(共24张PPT)
数学（人教版）
七年级 下册
2022春人教版七下数学同步精品教学课件
5.3.2 命题、定理、证明
1.理解命题，定理及证明的概念，会区分命题的题设和结论；（重点）
2. 会判断真假命题，知道证明的意义及必要性，了解反例的作用. （重点、难点）
学习目标
小花与小明正在津津有味地阅读一本科学类的图书.
这个黑客终于被逮住了.
是的,现在的互联网给我们的生活带来了, 但…….
这个黑客是个小偷.
是个喜欢穿黑衣服的贼.
坐在旁边的两个人一边听着他们的谈话，一边也在悄悄地议论着.
情境导入
小刚的百米成绩有进步，已达到9秒9.
好！继续努力,争取跑进9秒.
操场上，裁判员向老师汇报训练成绩.
情境导入
下列语句在表述形式上，有什么共同特点？
（1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这
两条直线也互相平行；
（2）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；
（3）对顶角相等；
（4）等式两边都加同一个数，结果仍是等式．
你的发现：这些语句都是对一件事情作出了判断.
观察与思考
2.如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断,那么
它就不是命题.
如：画线段AB=CD.
1.只要对一件事情作出了判断,不管正确与否,都是命题.
如：相等的角是对顶角.
注意：
像这样判断一件事情的语句，叫作命题（proposition）.
命题的定义与结构
一、命题的概念
探究新知
例1 判断下列四个语句中，哪个是命题， 哪个不是命题？并说明理由：
（1）对顶角相等吗？
（2）画一条线段AB=2cm;
（3）两条直线平行，同位角相等；
（4）相等的两个角，一定是对顶角.
解：（3）（4）是命题，（1）（2）不是命题.
理由如下：（1）是问句，故不是命题；（2）是做一件事情，也不是命题.
探究新知
观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的结构特
征？与同伴交流.
（1）如果两个三角形的三条边相等，那么这两个三角形的周长相等；
（2）如果两个数的绝对值相等，那么这两个数也相等；
（3）如果一个数的平方等于9，那么这个数是3.
都是“如果……那么……”的形式
二、命题的结构
探究新知
命题一般都可以写成“如果……那么……”的形式.
1.“如果”后接的部分是题设,
2.“那么”后接的部分是结论.
如命题：熊猫没有翅膀.改写为：
如果这个动物是熊猫，那么它就没有翅膀.
注意：添加“如果”“那么”后，命题的意义不能改变，改写的句子要完整，语句要通顺，使命题的题设和结论更明朗，易于分辨，改写过程中，要适当增加词语，切不可生搬硬套.
探究新知
命题
题设
结论
已知事项
由已知事项推出的事项
两直线平行 同位角相等
题设（条件）
结论
命题的组成：
总结归纳
特别规定：
正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题.
命题1：“如果一个数能被4整除，那么它也能被2整除”
观察下列命题,你能发现这些命题有什么不同的特点吗？
命题1是一个正确的命题;命题2是一个错误的命题.
命题2：“如果两个角相等，那么它们是对顶角”
真命题与假命题
合作探究
1.数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理.
两点确定一条直线.
两点间线段最短.
经过直线外的一点有且仅有一条直线与已知直线平行.
两直线平行，同位角相等.
同位角相等，两直线平行.
直线公理：
线段公理：
平行线公理：
平行线性质公理：
平行线判定公理：
公理的概念
合作探究
2.有些命题是基本事实，还有些命题它们的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理.定理也可以作为继续推理的依据.
同角或等角的补角相等.
2.余角的性质：
同角或等角的余角相等.
4.垂线的性质：
①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
1.补角的性质：
3.对顶角的性质：
对顶角相等.
②垂线段最短.
学过的定理：
定理的概念
合作探究
在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫作证明.
注意：
证明的每一步推理都要有根据，不能“想当然”.
证明的概念
合作探究
（1）同旁内角互补（ ）
（3）两点可以确定一条直线（ ）
（6）互为邻补角的两个角的平分线互相垂直（ ）
（2）一个角的余角大于这个角（ ）
1、判断下列命题的真假.真命题的用“√”，假命题的用“× 表示.
（4）两点之间线段最短（ ）
×
√
（5）等角的补角相等（ ）
√
√
√
×
巩固提高
2.下列语句中，不是命题的是( )
A.两点之间线段最短
B.对顶角相等
C.不是对顶角不相等
D.过直线AB外一点P作直线AB的垂线
D
3.下列命题中，是真命题的是( )
A.若a·b＞0，则a＞0，b＞0
B.若a·b＜0，则a＜0，b＜0
C. 若a·b＝0，则a＝0且b＝0
D.若a·b＝0，则a＝0或b＝0
D
巩固提高
4.举反例说明下列命题是假命题．
(1)若两个角不是对顶角，则这两个角不相等；
(2)若ab＝0，则a＋b＝0.
解：(1)两条直线平行形成的内错角，这两个角不
是对顶角，但是它们相等；
(2)当a＝5，b＝0时，ab＝0，但a＋b≠0.
巩固提高
证明：∵AB∥CD(已知)，
∴∠BPQ＝∠CQP(两直线平行,内错角相等)．
又∵PG平分∠BPQ，QH平分∠CQP(已知)，
∴∠GPQ＝ ∠BPQ,∠HQP＝ ∠CQP(角平
分线的定义)，
∴∠GPQ＝∠HQP(等量代换)，
∴PG∥HQ(内错角相等，两直线平行)．
5.如图，已知AB∥CD，直线AB，CD被直线MN
所截，交点分别为P，Q，PG平分∠BPQ，
QH平分∠CQP，
求证：PG∥HQ.
A
B
C
D
M
N
P
Q
H
G
巩固提高
1.命题的定义:
2.命题的组成:
3.命题的分类：
真命题
假命题
公理
定理
（只需举一个反例）
（不需证明）
（由推理证实）
判断一件事情的句子
题设和结论
课堂小结
1.下列命题是假命题的是( )
A.同位角相等
B.对顶角相等
C.钝角三角形有两个锐角
D.两直线平行，内错角相等
A
当堂检测
2.下列命题是假命题的有( )
①若=4，则a=2；
②若a>b，则>；
③若a>b， b>c，则a>c；
④若|a|=|b|，则=.
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
B
3.下列句子哪些是命题？是命题的，指出是真命题还
是假命题？
（1）一条狗有四只脚；
（2）内错角相等；
（3）画一条直线；
（4）四边形是正方形；
（5）你的黑板报做完了吗？
（6）内错角相等，两直线平行；
（7）平行于同一直线的两直线平行；
（8）过点P画线段MN的垂线；
（9）x<3.
是
真命题
否
是
假命题
是
假命题
否
是
真命题
是
真命题
否
否
当堂检测
4.在下面的括号内，填上推理的依据.
如图，AB ∥ CD,CB ∥ DE ,
求证：∠ B+ ∠D=180°.
证明：∵ AB ∥ CD,
∴ ∠B= ∠C( ).
∵ CB ∥ DE，
∴ ∠ C+ ∠ D=180°( )，
∴ ∠ B+ ∠ D=180°( ).
等量代换
两直线平行，内错角相等
两直线平行，同旁内角互补
当堂检测
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5.3.2 命题、定理、证明
一、单选题
1．（2021·湖北江汉·）下列说法正确的是（ ）
A．锐角的补角不一定是钝角 B．一个角的补角一定大于这个角
C．若两个角是同一个角的补角，则此两角相等 D．锐角和钝角互补
2．（2021·吉林朝阳·）在证明命题“若，则”是假命题时，下列选项中所举反例不正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·浙江龙湾·）可以用来说明命题“x2＜y2，则x＜y”是假命题的反例是（ ）
A．x＝4，y＝3 B．x＝﹣1，y＝2 C．x＝﹣2，y＝1 D．x＝2，y＝﹣3
4．（2021·浙江·杭州江南实验学校）下列命题是真命题的是（ ）
A．等边对等角
B．周长相等的两个等腰三角形全等
C．等腰三角形的角平分线、中线和高线互相重合
D．三角形一条边的两个顶点到这条边上的中线所在直线的距离相等
5．（2021·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校）下列命题的逆命题一定成立的是（ ）
A．如果两个角是直角，那么这两个角相等 B．如果两个实数相等，那么它们的平方相等
C．等边三角形是锐角三角形 D．两直线平行，同位角相等
二、填空题
6．（2021·湖北孝南·）若a＝b，则，则它的逆命题是________________，该命题是填（“真、假”）命题：___．
7．（2021·内蒙古额尔古纳·）已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内，下列四条命题：
①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c．其中假命题的是___．（填写序号）
8．（2021·河南西峡·）把“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”改写成“如果…那么…”的形式是：________________________．
9．（2021·江苏镇江·）要用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”，首先应假设___．
10．（2021·全国·）下列命题，①对顶角相等；②两直线平行，同位角相等；③平行四边形的对角相等．其中逆命题是真命题的命题共有__个．
三、解答题
11．（2021·江苏玄武·）证明：两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行．
（画出图形，写出已知、求证，并证明）
已知：__________________________
求证：__________________________
证明：
12．先写出命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题，再判断这个逆命题的真假，并说明理由.
13．（2020·河南·郑州市第八十中学）与同伴做以下游戏：每个人从同一副扑克牌（去掉大小王和J，Q，K）中选取3张黑色和3张红色牌（规定黑色为负，红色为正），使得6张牌的总分为0．两人轮流从同伴手中抽取1张牌，10次后，计算每人手中牌的总分，得分高者为胜．
温馨提示：一副扑克牌的组成【大、小王和4个花色：红桃，方块为红色，黑桃、梅花为黑色，每个花色计13张从1到10，J，Q，K共计54张】
（1）你希望抽到哪种颜色的牌？你希望哪种颜色的牌不被抽走？
（2）游戏结束后，你手中牌的总分与同伴手中牌的总分有什么关系？
（3）你可能得到的最高分是多少？
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5.3.2 命题、定理、证明
一、单选题
1．（2021·湖北江汉·）下列说法正确的是（ ）
A．锐角的补角不一定是钝角 B．一个角的补角一定大于这个角
C．若两个角是同一个角的补角，则此两角相等 D．锐角和钝角互补
【答案】C
【解析】
解：A、因为锐角的补角与锐角之和为180°，所以锐角的补角一定是钝角，所以本说法不符合题意；
B、当这个角为120°时，120°的补角是60°，所以本说法不符合题意；
C、根据等角的补角相等．所以本说法符合题意；
D、锐角和钝角的度数不确定，不能确定锐角和钝角是否互补，所以本说法不符合题意；
故选C．
【点睛】
本题主要考查的是余角和补角的概，如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角；如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角．
2．（2021·吉林朝阳·）在证明命题“若，则”是假命题时，下列选项中所举反例不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
显然A选项既满足命题的条件也满足命题的结论，故不是举反例，其它三个选项满足命题的条件，但不满足命题的结论，所以都是举反例；
故选：A
【点睛】
本题考查了命题的真假，说明一个命题是假命题要举反例．掌握举反例的含义是关键．
3．（2021·浙江龙湾·）可以用来说明命题“x2＜y2，则x＜y”是假命题的反例是（ ）
A．x＝4，y＝3 B．x＝﹣1，y＝2 C．x＝﹣2，y＝1 D．x＝2，y＝﹣3
【答案】D
【解析】
解：当x＝2，y＝﹣3时，x2＜y2，但x＞y，
故选：D．
【点睛】
此题考查的是命题与定理，要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可这是数学中常用的一种方法．
4．（2021·浙江·杭州江南实验学校）下列命题是真命题的是（ ）
A．等边对等角
B．周长相等的两个等腰三角形全等
C．等腰三角形的角平分线、中线和高线互相重合
D．三角形一条边的两个顶点到这条边上的中线所在直线的距离相等
【答案】D
【解析】
解：A、在一个三角形中，等边对等角，所以A选项错误；
B、周长相等的两个等腰三角形不一定全等，所以B选项错误；
C、等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高线互相重合，所以C选项错误；
D、三角形一条边的两个顶点到这条边上的中线所在直线的距离相等，所以D选项正确．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了命题真假判断，结合全等三角形的判定，三角形的边角关系，等腰三角形的性质进行证明是解题的关键．
5．（2021·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校）下列命题的逆命题一定成立的是（ ）
A．如果两个角是直角，那么这两个角相等 B．如果两个实数相等，那么它们的平方相等
C．等边三角形是锐角三角形 D．两直线平行，同位角相等
【答案】D
【解析】
解：A、逆命题是如果两个角相等，那么两个角是直角，是假命题，故本选项错误；
B、逆命题是如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等，是假命题，故本选项错误；
C、逆命题是锐角三角形是等边三角形，是假命题，故本选项错误；
D、逆命题是同位角相等，两直线平行，是真命题，故本选项正确．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了逆命题的真假性，把原命题改写成逆命题是关键．
二、填空题
6．（2021·湖北孝南·）若a＝b，则，则它的逆命题是________________，该命题是填（“真、假”）命题：___．
【答案】 如果，那么 假
【解析】
解：命题“如，那么”的逆命题是如果，那么，
如果，那么，是假命题，如：，，则，但，
故答案为：如果，那么；假．
【点睛】
本题考查了命题的逆命题、以及命题的真假判断，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
7．（2021·内蒙古额尔古纳·）已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内，下列四条命题：
①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c．其中假命题的是___．（填写序号）
【答案】③
【解析】
解：①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c，正确，是真命题；
②如果b∥a，c∥a，那么b∥c，正确，是真命题；
③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c，错误，应该是b∥c，故原命题是假命题；
④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c，正确，是真命题．
假命题有③，
故答案为：③．
【点睛】
本题考查两直线的位置关系，解题的关键是掌握垂直于同一直线的两条直线平行，平行于同一直线的两条直线平行．
8．（2021·河南西峡·）把“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”改写成“如果…那么…”的形式是：________________________．
【答案】如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等
【解析】
拆分原命题，可得条件为“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形”，结论为“两个直角三角形全等”，故改写成“如果…那么…”的形式是：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等．
【点睛】
本题考查了学生写出命题的题设与结论的能力，是学习证明推理的预备能力要求．
9．（2021·江苏镇江·）要用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”，首先应假设___．
【答案】每一个内角都大于60°
【解析】
解：根据反证法的步骤，第一步应假设结论的反面成立，即三角形的每一个内角都大于60°．
故答案为：每一个内角都大于60°．
【点睛】
此题主要考查了反证法，反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
10．（2021·全国·）下列命题，①对顶角相等；②两直线平行，同位角相等；③平行四边形的对角相等．其中逆命题是真命题的命题共有__个．
【答案】
【解析】
解：对顶角相等的逆命题为相等的角为对顶角，此逆命题为假命题；
两直线平行，同位角相等的逆命题为同位角相等，两直线平行，此逆命题为真命题；
平行四边形的对角相等的逆命题为对角相等的四边形是平行四边形，此逆命题为假命题．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了命题与命题：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式；有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了逆命题．
三、解答题
11．（2021·江苏玄武·）证明：两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行．
（画出图形，写出已知、求证，并证明）
已知：__________________________
求证：__________________________
证明：
【答案】
解：画出图形如下：
已知：，平分，平分
求证：
证明：∵平分，平分
∵
∴
∴
∴．
【解析】
先画好符合题意的图形，证明 ，再证明，从而可得，从而可得结论.
12．先写出命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题，再判断这个逆命题的真假，并说明理由.
【答案】
∵原命题的条件是：两个全等三角形，结论是：它们的面积相等，
∴逆命题是：面积相等的两个三角形是全等三角形；
∵面积相等的两个三角形不一定是全等三角形，
∴逆命题是假命题.
【解析】
找到原命题的条件和结论，交换它们的位置，适当组织语言，使之通顺，即可.
13．（2020·河南·郑州市第八十中学）与同伴做以下游戏：每个人从同一副扑克牌（去掉大小王和J，Q，K）中选取3张黑色和3张红色牌（规定黑色为负，红色为正），使得6张牌的总分为0．两人轮流从同伴手中抽取1张牌，10次后，计算每人手中牌的总分，得分高者为胜．
温馨提示：一副扑克牌的组成【大、小王和4个花色：红桃，方块为红色，黑桃、梅花为黑色，每个花色计13张从1到10，J，Q，K共计54张】
（1）你希望抽到哪种颜色的牌？你希望哪种颜色的牌不被抽走？
（2）游戏结束后，你手中牌的总分与同伴手中牌的总分有什么关系？
（3）你可能得到的最高分是多少？
【答案】
解：(1)∵红色代表正分，黑色代表负分，
∴希望抽到红颜色的牌，不希望红颜色的牌抽走，
故答案为：希望抽到红颜色的牌，不希望红颜色的牌抽走；
(2)∵每人手中6张牌的总分为零，
∴无论多少次后，总分之和为0，
故答案为：手中牌的总分与同伴手中牌的总分之和为0；
(3)假设抽到的三张牌均为红色牌且为8、9、10时，
可能得到的最高分是：2×(10+9+8)＝54(分)，
故答案为：54分．
【解析】
(1)根据题意红色牌代表正分，黑色牌代表负分，进而得出答案；
(2)利用每人得6张牌的总分为零，即可得出手中牌的总分与同伴手中的总分关系；
(3)假设抽到三张红色牌且为8，9，10，进而得出答案．
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