衡阳市船山英文学校高二年级 2021-2022 下学期入学考试
数学试卷
分值：150 分 时间：120 分钟
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知 x∈R，向量 a = (x, 2,1) ，b = ( 2,4, 4) ，若 a ⊥ b ，则实数 x 的值等于（ ）
A． 1 B．1 C． 2 D．2
2.“ a = 1” “ 2是 直线ax + 2y + 6 = 0与直线 x + (a 1) y + a 1= 0平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3.函数 y = x ln (2x + 5)的导数为（ ）
A． y′ = 2x ln (2x + 5) x B． y′ =
2x + 5
C． y′ = ln (2x 5) x 2x+ + D． y′ = ln (2x + 5) +
2x + 5 2x + 5
4.设{an}是等比数列，且 a1 + a2 + a3 =1, a2 + a3 + a4 = 2，则 a6 + a7 + a8 =（ ）
A．12 B．24 C．30 D．32
5.已知圆 x2 + y2 =1与圆 x2 + y2 6x 8y +m + 6 = 0 相外切，则 m 的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6.如图，在四棱锥 P ABCD 中， PA ⊥底面 ABCD， AB ⊥ AD ，
P
AD//BC ，点E 为 PA的中点， AB = BC =1， AD = 2，
E
PA = 2 ，则异面直线 BE 与CD所成角的余弦值为（ ）
A
A 3． B 6． C 3． D 6 D．
3 3 6 6
B C
7.数列{an}满足 a1 =1 a ，且 n+1 an = n +1(n∈N )，则数列{an}的通项公式为（ ）
a n(n +1)
2 n n 1
A． n = B a
n +1
． n = C
( ) 2
． an = D． an = n + n 2 2 2
x2 y2 2 2 58.已知点 P 在椭圆 + =1上运动，点Q在圆 (x 1) + y = 上运动，则 PQ 的最小值为
9 3 8
A 2 B 10． ． C 10． 2 D 10．
2 4 4
1
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个
选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错
的得 0 分.
1 3
9.在曲线 f(x)＝ 上切线的倾斜角为 π的点的坐标为（ ）
x 4
1 1
A．(1，1) B．(－1，－1) C． ( 2, ) D． ( , 2)
2 2
10.已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在的平面外一点，如果 AB = (2, 1, 4)， AD = (4,2,0) ，
AP = ( 1,2, 1)，下列结论正确的有（ ）
A． AP ⊥ AB B．四边形 ABCD 为矩形
C． AP ⊥平面 ABCD D． AP / /BD
11.“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这句话出自《庄子·天下篇》，其意思为“一根一尺长
的木棰每天截取一半，永远都取不完”.设第一天这根木棰被截取一半剩下 a1尺，第二天被
截取剩下的一半剩下 a2尺，……，第六天被截取剩下的一半剩下 a6 尺，则（ ）
a
A 1． a6 = B
1
． = 8
32 a4
a 5 63C． 5 + a6 = D． a1 + a2 + + a = 64 6 64
2 2
12. x y设椭圆 2 + 2 =1(a > b > 0)的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 在椭圆上，且a b
PF1 ⊥ F1F2 ， PF
4 14
1 = ， PF2 = ．过点M ( 2,1)的直线交椭圆于 A, B两点，且 A, B关于3 3
点M 对称，则下列结论正确的有（ ）
2 2
A x y．椭圆的方程为 + =1 B．椭圆的焦距为 5
9 4
C．椭圆上存在 4个点Q，使得QF1 QF2 = 0 D．直线 l的方程为8x 9y + 25 = 0
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13. 2已知函数 f (x) = x + 2 f ′(1) ln x，则 f ′(1) = ___________.
14.等差数列{an}是递增数列，若a2 + a4 = 16，a1 a5 = 28，则通项an ＝_________.
2
15. y过椭圆 x2 + =1上一点 P 作 x 轴的垂线，垂足为Q，则线段 PQ中点M 的轨迹方程为
2
___________.
16.已知点 O 为坐标原点，点 P 为圆 A : x2 + y2 14x 6y + 54 = 0上一动点，点 Q 为圆
B : x2 + y2 8x +12 = 0上一动点，设 |OQ | + | PQ | + | AQ |的最小值为 m，则 m 的值为___．
2
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.其中第 17 题 10 分，其余各题 12 分，解
答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤.
1
17. f (x) = x3已知函数 4x +1， f (x)为函数 f (x)的导数.
3
（1）求 f ′(x) < 3x 的解集；
（2）求曲线 y = f (x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程.
18.已知 Sn 是等差数列{an}的前 n项和，若 a2 + a9 = 29 ， S4 = a8 .
（1）求数列{an}的通项公式 an ；
1
（2）记bn = a a ，求数列{bn}的前 n项和Tn . n n+1
19.已知圆C 经过 A(2,0) , B (0, 4)两点，且圆心C 在直线 x + y 6 = 0上.
（1）求圆C 的标准方程；
（2）若直线 l : x + 3y 6 = 0与圆C 交于M , N 两点，求 MN .
3
20.在正四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中， AA1 = 2AB = 2 ， E 为CC1 的中点．
（1）求证： AC1 / / 平面 BDE ；
（2）求二面角 A D1C D 的余弦值．
21.已知数列{an}的前 n *项和为 Sn 且满足 Sn = 2an 1,n∈N .
（1）求证：数列{an}是等比数列，并求{an}的通项公式；
（2）设bn = n an，求数列{bn}的前 n 项和Tn .
2 2
22.设椭圆 C x y： + =1(a > b > 0)的左 右焦点分别为 F1， F
1
2 2 2，离心率为 2 ，椭圆 C 上一a b
点 M 满足 MF1 + MF2 = 4 .
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）过F1的直线交 C 于 A，B 两点，求 ABF2 面积的最大值.
4衡阳市船山英文学校高二年级 2021-2022 下学期入学考试
数学参考答案
1.【答案】D
向量 a = (x, 2,1) ，b = ( 2,4, 4) ，
因为 a ⊥ b ，所以 2x + 2× 4 +1× ( 4) = 0 ，解得 x = 2，
则实数 x 的值为 2．故选： D ．
2.【答案】C
由直线 ax + 2y + 6 = 0与直线 x + (a 1) y + a2 1= 0平行，得 a (a 1) = 2，解得 a = 1或
a = 2 .当 a = 2时，两直线重合；当 a = 1时，两直线平行.于是“ a = 1”是“直线
ax + 2y + 6 = 0与直线 x + (a 1) y + a2 1= 0平行”的充要条件.故选：C.
3.【答案】D
因为 y = x ln (2x + 5)，所以 y′ = x ln (2x + 5) ′ = x′ln (2x + 5) + x ln (2x + 5) ′
1
= ln (2x + 5) + x (2x + 5)′ 2x= ln (2x + 5) + .故选：D.
2x + 5 2x + 5
4.【答案】D
设公比为 q，因为{an}是等比数列，且 a1 + a2 + a3 =1, a2 + a3 + a4 = 2，
所以 a2 + a3 + a4 = q (a1 + a2 + a3 )，所以 q=2，所以a6 + a 57 + a8 = q (a1 + a2 + a3 ) = 32 .故选：
D.
5.【答案】A
由圆 x2 + y2 6x 8y +m + 6 = 0可得 (x 3)2 + ( y 4)2 =19 m，则19 m > 0 ，所以m <19
所以圆 x2 + y2 6x 8y +m + 6 = 0的圆心为 (3,4) ，半径 19 m
圆 x2 + y2 =1的圆心为 (0,0) ，半径1
圆 x2 + y2 =1与圆 x2 6x + y2 8y +m + 6 = 0 2 2相外切，则 (3 0) + (4 0) =1+ 19 m
解得m = 3，故选：A
6.【答案】A
以A 为原点，以 AB ， AD ， AP 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系 A xyz ，
2
则 B (1,0,0)，C (1,1,0)，D (0,2,0)， E 0,0, ，CD = ( 1,1,0)， BE = 1,0,
2
，
2
2
cos CD, BE CD BE 1 3= = = 3
CD BE 3 3 ，则异面直线 BE 与CD所成角的余弦值为 ， 2 × 3
2
故选：A.
7.【答案】A
因为 an+1 an = n +1，则 an an 1 = n， an 1 an 2 = n 1，
a3 a2 = 3， a2 a1 = 2 ，累加得 an a1 = 2+ 3+ n，
n (n +1
所以 an =1+ 2+ 3+ n
)
= .当 n=1 时也成立，故选：A.
2
8.【答案】D
x2 2 2P(x, y) y 5设点 ，则 + =1，得 y2 = 3 x ，圆 (x 1)2 + y2 = 的圆心 A(1,0)，半径为
9 3 3 8
10
，
4
x2 2
则 AP 2 = (x 1)2 + y2 = x2 2x +1+ 3 = x2 2x + 4, x∈[ 3,3]，
3 3
h(x) 2= x2令 2x 4, x [ 3,3]
3
+ ∈ ，对称轴为 x = ，
3 2
3 3 2 2 3 3 5
所以当 x = 时， h(x) 取得最小值 h = ×
2× + 4 = ， 2 2 3 2 2 2
AP 10 10 10 10所以 的最小值为 ，所以 PQ 的最小值为 = ，故选：D
2 2 4 4
9.【答案】AB
3
切线的斜率 k＝tan π＝－1，
4
1 1
设切点为(x0，y0)，则 f′(x0)＝－1，又 f′(x)＝－ x2 ，∴－ x
2 ＝－1，∴x0＝1 或－1，
0
∴切点坐标为(1，1)或(－1，－1)．故选:AB．
10.【答案】AC
点 P 是平行四边形 ABCD 所在的平面外一点，
AB = (2, 1, 4)， AD = (4,2,0) ， AP = ( 1,2, 1)，
∴ AP AB = 2 2 + 4 = 0 ，∴AP ⊥ AB ，故 A正确；
BD = AD AB = (2，3， 4) ， AP 与 BD不平行，∴四边形 ABCD 不为矩形，故 BD错误；
AD AP = 4 + 4 + 0 = 0，∴AP ⊥ AD ，
又 AP ⊥ AB， AB AD = A， AP ⊥平面 ABCD ，故C 正确．故选： AC ．
11.【答案】BD
1
依题意可知， a1， a2，a3，…成等比数列，且首项与公比均为 2 ，
1 6 1 a
则 a = 1 = ， = 8 a a
3
6 ， 5 + 6 = ， a
63
1 + a2 + + a =a 6 .故选：BD. 2 64 4 64 64
12.【答案】ACD
对于 A，由椭圆的定义知：2a = PF1 + PF2 = 6，解得： a = 3．
PF1 ⊥ F1F
2
2 ，∴ F1F2 = PF2 PF
2
1 = 2 5 = 2c ，解得： c = 5 ，
x2 y2
∴b2 = a2 c2 = 4，∴椭圆的方程为 + =1，A 正确；
9 4
对于 B，由 F1F2 = 2c = 2 5 知：焦距为 2 5，B 错误；
对于 C，由QF1 QF2 = 0知∠F1QF2 = 90
，∴Q 在以线段 F1F2 为直径的圆上，
由c > b 知：以线段 F1F2 为直径的圆与椭圆有 4个交点，
即椭圆上存在 4个点Q，使得QF1 QF2 = 0，C 正确；
对于 D，由题意知点M ( 2,1)为弦 AB 的中点，
2 2 2 2
设 A(x1, y1 )， B (x , y ) x y2 2 ，则 1 + 1 =1 x， 2 y+ 2 =1， 9 4 9 4
(x x
两式相减得： 1 2
) (x1 + x2 ) ( y y ) ( y + y )+ 1 2 1 2 = 0．
9 4
x1 + x2 = 4， y1 + y2 = 2
2 (x1 x2 ) y1 y，则 = 2 ，∴k
y y 8
= 1 2 =
AB
9 4 x x 9
，
1 2
∴ 8直线 l的方程为： y 1= (x + 2)，即8x 9y + 25 = 0，D 正确.
9
故选：ACD.
13.【答案】 2
′
因为 f (x) = x2 + 2 f ′ (1) ln x所以 f ′(x) = 2x
2 f (1)
+ ，则 f ′(1) = 2+ 2 f ′(1)，故 f ′(1) = 2 .
x
故答案为： 2
14.【答案】3n 1
a1 + a5 =16 a1 = 2 a =14
设公差为 d，∵a2＋a a a 16 14＝ 1＋ 5＝ ，∴由 ，解得 或 .
a1 a5 = 28 a5 =14 a5 = 2
a a
∵等差数列{an}是递增数列，∴a1＝2，a ＝14.∴d＝ 5 1 125 ＝ ＝3，
5 1 4
∴an＝a1＋(n－1)d＝2＋3(n－1)＝3n－1.故答案为：3n－1
15.【答案】 x2 + 2y2 =1
x = x0 x = x 2
设 P (x0 , y ) , M (x, y) Q (x ,0)
0 y
0 ，则 0 ，则 1 ，即 ，因为 x2 + 0 =1，
y = y y
0
2 0 0
= 2y 2
代入可得 x2 + 2y2 =1，即M 的轨迹方程为 x2 + 2y2 =1.故答案为： x2 + 2y2 =1
16.【答案】8
如图，
P 为圆 A : (x 7)2 + ( y 3)2 = 4上一动点，Q 为圆B : (x 4)2 + y2 = 4 上一动点，O 为坐标原
|TB | | BQ | 1
点，取T (3,0)，连接 BQ，TQ ，则 = = ，所以易得 TBQ∽ QBO| BQ | |OB | 2 ，所以
|OQ |= 2 |TQ |，又易知 | PQ |≥| AQ | 2，
所以 |OQ | + | PQ | + | AQ |≥|OQ | +2 | AQ | 2 = 2 |QT | +2 | AQ | 2 ≥ 2 | AT | 2 = 8．
故答案为：8.
17.【答案】(1){x 1< x < 4}；(2) 4x + y 1= 0
f (x) 1(1)由 = x3 4x +1得， f ′(x) = x2 4，
3
∴ f ′ (x) < 3x，即 x2 3x 4 < 0，解得 1< x < 4，
∴ f ′ (x) < 3x的解集为{x 1< x < 4}.
(2)由（1）知 f (0) =1， f ′(0) = 4 ，
∴曲线 y = f (x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程 y 1= 4(x 0)，即 4x + y 1= 0
n
18.【答案】（1）an = 3n 2；（2）Tn = . 3n +1
2a1 + 9d = 29，
（1）设等差数列{an}的首项为 a
1，公差为 d ，由题意得： 4a 4×3
+ d = a + 7d
1 2 1
2a1 + 9d = 29， a1 =1，
∴ 即 ，∴ an = 3n 2 .
d = 3a1 d = 3
1 1 1 1 1
（2）由（1）知 an+1 = 3n +1，∴bn = = = a nan+1 (3n 2)(3n +1) 3
3n 2 3n +1
T 1 1 1= 1 1+ 1 1 1+ + = 1 n∴ n 1
=
3 4 4 7 3n 2 3n +1
.
3 3n +1 3n +1
19.【答案】(1) (x 3)2 + (y 3)2 =10 8 10；(2) .
5
(1)设圆C 的圆心为 (a,b)，半径为 r ，则圆C 方程为 (x a)2 + (y b)2 = r2 ，
又由圆C 过 A(2,0) , B (0, 4)两点，且圆心C 在直线 x + y 6 = 0上，
a + b 6 = 0
(2 a)2则有 + b2 = r2 ，解可得 a = 3，b = 3， r 2 =10，
a
2 + (b 4)2 = r2
所以圆C 的标准方程为 (x 3)2 + (y 3)2 =10 .
3+ 3×3 6 3 10
(2)由（1）可知，圆心C 到直线 l的距离 d = = ，则
12 + 32 5
2
MN 2 10 3 10
8 10
= 5
= .
5
2
20.【答案】（1）证明见解析；（2） .
3
（1）连接 AC ，AC BD = O ，连接OE ，因为 E 为CC1 的中点，四边形 ABCD 为正方形，
所以O为 AC 的中点，在 ACC1 中，OE / / AC1 ，
又 AC1 / 面 EDB ，OE 面 EDB ，故 AC1 / / 面 EDB ．
（2）因为在正四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中 AD ⊥面 DCC1D1 ，即 AD ⊥面 DCD1，
作 DG ⊥ D1C 于G ，连接 AG ，则∠AGD即为二面角 A D1C D 的平面角，
在 Rt 1 1△ D1DC 中， ×DD1 ×DC = ×DG ×D2 2 1
C ，
且 DD1 = 2, DC =1, D1C = 5
2 5
，故 DG = ，
5
在Rt ADG 中， AG2 = AD2 + DG2 =12 + (2 5 )2 9= ，故 AG 3 5= ，
5 5 5
cos AGD DG 2 2∠ = = ，故二面角 A D1C D 的余弦值为 ． AG 3 3
21.【答案】（1） an = 2
n 1
；（2）Tn = (n 1) 2n +1.
（1）当n =1时， a1 = S1 = 2a1 1，可得 a1 =1；
当 n >1时， an = Sn Sn 1 = 2an 1 (2an 1 1)，即有 an = 2an 1，
则数列{an}为首项为1，公比为2 n 1的等比数列，可得 an 2 .
2 b n a n 2n 1 T =1×20 + 2×21 2 n 1（ ）∵ n n ，∴ n + 3×2 + + n×2 ，①
∴ 2Tn =1×2+ 2×2
2 + 3×23 + n + n×2 ，②
1×(1 2n ) n n
T =1+ 2+ 22 + 23 + + 2n 1 n = n×2 = 1 (n 1)×2① - ② 得 ： n n×2 1 2 . ∴
Tn = (n 1)×2
n +1．
22. 1 x
2 y2
【答案】（ ） + =1；（2）3 .
4 3
（1）根据对称性知，MN 与 F1F2 互相平分，则四边形MF1NF2 为平行四边形，
则 NF1 = MF2 ，又 MF2 + NF2 = 4，结合椭圆定义知， MF1 + MF2 = 2a = 4，故 a = 2，
c 1 2 2
由离心率 e = = ，故 c =1 x y，b = 3 ，椭圆方程为 + =1 . a 2 4 3
（2）设 A(x1, y1 )，B (x2 , y2 )，AB 的直线方程为 x = my 1，
2 2
联立椭圆方程与直线方程，化简得 (3m + 4) y 6my 9 = 0，
则 y
6m 9
1 + y2 = 2 ， y1 y2 = 2 ， 3m + 4 3m + 4
则 ABF
1 1
2 的面积为： S ABF = F1F2 × y1 y2 = ×2× ( y1 + y2 )
2 4y y
2 2 2 1 2
2
6m 36 144 (m2 +1)= 2 + = 3m 4 ， + 3m2 + 4 ( 23m2 + 4)
144t 144t 144
= = =
令 t = m2 +1， t ≥1，则上式 (3t +1)2 9t2 + 6t +1 1 ， 9t + 6 +
t
y 9t 6 1函数 = + + 在 t ≥1时，单调递增，则上式在 t =1，
t
即m = 0 144时取得最大值，且最大值为 = 3.
9+ 6+1
