28.1锐角三角函数 课件 （共26张PPT）

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第二十八章 锐角三角函数
28.1 锐角三角函数
2021-2022学年九年级数学下册（人教版）
学习目标
1、理解正弦函数的意义，掌握正弦函数的表示方法。
2、能灵活运用已知条件求锐角的正弦值.
3、能利用三角函数值求出三角形的边。
它们有什么特殊之处吗？
直角三角形有什么特殊性质？
45°
45°
30°
探索新知
问题1：为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？
C
B
35m
70m
A
30°
35m
30°
探索新知
1、如果使出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？
2、如果使出水口的高度为100 m，那么需要准备多长的水管？
3、在这个变化过程中有什么在发生变化？什么没发生变化？
C
B
B
C
B
C
35m
70m
50m
100m
100m
200m
A
30°
探索新知
在上面的问题中，如果使出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？
结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于
A
B
C
50m
35m
B '
C '
AB'＝2B ' C ' ＝2×50＝100(m)
探索新知
在Rt△ABC中，∠C＝90°，由于∠A＝45°，所以Rt△ABC是等腰直角三角形，由勾股定理得:
因此
即在直角三角形中，当一个锐角等于45°时，不管这个直角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于
如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C＝90°，∠A＝45°，计算∠A的对边与斜边的比 ，你能得出什么结论？
A
B
C
探索新知
综上可知，在一个Rt△ABC中，∠C＝90°，当∠A＝30°时，∠A的对边与斜边的比都等于 ，是一个固定值 ；当∠A＝45°时，∠A的对边与斜边的比都等于 ，也是一个固定值.
一般地，当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？
问题
在图中，由于∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C'
这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比也是一个固定值．并且直角三角形中一个锐角的度数越大，它的对边与斜边的比值越大
任意画Rt△ABC和Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么 与 有什么关系．你能解释一下吗？
A
B
C
A'
B'
C'
探索新知
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比值叫做∠A的正弦（sine），记作：sinA 即
例如，当∠A＝30°时，我们有
当∠A＝45°时，我们有
A
B
C
c
a
b
对边
斜边
在图中
∠A的对边记作a
∠B的对边记作b
∠C的对边记作c
正 弦 函 数
归 纳
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值．
解： （1）在Rt△ABC中，
因此
（2）在Rt△ABC中，
因此
A
B
C
A
B
C
3
4
13
求sinA就是要确定∠A的对边与斜边的比；求sinB就是要确定∠B的对边与斜边的比
5
例题教学
1.判断对错:
A
10m
6m
B
C
1) 如图 (1) sinA= （ ）
(2)sinB= （ ）
(3)sinA=0.6m （ ）
(4)SinB=0.8 （ ）
√
√
×
×
sinA是一个比值（注意比的顺序），无单位；
2)如图，sinA= （ ）
×
巩固提高
1.判断对错:
A
10m
6m
B
C
1) 如图 (1) sinA= （ ）
(2)sinB= （ ）
(3)sinA=0.6m （ ）
(4)sinB=0.8 （ ）
√
√
×
×
sinA是一个比值（注意比的顺序），无单位；
2)如图，sinA= （ ）
×
定义成立的前提是直角三角形，这里是∠C为直角
巩固提高
根据下图，求sinA和sinB的值．
A
B
C
3
5
求sinA就是要确∠A的对边与斜边的比；
求sinB就是要确定∠B的对边与斜边的比
巩固提高
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，当锐角A确定时，∠A的对边与斜边的比就随之确定，此时，其他边之间的比是否也确定了呢？为什么？
A
B
C
邻边b
对边a
斜边c
当锐角A的大小确定时，∠A的邻边与斜边的比我们把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦（cosine），记作cosA，即
合作探究
=
b
c
cosA=
1、sinA、cosA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)。
2、sinA、 cosA是一个比值（数值）。
3、sinA、 cosA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关。
如图：在Rt △ABC中，∠C＝90°，
正弦
余弦
合作探究
如图：在Rt △ABC中，∠C＝90°，
我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的 正切，记作 tanA。
一个角的正切表示定值、比值、正值。
合作探究
A
B
C
┌
思考：锐角A的正切值可以等于1吗？为什么？
可以大于1吗？
对于锐角A的每一个确定的值，sinA、cosA、tanA都有唯一的确定的值与它对应，所以把锐角A的正弦、余弦、正切叫做∠A的锐角三角函数。
合作探究
例2 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB =10，BC＝6，求
sinA、cosA、tanA的值．
解：∵
又
A
B
C
6
10
合作探究
=
a
c
sinA=
在Rt△ABC中
=
b
c
cosA=
=
a
b
tanA=
课堂小结
下图中∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为D。指出∠A和∠B的对边、邻边。
A
B
C
D
(1) tanA =
=
AC
( )
CD
( )
(2) tanB=
=
BC
( )
CD
( )
BC
AD
BD
AC
巩固提高
如图,在Rt△ABC中,锐角A的邻边和斜边同时扩大100倍,tanA的值（ ）
A.扩大100倍 B.缩小100倍
C.不变 D.不能确定
A
B
C
┌
C
巩固提高
例3： 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°
1.求证：sinA=cosB，sinB=cosA
2.求证：
3.求证：
A
B
C
应用拓展
2. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，tanA＝ ，
求：sinA、cosB的值．
A
B
C
8
解：
应用拓展
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