18.2.1 矩形章节小测验（含解析）
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矩形章节小测
一．矩形的性质（共4小题）
1．下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是（ ）
A．对角线相等 B．对角线垂直 C．邻边垂直 D．邻角互补
2．在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，两对角线交于点O，则BO＝（ ）
A．3 B．4 C．5 D．10
3．如图，在矩形ABCD中，点E是BC的中点，连接AE，点F是AE的中点，连接DF，若AB＝9，AD＝，则四边形CDFE的面积是（ ）
A． B． C． D．54
4．如图在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AO，AD的中点，若AB＝12cm，BC＝16cm，则EF＝ cm．
二．矩形的判定（共6小题）
5．如图，要使 ABCD为矩形，则可以添加的条件是（ ）
AC⊥BD B．AC＝BD C．∠AOB＝60° D．AB＝BC
6．下列命题是真命题的是（ ）
A．有一个角是直角的四边形是矩形 B．一组对边平行且相等的四边形是矩形
C．对角线互相平分且相等的四边形是矩形 D．对角线互相垂直平分的四边形是矩形
7．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．下列条件不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（ ）
A．∠ABC＝90° B．AC＝BD C．AD＝AB D．∠BAD＝∠ADC
8．如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，对于下列条件：①∠1+∠3＝90°；②BC2+CD2＝AC2；③∠1＝∠2；④AC⊥BD．能判定四边形ABCD是矩形的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，在平行四边形ABCD中，AC＝BC，M、N分别是AB和CD的中点．
求证：四边形AMCN是矩形．
10．如图，点E是平行四边形ABCD对角线AC上一点，点F在BE延长线上，且EF＝BE，EF与CD交于点G．
（I）求证：DF∥AC；
（2）连接DE、CF，若2AB＝BF，G恰好是CD的中点，求证：四边形CFDE是矩形．
三．矩形的判定与性质（共14小题）
11．下列四个命题中，正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形 B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．两组对边分别相等的四边形是矩形 D．四个角都相等的四边形是矩形
12．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BD，AB＝5，BD＝4，CD＝3，点E是AC的中点，则BE的长为（ ）
A．2 B． C． D．3
13．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12，BC＝5，D为边AC上一动点，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，则EF的最小值为（ ）
A．4.8 B． C． D．13
14．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则AM的最小值是（ ）
A．2.4 B．2 C．1.5 D．1.2
15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，M为斜边AB上一动点，过M作MD⊥AC于点D，过M作ME⊥CB于点E，则线段DE的最小值为（ ）
A． B．5 C． D．2.5
16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5．P为斜边AB上一动点，过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值为（ ）
B． C． D．
17．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，设AC＝12，BD＝16，则OE的长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
18．如图，在等腰直角△ABC中，AB＝BC，点D是△ABC内部一点，DE⊥BC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，若CE＝3DE，5DF＝3AF，DE＝2.5，则AF＝（ ）
A．8 B．10 C．12.5 D．15
19．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，设AC＝12，BD＝16，则OE的长为 ．
20．如图，在 ABCD中，点M是AD边的中点，连接BM，CM，且BM＝CM．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若△BCM是直角三角形，直接写出AD与AB之间的数量关系．
21．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，分别过点C、点D作BD、AC的平行线交于点E，连接EO交CD于点F．
（1）求证：四边形DECO是矩形；
（2）若AD＝3，求OE的长．
22．如图，菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O，分别过点C、D作CE∥BD，DE∥AC，CE和DE交于点E．
（1）求证：四边形ODEC是矩形；
（2）当∠ADB＝60°，AD＝2时，求EA的长．
四．矩形的判定与性质（共1小题）
23．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的动点，P是线段EF的中点，PG⊥BC，PH⊥CD，G，H为垂足，连接GH．若AB＝8，AD＝6，EF＝6，则GH的最小值是 ．
参考答案与试题解析
一．矩形的性质（共4小题）
1．下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是（ ）
A．对角线相等 B．对角线垂直 C．邻边垂直 D．邻角互补
【解答】解：∵菱形的对角线互相垂直，但矩形的对角线不一定垂直，
∴菱形具有而矩形不一定具有的是对角线垂直，
故选：B．
2．在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，两对角线交于点O，则BO＝（ ）
A．3 B．4 C．5 D．10
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，AD＝BC＝8，OB＝OD，
∴BD＝＝＝10，
∴BO＝BD＝5；
故选：C．
3．如图，在矩形ABCD中，点E是BC的中点，连接AE，点F是AE的中点，连接DF，若AB＝9，AD＝，则四边形CDFE的面积是（ ）
A． B． C． D．54
【解答】解：过点F作直线MN，使MN⊥AD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠AMF＝∠ENP＝90°，AD＝BC＝6，
∵点F是AE的中点，
∴AF＝EF，
∵∠AFM＝∠EFN，
∴△AFM≌△EFN（AAS），
∴MF＝FN＝AB＝4.5，
∵点E是BC的中点，
∴BE＝BC＝3，
∴四边形CDFE的面积＝S矩形ABCD﹣S△ABE﹣S△AFD＝9×6﹣×9×3﹣×4.5×6＝27，
故选：C．
4．如图在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AO，AD的中点，若AB＝12cm，BC＝16cm，则EF＝ 5 cm．
【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝＝＝20（cm），
∴矩形ABCD中，BD＝20cm，DO＝10cm，
∵点E、F分别是AO、AD的中点，
∴EF是△AOD的中位线，
∴EF＝OD＝＝5（cm），
故答案为：5．
二．矩形的判定（共6小题）
5．如图，要使 ABCD为矩形，则可以添加的条件是（ ）
A．AC⊥BD B．AC＝BD C．∠AOB＝60° D．AB＝BC
【解答】解：因为有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形，
故选：B．
6．下列命题是真命题的是（ ）
A．有一个角是直角的四边形是矩形
B．一组对边平行且相等的四边形是矩形
C．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
D．对角线互相垂直平分的四边形是矩形
【解答】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
C、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，正确，是真命题，符合题意；
D、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意，
故选：C．
7．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．下列条件不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（ ）
A．∠ABC＝90° B．AC＝BD C．AD＝AB D．∠BAD＝∠ADC
【解答】解：A．根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；
B．根据对角线相等的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；
C．根据邻边相等的平行四边形是菱形能判定平行四边形ABCD为菱形，不能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项符合题意；
D．∵平行四边形ABCD中，AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC＝180°，
又∵∠BAD＝∠ADC，
∴∠BAD＝∠ADC＝90°，
根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意．
故选：C．
8．如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，对于下列条件：①∠1+∠3＝90°；②BC2+CD2＝AC2；③∠1＝∠2；④AC⊥BD．能判定四边形ABCD是矩形的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①∵∠1+∠3＝90°，
∴∠ABC＝90°，
∴ ABCD是矩形，故①正确；
②∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
∵BC2+CD2＝AC2，
∴BC2+AB2＝AC2，
∴∠ABC＝90°，
∴ ABCD是矩形，故②正确；
③∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，
∵∠1＝∠2，
∴OA＝OB，
∴AC＝BD，
∴ ABCD是矩形，故③正确；
④∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴ ABCD是菱形，故④错误；
能判定四边形ABCD是矩形的个数有3个，
故选：C．
9．如图，在平行四边形ABCD中，AC＝BC，M、N分别是AB和CD的中点．
求证：四边形AMCN是矩形．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴AM∥CN，
∵M、N分别是AB和CD的中点，
∴AM＝AB，CN＝CD，
∴AM＝CN，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∵AC＝BC，
∴△ACB是等腰三角形，
∵M是AB的中点，
∴CM是△ACB的边AB上的高，
∴∠AMC＝90°，
∴平行四边形AMCN是矩形．
10．如图，点E是平行四边形ABCD对角线AC上一点，点F在BE延长线上，且EF＝BE，EF与CD交于点G．
（I）求证：DF∥AC；
（2）连接DE、CF，若2AB＝BF，G恰好是CD的中点，求证：四边形CFDE是矩形．
【解答】（1）证明：连接BD，交AC于点O，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝DO，
∵BE＝EF，
∴OE是△BDF的中位线，
∴OE∥DF，
即DF∥AC；
（2）证明：如图所示：
由（1）得：DF∥AC，
∴∠DFG＝∠CEG，∠GDF＝∠GCE，
∵G是CD的中点，
∴DG＝CG，
在△DFG和△CEG中，
，
∴△DFG≌△CEG（AAS），
∴FG＝EG，
∴四边形CFDE是平行四边形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
∵2AB＝BF，
∴2CD＝BF，
又∵EF＝BE，
∴CD＝EF，
∴平行四边形CFDE是矩形．
三．矩形的判定与性质（共14小题）
11．下列四个命题中，正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．两组对边分别相等的四边形是矩形
D．四个角都相等的四边形是矩形
【解答】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，不符合题意；
B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故原命题错误，不符合题意；
C、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故原命题错误，不符合题意；
D、四个角都相等的四边形是矩形，正确，符合题意，
故选：D．
12．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BD，AB＝5，BD＝4，CD＝3，点E是AC的中点，则BE的长为（ ）
A．2 B． C． D．3
【解答】解：过点C作CF⊥AB的延长线于点F，如图所示：
∵AB∥CD，AB⊥BD，
∴CD⊥BD，
∵CF⊥AB，
∴CF⊥CD，
∴BD∥CF，
∴四边形BFCD是矩形，
∴BF＝CD＝3，CF＝BD＝4，
在Rt△BCF中，BC＝，
在Rt△AFC中，AC＝＝，
∴BC＝AB＝5，
∴△ABC是等腰三角形，
∵点E是AC的中点，
∴BE⊥AC，
∵，
∴×5×4＝×BE，
解得：BE＝．
故选：C．
13．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12，BC＝5，D为边AC上一动点，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，则EF的最小值为（ ）
A．4.8 B． C． D．13
【解答】解：如图，连接BD，
∵∠B＝90°，AB＝12，BC＝5，
∴AC＝＝＝13，
∵DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，
∴四边形DEBF是矩形，
∴EF＝BD，
由垂线段最短可得BD⊥AC时，线段BD最短，则EF最小，
此时，S△ABC＝BC AB＝AC BD，
即×12×5＝×13 BD，
解得：BD＝，
∴EF的最小值为．
故选：B．
14．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则AM的最小值是（ ）
A．2.4 B．2 C．1.5 D．1.2
【解答】解：由题意知，四边形AFPE是矩形，
∵点M是矩形对角线EF的中点，则延长AM应过点P，
∴当AP为直角三角形ABC的斜边上的高时，即AP⊥BC时，AM有最小值，
此时AM＝AP，由勾股定理知BC＝＝5，
∵S△ABC＝AB AC＝BC AP，
∴AP＝，
∴AM＝AP＝＝1.2，
故选：D．
15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，M为斜边AB上一动点，过M作MD⊥AC于点D，过M作ME⊥CB于点E，则线段DE的最小值为（ ）
A． B．5 C． D．2.5
【解答】解：连接CM，如图所示：
∵MD⊥AC，ME⊥CB，
∴∠MDC＝∠MEC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴四边形CDME是矩形，
∴DE＝CM，
∵∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，
∴AB＝＝5，
当CM⊥AB时，CM最短，此时△ABC的面积＝AB CM＝BC AC，
∴CM的最小值＝＝，
∴线段DE的最小值为；
故选：A．
16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5．P为斜边AB上一动点，过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：连接PC，如图：
∵PE⊥AC，PF⊥BC，
∴∠PEC＝∠PFC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴四边形ECFP是矩形，
∴EF＝PC，
当PC最小时，EF也最小，
∵∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，
∴AB＝＝＝13，
当CP⊥AB时，PC最小，
此时，CP＝＝＝，
∴线段EF长的最小值为，
故选：C．
17．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，设AC＝12，BD＝16，则OE的长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
【解答】解：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED为平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝6，OB＝OD＝BD＝8，
∴∠DOC＝90°，CD＝＝＝10，
∴平行四边形OCED为矩形，
∴OE＝CD＝10，
故选：C．
18．如图，在等腰直角△ABC中，AB＝BC，点D是△ABC内部一点，DE⊥BC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，若CE＝3DE，5DF＝3AF，DE＝2.5，则AF＝（ ）
A．8 B．10 C．12.5 D．15
【解答】解：∵DE⊥BC，DF⊥AB，
∴∠DEB＝∠DFB＝90°，
∵△ABC为等腰直角三角形，AB＝BC，
∴∠ABC＝90°，
∴四边形DEBF为矩形，
∴BF＝DE＝2.5，DF＝EB，
设DF＝3x，则EB＝3x，
∵5DF＝3AF，
∴AF＝5x，AB＝5x+2.5，
∵DE＝2.5，
∴CE＝3DE＝7.5，
∴CB＝7.5+3x，
∵AB＝CB，
∴5x+2.5＝7.5+3x，
解得x＝2.5，
∴AF＝5x＝12.5，
故选：C．
19．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，设AC＝12，BD＝16，则OE的长为 10 ．
【解答】解：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED为平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝6，OB＝OD＝BD＝8，
∴∠DOC＝90°，CD＝＝＝10，
∴平行四边形OCED为矩形，
∴OE＝CD＝10，
故答案为：10．
20．如图，在 ABCD中，点M是AD边的中点，连接BM，CM，且BM＝CM．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若△BCM是直角三角形，直接写出AD与AB之间的数量关系．
【解答】（1）证明：∵点M是AD边的中点，
∴AM＝DM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，AB∥CD，
在△ABM和△DCM中，
，
∴△ABM≌△DCM（SSS），
∴∠A＝∠D，
∵AB∥CD，
∴∠A+∠D＝180°，
∴∠A＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：AD与AB之间的数量关系：AD＝2AB，理由如下：
∵△BCM是直角三角形，BM＝CM，
∴△BCM是等腰直角三角形，
∴∠MBC＝45°，
由（1）得：四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A＝90°，
∴∠AMB＝∠MBC＝45°，
∴△ABM是等腰直角三角形，
∴AB＝AM，
∵点M是AD边的中点，
∴AD＝2AM
∴AD＝2AB．
21．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，分别过点C、点D作BD、AC的平行线交于点E，连接EO交CD于点F．
（1）求证：四边形DECO是矩形；
（2）若AD＝3，求OE的长．
【解答】（1）证明：∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形DECO是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠DOC＝90°，
∴平行四边形DECO是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝AD＝3，
由（1）得：四边形DECO是矩形，
∴OE＝CD＝3．
22．如图，菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O，分别过点C、D作CE∥BD，DE∥AC，CE和DE交于点E．
（1）求证：四边形ODEC是矩形；
（2）当∠ADB＝60°，AD＝2时，求EA的长．
【解答】（1）证明：∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形ODEC是平行四边形．
又∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD，∴∠DOC＝90°．
∴四边形ODEC是矩形．
（2）解：
四．矩形的判定与性质（共1小题）
23．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的动点，P是线段EF的中点，PG⊥BC，PH⊥CD，G，H为垂足，连接GH．若AB＝8，AD＝6，EF＝6，则GH的最小值是 7 ．
【解答】解：连接AC、AP、CP，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝6，∠BAD＝∠B＝∠C＝90°，
∴AC＝＝＝10，
∵P是线段EF的中点，
∴AP＝EF＝3，
∵PG⊥BC，PH⊥CD，
∴∠PGC＝∠PHC＝90°，
∴四边形PGCH是矩形，
∴GH＝CP，
当A、P、C三点共线时，CP最小＝AC﹣AP＝10﹣3＝7，
∴GH的最小值是7，
故答案为：7．
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矩形章节小测
一．矩形的性质（共4小题）
1．下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是（ ）
A．对角线相等 B．对角线垂直 C．邻边垂直 D．邻角互补
2．在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，两对角线交于点O，则BO＝（ ）
A．3 B．4 C．5 D．10
3．如图，在矩形ABCD中，点E是BC的中点，连接AE，点F是AE的中点，连接DF，若AB＝9，AD＝，则四边形CDFE的面积是（ ）
A． B． C． D．54
4．如图在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AO，AD的中点，若AB＝12cm，BC＝16cm，则EF＝ cm．
二．矩形的判定（共6小题）
5．如图，要使 ABCD为矩形，则可以添加的条件是（ ）
AC⊥BD B．AC＝BD C．∠AOB＝60° D．AB＝BC
6．下列命题是真命题的是（ ）
A．有一个角是直角的四边形是矩形 B．一组对边平行且相等的四边形是矩形
C．对角线互相平分且相等的四边形是矩形 D．对角线互相垂直平分的四边形是矩形
7．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．下列条件不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（ ）
A．∠ABC＝90° B．AC＝BD C．AD＝AB D．∠BAD＝∠ADC
8．如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，对于下列条件：①∠1+∠3＝90°；②BC2+CD2＝AC2；③∠1＝∠2；④AC⊥BD．能判定四边形ABCD是矩形的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，在平行四边形ABCD中，AC＝BC，M、N分别是AB和CD的中点．
求证：四边形AMCN是矩形．
10．如图，点E是平行四边形ABCD对角线AC上一点，点F在BE延长线上，且EF＝BE，EF与CD交于点G．
（I）求证：DF∥AC；
（2）连接DE、CF，若2AB＝BF，G恰好是CD的中点，求证：四边形CFDE是矩形．
三．矩形的判定与性质（共14小题）
11．下列四个命题中，正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形 B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．两组对边分别相等的四边形是矩形 D．四个角都相等的四边形是矩形
12．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BD，AB＝5，BD＝4，CD＝3，点E是AC的中点，则BE的长为（ ）
A．2 B． C． D．3
13．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12，BC＝5，D为边AC上一动点，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，则EF的最小值为（ ）
A．4.8 B． C． D．13
14．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则AM的最小值是（ ）
A．2.4 B．2 C．1.5 D．1.2
15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，M为斜边AB上一动点，过M作MD⊥AC于点D，过M作ME⊥CB于点E，则线段DE的最小值为（ ）
A． B．5 C． D．2.5
16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5．P为斜边AB上一动点，过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值为（ ）
B． C． D．
17．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，设AC＝12，BD＝16，则OE的长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
18．如图，在等腰直角△ABC中，AB＝BC，点D是△ABC内部一点，DE⊥BC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，若CE＝3DE，5DF＝3AF，DE＝2.5，则AF＝（ ）
A．8 B．10 C．12.5 D．15
19．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，设AC＝12，BD＝16，则OE的长为 ．
20．如图，在 ABCD中，点M是AD边的中点，连接BM，CM，且BM＝CM．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若△BCM是直角三角形，直接写出AD与AB之间的数量关系．
21．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，分别过点C、点D作BD、AC的平行线交于点E，连接EO交CD于点F．
（1）求证：四边形DECO是矩形；
（2）若AD＝3，求OE的长．
22．如图，菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O，分别过点C、D作CE∥BD，DE∥AC，CE和DE交于点E．
（1）求证：四边形ODEC是矩形；
（2）当∠ADB＝60°，AD＝2时，求EA的长．
四．矩形的判定与性质（共1小题）
23．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的动点，P是线段EF的中点，PG⊥BC，PH⊥CD，G，H为垂足，连接GH．若AB＝8，AD＝6，EF＝6，则GH的最小值是 ．
参考答案与试题解析
一．矩形的性质（共4小题）
1．下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是（ ）
A．对角线相等 B．对角线垂直 C．邻边垂直 D．邻角互补
【解答】解：∵菱形的对角线互相垂直，但矩形的对角线不一定垂直，
∴菱形具有而矩形不一定具有的是对角线垂直，
故选：B．
2．在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，两对角线交于点O，则BO＝（ ）
A．3 B．4 C．5 D．10
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，AD＝BC＝8，OB＝OD，
∴BD＝＝＝10，
∴BO＝BD＝5；
故选：C．
3．如图，在矩形ABCD中，点E是BC的中点，连接AE，点F是AE的中点，连接DF，若AB＝9，AD＝，则四边形CDFE的面积是（ ）
A． B． C． D．54
【解答】解：过点F作直线MN，使MN⊥AD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠AMF＝∠ENP＝90°，AD＝BC＝6，
∵点F是AE的中点，
∴AF＝EF，
∵∠AFM＝∠EFN，
∴△AFM≌△EFN（AAS），
∴MF＝FN＝AB＝4.5，
∵点E是BC的中点，
∴BE＝BC＝3，
∴四边形CDFE的面积＝S矩形ABCD﹣S△ABE﹣S△AFD＝9×6﹣×9×3﹣×4.5×6＝27，
故选：C．
4．如图在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AO，AD的中点，若AB＝12cm，BC＝16cm，则EF＝ 5 cm．
【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝＝＝20（cm），
∴矩形ABCD中，BD＝20cm，DO＝10cm，
∵点E、F分别是AO、AD的中点，
∴EF是△AOD的中位线，
∴EF＝OD＝＝5（cm），
故答案为：5．
二．矩形的判定（共6小题）
5．如图，要使 ABCD为矩形，则可以添加的条件是（ ）
A．AC⊥BD B．AC＝BD C．∠AOB＝60° D．AB＝BC
【解答】解：因为有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形，
故选：B．
6．下列命题是真命题的是（ ）
A．有一个角是直角的四边形是矩形
B．一组对边平行且相等的四边形是矩形
C．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
D．对角线互相垂直平分的四边形是矩形
【解答】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
C、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，正确，是真命题，符合题意；
D、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意，
故选：C．
7．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．下列条件不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（ ）
A．∠ABC＝90° B．AC＝BD C．AD＝AB D．∠BAD＝∠ADC
【解答】解：A．根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；
B．根据对角线相等的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；
C．根据邻边相等的平行四边形是菱形能判定平行四边形ABCD为菱形，不能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项符合题意；
D．∵平行四边形ABCD中，AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC＝180°，
又∵∠BAD＝∠ADC，
∴∠BAD＝∠ADC＝90°，
根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意．
故选：C．
8．如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，对于下列条件：①∠1+∠3＝90°；②BC2+CD2＝AC2；③∠1＝∠2；④AC⊥BD．能判定四边形ABCD是矩形的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①∵∠1+∠3＝90°，
∴∠ABC＝90°，
∴ ABCD是矩形，故①正确；
②∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
∵BC2+CD2＝AC2，
∴BC2+AB2＝AC2，
∴∠ABC＝90°，
∴ ABCD是矩形，故②正确；
③∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，
∵∠1＝∠2，
∴OA＝OB，
∴AC＝BD，
∴ ABCD是矩形，故③正确；
④∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴ ABCD是菱形，故④错误；
能判定四边形ABCD是矩形的个数有3个，
故选：C．
9．如图，在平行四边形ABCD中，AC＝BC，M、N分别是AB和CD的中点．
求证：四边形AMCN是矩形．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴AM∥CN，
∵M、N分别是AB和CD的中点，
∴AM＝AB，CN＝CD，
∴AM＝CN，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∵AC＝BC，
∴△ACB是等腰三角形，
∵M是AB的中点，
∴CM是△ACB的边AB上的高，
∴∠AMC＝90°，
∴平行四边形AMCN是矩形．
10．如图，点E是平行四边形ABCD对角线AC上一点，点F在BE延长线上，且EF＝BE，EF与CD交于点G．
（I）求证：DF∥AC；
（2）连接DE、CF，若2AB＝BF，G恰好是CD的中点，求证：四边形CFDE是矩形．
【解答】（1）证明：连接BD，交AC于点O，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝DO，
∵BE＝EF，
∴OE是△BDF的中位线，
∴OE∥DF，
即DF∥AC；
（2）证明：如图所示：
由（1）得：DF∥AC，
∴∠DFG＝∠CEG，∠GDF＝∠GCE，
∵G是CD的中点，
∴DG＝CG，
在△DFG和△CEG中，
，
∴△DFG≌△CEG（AAS），
∴FG＝EG，
∴四边形CFDE是平行四边形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
∵2AB＝BF，
∴2CD＝BF，
又∵EF＝BE，
∴CD＝EF，
∴平行四边形CFDE是矩形．
三．矩形的判定与性质（共14小题）
11．下列四个命题中，正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．两组对边分别相等的四边形是矩形
D．四个角都相等的四边形是矩形
【解答】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，不符合题意；
B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故原命题错误，不符合题意；
C、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故原命题错误，不符合题意；
D、四个角都相等的四边形是矩形，正确，符合题意，
故选：D．
12．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BD，AB＝5，BD＝4，CD＝3，点E是AC的中点，则BE的长为（ ）
A．2 B． C． D．3
【解答】解：过点C作CF⊥AB的延长线于点F，如图所示：
∵AB∥CD，AB⊥BD，
∴CD⊥BD，
∵CF⊥AB，
∴CF⊥CD，
∴BD∥CF，
∴四边形BFCD是矩形，
∴BF＝CD＝3，CF＝BD＝4，
在Rt△BCF中，BC＝，
在Rt△AFC中，AC＝＝，
∴BC＝AB＝5，
∴△ABC是等腰三角形，
∵点E是AC的中点，
∴BE⊥AC，
∵，
∴×5×4＝×BE，
解得：BE＝．
故选：C．
13．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12，BC＝5，D为边AC上一动点，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，则EF的最小值为（ ）
A．4.8 B． C． D．13
【解答】解：如图，连接BD，
∵∠B＝90°，AB＝12，BC＝5，
∴AC＝＝＝13，
∵DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，
∴四边形DEBF是矩形，
∴EF＝BD，
由垂线段最短可得BD⊥AC时，线段BD最短，则EF最小，
此时，S△ABC＝BC AB＝AC BD，
即×12×5＝×13 BD，
解得：BD＝，
∴EF的最小值为．
故选：B．
14．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则AM的最小值是（ ）
A．2.4 B．2 C．1.5 D．1.2
【解答】解：由题意知，四边形AFPE是矩形，
∵点M是矩形对角线EF的中点，则延长AM应过点P，
∴当AP为直角三角形ABC的斜边上的高时，即AP⊥BC时，AM有最小值，
此时AM＝AP，由勾股定理知BC＝＝5，
∵S△ABC＝AB AC＝BC AP，
∴AP＝，
∴AM＝AP＝＝1.2，
故选：D．
15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，M为斜边AB上一动点，过M作MD⊥AC于点D，过M作ME⊥CB于点E，则线段DE的最小值为（ ）
A． B．5 C． D．2.5
【解答】解：连接CM，如图所示：
∵MD⊥AC，ME⊥CB，
∴∠MDC＝∠MEC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴四边形CDME是矩形，
∴DE＝CM，
∵∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，
∴AB＝＝5，
当CM⊥AB时，CM最短，此时△ABC的面积＝AB CM＝BC AC，
∴CM的最小值＝＝，
∴线段DE的最小值为；
故选：A．
16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5．P为斜边AB上一动点，过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：连接PC，如图：
∵PE⊥AC，PF⊥BC，
∴∠PEC＝∠PFC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴四边形ECFP是矩形，
∴EF＝PC，
当PC最小时，EF也最小，
∵∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，
∴AB＝＝＝13，
当CP⊥AB时，PC最小，
此时，CP＝＝＝，
∴线段EF长的最小值为，
故选：C．
17．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，设AC＝12，BD＝16，则OE的长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
【解答】解：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED为平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝6，OB＝OD＝BD＝8，
∴∠DOC＝90°，CD＝＝＝10，
∴平行四边形OCED为矩形，
∴OE＝CD＝10，
故选：C．
18．如图，在等腰直角△ABC中，AB＝BC，点D是△ABC内部一点，DE⊥BC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，若CE＝3DE，5DF＝3AF，DE＝2.5，则AF＝（ ）
A．8 B．10 C．12.5 D．15
【解答】解：∵DE⊥BC，DF⊥AB，
∴∠DEB＝∠DFB＝90°，
∵△ABC为等腰直角三角形，AB＝BC，
∴∠ABC＝90°，
∴四边形DEBF为矩形，
∴BF＝DE＝2.5，DF＝EB，
设DF＝3x，则EB＝3x，
∵5DF＝3AF，
∴AF＝5x，AB＝5x+2.5，
∵DE＝2.5，
∴CE＝3DE＝7.5，
∴CB＝7.5+3x，
∵AB＝CB，
∴5x+2.5＝7.5+3x，
解得x＝2.5，
∴AF＝5x＝12.5，
故选：C．
19．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，设AC＝12，BD＝16，则OE的长为 10 ．
【解答】解：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED为平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝6，OB＝OD＝BD＝8，
∴∠DOC＝90°，CD＝＝＝10，
∴平行四边形OCED为矩形，
∴OE＝CD＝10，
故答案为：10．
20．如图，在 ABCD中，点M是AD边的中点，连接BM，CM，且BM＝CM．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若△BCM是直角三角形，直接写出AD与AB之间的数量关系．
【解答】（1）证明：∵点M是AD边的中点，
∴AM＝DM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，AB∥CD，
在△ABM和△DCM中，
，
∴△ABM≌△DCM（SSS），
∴∠A＝∠D，
∵AB∥CD，
∴∠A+∠D＝180°，
∴∠A＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：AD与AB之间的数量关系：AD＝2AB，理由如下：
∵△BCM是直角三角形，BM＝CM，
∴△BCM是等腰直角三角形，
∴∠MBC＝45°，
由（1）得：四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A＝90°，
∴∠AMB＝∠MBC＝45°，
∴△ABM是等腰直角三角形，
∴AB＝AM，
∵点M是AD边的中点，
∴AD＝2AM
∴AD＝2AB．
21．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，分别过点C、点D作BD、AC的平行线交于点E，连接EO交CD于点F．
（1）求证：四边形DECO是矩形；
（2）若AD＝3，求OE的长．
【解答】（1）证明：∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形DECO是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠DOC＝90°，
∴平行四边形DECO是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝AD＝3，
由（1）得：四边形DECO是矩形，
∴OE＝CD＝3．
22．如图，菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O，分别过点C、D作CE∥BD，DE∥AC，CE和DE交于点E．
（1）求证：四边形ODEC是矩形；
（2）当∠ADB＝60°，AD＝2时，求EA的长．
【解答】（1）证明：∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形ODEC是平行四边形．
又∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD，∴∠DOC＝90°．
∴四边形ODEC是矩形．
（2）解：
四．矩形的判定与性质（共1小题）
23．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的动点，P是线段EF的中点，PG⊥BC，PH⊥CD，G，H为垂足，连接GH．若AB＝8，AD＝6，EF＝6，则GH的最小值是 7 ．
【解答】解：连接AC、AP、CP，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝6，∠BAD＝∠B＝∠C＝90°，
∴AC＝＝＝10，
∵P是线段EF的中点，
∴AP＝EF＝3，
∵PG⊥BC，PH⊥CD，
∴∠PGC＝∠PHC＝90°，
∴四边形PGCH是矩形，
∴GH＝CP，
当A、P、C三点共线时，CP最小＝AC﹣AP＝10﹣3＝7，
∴GH的最小值是7，
故答案为：7．
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