2021-2022学年北师大版七年级数学下册1.6完全平方公式专题练习(word解析版)

完全平方公式专题练习
一、单选题
1．下列运算正确的是（　　）
A．(x+y)2 =x2+y2 B．(x-y)2=x2+2xy+y2
C．(x+y)2 =x2+y2 +2xy D．(x-y)2=x2-xy+y2
2．（1﹣x）2＝（　　）
A．1﹣x2 B．1+x2 C．1﹣2x+x2 D．1+2x+x2
3．多项式x2+A+1是个完全平方式，那么代数式A不可能为（　　）
A．2x B．x C．﹣2x D．x4
4．若，，求的值是（　　）
A．6 B．8 C．26 D．20
5．已知 ，则 的值等于（　　）
A．1 B．0 C． D．
6．由图你能根据面积关系得到的数学公式是（　　）
A．a2－b2＝（a＋b）（a－b） B．（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2
C．（a－b）2＝a2－2ab＋b2 D．a（a＋b）＝a2＋ab
7．已知 ， ，则 的值为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．
8．计算：
A．0 B．1 C．-1 D．39601
9．已知2n＋212＋1（n＜0）是一个有理数的平方，则n的值为（　　）
A．﹣16 B．﹣14 C．﹣12 D．﹣10
10．已知a＝2019x+2018，b＝2019x+2019，c＝2019x+2020．则多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．化简： 　 　．
12．已知a﹣b＝7，ab＝2，则（a+b）2＝　 　．
13．已知 ， ，则 　 　．
14．当x＝﹣1时，ax﹣b+1的值为3，则（a+b﹣1）（1﹣a﹣b）的值为　 　．
15．a，b是两个实数，若，，则的值为　 　．
16．已知a+b=8，ab=c2+16，则a+2b+3c的值为　 　.
17．若9x2-2（m－4）x＋16是一个完全平方式，则m的值为　 　．
18．育英学校四初二数学兴趣小组的小桃桃同学提出这样一个问题：如图，从边长为a+4的正方形纸片中剪去一个边长为a的正方形（a＞0），剩余部分沿虚线剪开，拼成一个长方形（不重叠无缝隙），你认为长方形的面积为　 　 ．
19． ，则 的值为　 　
20．请看杨辉三角（1），并观察下列等式（2）：
根据前面各式的规律，则（a+b）6= 　 　
三、解答题
21．计算
（1）
（2）
（3）
22．利用乘法公式进行简算：
（1）2019×2021﹣20202
（2）972+6×97+9．
23．先化简，再求值：（x+y+2）（x+y﹣2）﹣（x+2y）2+3y2，其中x=﹣ ，y= ．
24．如图，某市有一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像，则绿化的面积是多少平方米？并求出当a=3，b=2时的绿化面积．
25．已知： ， ，求 和 的值．
26．已知a，b，c是 的三边长，且满足 ＝ ， ＝ ，求 的周长．
27．阅读材料：若x2－2xy＋2y2－8y＋16＝0，求x、y的值.
解：∵x2－2xy＋2y2－8y＋16＝0，
∴（x2－2xy＋y2）＋（y2－8y＋16）＝0
∴（x－y）2＋（y－4）2＝0，
∴（x－y）2＝0，（y－4）2＝0，
∴y＝4，x＝4.
根据你的观察，探究下面的问题：
已知a、b满足a2＋b2－4a－6b＋13＝0.求a、b的值.
28．阅读理解：所谓完全平方式，就是对于一个整式A，如果存在另一个整式B，使得A=B2，则称A是完全平方式，例如a4=（a2）2，4a2﹣4a+1=（2a﹣1）2．
（1）下列各式中完全平方式的编号有　 　 ；
①a6；②a2+ab+b2；③x2﹣4x+4y2④m2+6m+9；⑤x2﹣10x﹣25；⑥4a2+2ab+．
（2）若4x2+xy+my2和x2﹣nxy+64y2都是完全平方式，求m2015 n2016的值；
（3）多项式49x2+1加上一个单项式后，使它能成为一个完全平方式，那么加上的单项式可以是哪些？（请罗列出所有可能的情况，直接写出答案）
29．数学活动课上，张老师准备了若干个如图①的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图②的大正方形．
（1）观察图②，写出代数式（a＋b）2，a2＋b2，ab之间的等量关系是　 　；
（2）根据（1）中的等量关系，解决下列问题；
①已知a＋b＝4，a2＋b2＝10，求ab的值；
②已知（x﹣2021）2＋（x﹣2019）2＝130，直接写出x﹣2020的值．
30．我们知道几个非负数的和等于0，只有这几个数同时等于0才成立，如（x－2)2+│y+3│=0,因为（x－2)2,│y+3│都是非负数，则x－2=0,即可求x=2，y+3=0,可求y=－3，应用知识解决下列各题：
（1）若(x+1)2+(y-2)2=0,求x,y的值.
（2）若x2+y2+6x－4y+13=0,求（x+y)2019的值；
（3）若2x2+3y2-8x+6y= -11,求（x+y)2019的值；
（4）代数式x2－4x－3它有最大值吗？它有最小值吗？若有请求出它的最大或最小值.
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：
只有C选项正确
故答案为：C
【分析】利用完全平方公式进行逐一判断即可.
2．【答案】C
【解析】【解答】解：（1﹣x）2＝1﹣2x+x2.
故答案为：C.
【分析】利用完全平方公式：（a-b）2=a2-2ab+b2，进行计算即可.
3．【答案】B
【解析】【解答】解：A．x2+2x+1=（x+1）2，是完全平方公式；
B．原式=x2+x+1不是完全平方公式；
C．x2﹣2x+1=（x﹣1）2，是完全平方公式；
D. x2+x4+1=（x2+1）2，是完全平方公式.
故答案为：B.
【分析】根据完全平方式的性质及特征求解即可。
4．【答案】B
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴.
故答案为：B.
【分析】根据完全平方公式可得，再将代入计算即可。
5．【答案】C
【解析】【解答】解：∵ ，
∴m2＋n2＝4n 4m 8，
∴（m2＋4m＋4）＋（n2 4n＋4）＝0，
∴（m＋2）2＋（n 2）2＝0，
∴m＋2＝0，n 2＝0，
解得：m＝ 2，n＝2，
∴
＝
＝-1.
故答案为：C.
【分析】给已知等式的两边同时乘以4，然后利用完全平方公式变形可得(m＋2)2＋(n-2)2＝0，根据偶次幂的非负性可得m+2＝0，n-2＝0，求出m、n的值，然后代入计算即可.
6．【答案】C
【解析】【解答】解：从图中可知：阴影部分的面积是和，空白的两个矩形面积都是，
即大阴影部分的面积是，
，
故答案为：C．
【分析】阴影部分的面积=两个小正方形的面积和=大正方形的面积-两个全等的矩形的面积，据此即得结论.
7．【答案】A
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴ ，
即 ，
化简可得， .
故答案为：A.
【分析】由完全平方公式可得(a+b)2-(a-b)2=4ab，据此计算.
8．【答案】B
【解析】【解答】解：1002-2×100×99+992
=（100-99）2
=1．
故答案为：B.
【分析】利用完全平方公式计算求解即可。
9．【答案】B
【解析】【解答】解：2n是乘积二倍项时，2n＋212＋1＝212＋2 26＋1＝（26＋1）2，
此时n＝6＋1＝7，
212是乘积二倍项时，2n＋212＋1＝2n＋2 211＋1＝（211＋1）2，
此时n＝2×11＝22，
1是乘积二倍项时，2n＋212＋1＝（26）2＋2 26 2﹣7＋（2﹣7）2＝（26＋2﹣7）2，
此时n＝﹣14，
综上所述，n可以取到的数是7、22、﹣14.
故答案为：B.
【分析】分多项式的三项分别是乘积二倍项时，利用完全平方公式分别求出n的值，然后选择答案即可.
10．【答案】C
【解析】【解答】解：∵a＝2019x+2018，b＝2019x+2019，c＝2019x+2020．，
∴a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1，
则原式＝ （2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc）
＝ [（a2﹣2ab+b2）+（a2﹣2ac+c2）+（b2﹣2bc+c2）]
＝ [（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2]
＝ ×[1+4+1]
＝3，
故答案为：C．
【分析】把已知的式子化成 [（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2]的形式，然后代入求解．
11．【答案】
【解析】【解答】解：
故答案为： .
【分析】利用完全平方公式展开即可。
12．【答案】57
【解析】【解答】解： （a+b）2＝ a2+2ab+b2
=a2-2ab+b2+4ab
=（a-b）2+4ab
=49+8
=57，
故答案为：57.
【分析】先根据完全平方公式展开，再根据（a-b）2=a2-2ab+b2配方将原式变形，最后代值计算即可.
13．【答案】1
【解析】【解答】解：由 可得： ，
则有： ，
又∵ ，即有 ，
∴
故答案为：1．
【分析】将 ，利用完全平方公式化简得 ，然后利用 得出 的值．
14．【答案】-9
【解析】【解答】解：把x＝﹣1代入得：﹣a﹣b+1＝3，即﹣a﹣b＝2，
整理得：a+b＝﹣2，
则原式＝[（a+b）﹣1][1﹣（a+b）]
＝﹣[（a+b）﹣1]2
＝﹣（﹣2﹣1）2
＝﹣（﹣3）2
＝﹣9．
故答案为：﹣9．
【分析】把x＝﹣1代入代数式，使其值为3求出a+b的值，原式变形后代入计算即可求出值．
15．【答案】29
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故答案为：．
【分析】由于，然后代入计算即可.
16．【答案】12
【解析】【解答】解：∵a+b=8
∴a2+2ab+b2=64
∵ab=c2+16
∴16=ab-c2
∴a2+2ab+b2=64=4×16=4（ab-c2）=4ab-4c2，即（a-b）2+4c2=0
∴a=b，c=0
又∵a+b=8
∴a=b=4
∴a+2b+3c=4+2×4+3×0=12
故答案为：12.
【分析】将a+b=8两边平方可得a2+2ab+b2=64，由已知得16=ab-c2，将其代入a2+2ab+b2=64中可得（a-b）2+4c2=0，根据非负数的和为0，则每一个数都为0可得a=b=4，c=0，然后代入计算即可.
17．【答案】16或-8
【解析】【解答】解：
即
即
解得： 或
故答案为：16或-8
【分析】根据完全平方公式，即可求出答案。
18．【答案】8a+16
【解析】【解答】解：拼成的长方形的面积为（a+4）2﹣a2＝8a+16，
故答案为：8a+16．
【分析】利用完全平方公式计算求解即可。
19．【答案】7
【解析】【解答】∵
∴
∴ ，即 =7.
【分析】将已知等式两边除以a变形求值即可.
20．【答案】a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6
【解析】【解答】（a+b）6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6，故本题答案为：a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6
【分析】通过观察可以看出（a+b）6的展开式为6次7项式，a的次数按降幂排列，b的次数按升幂排列，各项系数分别为1、6、15、20、15、6、1．
21．【答案】（1）解：，
= ，
= ；
（2）解：，
=，
=，
=．
（3）解：
22．【答案】（1）解：2019×2021-20202
=（2020-1）（2020+1）-20202
=20202-1-20202
=-1
（2）解：972+6×97+9
=972+2×3×97+32
=（97+3）2
=1002
=10000．
【解析】【分析】（1）利用平方差公式进行计算即可；
（2）将原式变形为972+2×3×97+32 ，然后利用完全平方公式计算即可.
23．【答案】解：原式=（x2+2xy+y2﹣4）﹣（x2+4xy+4y2）+3y2=x2+2xy+y2﹣4﹣x2﹣4xy﹣4y2+3y2=﹣2xy﹣4，
当x=﹣ ，y= 时，原式= ﹣4=﹣
【解析】【分析】原式利用完全平方公式及平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．
24．【答案】解：S阴影=（3a+b）（2a+b）﹣（a+b）2=6a2+3ab+2ab+b2﹣a2﹣2ab﹣b2=5a2+3ab（平方米）当a=3，b=2时， ∴5a2+3ab=5×9+3×3×2=45+18=63（平方米）
【解析】【分析】长方形的面积等于：（3a+b） （2a+b），中间部分面积等于：（a+b） （a+b），阴影部分面积等于长方形面积﹣中间部分面积，化简出结果后，把a、b的值代入计算．
25．【答案】解： ；
．
【解析】【分析】利用完全平方公式计算求解即可。
【解析】【分析】利用配方法将三项配方成完全平方式的形式，利用非负数的性质求得a、b的值即可；
26．【答案】解：∵ ＝
∴ ＝
∴ ＝ ，
又∵ ，
∴ ＝ ， ＝ ，
∴ ＝ ， ＝ ，
∴ 的周长为 ＝ ＝ ．
【解析】【分析】先对含a、b的方程配方，利用非负数的和为0，求出a、b，再求周长．
27．【答案】解：∵a2+b2-4a-6b+13=0
∴（a-2）2+（b-3）2=0，
∴a-2=0，b-3=0，
∴a=2，b=3.
28．【答案】（1）①④⑥
（2）解：∵4x2+xy+my2和x2﹣mxy+64y2都是完全平方式，
∴m=，n=±16，
则原式=（×16）2015×16=16；
（3）14x，﹣14x，﹣1，﹣49x2，．
【解析】【解答】解：（1）①a6=（a3）2，是；②a2+ab+b2，不是；③x2﹣4x+4y2，不是；④m2+6m+9=（m+3）2，是；⑤x2﹣10x﹣25，不是；⑥4a2+2ab+b2=（2a+b）2，是，
故答案为：①④⑥；
（2）∵4x2+xy+my2和x2﹣mxy+64y2都是完全平方式，
∴m=，n=±16，
则原式=（×16）2015×16=16；
（3）多项式49x2+1加上一个单项式后，使它能成为一个完全平方式，那么加上的单项式可以是14x，﹣14x，﹣1，﹣49x2，．
【分析】（1）利用完全平方公式的结构特征判断即可；
（2）利用完全平方公式的结构特征求出m与n的值，代入原式计算即可得到结果；
（3）利用完全平方公式的结构特征判断确定出所求单项式即可．
29．【答案】（1）（a+b）2=a2+2ab+b2
（2）解：①∵a+b=4，
∴（a+b）2=16．
∴a2+2ab+b2=16．
∵a2+b2=10，
∴ab=3．
②设x-2020=a，则x-2021=a-1，x-2019=a+1．
∵（x-2021）2+（x-2019）2=130，
∴（a-1）2+（a+1）2=130．
∴a2-2a+1+a2+2a+1=130．
∴2a2=128．
∴a2=64．
即（x-2020）2=64．
∴x-2020=±8．
【解析】【解答】解：（1）∵图形②是边长为（a+b）的正方形，
∴S=（a+b）2．
∵大正方形的面积由一个边长为a的正方形和一个边长为b的正方形以及两个长为b，宽为a的长方形组合而成，
∴S=a2+2ab+b2．
∴（a+b）2=a2+2ab+b2．
故答案为：（a+b）2=a2+2ab+b2．
【分析】（1）图形②时边长为（a＋b）的正方形，他的面积由一个边长为a的正方形和一个边长为b的正方形以及两个长为b，宽为a的长方形 组合而成，由此结论可得；
（2）①把a+b=4进行平方，结合a2＋b2＝10即可求得ab的值；②设x-2020=a，则x-2021=a-1，x-2019=a+1则有（a-1）2+（a+1）2=130，进行整理可得a2=64，即可得出答案。
30．【答案】（1）解：∵（x+1）2+（y-2）2=0，
∴x+1=0，y-2=0，
解得x=-1，y=2
（2）解：x2+y2+6x-4y+13=0，
（x+3）2+（y-2）2=0，
则x+3=0，y-2=0，
解得x=-3，y=2，
则（x+y）2019=（-3+2）2019=-1
（3）解：2x2+3y2-8x+6y=-11，
2x2+3y2-8x+6y+11=0，
2（x-2）2+3（y+1）2=0，
则x-2=0，y+1=0，
解得x=2，y=-1，
则（x+y）2019=（2-1）2019=1
（4）解：x2-4x-3=（x-2）2-4-3=（x-2）2-7，
当x=2时，代数式x2-4x-3有最小值是-7
【解析】【分析】（1）根据非负数的性质可求x，y的值，（2）先配方，再根据非负数的性质可求x，y的值，再代入计算即可求解，（3）先配方，再根据非负数的性质可求x，y的值，再代入计算即可求解，（4）先配方，再根据非负数的性质可求最小值