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1.6.1完全平方公式教学设计
课题 完全平方公式 单元 1 学科 数学 年级 七
学习 目标 1、知道完全平方公式与多项式乘法的关系，理解完全平方公式的意义。 2、经历完全平方公式的探求过程，熟悉完全平方公式的特征，会运用完全平方公式解决一些简单问题。
重点 体会完全平方公式的发现和推导过程，理解公式的本质，并会运用公式进行简单的计算.
难点 判别要计算的代数式是哪两个数的和(或差)的平方.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 多项式乘多项式的法则是什么？ 公式：(a+b)(m+n)=________________________ 观察下列算式及其运算结果，你有什么发现？ ( m + 3 )2= ( m + 3 ) ( m + 3 ) = m 2 + 3m + 3m + 9= m 2 + 2×3m + 9 = m 2 + 6m + 9， ( 2 + 3 x ) 2 = ( 2 + 3x ) ( 2 +3 x ) = 22 + 2 ×3 x +2×3 x + 9 x2= 4 + 2×2×3 x + 9 x2 = 4 + 12 x + 9 x2 ． 1. 引导学生自主完成习题 2. 引导学生用准确的语言表述求解的过程 带学生回顾了多项式乘多项式的法则，为本课对于完全平方公式的推理学习打下基础。
讲授新课 填一填 (1) (p+1)2= (p+1) (p+1) = . (2) (m+2)2 = . (3) (p－1)2 = (p－1) (p－1) = . (4) (m－2)2 = . 根据你发现的规律，你能写出下列式子的答案吗？ （a+b)2= . = . 再举两例验证你的发现． （1）（2x + y）2 ; （2）（3a – 2b）2 . 归纳：完全平方公式 （a+b)2= . （a-b)2= . 也就是说，两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.这两个公式叫做（乘法的）完全平方公式. 简记为： “首平方，尾平方，积的2倍放中间” 你能根据下图中的面积说明完全平方公式吗 议一议： （a – b）2 = ？你是怎样做的？ 一种：（a – b）2 = （a – b）（a – b） = a2 – 2ab + b2 二种：（a – b）2 = [a+（– b）]2 = a2 +2a（– b）+（– b）2 = a2 – 2ab + b2 观察下面两个完全平方式，比一比，回答下列问题： (a+b)2= a2+2ab+b2. (a-b)2=a2-2ab+b2 1.说一说积的次数和项数. 2.两个完全平方式的积有相同的项吗？与a,b有什么关系？ 3.两个完全平方式的积中不同的是哪一项？与a, b有什么关系？它的符号与什么有关？ 归纳：公式特征： 1.积为二次三项式； 2.积中两项为两数的平方和； 3.另一项是两数积的2倍，且与两数中间的符号相同. 4.公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式. 典例精析 例 1 利用完全平方公式计算： （1）(2x – 3)2； （2）(4x + 5y)2； （3）(mn – a)2 学生通过计算观察，得到共同特点，并归纳总结 学生经过独立思考、交流、讨论后举手回答 自主完成，有疑问时与同学讨论或举手示意 对照公式，进行独立的简单计算，体会公式在解题中的应用 通过特例的探索，引入完全平方公式，再让学生自己举例加深对公式的体会。而在计算图形的面积时，通过对比这些表示方式可以使学生对于公式有一个直观的认识。通过自主探究和交流学到了新的知识，学生的学习积极性和主动性得到大大的激发. 通过经历观察、推导、交流、讨论、表述的过程，充分调动学生思考的主动性和积极性，提高学生合作交流的能力和质量，培养学生的团队合作精神及自主探究的学习习惯，形成有效的学习策略，达到培养学生探索科学、追求真理的目的。 应用完全平方公式进行简单的计算。同时例1三个题目的设计上有一定的梯度，从而加以巩固落实。
课堂练习 1．小萌在利用完全平方公式计算一个二项整式的平方时，得到正确结果4x2＋20xy＋▇，不小心把最后一项染黑了，你认为这一项是( ) A．5y2 B．10y2 C．100y2 D．25y2 2．计算(x－2y)2的结果是( ) A．x2－4xy＋2y2 B．x2－4xy＋4y2 C．x2＋4xy＋4y2 D．x2－4y2 3．计算： (1)(a＋b)2＝ ； (2)(a－b)2＝ ； (3)(5＋3p)2＝ ； (4)(2x－7y)2＝ ． 4．如图，最大正方形的面积可用两种形式表示：① ； ② ，这两个代数式表示同一块面积，由此得到完全平方公式③ ． 5.计算 (1)(3a＋b－2)(3a－b＋2)； (2)(x－y－m＋n)(x－y＋m－n)． 6.已知x-y＝6，xy=-8.求: (1) x2+y2的值； (2)(x+y)2的值. 学生自主动手解决，老师进行订正。 及时练习巩固，体现学以致用的观念，消除学生学无所用的思想顾虑。
课堂小结 谈一谈这节课，你有哪些收获？ 教师与学生一起进行交流，共同回顾本节知识 让学生与同伴交流获得结果，帮助他分析，找出问题原因，及时查漏补缺.
板书 §1.6.1 完全平方公式（一） 完全平方公式： （a+b)2= . （a-b)2= . 也就是说，两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.这两个公式叫做（乘法的）完全平方公式. 几何背景（等面积法） （数形结合） 3.利用完全平方公式计算： （1）(2x – 3)2； （2）(4x + 5y)2； （3）(mn – a)2
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1.6.1完全平方公式
北师大版 七年级下册
复习回顾
(a+b)(m+n)
=
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
多项式的乘法法则
am+an+bm+bn
导入新课
观察下列算式及其运算结果，你有什么发现？
( m + 3 )2= ( m + 3 ) ( m + 3 ) = m 2 + 3m + 3m + 9
= m 2 + 2×3m + 9 = m 2 + 6m + 9，
( 2 + 3 x ) 2 = ( 2 + 3x ) ( 2 +3 x )
= 22 + 2 ×3 x +2×3 x + 9 x2= 4 + 2×2×3 x + 9 x2
= 4 + 12 x + 9 x2 ．
新知讲解
填一填
(1) (p+1)2= (p+1) (p+1) = .
(2) (m+2)2 = .
(3) (p－1)2 = (p－1) (p－1) = .
(4) (m－2)2 = .
p2+2p+1
m2+4m+4
m2－4m+4
p2－2p+1
根据你发现的规律，你能写出下列式子的答案吗？
（a+b)2= .
a2+2ab+b2
（a-b)2= .
a2-2ab+b2
新知讲解
再举两例验证你的发现．
（1）（2x + y）2 ; （2）（3a – 2b）2 .
（1）（2x + y）2
=（2x + y）（2x + y）
= 2x·2x + 2x·y + y·2x + y·y
= 4x2 + 4xy + y2
（2）（3a – 2b）2
=（3a – 2b） （3a – 2b）
= 3a·3a – 3a·2b – 2b·3a + 2b·2b
= 9a2 – 12ab + 4b2
归纳
完全平方公式
（a+b)2= .
a2+2ab+b2
（a-b)2= .
a2-2ab+b2
也就是说，两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.这两个公式叫做（乘法的）完全平方公式.
简记为：
“首平方，尾平方，积的2倍放中间”
新知讲解
你能根据下图中的面积说明完全平方公式吗
b
a
a
b
b
a
b
a
图 1
图2
总结
b
a
b
a
= + +
a2
ab
ab
b2
（a + b）2 = a2 + 2ab + b2
议一议
（a – b）2 = ？你是怎样做的？
（a – b）2
= （a – b）（a – b）
= a2 – 2ab + b2
1
（a – b）2
= [a+（– b）]2
= a2 +2a（– b）+（– b）2
= a2 – 2ab + b2
2
新知讲解
b
a
b
a
(a – b)2
a2
ab
ab
b2
= – +
（a – b）2 = a2 – 2ab + b2
新知讲解
(a+b)2= a2+2ab+b2.
(a-b)2=a2-2ab+b2.
观察下面两个完全平方式，比一比，回答下列问题：
1.说一说积的次数和项数.
2.两个完全平方式的积有相同的项吗？与a,b有什么关系？
3.两个完全平方式的积中不同的是哪一项？与a, b有什么关系？它的符号与什么有关？
总结
公式特征：
4.公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式.
1.积为二次三项式；
2.积中两项为两数的平方和；
3.另一项是两数积的2倍，且与两数中间的符号相同.
典例精析
例 1 利用完全平方公式计算：
（1）(2x – 3)2； （2）(4x + 5y)2； （3）(mn – a)2
解：（1） (2x – 3)2 = (2x)2 – 2·2x·3 + 32
= 4x2 – 12x + 9
（2）(4x + 5y )2 = (4x)2 + 2·4x·5y + (5y)2
= 16x2 + 40xy + 25y2
（3） (mn – a)2 = (mn)2 – 2·mn·a + a2
= m2n2 – 2amn + a2
练一练
运用完全平方公式计算：
（1） （4a-b)2
解:（4a-b)2=
=
（2）
解:
练一练
(3)(a+b+3)(a+b-3)
解：(a+b+3) (a+b 3)
=(a+b)2 32
=a2 +2ab+b2－9
=[ (a+b) +3] [ (a+b) -3]
温馨提示：将(a+b)看作一个整体，解题中渗透了整体的思想
课堂练习
1．小萌在利用完全平方公式计算一个二项整式的平方时，得到正确结果4x2＋20xy＋ ，不小心把最后一项染黑了，你认为这一项是( )
A．5y2 B．10y2
C．100y2 D．25y2
2．计算(x－2y)2的结果是( )
A．x2－4xy＋2y2 B．x2－4xy＋4y2
C．x2＋4xy＋4y2 D．x2－4y2
D
B
课堂练习
3．计算：
(1)(a＋b)2＝ ；
(2)(a－b)2＝ ；
(3)(5＋3p)2＝ ；
(4)(2x－7y)2＝ ．
课堂练习
4．如图，最大正方形的面积可用两种形式表示：① ；
② ，这两个代数式表示同一块面积，由此得到完全平方公式③ ．
课堂练习
5.计算
(1)(3a＋b－2)(3a－b＋2)；
(2)(x－y－m＋n)(x－y＋m－n)．
(2)原式=[(x-y)-(m-n)][(x-y)+(m-n)]
解：(1)原式=[3a＋(b－2)][3a－(b－2)]
=(3a)2－(b－2)2
=9a2-b2+4b-4.
=(x-y)2-(m-n)2
=x2-2xy+y2-m2+2mn-n2.
课堂练习
6.已知x-y＝6，xy=-8.求: (1) x2+y2的值； (2)(x+y)2的值.
＝36-16＝20；
解：(1)因为x-y＝6，xy=-8，
(x-y)2＝x2+y2-2xy，
所以x2+y2＝(x-y)2+2xy
(2)因为x2+y2＝20，xy=-8，
所以(x+y)2＝x2+y2+2xy
＝20-16＝4.
作业布置
1.课本第26页习题1.11第1、2、4题
课堂小结
完全平方公式
法则
注意
(a±b)2= a2 ±2ab+b2
1.项数、符号、字母及其指数
2.不能直接应用公式进行计算的式子，可能需要先添括号变形成符合公式的要求才行
常用
结论
3.弄清完全平方公式和平方差公式不同（从公式结构特点及结果两方面）
a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab;
4ab=(a+b)2-(a-b)2.
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