高一年级开学考试数学试卷参考答案
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合,,则则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
由，可得或，或，
所以或.故选：B
2、命题“”的否定是（ ）
A. B． C． D．
【答案】B
3．“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】“”“”，“” “”，
“”是“”的充分而不必要条件，
故“”是“”的的充分而不必要条件，故选：．
4．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片的数字之积为偶数的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】从4张卡片上分别写有数字1，2，3，4中随机抽取2张的基本事件有：
12，13，14，23，24，34，一共6种，
其中数字之积为偶数的有：12，14，23，24，34一共有5种，
所以取出的2张卡片的数字之积为偶数的概率为，故选：A
5.函数的零点所在的一个区间为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为在上单调递增，所以函数至多有一个零点，
因为，，
所以，
所以的零点所在的一个区间为，
故选：A
6.如图所示的是收集某城市在一月的气象采集点处的平均气温(单位：)的数据制成的频率分布直方图，图中有一处因污迹看不清．已知各采集点的平均气温范围是，且平均气温低于的采集点个数为，则平均气温不低于的采集点个数为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由图可知，平均气温在和的频率相等，且组距为，
所以平均气温在的频率是，
低于的频率是，而平均气温低于的采集点个数是，
所以样本容量为，则平均气温不低于的采集点个数为，故选：D．
7.函数的图象大致为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】由题意知，，解得，所以定义域关于原点对称，又因为，所以此函数为奇函数，图像关于原点对称，排除A.当时，，排除B.，函数只有1个零点，排除C.故选：D
8. 8、已知函数,分别是定义在上的偶函数和奇函数，且满足，若关于的方程有唯一的实数解，则实数的值为（ ）
A． B． C．1 D．
【详解】
，分别是定义在上的偶函数和奇函数，，，，又①，
②①+②：，，
设，为偶函数，当且仅当时为唯一零点，，解得
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9、下表记录了某地区一年之内的月降水量
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
月降水量/mm 58 48 53 46 56 56 51 71 56 53 64 66
对于上述表格中的数据，说法正确的是（ ）
A. 该年份月降水量的极差是25mm B. 该年份月降水量的众数是53mm和56mm
C. 该年份月降水量的25％分位数是52mm D. 该年份月降水量的中位数是56mm
【答案】ACD
【详解】A. 该年份月降水量的极差是71-46=25mm，故正确；
B.该年份月降水量的众数是56mm，故错误；
C.该年份月降水量从小到大为46，48，51，53，53，56，56，56，56，58，64，66，71，，
所以年份月降水量的25％分位数是，故正确；
D. 该年份月降水量从小到大为46，48，51，53，53，56，56，56，56，58，64，66，71，
所以该年份月降水量的中位数是，故正确；
故选：ACD
10、若是第二象限角，则（ ）
A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角
C．是第二象限角 D．是第三或第四象限角或y轴负半轴上
【答案】B.D
【详解】
解：因为与关于x轴对称，而是第二象限角，所以是第三象限角，故A选项错误；
因为是第二象限角，所以，，所以，，故是第一或第三象限角，故B选项正确；因为是第二象限角，所以是第一象限角，故 C选项错误；
因为是第二象限角，所以，，所以，，所以的终边可能在y轴负半轴上，故D选项．故选：B.D
11、若，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．C． D．
故选：CD.
12、已知函数（，为自然对数的底数），则（ ）
A.函数至多有2个零点 B.当时，对，总有成立
C.函数至少有1个零点 D.当时，方程有3个不同实数根
12.【答 】ABC
【解析】当时，没有零点，有一个零点，所以函数有一个零点；当时，有一个零点，有一个零点，所以函数有两个零点；当时，有一个零点，没有零点，所以函数有一个零点，所以函数至多有2个零点，至少有1个零点，所以选项，AC正确；当时，是增函数，是增函数，且，，所以是增函数，选项B正确；当时，，由得，，所以由得或.由得，；由得，，所以当时，方程有4个不同实数根，故选项D错误.故选：ABC.
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．）
13. 已知幂函数的图象过点（2，），则___________
【答案】【详解】由题设，若，则，可得，
∴，故.故答案为：
14.已知函数满足，且当时，，则_____
答案为：2
15.已知一个样本容量为7的样本的平均数为5，方差为2，现样本加入新数据4，5，6，此时样本容量为10，若此时方差为=___________.
【详解】
设这10个数据分别为：，根据题意，，
所以，.
16．对于定义在R上的函数，如果存在实数使，那么叫做函数的一个不动点.若函数存在两个不动点，则实数m的取值范围是___________.
【详解】
要使函数存在两个不动点，只需直线与函数的图象有两个不同的交点即可.当时，显然与的图象有一个交点；
当时，需使与的图象有且只有一个交点，如示意图，则需的图象最多向下平移1个单位长度，向上则可以任意平移，所以，即.
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本题10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A（1,0）点，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动．
（1）若点B的横坐标为－，求sin α的值；
（2）若△AOB为等边三角形，写出与角终边相同的角的集合；
（3）若，请写出弓形AB的面积S与的函数关系式（注：弓形是指在圆中由弦及其所对的弧组成的图形）．
解：（1）由题意可得，根据三角函数的定义得.............................................（3分）
（2）若为等边三角形，则，
故与角终边相同的角β的集合为.............................................（6分）
（3）若，则扇形的面积为，
由，
所以弓形的面积为........................................（10分）
18. （本题12分）已知集合，．
（1）），求实数的取值范围；
（2）设，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【小问1详解】
由题意，
．，
实数的取值范围是．.......................................（6分）
【小问2详解】
命题，命题，是的必要不充分条件，
，推不出，即是的真子集，
，解得：．
实数的取值范围为．.......................................（12分）
19. （本题12分）甲乙两人用颗质地均匀的骰子（各面依次标有数字1、2、3、4、5、6的正方体）做游戏，规则如下：若掷出的两颗骰子点数之和为3的倍数，则由原投掷人继续投掷，否则由对方接着投掷．第一次由甲投掷．
（1）求第二次仍由甲投掷的概率；
（2）求游戏的前4次中乙投掷的次数为2的概率．
【解析】【小问1详解】
求第二次仍由甲投，说明第一次掷出的点数之和为3的倍数，所有的情况共有种，
其中，掷出的点数之和为3的倍数的情况有、、、、、，、
、、、、，共计12种情况，
故第二次仍由甲投掷的概率为．........................................（5分）
小问2详解】
由（1）可得掷出的两颗骰子点数之和为3的倍数的概率为，所以两颗骰子点数之和不为3的倍数的概率为，
游戏的前4次中乙投掷的次数为2，可能乙投掷的次数为第二次第三次，则概率为，
或第二次第四次，则概率为，或第三次第四次，则概率为，
以上三个事件互斥，所以其概率为........................................（12分）
20.（本小题12分）2021年5月，“共和国勋章”获得者、“杂交水稻之父”袁隆平先生辞世，他的功绩将永远被人们铭记：在他和几代科学家的共同努力下，中国用全世界7%的耕地，养活了全世界22%的人口，目前，我国年人均粮食占有量已经稳定在470千克以上，远高于国际公认的400千克粮食安全线，数学建模小组的同学想研究假如没有杂交水稻的推广，没有合理的人口、土地政策，仅以新中国成立时的自然条件为前提，我国年人均粮食占有量会如何变化？根据英国经济学家马尔萨斯《人口论》的观点“人口呈几何级数增长，而生活资料呈直线型增长”，该小组同学做了以下研究．根据马尔萨斯的理论，自然状态下人口增长模型为①（其中t表示经过的时间，表示时的人口数，r表示人口的年平均增长率，y表示t年后的人口数，单位：万人）根据国家统计局网站的数据，我国1950年末、1959年末的人口总数分别为55196万和67207万．该小组同学根据这两个数据，以1950年末的数据作为时的人口数，求得①式人口增长模型．
(1)请求出该小组同学①式的人口增长模型；
(2)根据马尔萨斯的理论，该小组同学把自然状态下粮食增长模型近似看作直线型模型，通过查阅我国1950年末至1959年末粮食产量，得到粮食增长模型近似为y=600t+13600（其中t表示经过的时间，y表示第t年的粮食年产量，单位：万吨）．（）表示从1950年末开始第t年的年人均粮食占有量，单位：吨/人．
①求满足的正整数k的最小值．
②按此模型，我国年人均粮食占有量能达到400千克吗？试说明理由．
参考数据：，，，．
【解析】(1)由题意可得，则，，
所以，所以，
所以．.......................................（5分）
(2)①由，得，所以，
化简得，即，解得，因为k为正整数，所以正整数k的最小值为24，
②由①当时，，所以当时，最大，
，即，
所以按此模型，我国年人均粮食占有量不能达到400千克．.......................................（12分）
21.已知函数，函数的图像与的图像关于对称.
（1）若函数在上有且仅有一个零点，求实数k的取值范围；
（2）是否存在实数m，使得函数在上的值域为，若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由.
解（1）由题意即关于x的方程在上有且仅有一个实根，
设，作出函数在上的图像（如下图）
，，由题意，直线与该图像有且仅有一个公共点，
所以实数k的取值范围是或.......................................（6分）
（2）记，
其中，在定义域上单调递增，则函数在上单调递增，
若存在实数m，使得的值域为，
则，即a，b是方程的两个不等正根，
即a，b是的两个不等正根，
所以解得，所以实数m的取值范围是........................................（12分）
22．已知函数，.
（1）若函数是函数的反函数，当时，函数的最小值为，求实数m的值；
（2）用表示m，n中的最大值，设函数，有2个零点，求实数m的范围.
（1），.
设，，
①若即时，，
②若，即时，，舍去
③若即时，，无解，舍去
综上所示：.......................................（6分）
（2）
①显然，当时，在无零点，舍去
②当时，，舍去
③时，解分别为，，
只需控制，不要均大于等于1即可
Ⅰ：，，，舍去
Ⅱ：，无解，
综上： .......................................（12分）高一年级开学考试数学试卷
单项选择题:(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中
只有一项是符合题目要求的)
1、已知集合A={xo9,则(C)nB=
A.(-,-3儿(2,+∞)B,(-∞,-3)U[2,+∞)C.(-∞,0)U(2,+∞)
D.(-,0)∪[2,+∞)
2、命题“x∈(0,+∞),e>1的否定是()
A.x∈(0,+∞),es1B.彐x0∈(0,+∞),eslC.xg(0,+∞),c2>l
彐x。g(0.+∞),
3、“log2a>log2b”是“2>2b”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件C.充分且不必要条件D.既不充分也不必要条件
4、4张卡片上分别写有数字1,2,3,4,从这4张卡片中随机抽取2张,则取出的2张卡片的数字之
积为偶数的概率为()
5、函数f(x)=x+log2x-2的零点所在的一个区间为()
D.(,3)
组
6、如图所示的是收集某城市在一月的气象采集点处的平0
均气温(单位:℃)的数据制成的频率分布直方图,图中有02
处因污迹看不清.已知各采集点的平均气温范围是
205265],且平均气温低于2c的采集点个数为1,
则平均气温不低于255c的采集点个数为()
7、函数f(/-4-4^c.8D.9
A.6
的图象大致为()
20521.522.523.5215.5265
x2+*
平均气温/C
B
c
D
A
8、已知函数f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且足∫(x)+8(x)=2-x,若关于x的
方程-2(x)+x2=0有唯一的实数解,则实数x的值为(
二多项选择题:(本题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有
多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分
9、下表记录了某地区一年之内的月降水量
月份
5
4
5
67
0
月降水量mm584853465656517156536466
对于上述表格中的数据,说法正确的是
A.该年份月降水量的极差是25mm
B.该年份月降水量的众数是53mm和56mm
C.该年份月降水量的25%分位数是52mmD.该年份月降水量的中位数是56mm
10、若a是第二象限角,则()
-a是第一象限角
B.一是第一或第三象角
C.x+a是第二象限角
D.2a是第三或第四象限角或y轴负半轴上
1l、若a>b>0,则下列不等式成立的是()
A. a-b<
B.2b“<4C.(b
Ig a-lgb D. Igb-lga <20216-a
12、已知函数(y)=Je-1,x≥m
(m∈R,e为自然对数的底数),则()
4x-4,xA函数()至多有2个零点B当m<-3时,对Vx≠x2,总有(x)-(x)0成立
C函数/(x)至少有1个零点D当m=0时,方程「(x)]=0有3个不同实数根
三、填空题;(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13、已知幂函数/()的图象过点(2,y2,则f(9)=
14.已知函数f(x)满足f(x+2)=(xxeR,且当x∈[2.0)时,f(x)=g-x+2),则f(202)
15、已知一个样本容量为7的样本的平均数为5,方差为2现样本加入新数据45,6则此时方差s2=
16、对于定义在R上的函数f(x),如果存在实数x使∫(x)=x,那么x叫做函数f(x)的一个不动点
,x<0,
若函数f(x)=
存在两个不动点,则实数m的取值范围是
m,x≥0
