(共22张PPT)
1.5.2平方差公式
北师大版 七年级下册
复习回顾
1.问：平方差公式是怎样的？
(a+b)(a b)=a2 b2
2.利用平方差公式计算：
（1）(2x+7b)(2x–7b)；
（2）(－m+3n)(m+3n).
4x2－49b2
9n2－m2
导入新课
某同学在计算97×103时将其变成(100-3)(100+3)
并很快得出结果，你知道他运用了什么知识吗？这节课我们一起来探讨上述计算的规律.
新知讲解
如图，边长为 a 的大正方形中有一个边长为 b 的小正方形.
（1）请表示图中阴影部分的面积.
b
a2 – b2
a
新知讲解
（2）小颖将阴影部分拼成了一个长方形，这个长方形的长和宽分别是多少？你能表示出它的面积吗
（a + b）（a – b）
a
b
新知讲解
（3）比较（1）（2） 的结果， 你能验证平方差公式吗 ？
a
b
a
b
阴影部分的面积相等：a2 – b2 =（a + b）（a – b）
想一想
（1）计算下列各组算式， 并观察它们的共同特点：
7×9 =
8×8 =
11×13 =
12×12 =
79×81 =
80×80 =
63
64
143
144
6399
6400
你发现了什么？
（一个自然数的平方比它相邻两数的积大1.）
想一想
（2）从以上的过程中，你发现了什么规律？请用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？
(a+1)(a 1)=a2 1
典例精析
例1 计算:
(1) 103×97; (2) 118×122.
解: 103×97
=(100+3)(100－3)
= 1002－32
=10000 – 9
=9991；
解: 118×122
=(120－2)(120＋2)
= 1202－22
=14400－4
=14396.
注意：不能直接应用公式的，要经过变形才可以应用
总结
本题运用了转化思想求解．运用平方差公式计算两数乘积问题，关键是找到这两个数的平均数，再将原两个数与这个平均数进行比较变形成两数的和与这两数的差的积的形式，再用平方差公式可求解．
练一练
解: (1) 102×98
= 1002-22
=10000 – 4
=（100＋2）(100－2)
=9996；
计算:
(1) 102×98;
(2) 51×49;
(2) 原式=（50＋1）(50－1)
= 502-12
=2500 – 1
=2499；
典例精析
例 2 计算：
（1）a2(a + b) (a – b) + a2b2；
（2）(2x – 5) (2x + 5) – 2x(2x – 3).
解：(1) a2(a+b)(a-b) +a2b2；
=a2(a2-b2) +a2b2
=a4-a2b2 +a2b2
=a4 ；
(2) (2x-5)(2x+5)-2x (2x-3).
= (2x)2-25-(4x2 -6x)
= 4x2-25-4x2 +6x
= 6x-25
不符合平方差公式运算条件的乘法，按乘法法则进行运算.
变式练习
对于任意的正整数n，整式(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)的值一定是10的整数倍吗？
即(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)的值是10的倍数．
解：原式＝9n2-1-(9-n2)
＝10n2-10.
因为(10n2-10)÷10=n2-1.
n为正整数，
所以n2-1为整数
方法点拨
在探究整除性或倍数问题时，一般先将代数式化为最简，然后根据结果的特征，判断其是否具有整除性或倍数关系．
课堂练习
1.如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（ ）
A．x2﹣2x+1＝（x-1）2 B．x2-1＝（x+1）（x-1）
C．x2+2x+1＝（x+1）2 D．x2-x＝x（x-1）
B
课堂练习
2.计算20162－2015×2017的结果是( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
3.97×103=( )×( )=( ).
4.(x+6)(x－6)－x(x－9)=0的解是______.
A
100－3
1002－32
x=4
100+3
课堂练习
5. 计算：
(1)（a – 2)(a + 2)(a2 + 4)
=（a2 – 4）（a2 + 4）
= a4 – 16
(2)（x + y + 1）（x – y – 1）
= [ x +（y + 1）][ x –（y + 1）]
= x2 – （y + 1）2
= x2 – y2 – 2y – 1
(3)(a + b + c) (a + b – c)
= (a + b)2 – c2
= a2 + 2ab + b2 – c2
(4)20152 – 2014×2016
= 20152 – (2015 – 1)×(2015 + 1)
= 20152 – (20152 – 12)
= 1
课堂练习
6．已知a－b＝5，ab＝4.
(1)求3a2＋3b2的值；
解：3a2＋3b2＝3(a2＋b2)＝3[(a－b)2＋2ab]
＝3×(52＋2×4)＝3×33＝99.
(2)求(a＋b)2的值．
由(1)可知a2＋b2＝33，所以(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝33＋2×4＝41.
作业布置
1.课本第22页习题1.10第1、2题
课堂小结
在整式的乘法中只有符合公式要求的乘法才能用公式计算，其余的运算仍按乘法法则进行.
｛
1、会推导（面积）
2、会验证（符号）
3、能计算（灵活）
平方差公式
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1.5.2平方差公式教学设计
课题 平方差公式 单元 1 学科 数学 年级 七
学习 目标 1.通过实例，了解平方差公式的几何背景，会运用平方差公式进行一些简便运算； 2.通过观察图形的拼接，验证平方差公式，了解平方差公式的几何背景，发展几何直观，从中体会数形结合的数学思想.
重点 熟练运用平方差公式.
难点 正确运用平方差公式，体会其对解决问题的作用.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 1.问：平方差公式是怎样的？ 2.利用平方差公式计算： （1）(2x+7b)(2x–7b)； （2）(－m+3n)(m+3n). 3.某同学在计算97×103时将其变成(100-3)(100+3) 并很快得出结果，你知道他运用了什么知识吗？这节课我们一起来探讨上述计算的规律. 1. 引导学生自主完成习题 2. 引导学生用准确的语言表述求解的过程 通过回顾旧知导入本节学习内容，为进一步应用平方差公式建立知识储备，引导学生利用已学知识解决问题
讲授新课 探究一：如图所示 从边长为a的大正方形中剪去边长为b的小正方形 则剩余图形的面积为_________________ 将阴影部分拼成了一个长方形，这个长方形的长是_______；宽是________；则它的面积是________________ 比较（1）和（2）的结果，你能验证平方差公式吗？ ____________________________________________________________________________ 想一想 （1）计算下列各组算式， 并观察它们的共同特点： 7×9 = 11×13 = 79×81 = 8×8 = 12×12 = 80×80 = 你发现了什么？ （2）从以上的过程中，你发现了什么规律？请用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？ 典例精析 例1 计算: (1) 103×97; (2) 118×122. 例 2 计算： （1）a2(a + b) (a – b) + a2b2； （2）(2x – 5) (2x + 5) – 2x(2x – 3). 1. 认真观察教师所展示的图片拼接过程 2. 独立思考并完成问题 3. 同桌间交流，积极举手发言。 学生经过独立思考、交流、讨论后举手回答 1. 自主完成题目，有疑问时与同学讨论或举手示意 2. 部分学生板演 3. 主动分享解题方法 通过演示图片拼接的过程，令学生直观的感受到拼接过程中面积保持不变，发展几何直观，将数形结合思想渗透其中。 以问题为驱动，循序渐进，层层深入，有引导性的让学生发现这一规律。 学生经过思考、讨论、交流，进一步熟悉平方差公式的本质特征，掌握运用平方差公式必须具备的条件．巩固平方差公式 通过设置题目不同的难度梯度，满足各层次学生的需求，使得各层次的学生都能够得到提高。
课堂练习 1.如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（ ） A．x2﹣2x+1＝（x-1）2 B．x2-1＝（x+1）（x-1） C．x2+2x+1＝（x+1）2 D．x2-x＝x（x-1） 2.计算20162－2015×2017的结果是( ) A．1 B．－1 C．2 D．－2 3.97×103=( )×( )=( ). 4.(x+6)(x－6)－x(x－9)=0的解是______. 5. 计算： (1)（a – 2)(a + 2)(a2 + 4) (2)（x + y + 1）（x – y – 1） (3)(a + b + c) (a + b – c) (4)20152 – 2014×2016 6．已知a－b＝5，ab＝4. (1)求3a2＋3b2的值； (2)求(a＋b)2的值． 学生自主动手解决，老师进行订正。 及时练习巩固，体现学以致用的观念，消除学生学无所用的思想顾虑。
课堂小结 谈一谈这节课，你有哪些收获？ 教师与学生一起进行交流，共同回顾本节知识 让学生与同伴交流获得结果，帮助他分析，找出问题原因，及时查漏补缺.
板书 §1.5.2 平方差公式（二） 平方差公式： 几何背景（等面积法） （数形结合） 简便运算（转化与化归） 例：103×97
解：原式＝（100+3）（100-3）
＝1002－32 ＝10000-9
＝9991
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