠ABC＝40°，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：如图，连接OC．
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
∵∠ADC﹣∠ABC＝40°，
∴∠ADC＝110°，∠ABC＝70°．
∴∠AOC＝2∠ABC＝140°，
∴∠COE＝180°﹣∠AOC＝40°，
∵⊙O的半径为6，
∴的长度为＝．
故选：B．
一十一．圆锥的计算（共2小题）
30．已知圆锥的母线长为6，侧面展开图的面积是12π，则这个圆锥底面圆的半径是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：设这个圆锥底面圆的半径为r，
根据题意得×2πr×6＝12π，
解得r＝2，
即这个圆锥底面圆的半径是2．
故选：B．
31．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，△ABC绕AC所在直线旋转一周，所形成的圆锥侧面积等于（ ）
A．4πcm2 B．8πcm2 C．12πcm2 D．15πcm2
【解答】解：根据题意，△ABC绕AC所在直线旋转一周，所形成的圆锥侧面积＝×2π×3×5＝15π（cm2）．
故选：D．
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