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5.3.1 平行线的性质
一、单选题
1．（2021·河南中原·）如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，则下列结论不正确的是（ ）
A．∠3+∠5＝180° B．∠2＝∠4 C．∠2＝∠5 D．∠5+∠1＝180°
【答案】B
【解析】
解：A、由a∥b，根据“两直线平行，同旁内角互补”可得∠3+∠5=180°，故A不符合题意；
B、由a∥b，根据“两直线平行，同旁内角互补”可得∠2+∠4=180°，但∠2与∠4不一定相等，故B符合题意；
C、由a∥b，根据“两直线平行，内错角相等”可得∠2=∠5，故C不符合题意；
D、由a∥b，得到∠3+∠5=180°，又因为∠3=∠1，所以∠5+∠1=180°，故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，同旁内角互补”、 “两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
2．（2022·辽宁铁西·）一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若∠1＝28°，则∠2＝（ ）
A．62° B．58° C．52° D．48°
【答案】A
【解析】
解：如图，过三角板的直角顶点作直尺两边的平行线，
∵直尺的两边互相平行，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】
本题考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
3．（2021·山东郯城·）如图，在中，∠AEC＝50°，平分，则的度数为（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
【答案】A
【解析】
解：∵AB∥CD，
∴∠ABC=∠BCD，∠ECD=∠AEC=50°
∵CB平分∠DCE，
∴∠BCE=∠BCD =∠ECD=25°
∠ABC=∠BCD=25°
故选A．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质：两直线平行，内错角相等是解题的关键．
4．（2021·北京广渠门中学教育集团）如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1＝100°，∠2＝60°．要使木条a与b平行，木条a顺时针旋转的度数至少是（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
【答案】B
【解析】
解：如图，当时，∠2+∠3＝180°
∵∠2＝60°
∴∠3＝120°
∵∠1＝∠3
∴∠1＝120°
∵现在木条a与木条c的夹角∠1＝100°
∴木条a顺时针旋转的度数至少是120°﹣100°＝20°
故选：B．
【点睛】
本题考查了对顶角，平行线的性质．解题的关键在于确定角度之间的数量关系．
5．（2022·福建仓山·）如图所示，AB∥CD，若∠2＝2∠1﹣6°，则∠2等于（ ）
A．116° B．118° C．120° D．124°
【答案】B
【解析】
解：如图：
∵AB∥CD，
∴∠2+∠3＝180°，
∴∠3＝180°-∠2，
∵∠1＝∠3，
∴∠1＝180°-∠2，
∴∠2＝2（180°-∠2）﹣6°，
∴∠2＝118°，
故选：B．
【点睛】
此题考查了对顶角性质和平行线的性质，掌握两直线平行同旁内角互补是解答此题的关键．
二、填空题
6．（2021·浙江温州·）一副三角尺ABC，DEF拼接成如图所示的图形，其中∠B＝30°，∠D＝45°，DF经过点A，两斜边AB与DE互相平行，则∠CAF＝_____度．
【答案】
【解析】
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了三角尺求角度，平行线的性质，根据平行线的性质求得是解题的关键．
7．（2021·全国·）按要求完成下列证明：如图，点，，分别是三角形的边，，上的点，，．求证：．
证明：，
．
，
．
．
【答案】，两直线平行，内错角相等；，等量代换；同位角相等，两直线平行
【解析】
解：证明：
两直线平行，内错角相等）
（已知）
（等量代换）
（同位角相等，两直线平行）
故答案为：，两直线平行，内错角相等；，等量代换；同位角相等，两直线平行．
8．（2022·全国·）两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补．
简称：两直线平行，同旁内角_________．
如图，因为a∥b （已知），
所以∠1＋∠2＝_________（两直线平行，同旁内角互补） ．
【答案】 互补 180°
【解析】本题主要考查了平行线的性质与判定．解题的关键在于用角的数量关系判断两直线的位置关系．
9．（2021·福建·泉州五中）如图将一条两边互相平行的纸带按如图折叠，若∠EFG＋∠EGD=150°，则∠EGD=_____
【答案】
【解析】
解：
∠EFG＋∠EGD=150°，
∠EGD=
折叠
故答案为：．
【点睛】
本题考查折叠的性质、平行线的性质等知识，两直线平行，同旁内角互补，掌握相关知识是解题关键．
10．（2021·黑龙江·哈尔滨市萧红中学）两个角和的两边互相平行，且角比角的2倍少30°，则这个角是____________度．
【答案】或##110°或30°
【解析】
解：设的度数为，则的度数为，
如图1，和互相平行，可得：∠2＝∠3，
同理：∠1＝∠3，
∴∠2＝∠1，
∴当两角相等时：，
解得：，
如图2，和互相平行，可得：∠2＋∠3＝，
而和互相平行，得∠1＝∠3，
∴∠2＋∠1＝，
∴当两角互补时：，
解得：，
，
故填：或．
【点睛】
本题考查平行线的性质和方程的应用，分类讨论思想是关键.
三、解答题
11．（2022·甘肃会宁·）如图所示，点、分别在、上，、均与相交，，，求证：．
【答案】
证明：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【解析】
由，证明，再证，最后根据对顶角相等，可得答案．
本题主要考查了平行线的性质与判定，对顶角的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
12．（2021·福建·厦门市湖里中学）如图，点A在的一边OA上．按要求画图并填空．
（1）过点A画直线，与的另一边相交于点B；
（2）过点A画OB的垂线AC，垂足为点C；
（3）过点C画直线，交直线AB于点D；
（4）直接写出______°；
（5）如果，，，那么点A到直线OB的距离为______．
【答案】
解：（1）如图，直线即为所求；
（2）如图，垂线即为所求；
（3）如图，直线即为所求；
（4），
，
，
，
故答案为：90；
（5），
，即，
解得，
即点到直线的距离为，
故答案为：．
【解析】
（1）根据垂线的画法即可得；
（2）根据垂线的画法即可得；
（3）根据平行线的画法即可得；
（4）根据平行线的性质可得；
（5）利用三角形的面积公式即可得．
13．（2022·吉林南关·）如图，己知AB∥DC，AC⊥BC，AC平分∠DAB，∠B＝50°，求∠D的大小．
阅读下面的解答过程，并填括号里的空白（理由或数学式）．
解：∵AB∥DC（ ），
∴∠B+∠DCB＝180°（ ）．
∵∠B＝（ ）（已知），
∴∠DCB＝180°﹣∠B＝180°﹣50°＝130°．
∵AC⊥BC（已知），
∴∠ACB＝（ ）（垂直的定义）．
∴∠2＝（ ）．
∵AB∥DC（已知），
∴∠1＝（ ）（ ）．
∵AC平分∠DAB（已知），
∴∠DAB＝2∠1＝（ ）（角平分线的定义）．
∵AB∥DC（己知），
∴（ ）+∠DAB＝180°（两条直线平行，同旁内角互补）．
∴∠D＝180°﹣∠DAB＝ ．
【答案】
解：∵（已知），
∴（两直线平行，同旁内角互补）．
∵（已知），
∴．
∵（已知），
∴（垂直的定义）．
∴．
∵（已知），
∴（两直线平行，内错角相等）．
∵平分（已知），
∴（角平分线的定义）．
∵（己知），
∴（两条直线平行，同旁内角互补）．
∴．
【解析】
先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据垂直的定义可得，从而可得，然后根据平行线的性质可得，根据角平分线的定义可得，最后根据平行线的性质即可得．
14．（2021·上海金山·）如图，已知AB∥CD，AD和BC交于点O，E为OC上一点，F为CD上一点，且∠CEF+∠BOD＝180°．说明∠EFC＝∠A的理由．
【答案】
证明：∵AB∥CD，
∴∠A=∠D，
∵∠CEF+∠BOD=180°，∠BOD+∠DOC=180°，
∴∠CEF=∠DOC．
∴EF∥AD．
∴∠EFC=∠D，
∵∠A=∠D，
∴∠EFC=∠A．
【解析】
由AB∥DC可得到∠A与∠D的关系，再由∠CEF+∠BOD=180°可得到∠CEF=∠COD，根据平行线的判定定理可得EF∥AD，可得∠D与∠EFC的关系，等量代换可得结论．
15．（2021·山东冠县·）如图，，，平分，， ，求的度数．
【答案】
解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴．
【解析】
根据平行于同一条直线的两直线平行可得，再根据平行线的性质可得进而可得度数，然后求出度数，再根据角平分线的性质可得，再利用平行线的性质觉得答案．
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5.3.1 平行线的性质
一、单选题
1．（2021·河南中原·）如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，则下列结论不正确的是（ ）
A．∠3+∠5＝180° B．∠2＝∠4 C．∠2＝∠5 D．∠5+∠1＝180°
2．（2022·辽宁铁西·）一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若∠1＝28°，则∠2＝（ ）
A．62° B．58° C．52° D．48°
3．（2021·山东郯城·）如图，在中，∠AEC＝50°，平分，则的度数为（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
4．（2021·北京广渠门中学教育集团）如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1＝100°，∠2＝60°．要使木条a与b平行，木条a顺时针旋转的度数至少是（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
5．（2022·福建仓山·）如图所示，AB∥CD，若∠2＝2∠1﹣6°，则∠2等于（ ）
A．116° B．118° C．120° D．124°
二、填空题
6．（2021·浙江温州·）一副三角尺ABC，DEF拼接成如图所示的图形，其中∠B＝30°，∠D＝45°，DF经过点A，两斜边AB与DE互相平行，则∠CAF＝_____度．
7．（2021·全国·）按要求完成下列证明：如图，点，，分别是三角形的边，，上的点，，．求证：．
证明：，
．
，
．
．
8．（2022·全国·）两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补．
简称：两直线平行，同旁内角_________．
如图，因为a∥b （已知），
所以∠1＋∠2＝_________（两直线平行，同旁内角互补） ．
9．（2021·福建·泉州五中）如图将一条两边互相平行的纸带按如图折叠，若∠EFG＋∠EGD=150°，则∠EGD=_____
10．（2021·黑龙江·哈尔滨市萧红中学）两个角和的两边互相平行，且角比角的2倍少30°，则这个角是____________度．
三、解答题
11．（2022·甘肃会宁·）如图所示，点、分别在、上，、均与相交，，，求证：．
12．（2021·福建·厦门市湖里中学）如图，点A在的一边OA上．按要求画图并填空．
（1）过点A画直线，与的另一边相交于点B；
（2）过点A画OB的垂线AC，垂足为点C；
（3）过点C画直线，交直线AB于点D；
（4）直接写出______°；
（5）如果，，，那么点A到直线OB的距离为______．
13．（2022·吉林南关·）如图，己知AB∥DC，AC⊥BC，AC平分∠DAB，∠B＝50°，求∠D的大小．
阅读下面的解答过程，并填括号里的空白（理由或数学式）．
解：∵AB∥DC（ ），
∴∠B+∠DCB＝180°（ ）．
∵∠B＝（ ）（已知），
∴∠DCB＝180°﹣∠B＝180°﹣50°＝130°．
∵AC⊥BC（已知），
∴∠ACB＝（ ）（垂直的定义）．
∴∠2＝（ ）．
∵AB∥DC（已知），
∴∠1＝（ ）（ ）．
∵AC平分∠DAB（已知），
∴∠DAB＝2∠1＝（ ）（角平分线的定义）．
∵AB∥DC（己知），
∴（ ）+∠DAB＝180°（两条直线平行，同旁内角互补）．
∴∠D＝180°﹣∠DAB＝ ．
14．（2021·上海金山·）如图，已知AB∥CD，AD和BC交于点O，E为OC上一点，F为CD上一点，且∠CEF+∠BOD＝180°．说明∠EFC＝∠A的理由．
15．（2021·山东冠县·）如图，，，平分，， ，求的度数．
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