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平面向量的概念教学设计
课题 平面向量的概念 单元 第六单元 学科 数学 年级 高一
教材分析 《平面向量的概念》是2019人教A版高中数学必修第二册第六章的内容。本节课的主要内容是平面向量的概念。 向量是近代数学中重要和基本的概念之一，向量理论具有丰富的物理背景、深刻的数学内涵。向量既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通几何与代数的桥梁，是进一步学习和研究其他数学邻域问题的基础，在解决实际问题中发挥着重要作用。 本章我们将通过实际背景引入向量的概念，类比数的运算，学习向量的运算及性质，建立向量的运算体系。在此基础上，用向量的语言、方法表述和解决现实生活、数学和物理中的一些问题。
教学 目标与 核心素养 1数学抽象：平面向量的概念、相等向量、共线向量的概念 2逻辑推理：平行向量、相等向量、共线向量 3数学运算： 会用有向线段表示向量 4数学建模： 利用向量知识解决实际问题，培养数学建模能力 5直观想象：平面向量的几何表示
重点 理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念及向量的几何表示
难点 平行向量、相等向量和共线向量的概念，区别和联系
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 本章知识结构 力、位移、速度等物理量是既有大小、又有方向的量。本节我们将通过对这些量的抽象，形成向量概念及其表示法；通过研究向量之间的一些特殊关系，初步认识向量的一些特征。 情境导入 形如位置的问题，只用数量是无法满足需要的，明确学习新知识的必要性
讲授新课 6.1.1 向量的实际背景与概念 观察下列各 “量”的共同特点 ★ 位移：小船位移的大小是A，B两地之间的距离15 n mile，位移的方向是东南方向； 大小：15 n mile 方向：东南方向 ★ 速度：小船航行速度的大小是10 n mile/h，速度的方向是东南方向. 大小：10 n mile 方向：东南方向 ★ 重力：物体受到的重力是竖直向下的（图6.1-1），物体的质量越大，它受到的重力越大； 大小： G=mg 方向：竖直向下 ★ 浮力：物体在液体中受到的浮力是竖直向上的（图6.1-2），物体浸在液体中的体积越大，它受到的浮力越大. 大小： F=kV 方向：竖直向上 力、位移、速度等有各自的特性，而“既有大小，又有方向”是它们的共同属性. ·我们知道，从一支笔、一棵树、一本书……中，可以抽象出只有大小的数量“1”. ·类似地，我们可以对力、位移、速度……这些量进行抽象，形成一种新的量——向量. ◆ 向量的定义：在数学中，我们把既有大小又有方向的量叫做向量 · 把只有大小没有方向的量称为数量，如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等都是数量. · 物理学中常称向量为矢量，数量为标量。 6.1.2 向量的几何表示 ·数量：可以用实数表示，而实数与数轴上的点一一对应，所以数量可用数轴上的点表示，而且不同的点表示不同的数量. 例如，0，2，4…… 几何表示： · 向量：也可以用几何表示 仍以小船位移为例，小船以A为起点，B为终点，用连接A，B两点的线段长度代表小船行进的距离，并在终点B处加上箭头表示小船行驶的方向.于是，这条“带有方向的线段”就可以用来表示位移. ◆ 可以用带箭头的线段来表示向量 线段按一定比例（标度）画出，它的长短表示向量的大小，箭头的指向表示向量的方向.这个线段叫有向线段。 ·有向线段：通常，在线段AB的两个端点中，规定一个顺序，假设A为起点，B为终点，我们就说线段AB具有方向，具有方向的线段叫做有向线段（图6.1-3）. 通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以A为起点、B为终点的有向线段记作 ·线段AB的长度也叫做有向线段的长度，记作 . ·有向线段包含三个要素：起点、方向、长度. 知道了有向线段的起点、方向和长度，它的终点就唯一确定了. ·向量的几何表示 向量可以用有向线段 来表示，我们把这个向量记作向量. 有向线段的长度表示向量的大小 有向线段的方向表示向量的方向. 向量的大小称为向量的长度（或称模），记作. 用有向线段表示向量，使向量有了直观形象. ·特殊向量 √零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作0. √单位向量：长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量. ·向量的字母表示 向量也可以用字母 a, b, c 表示. (印刷用黑体 a) ，书写用 表示. 例1 在图6.1-4中，分别用向量表示A地至B，C两地的位移，并根据图中的比例尺，求出A地至B，C两地的实际距离（精确到1 km）. 解： 表示A地至B地的位移，且 表示A地至C地的位移，且 6.1.3 相等向量与共线向量 向量间的关系 下面，我们通过向量之间的关系进一步认识向量. ◆平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量. 如图6.1-5，用有向线段表示的向量 a与b是两个平行向量. 向量 a与b平行，记作 a//b . 规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量 a，都有 0// a . ◆相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 如图6.1-6，用有向线段表示的向量 a与b相等，记作 a=b. 任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关； 同时，两条方向相同且长度相等的有向线段表示同一个向量，因为向量完全由它的模和方向确定. ★如图6.1-7， a, b，c是一组平行向量，任作一条与a所在直线平行的直线l，在l上任取一点O，则可在l上分别作出 . 这就是说，任一组平行向量都可以平移到同一条直线上，因此，平行向量也叫做共线向量. ◆共线向量：平行向量也叫做共线向量 例2 如图6.1-8，设O是正六边形ABCDEF的中心. （1）写出图中的共线向量； （2）分别写出图中与相等的向量. 解： （1） 是共线向量； 是共线向量； 是共线向量. （2） ； ； . 课堂练习： 1判断正误 （1）两个向量能比较大小 （ ） （2）相等向量一定是共线向量 （ ） （3）共线向量一定是相等向量 （ ） （4）向量的模是一个正实数 （ ） 答案：（1）╳（2）√（3）╳（4）╳ 解析： （1）错误， 两个向量不能比较大小 （2）正确，相等向量方向相同，所以是共线向量 （3）错误，共线向量方向可能相反，长度也可能不相等，所以不一定相等 （4）错误，向量的模可能为0 向量有关概念的理解 （1）向量由大小和方向确定，与起点无关. （2）零向量是一种特殊的向量，零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等 . （3）单位向量是长度为1的向量，是一类向量的统称，单位向量不一定相等，容易忽略向量的方向. （4）当共线向量的方向相同且模相等时，两向量为相等向量. 2 有向量物理量：①质量 ②温度 ③角度 ④弹力 ⑤风速 其中可以看成是向量的有 A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 答案：B 解析：①②③不是向量 ④⑤是向量 3 在如图的方格纸（每个小方格的边长为1）上，已知向量 （1）试以B为起点画一个向量，使； （2）画一个以C为起点的向量，使，并说出C的终点的轨迹是什么. 解析：（1）根据相等向量的定义，所作向量应与同向，且长度相等，如图所示. （2）由平面几何知识可作满足条件的向量，所有这样的向量的终点的轨迹是以点C为圆心，2为半径的圆，如下图所示. 4 如图，在长方体中，AB=3，AD=2，AA1=1，以长方体的八个顶点中两点为起点和终点的向量中. （1）单位向量共有___ 个； （2）模为的向量有___； （3）与相等的向量有___； （4）与相反的向量有___. 答案： （1）单位向量共有_8_个，即 （2）由图知，在长方体中，AD=2，AA1=1，所以左右两个侧面的对角线长度均为， 即A1D=AD1=B1C=BC1= 所以模为的向量有 （3）与相等的向量有 （4）与相反的向量有 生成问题 类比数量的学习过程，明确研究向量的基本分向 特殊向量 学生思考、师生共同完成例题 学生思考、师生共同完成例题 学生独立思考、 并完成练习 让学生体验向量表示方法的探究过程 明确向量的几何表示，锻炼学生的数学语言表达能力，提升自信 向量的字母表示 例题巩固 向量间的关系 例题巩固 练习巩固
课堂小结 向量的定义既有大小又有方向的量叫做向量，记作：向量的模向量的大小（向量的长度）记作：零向量长度为0的向量. 记作：.平行向量 （共线向量）方向相同或相反的非零向量记作 单位向量长度等于1个单位长度的向量相等向量长度相等且方向相同的向量有向线段具有方向的线段
板书 1 向量的实际背景与概念 2 向量的表示 （向量的几何表示、向量的字母表示） ·有向线段 ·特殊向量（零向量、单位向量） 3 向量间的关系 相等向量、共线向量、平行向量
教学反思
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6.1平面向量的概念
人教A版（2019）
必修第二册
新知导入
本章知识结构
新知导入
新知讲解
6.1.1 向量的实际背景与概念
观察下列各 “量”的共同特点
★ 位移：小船位移的大小是A，B两地之间的距离15 n mile，位移的方向是东南方向；
★ 速度：小船航行速度的大小是10 n mile/h，速度的方向是东南方向.
★ 重力：物体受到的重力是竖直向下的（图6.1-1），物体的质量越大，它受到的重力越大；
★ 浮力：物体在液体中受到的浮力是竖直向上的（图6.1-2），物体浸在液体中的体积越大，它受到的浮力越大.
大小：15 n mile 方向：东南方向
大小：10 n mile 方向：东南方向
大小： G=mg 方向：竖直向下
大小： F=kV方向：竖直向上
新知讲解
·我们知道，从一支笔、一棵树、一本书……中，可以抽象出只有大小的数量“1”.
·类似地，我们可以对力、位移、速度……这些量进行抽象，形成一种新的量——向量.
◆ 向量的定义：在数学中，我们把既有大小又有方向的量叫做向量
· 把只有大小没有方向的量称为数量，如年龄、身高、长度、面积、质量等都是数量.
· 物理学中常称向量为矢量，数量为标量。
6.1.1 向量的实际背景与概念
新知讲解
6.1.2 向量的几何表示
· 数量：可以用实数表示，而实数与数轴上的点一一对应，
所以数量可用数轴上的点表示，而且不同的点表示不同的数量.
例如，0，2，4……
几何表示：
· 向量：也可以用几何表示
以小船位移为例，小船以A为起点，B为终点，用连接A，B两点的线段长度代表小船行进的距离，并在终点B处加上箭头表示小船行驶的方向.于是，这条“带有方向的线段”就可以用来表示位移.
◆ 可以用带箭头的线段来表示向量
线段按一定比例（标度）画出，它的长短表示向量的大小，箭头的指向表示向量的方向.
这个线段叫有向线段。
· 有向线段：通常，在线段AB的两个端点中，规定一个顺序，假设A为起点，B为终点，我们就说线段AB具有方向，具有方向的线段叫做有向线段（图6.1-3）.
新知讲解
· 通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以A为起点、B为终点的有向线段记作
· 线段AB的长度也叫做有向线段的长度，记作
· 有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.
· 知道了有向线段的起点、方向和长度，它的终点就唯一确定了.
6.1.2 向量的几何表示
6.1.2 向量的几何表示
新知讲解
· 向量的几何表示
· 向量的字母表示
向量也可以用字母 a, b, c 表示. (印刷用黑体 a) ，书写用 表示.
· 特殊向量
√ 零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作 .
√ 单位向量：长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量.
向量可以用有向线段 来表示，我们把这个向量记作向量.
有向线段的长度表示向量的大小
有向线段的方向表示向量的方向.
向量的大小称为向量的长度（或称模），记作.
合作探究
例1 在图6.1-4中，分别用向量表示A地至B，C两地的位移，并根据图中的比例尺，求出A地至B，C两地的实际距离（精确到1 km）.
解：
表示A地至B地的位移，且
表示A地至C地的位移，且
6.1.3 相等向量与共线向量
新知讲解
向量间的关系
◆平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.
如图6.1-5，用有向线段表示的向量 与 是两个平行向量.
向量 与 平行，记作 // .
规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量 ，都有 // .
◆相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
如图6.1-6，用有向线段表示的向量 与 相等，记作 = .
任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关；
同时，两条方向相同且长度相等的有向线段表示同一个向量，因为向量完全由它的模和方向确定.
6.1.3 相等向量与共线向量
新知讲解
★ 如图6.1-7， , ， 是一组平行向量，任作一条与所在直线平行的直线 l，在l上任取一点O，则可在l上分别作出
.
这就是说，任一组平行向量都可以平移到同一条直线上，因此，平行向量也叫做共线向量.
◆ 共线向量：平行向量也叫做共线向量
合作探究
例2 如图6.1-8，设O是正六边形ABCDEF的中心.
（1）写出图中的共线向量；
（2）分别写出图中与相等的向量.
解：
（1）
是共线向量；
是共线向量；
是共线向量.
（2）
；
；
.
课堂练习
1判断正误
（1）两个向量能比较大小 （ ）
（2）相等向量一定是共线向量 （ ）
（3）共线向量一定是相等向量 （ ）
（4）向量的模是一个正实数 （ ）
解：
（1）错误， 两个向量不能比较大小
（2）正确，相等向量方向相同，所以是共线向量
（3）错误，共线向量方向可能相反，长度也可能不相等，所以不一定相等
（4）错误，向量的模可能为 0
╳
√
╳
╳
课堂练习
向量有关概念的理解
（1）向量由大小和方向确定，与起点无关.
（2）零向量是一种特殊的向量，零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等 .
（3）单位向量是长度为1的向量，是一类向量的统称，
单位向量不一定相等，容易忽略向量的方向.
（4）当共线向量的方向相同且模相等时，两向量为相等向量.
课堂练习
2 有向量物理量：①质量 ②温度 ③角度 ④弹力 ⑤风速
其中可以看成是向量的有
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
答案：B
解析：①②③不是向量 ④⑤是向量
课堂练习
3 在如图的方格纸（每个小方格的边长为1）上，已知向量
（1）试以B为起点画一个向量，使；
（2）画一个以C为起点的向量，使，
并说出C的终点的轨迹是什么.
解：
（1）根据相等向量的定义，所作向量应与同向，且长度相等，如图所示.
（2）由平面几何知识可作满足条件的向量，所有这样的向量的终点的轨迹是以点C为圆心，2为半径的圆，如图所示.
课堂练习
4 如图，在长方体中，AB=3，AD=2，AA1=1，以长方体的八个顶点中两点为起点和终点的向量中.
（1）单位向量共有___ 个； （2）模为的向量有___；
（3）与相等的向量有___；（4）与相反的向量有___.
解：
（1）单位向量共有_8_个，即
（2）由图知，在长方体中，AD=2，AA1=1，所以左右两个侧面的对角线长度均为，
即
所以模为的向量有
（3）与相等的向量有
（4）与相反的向量有
课堂总结
向量的定义 既有大小又有方向的量叫做向量，记作：
向量的模 向量的大小（向量的长度）记作：
零向量 长度为0的向量. 记作：.
平行向量 （共线向量） 方向相同或相反的非零向量记作
单位向量 长度等于1个单位长度的向量
相等向量 长度相等且方向相同的向量
有向线段 具有方向的线段
板书设计
1 向量的实际背景与概念
2 向量的表示
（向量的几何表示、向量的字母表示）
·有向线段
·特殊向量（零向量、单位向量）
3 向量间的关系
相等向量、共线向量、平行向量
作业布置
课本5页习题6.1
1，2， 3、4
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