华东师大版七年级下册数学：9.1.2 三角形的内、外角平分线探究 教案

三角形的内、外角平分线探究
教学目标：
1、进一步理解三角形内、外角平分线的性质与应用；
2、体会将具体的实际问题经过分析、简化，转化为一个有共性的数学问题,然后用较为模式化的数学方法去解决的数学建模思想；
3、初步体会设而不求的方程思想，进一步掌握方程组中的消元技巧。
重难点：理解三角形内、外角平分线所形成的夹角的特点，从而运用到实际解题中是重点；
解题中的设而不求的设元消元思想是难点。
教学过程：
引入：期中考压轴题（展示台展示）
一、类比分析，寻找根源
1、（1）如图，点A、O、B在同一条直线上，OE、OF分别平分∠AOC、∠BOC
求∠EOF度数。
解法一：∵OE、OF是AOC和BOC的角平分线，
∴ ，
∴
解法二：∵OE、OF是AOC和BOC的角平分线，
∴设，
则，
∴
（注：方法二的好处在于给角的大小明码标价了，从而将几何的逻辑推理转化为代数的数量运算，方便学生的理解）
若点A、O、B不在同一条直线上，∠EOF与∠AOB有什么关系呢？
∠EOB、∠COB、∠AOB三者又有什么关系呢？
（2）如图，AE∥DF, BM、CM分别平分∠CBE、∠BCF
则∠BMC度数为 。
二、依样葫芦，深入探究。
2、阅读第（1）小题的解题方法，体会解法中消元思想，然后解决有关问题：
（1）如图1，若M是ABC和ACB的角平分线的交点，指出图中∠M和∠A的关系,并加以证明.
解：
证明：∵M点是ABC和ACB的角平分线的交点，
∴设
∵三角形的内角和是1800
∴
得：
∴
仿照第（1）题的解法解决第（2）两题
（2）如图2，若N点是外角CBF和外角BCE的角平分线的交点，
指出图中∠N和∠A的关系,并加以证明.
（3）如图3，若P点是外角ACG和ABC的角平分线的交点，
则图中∠P和∠A的关系为 .
三、公式整合，融会贯通
问：例1中∠BMC、∠BNC与∠BPC有什么关系呢？
基本公式：
(1) ①
(2) ②
(3) ③
公式变形：
(4) ③代入①得：
能不能更加直观的观察出来呢？900体现在图中的什么地方？
(5) ③代入②得：
（6）①+② 得：
（7）①－② 得：
如果没有,∠BMC、∠BMC与∠BPC又有什么关系呢？你有其它解法吗？
四、初步应用，体会数学建模思想
1、如图，AC⊥BC，设∠BAC的邻补角和∠ABC的邻补角平分线相交于点P，则∠P＝ 度
2、如图，在△ABC中，∠A＝n0．∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2； ……；∠A2015BC与∠A2015CD的平分线相交于点A2016，得∠A2016 ．则∠A2016＝ ．
3、如图，已知∠MON=90°，点A，B分别在射线OM，ON上移动，BE是∠ABN的平分线，BE的反向延长线与∠OAB的平分线交于点C，试问:当A、B运动时，∠ACB的大小是否发生变化？
五、拓展提高，体会设参后的消元思想
1、例：如图，若M点是ABD和ACD的角平分线的交点，指出图中∠M、∠D和∠A的关系,并加以证明.
析：通过构建数学模型“凹四边形”及设元消元求解
六、作业：
1、下列各小题中，都有OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．
（1）如图①, 若OA在∠BOC的外部，则∠AOB与∠EOF的数量关系是：
∠AOB= ∠EOF．
（2）如图②，若OA在∠BOC的内部，则题（1）中的数量关系是否仍成立？若成立,
请说明理由．
2、如图，已知MA∥NB，CA平分∠BAE，CB平分∠ABN，点D是射线AM上一动点，连接CD，当点D在射线AM（不包括A点）上滑动时，∠ADC+∠ACD+∠ABC的度数是否发生变化？
3、如图，,OE、OF分别是∠AEB和∠AFD的角平分线，则判断OE、OF的位置关系并说明理由。
4、如图，点E在AC的延长线上，∠BAC与∠DCE的平分线交于点F，∠B=600，∠F=500。
求：∠BDC的度数。
B
A
C
D
A1
A2
E
C
B
F
A
O
（图②）
E
C
B
F
A
O
（图①）
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