山东省菏泽市单县2021-2022学年高二下学期2月开学考试数学试题（PDF版含答案）

高二数学开学考试卷
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给
出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
→
1.在空间四边形 OABC 中，OA →AB →＋ －CB等于( )
A.O→A B.→AB C.O→C D.A→C
2 2
2.直线 ax－y＋2a＝0 与圆 x＋y＝9的位置关系是( )
A.相离 B.相切 C.相交 D.不确定
3.已知数列{an}是等差数列，a1＝2，其公差 d≠0.若 a5是 a3和 a8
的等比中项，则 S18＝( )
A.398 B.388 C.189 D.199
4.经过圆 x2＋y2－2x＝0 的圆心，且与直线 x＋y＝0 平行的直线方
程是( )
A.x＋y－1＝0 B.x＋y＋1＝0
C.x－y－1＝0 D.x－y＋1＝0
5.如图所示，椭圆的中心在原点，焦点 F1，F2在 x轴上，A，B是椭
圆的顶点，P是椭圆上一点，且 PF1⊥x轴，PF2∥AB，则此椭圆的离
心率是( )
1 5 1 2
A. B. C. D.
2 5 3 2
6.如图所示，在空间直角坐标系中，BC＝4，原点 O是 BC 的中点，
3 1
， ，0
点 A 2 2 ，点 D在平面 yOz 内，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，
则 AD 的长为( )
A. 2 B. 3 C. 5 D. 6
1
7.当 02
在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
8.设双曲线的一个焦点为 F，虚轴的一个端点为 B，如果直线 FB 与
该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )
1＋ 3 1＋ 5
A. 2 B. 3 C. D.
2 2
二、多项选择题(本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分.在每小题给
出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分
选对的得 3分，有选错的得 0分)
9.记 Sn为等差数列{an}的前 n 项和.若 a1＋3a5＝S7，则以下结论一
定正确的是( )
A.a4＝0 B.Sn的最大值为 S3
C.S1＝S6 D.|a3|<|a5|
10.已知 A，B 两点的坐标分别是(－1，0)，(1，0).直线 AP，BP 相
交于点 P，且两直线的斜率之积为 m，则下列结论正确的是( )
A.当 m＝－1时，点 P的轨迹为圆(除去与 x轴的交点)
B.当－1交点)
C.当 0D.当 m>1 时，点 P的轨迹为焦点在 x轴上的双曲线(除去与 x轴的交
点)
11.如图所示，正方体 ABCD－A1B1C1D1的棱长为 1，线段 B1D1上有两
2
个动点 E，F且 EF＝ ，则下列结论中正确的是( )
2
A.AC⊥BE
B.EF∥平面 ABCD
C.三棱锥 A－BEF 的体积为定值
D.异面直线 AE，BF 所成的角为定值
x2 y2
12.已知 P是椭圆 E： ＋ ＝1上一点，F1，F2为其左、右焦点，且
8 4
△F1PF2的面积为 3，则下列说法正确的是( )
A.P 点纵坐标为 3
B.∠F1PF2>90°
C.△F1PF2的周长为 4( 2＋1)
3
D.△F1PF2的内切圆半径为 ( 2－1)
2
三、填空题(本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分)
13.已知两条直线 l1：ax＋8y＋b＝0 和 l2：2x＋ay－1＝0(b<0)，若
l1⊥l2且直线 l1的纵截距为 1，则 a＝__________，b＝________(本
题第一空 3分，第二空 2分).
x2 y2 4
14.已知双曲线 － ＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为 y＝ x，则此双
a2 b2 3
曲线的离心率为________.
15. 如图，四棱锥 F－ABCD 的底面 ABCD 是菱形，其对角线 AC＝2，
BD＝ 2，CF 与平面 ABCD 垂直，CF＝2，则平面 BAF 和平面 DAF 的
夹角的大小是_______________.
16.“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852 年，英国来华传教士
伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874
年，英国数学家马西森指出此法符合 1801 年由高斯得到的关于同
余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中
国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：
将 1到 2020 这 2020 个数中，能被 3除余 1且被 5整除余 1的数按
从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则此数列的项数为
________.
四、解答题(本题共 6小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过
程或演算步骤)
17.(10 分)记 Sn为等差数列{an}的前 n项和，已知 a1＝－7，S3＝－
15.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求 Sn，并求 Sn的最小值.
18.(12 分)已知抛物线 y2＝2x，直线 l过点(0，2)与抛物线交于 M，
N两点，以线段 MN 的长为直径的圆过坐标原点 O，求直线 l的方程.
1
19.(本小题满分 12 分)已知数列{an}的通项公式为 an＝ ，n∈
3n－2
N*.
an＋2
(1)求数列 an 的前 n项和 Sn；
(2)设 bn＝ana {b }n＋1，求 n 的前 n项和 Tn.
20.(12 分)如图，在直三棱柱 ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝BC
＝2，AA1＝4，D是棱 AA1的中点.
(1)求证：DC1⊥平面 BCD；
(2)求平面 ABD 与平面 DBC 的夹角的大小.
x2 y2
21.(12 分)已知椭圆 ＋ ＝1(a>b>0)的一个顶点为 A(0，1)，离心
a2 b2
2
率为 ，过点 B(0，－2)及左焦点 F1的直线交椭圆于 C，D两点，右
2
焦点设为 F2.
(1)求椭圆的方程；
(2)求△CDF2的面积.
22.(12分) 在四棱锥P－ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，
PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M 为 PC 的中点.
(1)求证：BM∥平面 PAD；
(2)平面 PAD 内是否存在一点 N，使 MN⊥平面 PBD？若存在，确定 N
的位置；若不存在，说明理由.
开学考试题答案及评分标准
一、单项选择题(本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给
出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1 2 3 4 5 6 7 8
C C C A B D B B
二、多项选择题(本题共 4小题，每小题 5分，共 20分.在每小题给
出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5分，部分
选对的得 3分，有选错的得 0分)
9 10 11 12
AC ABD ABC CD
三、填空题(本题共 4小题，每小题 5分，共 20分)
13.答案 0 －8(本题第一空 3分，第二空 2分).
14. 5答案
3
π
15.答案
2
16.答案：135
四、解答题(本题共 6小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过
程或演算步骤)
17.(10分)解 (1)设{an}的公差为 d，由题意得 3a1＋3d＝－15.
由 a1＝－7得 d＝2.所以{an}的通项公式为 an＝2n－9.
(2)由(1)得 Sn＝n2－8n＝(n－4)2－16.
所以当 n＝4时，Sn取得最小值，最小值为－16.
18.(12 分)解 由题意知直线 l的斜率存在且不为 0，设为 k，则直
线 l的方程为 y＝kx＋2(k≠0)，
y＝kx＋2，
由方程组 消去 x得 ky2－2y＋4＝0，
y2＝2x
由Δ＝4－16k>0得 k<1(k≠0).
4
设 M(x 2 41，y1)，N(x2，y2)，则 y1＋y2＝ ，y1y2＝ ，k k
x 11＝ y21，
2
又 1 故 x1x
1 4
2＝ (y y )2＝ .
x2＝ y22， 4
1 2 k2
2
由题意知 OM⊥ON，∴kOM·kON＝－1，
∴x1x2＋y1y2＝0 4 4，∴ 2＋ ＝0，解得 k＝－1.k k
∴所求直线方程为 y＝－x＋2，即 x＋y－2＝0.
19.( 12 ) (1) 2 6n 4 an＋2 2本小题满分 分 解 ∵ ＝ － ，∴ ＝1＋ ＝6n－3，所以
an an an
an＋2
n（n－1）
an 是首项为 3，公差为 6的等差数列，所以 Sn＝3n＋ ×6＝3n2.
2
1 1
－
(2)∵b a 1 1 1n＝ nan＋1＝ × ＝ 3n－2 3n＋1 ，3n－2 3n＋1 3
∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn－1＋bn
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1－ － － － 1－
＝ [ 4 1＋ 4 7 ＋…＋ 3n－5 3n－2 ＋ 3n－2 3n＋1 ]＝ 3n＋1
3 3
n
＝ .
3n＋1
20.(12分)(1)证明 如图所示建立空间直角坐标系.
由题意知 C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，D(2，0，2)，A1(2，
0，4)，C1(0，0，4).
D→∴ C1＝(－2，0，2)，D→C＝(－2，0，－2)，D→B＝(－2，2，－2).
D→C ·D→∵ 1 C＝0，D→C1·D→B＝0.
∴DC1⊥DC，DC1⊥DB.
又∵DC∩DB＝D，DC，DB 平面 BDC，∴DC1⊥平面 BDC.
(2)设 n＝(x，y，z)是平面 ABD的法向量，
则 n·A→B＝0，n·A→D＝0，
又A→B＝(－2，2，0)，A→D＝(0，0，2)，
－2x＋2y＝0，
∴ 取 y＝1，得 n＝(1，1，0).
2z＝0，
由(1)知，D→C1＝(－2，0，2)是平面 DBC的一个法向量，记 n 与 D→C1
的夹角为θ，
则 cos θ －2 1＝ ＝－ ，
2·2 2 2
π
∴所求平面 ABD与平面 DBC的夹角的大小是 .
3
b＝1，
a＝ 2，
21.(12分)解 (1) c 2由题意，得 ＝ ， ∴
a 2 b＝1，
a2＝b2＋c2， c＝1，
x2
故椭圆方程为 ＋y2＝1.
2
(2)∵F1(－1，0)，
∴直线 BF1的方程为 y＝－2x－2，
y＝－2x－2，
由 x2 2＋y2＝1 消 y得 9x ＋16x＋6＝0.
2
设 C(x1，y1)，D(x2，y2)，
x1＋x 162＝－ ，
9
则
x1·x 22＝ ，
3
∴|CD|＝ 1＋（－2）2|x1－x2|
＝ 5· （x1＋x2）2－4x1x2
16 2
－
＝ 5· 9 －4 2 10 2× ＝ ，
3 9
又点 F2(1，0)到直线 BF 4 51的距离 d＝ ，5
故 S△CDF 12＝ |CD|·d 4 10＝ .2 9
22.(12分) 解 如图，以 A为原点，以 AB，AD，AP分别为 x轴、
y轴、z轴建立空间直角坐标系，则 B(1，0，0)，D(0，2，0)，P(0，
0，2)，C(2，2，0)，M(1，1，1).
(1) →证明∵BM＝(0，1，1)，平面 PAD的一个法向量为 n＝(1，0，0)，
B→M·n＝0，即B→∴ M⊥n，又 BM 平面 PAD，∴BM∥平面 PAD.
(2)B→D＝(－1，2，0)，P→B＝(1，0，－2).假设平面 PAD内存在一点
N，使 MN⊥平面 PBD.
设 N(0，y，z)，则M→N＝(－1，y－1，z－1)，从而 MN⊥BD，MN⊥PB，
M→N·B→D＝0， 1＋2（y－1）＝0，
∴ 即
M→N·P→B＝0， －1－2（z－1）＝0，
y 1＝ ，
2 0 1 1， ，
∴ 1 ∴N 2 2 ，z＝ ，
2
0 1 1， ，
∴ 在平面 PAD内存在一点 N 2 2 ，使 MN⊥平面 PBD.