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5.2.2 平行线的判定
一、单选题
1．（2021·山西广灵·）绘图员画图时经常使用丁字尺，丁字尺分尺头、尺身两部分，尺头的里边和尺身的上边应平直，并且一般互相垂直，也有把尺头和尺身用螺栓连接起来，可以转动尺头，使它和尺身成一定的角度．用丁字尺画平行线的方法如下面的三个图所示．画直线时要按住尺身，推移丁字尺时必须使尺头靠紧图画板的边框．请你说明：利用丁字尺画平行线的理论依据是什么？
A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等
2．（2021·河北涿鹿·）如图，点在的延长线上，下列条件不能判定的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021·福建·泉州五中）如图，下列条件能判断直线l1//l2的有（ ）
①；②；③；④；⑤
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2022·全国·）如图，∠1＝∠2，则下列结论正确的是（ ）
A．AD∥BC B．AB∥CD
C．AD∥EF D．EF∥BC
5．（2021·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校）如图，要使，那么应满足（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．（2021·湖南长沙·）阅读理解，解决问题：同学们玩游戏，借助两个三角形模板画平行线．
规则1：摆放一副三角尺，画平行线．
小颖是这样做的：如图①，先画一条直线MN，之后摆放三角尺，得到ABCD，依据是____________________________________________________________________．
小静按如图②所示的方式摆放三角尺，也得到ABCD，依据是________________________________________________________________________．
规则2：通过摆放图③所示的两个三角形模板也可以画平行线，依据是________________________________________________________________________．
7．（2021·云南峨山·）如图，下列能判定的条件有________．（填写正确的序号）
①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠B＋∠BCD＝180°；④∠B＝∠5．
8．（2020·浙江义乌·）如图，点E在的延长线上，下列四个条件：①；②；③；④．其中能判断的是__________________（填写正确的序号即可）．
9．（2021·北京房山·）如图A，C，E共线，请你添加一个条件，使ABCD，这个条件是______，你的依据是_____．
10．（2020·河南长垣·）如图，点在的延长线上，给出的五个条件：①；②；③；④；⑤．能判断的有___________．
三、解答题
11．（2022·黑龙江杜尔伯特·）完成下面的证明：
已知：如图，∠1＝30°，∠B＝60°，AB⊥AC．求证：AD∥BC．
证明：∵AB⊥AC（已知）
∴∠ ＝90°（ ）
∵∠1＝30°，∠B＝60°（已知）
∴∠1+∠BAC+∠B＝ （ ）
即∠ +∠B＝180°
∴AD∥BC（ ）
12．（2022·全国·）已知：如图，，和互余，和互余，求证：．
13．（2022·全国·）已知：，点G在上，B、C、G三点在同一条直线上，且，，求证：．
14．（2022·全国·）已知：如图，请分别依据所给出的条件，判定相应的哪两条直线平行？并写出推理的根据．
（1）如果∠2＝∠3，那么____________．(____________，____________)
（2）如果∠2＝∠5，那么____________．(____________，____________)
（3）如果∠2＋∠1＝180°，那么____________．(____________，____________)
（4）如果∠5＝∠3，那么____________．(____________，____________)
15．（2021·山东·日照市新营中学）在四边形ABCD中，CF⊥BD于点F，过点A作AG⊥BD，分别交BD，BC于点E，G，若∠DAG＝∠BCF，求证：AD∥BC．
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5.2.2 平行线的判定
一、单选题
1．（2021·山西广灵·）绘图员画图时经常使用丁字尺，丁字尺分尺头、尺身两部分，尺头的里边和尺身的上边应平直，并且一般互相垂直，也有把尺头和尺身用螺栓连接起来，可以转动尺头，使它和尺身成一定的角度．用丁字尺画平行线的方法如下面的三个图所示．画直线时要按住尺身，推移丁字尺时必须使尺头靠紧图画板的边框．请你说明：利用丁字尺画平行线的理论依据是什么？
A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等
【答案】A
【解析】
解：由题意可知：画直线时要按住尺身，推移丁字尺时必须使尺头靠紧图画板的边框
由此可见画直线时，是保持着一定的角度进行的即根据同位角相等，两直线平行来画平行直线的，
故选A.
【点睛】
本题主要考查了平行线的判定条件，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的判定条件.
2．（2021·河北涿鹿·）如图，点在的延长线上，下列条件不能判定的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
解：A、根据“同旁内角互补，两直线平行”可判定AB∥CD，故此选项不合题意；
B、根据“同位角相等，两直线平行”可判定AB∥CD，故此选项不合题意；
C、根据“内错角相等，两直线平行”可判定AB∥CD，故此选项不合题意；
D、∠1与∠2属于直线AB和CD的内错角、同位角、同旁内角，无法判定AB∥CD，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了平行线的判定，解题的关键是掌握平行线的判定定理．
3．（2021·福建·泉州五中）如图，下列条件能判断直线l1//l2的有（ ）
①；②；③；④；⑤
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】
①∵∠1，∠3互为内错角，∠1=∠3，∴；
②∵∠2，∠4互为同旁内角，∠2+∠4=180° ，∴；
③∠4，∠5互为同位角，∠4=∠5，∴；
④∠2，∠3没有位置关系，故不能证明 ，
⑤，，
∴∠1=∠3，
∴，
故选D．
4．（2022·全国·）如图，∠1＝∠2，则下列结论正确的是（ ）
A．AD∥BC B．AB∥CD
C．AD∥EF D．EF∥BC
【答案】C
【解析】此题主要考查平行线的判定，解题的关键是熟知平行线的判定定理．
5．（2021·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校）如图，要使，那么应满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
解：A、∠A=∠C，∠A和∠C不是同位角、内错角的关系，故选项A错误；
B、∠C=∠B，∠B和∠C不是同位角、内错角的关系，故选项B错误；
C、∵，∴BD//EC，不合题意，故选项C错误；
D、∵，∴，符合题意，故选项D正确，符合题意；
故选择：D．
二、填空题
6．（2021·湖南长沙·）阅读理解，解决问题：同学们玩游戏，借助两个三角形模板画平行线．
规则1：摆放一副三角尺，画平行线．
小颖是这样做的：如图①，先画一条直线MN，之后摆放三角尺，得到ABCD，依据是____________________________________________________________________．
小静按如图②所示的方式摆放三角尺，也得到ABCD，依据是________________________________________________________________________．
规则2：通过摆放图③所示的两个三角形模板也可以画平行线，依据是________________________________________________________________________．
【答案】①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行
【解析】
图①中，∠MAB=∠ACD=90°
故ABCD（同位角相等，两直线平行）；
图②中，∠ABC=∠BCD=90°
故ABCD（内错角相等，两直线平行）；
图③中，120°+60°=180°
故ABCD（同旁内角互补，两直线平行）；
故答案为：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行．
【点睛】
此题主要考查平行线的判定，解题的关键是熟知平行线的判定定理：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行．
7．（2021·云南峨山·）如图，下列能判定的条件有________．（填写正确的序号）
①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠B＋∠BCD＝180°；④∠B＝∠5．
【答案】②③④
【解析】
解：①若∠1＝∠2，则，故①不符合题意；
②若∠3＝∠4，则，故②符合题意；
③若∠B＋∠BCD＝180°，则，故③符合题意；
④若∠B＝∠5，则，故④符合题意，
故能判定的条件有：②③④，
故答案为：②③④．
【点睛】
本题考查平行线的判定，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
8．（2020·浙江义乌·）如图，点E在的延长线上，下列四个条件：①；②；③；④．其中能判断的是__________________（填写正确的序号即可）．
【答案】②③④
【解析】
解：①∵，∴AB∥CD；故①错误；
②∵，∴；故②正确；
③∵，∴；故③正确；
④∵，∴；故④正确；
故答案为：②③④；
【点睛】
本题考查的是平行线的判定，关键是掌握同位角相等，两直线平行．内错角相等，两直线平行．同旁内角互补，两直线平行．
9．（2021·北京房山·）如图A，C，E共线，请你添加一个条件，使ABCD，这个条件是______，你的依据是_____．
【答案】 ∠ECD=∠A 同位角相等，两直线平行（答案不唯一）
【解析】
解：∵∠ECD=∠A，
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
故答案为：∠ECD=∠A；同位角相等，两直线平行（答案不唯一）．
【点睛】
本题考查了平行线的判定定理，掌握同位角相等，两直线平行是解题的关键．
10．（2020·河南长垣·）如图，点在的延长线上，给出的五个条件：①；②；③；④；⑤．能判断的有___________．
【答案】②③⑤
【解析】
∵∠3=∠4，∴BD∥AC，不符合题意；
∵∠1=∠2，∴AB∥CD，符合题意；
∠A=∠DCE，∴AB∥CD，符合题意；
∠D=∠DCE，∴BD∥AC，不符合题意；
∠D+∠ABD=180°，∴AB∥CD，符合题意；
故答案为：②③⑤
【点睛】
本题主要考查平行线的判定定理，掌握“内错角相等，两直线平行”，“同位角相等，两直线平行”，“同旁内角互补，两直线平行”，是解题的关键．
三、解答题
11．（2022·黑龙江杜尔伯特·）完成下面的证明：
已知：如图，∠1＝30°，∠B＝60°，AB⊥AC．求证：AD∥BC．
证明：∵AB⊥AC（已知）
∴∠ ＝90°（ ）
∵∠1＝30°，∠B＝60°（已知）
∴∠1+∠BAC+∠B＝ （ ）
即∠ +∠B＝180°
∴AD∥BC（ ）
【答案】
证明：∵（已知），
∴（垂直的定义），
∵，（已知），
∴（等量关系），
即，
∴（同旁内角互补，两直线平行）．
【解析】
先根据垂直的定义可得，再根据角的和差可得，从而可得，然后根据平行线的判定即可得证．
12．（2022·全国·）已知：如图，，和互余，和互余，求证：．
【答案】
解：证明：∵∠1和∠D互余，∠2和∠D互余，
∴∠1=∠2，
∵∠C=∠1，
∴∠C=∠2，
∴AB∥CD．
【解析】
根据题意先由∠1和∠D互余，∠2和∠D互余，得到∠1=∠2，再由已知∠C=∠1，所以得∠C=∠2，从而证得AB∥CD．
13．（2022·全国·）已知：，点G在上，B、C、G三点在同一条直线上，且，，求证：．
【答案】
证明：，，、、三点在同一条直线上，
，
，
又，
．
【解析】
由已知条件可得，从而得，再结合，则有．
14．（2022·全国·）已知：如图，请分别依据所给出的条件，判定相应的哪两条直线平行？并写出推理的根据．
（1）如果∠2＝∠3，那么____________．(____________，____________)
（2）如果∠2＝∠5，那么____________．(____________，____________)
（3）如果∠2＋∠1＝180°，那么____________．(____________，____________)
（4）如果∠5＝∠3，那么____________．(____________，____________)
【答案】
（1）如果∠2＝∠3，那么EF∥DC．(内错角相等，两直线平行)；
（2）如果∠2＝∠5，那么EF∥AB．(同位角相等，两直线平行)；
（3）如果∠2＋∠1＝180°，那么AD∥BC．(同旁内角互补，两直线平行)；
（4）如果∠5＝∠3，那么AB∥CD．(内错角相等，两直线平行．
故答案为：（1）EFDG，内错角相等，两直线平行；（2）ABEF，同位角相等，两直线平行；（3）ADBC，同旁内角互补，两直线平行；（4）ABDG，内错角相等，两直线平行．
【解析】
（1）根据两直线被第3条直线所截，确定∠2，∠3的位置为内错角，然后再判断直线平行即可；
（2）根据两直线被第3条直线所截，确定∠2，∠5的位置为同位角，然后再判断直线平行即可；
（3）根据两直线被第3条直线所截，确定∠2，∠1的位置为同旁内角，然后再判断直线平行即可；
（4）根据两直线被第3条直线所截，确定∠5，∠3的位置为内错角，然后再判断直线平行即可．
15．（2021·山东·日照市新营中学）在四边形ABCD中，CF⊥BD于点F，过点A作AG⊥BD，分别交BD，BC于点E，G，若∠DAG＝∠BCF，求证：AD∥BC．
【答案】
证明：∵CF⊥BD，AG⊥BD，
∴CF∥AG，
∴∠BGA=∠BCF，
∵∠DAG=∠BCF，
∴∠BGA=∠DAG，
∴AD∥BC．
【解析】
根据垂直于同一直线的两直线平行得出，CF∥AG，得出∠BGA=∠BCF，等量代换得到∠BGA=∠DAG，即可判定AD∥BC．
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