第一章 集合与命题
1.1 集合及其表示法
基础练习
1．用描述法表示下列集合：
（1）．
（2）．
解：（1）．
（2）．
2．用列举法表示下列集合：
（1）{是20的正约数}．
（2）．
解：（1）．
（2）解不等式得：．
3．设三元素的集合也可表示为，求的值．
解：由已知有，故有．
4．已知全集，求集合．
解：由已知=1，2，3，6，则，2，3，4，故．
5．给定三元集合，求实数的取值范围．
解：由集合元素的互异性知，1，2，，．故实数的取值范围是
6．若集合中只有一个元素，求．
解：当时，方程只有一个根，则以符合题意．
当时，则关于的方程是一元二次方程，由于集合中只有一个元素，则一元二次方程有两个相等的实数根，所以，解得．
综上所得，，1．
7．若集合，其中，且，若．求中元素之和．
解：由已知及集合元素的互异性知，则．
由于 ，，
则 （舍）或，
则 中元素之和为0．
8．设集合，在上定义运算为：，其中为被4除的余数，，1，2，3，则求满足关系式的的个数．
解：由于
则 ．
只有，符合所给关系式，则的个数为2．
9．已知是由实数构成的集合，且满足1）；2）若，则．如果，中至少含有多少个元素？说明理由．
解：若中只有1个元素则 （无解），若中只有2个元素则S （无解），而符合条件，则中至少含有3个元素．
10．若实数为常数，且，则__________．
解：时符合条件，时，则．故．
能力提高
11．平面点集，求中元素的个数．
解：首先，
进而得，则中元素的个数为8．
12．定义集合，的一种运算：，若，，则中的所有元素之和为__________．
解：，则中的所有元素之和为14．
13．已知集合的元素全为实数，且满足：若，则．
（1）若，求出中其他所有元素．
（2）0是不是集合中的元素？请你设计一个实数，再求出中的所有元素．
（3）根据（1）（2），你能得出什么结论？
解：（1）中元素为，，，2．
（2）0不是的元素．若，则，
而当时，不存在，故0不是的元素．
取，可得．
（3）猜想：①中没有元素，0，1；②中有4个元素，且每两个互为负倒数．
由上题知：0，．若，则无解．故．
设，则
，
又由集合元素的互异性知，中最多只有4个元素，且，．
显然，．
若，则，得：无实数解．同理，．故中有4个元素．
14．非空集合，且同时满足条件“若，则．
（1）写出所有含有2个元素的集合．
（2）只有3个元素的集合是否存在？若存在，写出集合，若不存在，请说明理由，并适当改变题目的条件，使满足题意的集合可以只有3个元素．
（3）用表示集合中所有元素之和，求的最大值．
（4）从以上的工作中你可以得到哪些一般性的结论（规律）？
解：（1）{1，30}，{2，15}，{3，10}，{5，6}．
（2）不存在．若中有3个元素，则有成立，这显然是不符题意的．如将30改成36（合理情形均可），此时的一种情形为{1，6，36}符合条件．
（3） {1，2，3，5，10，15，30}时，最大，此时．
（4）如：正整数为完全平方数的充分必要条件是的所有正因子个数为奇数．
15．集合的子集满足：对任意的，，，求集合中元素个数的最大值．
解：设，．，
则，，…，都不在中，设，
且．所以，得．
构造．
1．2集合之间的关系
基础练习
1．已知集合，，其中，且，若，则实数__________．
解：若，，则 （舍）．
若，，则 （舍）或，故．
2．已知集合，，若，则由满足条件的实数组成的集合__________．
解： {1，2}，此时，，，故．
3．已知，且，则常数的取值范围是__________．
解：．
4．若非空集合满足{1，2，3，4，5}，且若，则，那么符合要求的集合有__________个．
解：{1，5}，{3}，{2，4}都是符合要求，然后自由组合一下，所以答案为7．
5．集合，，且，则满足条件的值构成的集合为__________．
解：，此时，故满足条件的值构成的集合为．
6．已知集合，，且，则__________，__________．
解：由于，，则．
7．集合，，且，则__________．
解：利用集合中的元素0的特殊性来分类讨论，（0，1），（0，），故，．
能力提高
8．已知集合，，，且，则实数的取值范围是__________．
解：原题即求实数的取值范围，使得恒成立．
若，恒成立，．
若，恒成立，．
故．
9．集合，集合，求集合与的关系．
解：．
10．设集合{1，2，3，…，2010}，集合满足：，且当时，，则中元素最多有多少个．
解：一方面{1，2，3，4，5，6，7，8，135，136，137，…，2009，2010}符合要求，此时中元素有1884个．另一方面，对于{9，135}，{10，150}，…，{134，2 010}这126个集合每个集合中的2个元素至多只有一个属于，故中元素个数最多有1884个．
11．设集合{1，2，3，4，5，6}，，，…，都是的含两个元素的子集，且满足：对任意的，，都有
（表示两个数，中的较小者），求的最大值．
解：对每一个
，的取值只有11种，
故的最大值为11．
12．对于函数，若，则称为的“不动点”，若，则称为的“稳定点”，函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即，
（1）求证：．
（2）若，且，求实数的取值范围．
解：（1）若，则显然成立．
若，设，则，，即，从而．
（2）中元素是方程即的实根．
由，知或即．
中元素是方程即的实根．
由，知上方程左边含有一个因式，即方程可化为
．
因此，要，即要方程①，要么没有实根，要么实根是方程②的根．
若①没有实根，则，由此解得；
若①有实根且①的实根是②的实根，则由②有，代入①有．
由此解得，再代人②得，由此解得．
故的取值范围是．
1．3集合之间的运算
基础练习
1．分别用集合符号表示图1-5的阴影部分：
解：（1）．
（2）．
2．设集合，集合，求．
解：联立，可得：．
3．集合，，则__________．
解：，，则．
4．设，，若，求实数的所有值．
解：时，不符合题意．时，有或，进而得或．
5．设全集，集合，，若，求的值．
解：由已知是的一个根，得，进而有，故是的一个根，或4（舍），故，．
6．已知，，，又为单元素集合，求实数的取值范围．
解：数形结合可知．
7．{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，，，，，，则__________．
解：{2，3，4，5，7}，{2，3，4，5，6，7，8}，{3，5，7}．
8．已知集合，，当时，实数的取值范围是__________．
解：当时，，当时，，故．
9．集合，，若，则__________．
解：由已知及集合元素的互异性有（舍）或或（舍），故．
10．集合，，则中的最小元素是__________．
解：枚举可得：23．
能力提高
11．设全集，集合，
（1）若，求．
（2）若，求．
解：（1）{（2，3）}．
（2）{（2，3）}．
12．某公司有120人，其中乘轨道交通上班的84人，乘公共汽车上班的32人，两种都乘的18人，求：
（1）只乘轨道交通上班的人数．
（2）不乘轨道交通上班的人数．
（3）乘坐交通工具的人数．
（4）不乘交通工具而步行的人数．
（5）只乘一种交通工具的人数．
解：画韦恩图和容斥原理可得：（1）66．（2）36．（3）98．（4）22．（5）80．
13．已知，，，问是否存在实数，使得，同时成立？
解：由于，，
由于，则（）有解，即有整数解，
由 ①
而 ②
由①②得
，代入①、②得
，由于，则，故这样的实数，不存在．
14．设集合，，
（1）若，求实数的值．
（2）若，求实数的取值范围．
（3）若，，求实数的取值范围．
解：（1）由于{1，2}，，则，代入中的方程，
得或．
当时，，满足条件；
当时，，满足条件；
综上，的值为或．
（2）对于集合，．由于，则，
①当，即时，满足条件；
②当，即时，，满足条件；
③当，即时，．
由韦达定理，矛盾；综上，的取值范围是．
（3），则，则；
①若，则适合；
②若，则，此时且；
将2代入的方程得或，将1代入的方程得
，则且且，
综上，的取值范围是或或或或．
15．设集合，，，问：是否存在，，使得，并证明你的结论．
解：要使，必须且，
由，
当时，方程有解，不合题意：
当时由得 ①
又由，
由得 ②
由①、②得，而，
由于为自然数，则，代入①、②得．
16．集合和各含有12个元素，含有4个元素．试求同时满足下列条件的集合的个数：
（1）且中含有3个元素．
（2）．
解：．
17．判断以下命题是否正确：设，是平面上两个点集，，若
对任何，都有，则必有，证明你的结论．
解：命题不正确．如取，．
1．4 容斥原理与抽屉原理
基础练习
1．对某学校的100名学生进行调查，了解他们喜欢看球赛、看电影和听音乐的情况．其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看电影，52人喜欢听音乐，既喜欢看球赛又喜欢看电影的有18人，既喜欢听音乐又喜欢看电影的有16人，三种都喜欢的有12人，问有多少人只喜欢听音乐？
解：由容斥原理可得有22人只喜欢听音乐．
2．正方体各面上涂上红色或蓝色的油漆（每面只涂一种色），证明正方体一定有三个面颜色相同．
证明：把两种颜色当作两个抽屉，把正方体六个面当作物体，那么6=2×2+2，根据抽屉原则（2），至少有三个面涂上相同的颜色．
3．从自然数1，2，3，…，99，100这100个数中随意取出51个数来，求证：其中一定有两个数．它们中的一个是另一个的倍数．
解：构造抽屉：（1）不超过50个；（2）每个抽屉里的数（除仅有的一个外），其中一个数是另一个数的倍数，一个自然数的想法是从数的质因数表示形式入手．
设第一个抽屉里放进数：1，1×2，，，，，；
第二个抽屉里放进数：3，3×2，，，，；
第三个抽屉里放进数：5，5×2，，，；
……
第二十五个抽屉里放进数：49，49×2；
第二十六个抽屉里放进数：51．
……
第五十个抽屉里放进数：99．
那么随意取出51个数中，必有两个数同属一个抽屉，其中一个数是另一个数的倍数．
4．任意给定7个不同的自然数，求证其中必有两个整数，其和或差是10的倍数．
解：这些数队以10的余数即个位数字，以0，1，…，9为标准制造10个抽屉，标以[0]，[1]，…，[9]．若有两数落入同一抽屉，其差是10的倍数，只是仅有7个自然数，似不便运用抽屉原则，再作调整：[6]，[7]，[8]，[9]四个抽屉分别与[4]，[3]，[2]，[1]合并，则可保证至少有一个抽屉里有两个数，它们的和或差是10的倍数．
能力提高
5．在一条笔直的马路旁种树，从起点起，每隔一米种一棵树，如果把三块“爱护树木”的小牌分别挂在三棵树上，那么不管怎样挂．至少有两棵挂牌的树之间的距离是偶数（以米为单位），这是为什么？
解：如图，设挂牌的三棵树依次为，，．，．若，中有一为偶数，命题得证．否则，均为奇数，则为偶数，命题得证．
下面我们换一个角度考虑：给每棵树上编上号，于是两棵树之间的距离就是号码差，由于树的号码只能为奇数和偶数两类，那么挂牌的三棵树号码至少有两个同为奇数或偶数，它们的差必为偶数，问题得证．
6．以表示三元有序整数组，其中，，为整数，试证：在任意七个三整数组中，至少有两个三元数组，它们的，，元中有两对都是奇数或都是偶数．
解：设七个三元素组为，，…，．现在逐步探索，从元开始，由抽屉原则，，，…，这七个数中，必定有四个数具有相同的奇偶性，不妨设这四个数是，，…，且为偶数，接着集中考虑，，，，这四组数的元，若，，，中有两个是偶数，则问题已证，否则至多有一个是偶数，比如是偶数，这时我们再来集中考虑，，的元．在，，中，由抽屉原则必有两个数具有相同的奇偶性，如，，这时无论它们是奇数，还是偶数，问题都已得到证明．
7．任选6人，试证其中必有3人，他们互相认识或都不认识．
解：用，，，，，表示这6个人，首先以为中心考虑，他与另外5个人，，，，只有两种可能的关系：认识或不认识，那么由抽屉原则，他必定与其中某3人认识或不认识，现不妨设认识，，人，当，，人都互不认识时，问题得证；当，，人中有两人认识，如，认识时，则，，互相认识，问题也得证．
8．，，，为四个任意给定的整数，求证：以下六个差数，，，，，的乘积一定可以被12整除．
解：把这6个差数的乘积记为，我们必须且只须证明：3与4都可以整除，以下分两步进行．
第一步，把，，，按以3为除数的余数来分类，这样的类只有三个，故知，，，中至少有2个除以3的余数相同，例如．不妨设为，，这时3可整除，从而3可整除．
第二步，再把，，，按以4为除数的余数来分类，这种类至多只有四个，如果，，，中有两个数除以4的余数相同，那么与第一步类似，我们立即可作出4可整除的结论．
设，，，四数除以4的余数不同，由此推知，，，，之中必有两个奇数（不妨设为，），也必有两个偶数（设为，），这时为偶数，也是偶数，故4可整除，自然也可得出4可整除．
（如果能进一步灵活运用原则，不仅制造抽屉，还根据问题的特征，制造出放进抽屉的物体，则更可收到意想不到的效果．）
9．求证：从任意个自然数，，…，中可以找到若干个数，使它们的和是的倍数．
解：以0，1，…，即被除的余数分类制造抽屉的合理的，但把什么样的数作为抽屉里的物体呢？扣住“和”，构造下列和数：
，
，
，
……
，
其中任意两个和数之差仍为和数，若他们之中有一个是的倍数．问题得证，否则至少有两个数被除余数相同，则它们的差即它们中若干数（包括1个）的和是的倍数，问题同样得证．
10．910瓶红、蓝墨水，排成130行，每行7瓶，证明：不论怎样排列，红、蓝墨水瓶的颜色次序必定出现下述两种情况之一种：
（1）至少有三行完全相同．
（2）至少有两组（四行）每组的两行完全相同．
解：910瓶红、蓝墨水排成130行，每行7瓶，对一行来说，每个位置上有红、蓝两种可能，因此，一行的红、蓝墨水排法有种，对每一种不同排法设为一种“行式”，共有128种行式．
现有130行，在其中任取129行，依抽屉原则知，必有两行，行式相同．
除，外余下128行，若有一行与行式相同，知满足（1）至少有三行，，完全相同，若没有一行与行式相同，那么这128行至多有127种行式，依抽屉原则，必有两行，具有相同行式，这样便找到了，两组（四行），且两组两行完全相同．
1．5 命题的形式及等价关系
基础练习
1．已知命题“两个有理数的和是有理数”为某命题的逆命题．试写出原命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．
解：原命题：如果两个数的和是有理数，那么这两个数都是有理数（假）；
否命题：如果两个数的和不是有理数，那么这两个数不都是有理数（真）；
逆否命题：如果两个数不都是有理数，那么和也不是有理数（假）．
2．写出命题“已知，，若，是奇数，则是奇数”的逆否命题：__________．
解：已知，，若不是奇数，则不是奇数，或不是奇数．
3．下列四个命题中的真命题是（ ）．
A．已知，若是无理数，则都是无理数
B．已知，若是有理数，则都是有理数
C．已知，若是无理数，则是无理数或是无理数
D．已知，若是有理数，则是有理数或是有理数
解：C．
4．命题“若不正确，则不正确”的逆命题的等价命题是（ ）．
A．若不正确，则不正确 B．若不正确，则正确
C．若正确，则q不正确 D．若正确，则正确
解：D（逆命题为A，逆命题的等价命题为D）．
5．“若，则没有实根”，其否命题是（ ）．
A．若，则没有实根
B．若，则有实根
C．若，则有实根
D．若，则没有实根
解：C．
能力提高
6．写出命题“各位数字之和是3的倍数的正整数，能被3整除”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．
解：逆命题：能被3整除的正整数各位数字之和是3的倍数（真）；
否命题：各位数字之和不是3的倍数的正整数不能被3整除（真）；
逆否命题：不能被3整除的正整数各位数字之和不是3的倍数（真）．
7．用反证法证明：不存在整数，，使得．
证：若存在整数，，使得．则左边或，
右边或，故无论何种情形左边≠右边．矛盾!
故不存在整数，使得．
1．6 充分条件与必要条件
基础练习
1．若、、是常数，则函数恒大于0的充要条件是解：____________________．
解：，或，．
2．若非空集合，则“或“∈N”是“”的__________条件．
解：必要非充分．
3．“且”是“”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
解：D．
4．“三个数、、不全为零”的充要条件是（ ）．
A．、、都不为零 B．、、中至多有一个为零
C．、、中只有一个为零 D．、、中至少有一个不为零
解：D．
5．设．命题“”是命题“”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解：A．
6．若，．试证明“”是“”的一个充分且非必要条件．
解：，故时，但反之不成立．
7．已知关于的方程，，求：
（1）方程有两个正根的充要条件．
（2）方程至少有一个正根的充要条件．
解：（1）；
（2）分两类情形：①有一个正根，②有两个正根．
或或或．
解得：或．
能力提高
8．（1）已知实数集合，
求的充要条件．
（2）试对两个一元二次不等式的解集写出类似的结果，并加以证明．
解：（1），，．
（2）如果系数，，和，，都是非零实数，不等式和的解集分别是和，则“”是“”的既不充分也不必要条件．可以举反例加以说明．
若，，则；
若，取，，则．
9．已知，函数，
（1）当时，若对任意都有，证明：．
（2）当时，证明：对任意，的充要条件是：．
（3）当时，讨论：对任意，的充要条件．
解：（1）依题设，对任意，都有．
，
，
，
．
（2）（必要性），对任意，据此可推出
即， ．对任意，，
因为，可推出．即， ，所以．
（充分性）：因，，对任意，可以推出：
，即：；
因为，，对任意，
可推出，即， ．
综上，当时，对任意，的充要条件是：．
（3）因为，时，对任意．
，即；
，即；，即．
所以，当，时，对任意，的充要条件是：．
10．设定数，，使得不等式对一切实数，，都成立，问，，应满足怎样的条件？（要求写出充分必要条件，而且限定用只涉及，，的等式或不等式表示条件）
解：充要条件为，，且 ①
先证必要性，题设可改写为 ②
若，则由②对一切，，成立，则只有，再由题设知，
若，则因为②恒成立，所以，恒成立，所以，
即同理有，，所以必要性成立．
再证充分性，若，，且，
（1）若，则由得，所以，所以，所以②成立，题设成立．
（2）若，则，所以②成立，所以题设成立．
综上，充要性得证．
11．设，是实数．证明：方程有4个实根的充要条件是．
证：结合，得．可知当且仅当时，有两个不同正实根．同理，．
可知当且仅当时，有两个不同负实根．
1.7 集合的综合运用
能力提高
1．已知集合，，（不必相异）的并集，则满足条件的有序三元组个数是__________．
解：由集合的文氏图可知，对于中的每一个元素，都有7种可能的放置方法，故满足条件的有序三元组个数是．
2．已知集合，，，问：
（1）当取何值时，为恰有2个元素的集合？说明理由．
（2）若改为3个元素集合，结论如何？
解：显然，，所以，（0，1），（1，0）．
（1）时，直线与均与圆相切，．
时，直线与重合，即连接（0，1），（1，0）的直线．
，1时，直线与圆有一个不同于（0，1），（1，0）的交点，的元素个数≥3．
因此，1．
（2）这时，1，而且直线与圆的另一个交点也是直线与圆的另一个交点，即这点是与的交点，从而z，代入得，．
3．求集合和，使得{1，2，…，10}，，并且的元素乘积等于的元素和．
解：中元素的和≤1+2+3+…+10=55而1×2×3×4×5=120>55可知集合至多有四个元素．故可由来进行讨论．
（1）的元素的乘积≤10，
的元素和≥1+2+3+…+9=45，
故此情况不成立．
（2），不妨设．
由已知，得．
因，解得
故{6，7}，{1，2，3，4，5，8，9，10}．
（3），不妨设，
由已知，得．
当时．
则，．
故{1，4，10}，{2，3，5，6，7，8，9}，
当时．
则．
因为107为质数，所以无解．
若，显然无解．
（4），不妨设，
必有，否则．
此时，．
同（3）时无解．
必有，则，，，
故{1，2，3，7}，{4，5，6，8，9，10}．
综上，{6，7}，{1，2，3，4，5，8，9，10}，或{1，4，10}，{2，3，5，6，7，8，9}，
或{l，2，3，7}，{4，5，6，8，9，10}．
4．是的子集且满足：若，则，，恰有一个成立，并且若，，则，，试确定集合．
解：设任意的，，由已知，或之一成立．又若，则；若，则．总之，．
取，则．再由，得，，可知全体正整数都属于．
设，，由①，又由前证知，所以．因此，含有全体正有理数．
再由已知，0及全体负有理数不属于．即是由全体正有理数组成的集合．
5．集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}的若干个五元子集满足：中的任何两个元素至多出现在两个不同的五元子集中，问：至多有多少个五元子集？
解：设，，…，是的子集（满足要求的），则满足（1）；
（2）．
，，则每个元素至多在3个集合中出现，则至多出现3×10=30次，所以至多30÷5=6个集合．
其次，下列6个集合满足题设条件：
{l，2，3，4，5}，{1，2，6，7，8}，{l，3，6，9，10}，
{2，4，7，9，10}，{3，5，7，8，10}，{4，5，6，8，9}．
综上可知，所求的最大值为6．
6．，，是三个非空整数集，已知对于1，2，3的任意一个排列，，，如果，，则．求证：，，中必有两个相等．
证：若，，则，．
所以每个集合中均有非负元素．
当三个集合中的元素都为零时，命题显然成立．
否则，设，，中的最小正元素为，不妨设，设为，中最小的非负元素，不妨设，则．
若，则，与的取法矛盾．所以．
任取，因，故．所以，同理．
所以．
7．求证：集合{1，2，…，1989}可以划分为117个互不相交的子集 （1，2，…，117），使得
（1）每个恰有17个元素．
（2）每个中各元素之和相同．
证明：将集合{1，2，…，1 989}中的数从小到大顺次分成17段，每段含117个数．
从第4段数开始，将偶数段的数从小到大依次放入，，…，中，将奇数段的数从大到小依次放入这117个子集中．易见，所有集合中的14个数之和都相等．于是问题归结为如何将前三段数{1，2，…，351}每3个一组分别放入每个集中，且使每组3数之和都相等．
把这些数中3的倍数抽出来从大到小排好：{351．348，345，…，6，3}，共117个数，依次放入，，…，中，其余的234个数从小到大排列并分成两段，每段117个数，即{l，2，4，5，7，…，173，175}和{176，178，179，…，349，350}．将这两段数分别顺次放入，，…，之中便满足要求．事实上，若将这两段数中的数顺次相加，则其和为{177，180，183，186，…，522，525}．由此可见，放入每个的三个数之和都是528．
8．设，，…，是20个两两不同的整数，且集合中有201个不同的元素，求集合中不同元素个数的最小可能值．
解：所给集合的元素个数的最小值为1（）（）．
首先，令，，，2，…，10．则中共有（1+2+3+…+20）-10+1=201个不同的元素，而
共有10+100个不同的元素．
下面用反证法证明：所给集合的不同元素的个数不小于100．
若存在一个使所给集合的元素个数小于100的集合，我们计算的“好子集”的个数，这里，且．
对中满足的数对（共190对），考虑它们的差，由于至多有99个不同的差（这里用到反证法假设），故必有至少91个数对，使得存在，，满足，且．对这样的91个数对，它与其相应的，形成的一个4元集，可得到的一个“好子集”，且至多两个数对形成相同的子集（只能是，）．故=的“好子集”至少有46个．
另一方面，的“好子集”的个数等于，这里为中满足．的- 20 -
数对的个数，其中为正整数．
注意到，对每个，中的每个元素至多出现在上面的一个数对中（事实上，当时，出现在数对中，其余情况出现在中），于是，从而在时，，故．
由于集合中有201个不同的元素，故使得的正整数有201个，设为这样的组成的集合．
易知中有对满足，有20对满足，所以．
于是，这与的“好子集’’至少有46个矛盾．
所以，所给集合中，至少有100个不同的元素．
9．设{1，2，3，4，5，6}，{7，8，9，…， }，在中取三个数，中取两个数组成五个元素的集合，1，2，…，20，，．求的最小值．
解：．
设中每个数在所有中最多重复出现次，则必有．若不然，数出现次（），则．在出现的所有中，至少有一个中的数出现3次，不妨设它是1，就有集合，，，其中，，为满足题意的集合．必各不相同，但只能是2，3，4，5，6这5个数，这不可能，所以．
20个中，中的数有40个，因此至少是10个不同的，所以．
当时，如下20个集合满足要求：
{1，2，3，7，8}， {1，2，4，12，14}， {1，2，5，15，16}， {1，2，6，9，10}，
{1，3，4，10，11}， {1，3，5，13，14}， {1，3，6，12，15}， {l，4，5，7，9}，
{1，4，6，13，16}， {1，5，6，8，11}， {2，3，4，13，15}， {2，3，5，9，11}，
{2，3，6，14，16}， {2，4，5，8，10}， {2，4，6，7，11}， {2，5，6，12，13}，
{3，4，5，12，16}， {3，4，6，8，9}， {3，5，6，7，10}， {4，5，6，14，15}．第二章 不等式
2．1 不等式的性质
基础训练
1．判断下列命题是否成立，并说明理由．
（1）如果，，那么．
（2）如果，，那么．
（3）如果，，那么．
解：（1）不成立，（2）不成立，（3）不成立．
2．对于实数，，中，判断下列命题的真假：
①若，则．
②若，则．
③若，则．
④若，则．
⑤若，则．
⑥若，则．
⑦若，则．
⑧若，，则，．
解：②③⑥⑦⑧是真命题．
3．设，且，则与的大小关系是__________．
解：分解因式或逐差法可得：．
4．比较下列两个数的大小：
（1）与．
（2）与．
（3）从以上两小题的结论中，你能否得出更一般的结论？并加以证明．
解：（1）．
（2）．
（3），．
证明过程如下：
．
5．已知，，，求的取值范围．
解：，
，
可得：．
由于，，则：．
能力提高
6．若不等式对一切成立，求的取值范围．
解：当时，显然成立．
当时，则．
综上：．
7．若关于的方程有一正根和一负根，求的取值范围．
解：由可得：．
8．关于的方程的解为不大于的实数，求的取值范围．
解：，解不等式得：．
9．已知枝玫瑰与枝康乃馨的价格之和小于元，则枝玫瑰的价格和枝康乃馨的价格比较结果是（ ）．
（A）枝玫瑰价格高 （B）枝康乃馨价格高
（C）价格相同 （D）不确定
解：这是一个大小比较问题，可先设玫瑰与康乃馨的单价分别为元、元，
则由题设得 ①
且 ②
问题转化为在条件①②的约束下，比较与的大小，枝玫瑰价格高，故选A．
2．2 一元二次不等式及其解法
1．设，，，，，均为非零实数，不等式，的解集分别是集合，，则“”是“”的充要条件对吗？
解：不是．
反例：，，则不成立．
，，则不成立．
2．已知不等式的解集为，求不等式的解集．
解：由不等式的解集为，可得：．
．
3．不等式的解是，求，的值．
解：，解得，．
4．若不等式的解集为，求实数的取值范围．
解：，则．
5．已知不等式的解集为．
（1）求、．
（2）解不等式（为常数）．
解：（1）由题知，不是方程的两根，即则，．
（2）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为．
能力提高
6．若关于的不等式的解集为空集，求的取值范围．
解：时不符题意，时，有，故．
7．已知不等式组的整数解恰好有两个，求的取值范围．
解：的取值范围是．（提示：可以因式分解，分别对，，这三情况进行讨论）．
8．已知在上满足，试求的最大值．
解：首先，，．
于是．
．
．
又当，，时，，所以的最大可能值为．
2．3 分式不等式
基础练习
1．解下列不等式：
（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
（5）．
解：（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
（5）．
2．已知关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集．
解：．
3．若，、、为常数，求关于的不等式的解集．
解： 可得：．
能力提高
4．解不等式．
解：
．
解得：．
5．若不等式的解集为，求实数的值．
解：的解集为，所以．
6．若，求关于的不等式的解集．
解：．
7．不等式的解为一切实数，求实数的取值范围．
解：恒大于，故原不等式，结合题意可知，故或．
2．4 高次不等式
基础练习
1．解不等式．
解：．
2．解不等式．
解：．
3．解不等式．
解：．
能力提高
4．对于一切，不等式恒成立，求实数的取值范围．
5．设，，求使为完全平方数的整数的值．
解：．所以，当时，是完全平方数．
下证没有其他整数满足要求．
（1）当时，有．
又，所以．
从而．又，所以此时不是完全平方数．
（2）当时，有．令，，
则，即，所以，
即．
解此不等式，得的整数值为，，，，，，，但它们对应的均不是完全平方数．
综上所述，使为完全平方数的整数的值为．
6．已知，，，，，问是否存在正数使得对一直在任意正数，可使，，为三角形的三边构成三解形，如果存在，求出的值，如果不存在，请说明理由．
解：因为，，所以，．
当时，有，若要使，，为三角形的三边，则应有，即，整理得．设，则．即要使，对所有恒成立，即恒成立．
（时取得），所以．
当时，若要使，，为三角形的三边，则应有，同时成立．由可得，由，即，得．设，则，即要使，对所有恒成立，所以有，所以．
综上所述，存在正数使得对于任意正数，可使，，为三角形的三边构成三角形．
7．已知函数的最小值是，求非零实数的值．
解：，因为，故．
当时，，不合题意；
当时，，．
由条件知，解得．
2．5 无理不等式
基础练习
1．解下列不等式：
（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
解：（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
2．解不等式．
解：移项平方再平方可得：．
3．解不等式．
解：分类讨论，然后两边平方可得：．
4．解不等式．
解：．
5．满足的的集合为；满足的的集合为．
（1）若，求的取值范围．
（2）若，求的取值范围．
（3）若为仅含一个元素的集合，求的值．
解：，．
（1）．（2）．（3）．
6．求不等式的解集．
解：由得，．
原不等式可变为，解得．
故原不等式的解集为．
7．求使关于的不等式有解的实数的最大值．
解：的最大值为，结合题意知实数的最大值为．
2．6 绝对值不等式
基础练习
1．解不等式．
解：一切实数．
2．已知，，且，求实数的取值范围．
解：，．
3．求不等式的解集．
解：分类讨论或由几何性质可得：．
4．求不等式的解集．
解：分类讨论或由几何性质可得：．
5．（1）对任意实数，恒成立，求的取值范围．
（2）对任意实数，恒成立，求的取值范围．
解：（1）由几何意义可知，，则．
（2）由几何意义可知，，．
能力提高
6．在一条公路上，每隔有个仓库（如图2-5），共有个仓库．一号仓库存有货物，二号仓库存，五号仓库存，其余两个仓库是空的，现在想把所有的货物放在一个仓库里，如果每吨货物运输需要元运输费，那么最少要多少运费才行？
解：以一号仓库为原点建立坐标轴，
则五个点坐标分别为，，，，，
设货物集中于点则所花的运费，当时，，此时，当时，；
当时，，此时，；
当时，， 此时，当时，．
综上可得，当时，，即将货物都运到五号仓库时，花费最少，为元．
7．若关于的不等式的解集不是空集，求的范围．
解：利用几何意义可知，，．
2．7 绝对值的不等式的性质
基础练习
1．，则①，②，③，④四个式中正确的是（ ）．
（A）①② （B）②③ （C）①④ （D）②④
解：C．
2．为实数，且有解，则的取值范围是（ ）．
（A） （B） （C） （D）
解：C．
3．不等式成立的充要条件是（ ）．
（A） （B） （C） （D）
解：B．
4．已知，，，那么、之间的大小关系为（ ）．
（A） （B） （C） （D）
解：D．
能力提高
5．已知，求证：．
解：．
6．实数、、…、，满足，设，，，，…，．求：的最大值．
解：对，，…，，有
．
所以
2．8 含字母系数的不等式
基础练习
1．设，，解关于的不等式：．
解：当时，原不等式解集为，
当时，原不等式解集为．
2．解关于的不等式：（其中）．
解：，
时，或；
时，或或．
3．解关于的不等式：．
解：时，；
时，；
时，；
时，；
时，或．
4．解关于的不等式：．
解：时，；
时，；
时，；
时，或；
时，或；
时，或；
时，或．
5．关于的不等式的解是一切实数，求实数的取值范围．
解：且得：．
能力提高
6．设，，解关于的不等式．
解：．
当时，；
当时，；
当或时，．
7．设不等式对满足的一切实数的值都成立，求的取值范围．
解：令．
原题等价于，对满足的一切实数的值，恒成立．
则，可得：．
8．若关于的不等式的解集是，求不等式的解集．
解：．
9．设不等式的解集为，如果，求实数的取值范围．
解：令，
分为两类情形：或
由此可得：．
10．已知不等式对于，恒成立，求的取值范围．
解：由于，则．
2．9 基本不等式及其应用
基础练习
1．已知，，都是正数，求证：．
解：；；，三个不等式的相乘，即可得证．
2．设，，，且，求的最小值．
解：由不等式：可知：
，
．
，当且仅当时等号成立．
3．（1）若，求的最小值．
（2）若，求的最大值．
解：（1）12．（2）．
4．（1）若，求的取值范围．
（2）若，求的取值范围．
（3）若，求的最大值．
（4）若，求的最小值．
（5）若，，且，求的最小值．
（6）若，，且，求的最小值．
（7）求和的最小值．
（8）若，，且，求的取值范围．
解：（1）或．
（2）或．
（3）．
（4）．
（5）．
（6）．
（7）和．
（8）．
5．某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为，深为，如果池底每的造价为元，池壁每的造价为元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？
解：元，当池底为的正方形时取等号．
6．某房屋开发公司用万元购得一块土地，该地可以建造每层的楼房，楼房的总建筑面积（即各层面积之和）每平方米平均建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整幢楼房每平方米建筑费用提高．已知建筑层楼房时，每平方米建筑费用为元，公司打算造一幢高于层的楼房，为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低（综合费用是建筑费用与购地费用之和），公司应把楼层建成几层？
解：层．
7．用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上，设用单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数．
（1）试规定的值，并解释其实际意义．
（2）试根据假定写出函数应满足的条件和具有的性质．
（3）设，现有单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？说明理由．
解：（1）表示没有用水洗时，蔬菜上的农药量将保持原样．
（2）函数应该满足的条件和具有的性质是：，．
在上单调递减，且．
（3）设仅清洗一次，残留的农药量为，
则．
于是，当时，；
当时，；
当时，；
当时，清洗两次后残留的农药量较少；
当时，两种清洗方法具有相同的效果；
当时，一次清洗残留的农药量较少．
8．设，，．
（1）证明：介于，之间．
（2），中哪一个更接近于．
（3）根据以上事实，设计一种求近似值的方案，并说明理由．
解：（1），则介于与之间．
（2），
比更接近于．
（3）依次令，则．
而．
故，，，…，依次接近于，且．
9．设常数，，试探求不等式对任意成立的充要条件．
解：
（由于）
，
又由（当时等式成立），得到，故所求的充要条件为．
10．已知集合（其中为正常数）．
（1）设，求的取值范围．
（2）求证：当时，不等式对任意恒成立．
（3）求使不等式对任意恒成立的的范围．
解：（1），当且仅当时等号成立，
故的取值范围．
（2）
．
由，又，，则在上是增函数，
所以，
即当时不等式成立．
（3）记，则，
即求使对恒成立的的范围．
由（2）知，要使对任意恒成立，必有，
因此，则函数在上递减，在上递增，要使函数在上恒有，必有，
即，得．
11．已知，，，且满足，求的最小值．
解：因为
，
所以
．
当时等号成立．故的最小值为．
2．10 不等式的证明
基础练习
1．（1）若，求证：．
（2）若，，求证：．
（3）若，求证：．
（4）若，，求证：．
解：（1）原不等式．
（2）原不等式．
（3）原不等式．
（4）原不等式．
2．若，，，，，，则．
解：原不等式．
3．若，为不全相等的正数 ，则．
解：原不等式．
4．已知，，且，求证：．
解：原不等式．
基础练习
1．求证：．
解：提示：两边平方．
2．设，，证明不等式：，
解：提示：两边六次方．
3．已知，，分别为一个三角形的三边之长，求证：．
解：．
4．若，，，且，证明不等式．
解：原不等式
．
5．已知，，，且，求证：．
解：提示：先证，分析法可证明，证明如下：
．
6．已知，，，求证：．
解：提示：先证，累加可证明．
基础练习
1．求证：．
解：提示：两边平方力量．
2．已知，，，求证：．
解：原不等式．
3．已知，，求证：．
解：原不等式．
4．已知，，，求证：．
解：原不等式．
5．已知，，，求证：．
解：原不等式．
6．设，求证：．
解：；．
2．11 几个常用的不等式
1． 是否存在最小的正整数，使得不等式对任何正整数恒成立，证明你的结论．
证：取，，，容易验证知，，时均不符合要求．
当时，若，式①显然成立，，则
．
故题式成立，因此满足对任何正整数，题式恒成立．
2．设三边长分别为，，，且，求的最小值．
解：
．
因为，，是三边长，且，所以，，，
于是，
即．
则．等号当且仅当时取到，
故的最小值为．
3．设，，求证：．
证：因为，所以有，，又，故有，
．
4．已知，，均为正数，
（1）求证：．
（2）若，求的最小值．
证：（1）由于，，均为正数，则原不等式
．
解：（2），
因为，，
，
当且仅当时，等号成立．
5．给定两组数，，…，和，，…，
（1），；
（2），，…，．
求证：对于任何自然数，都有如下不等式成立：．
证：要证明上述不等式，先证以下命题：若，
则 ①
由于，
设，，…，．
则
．
则①式成立．
取，，…，代入①
．
取，，…，代入①
．
取，，…，代入①
．
则．
原不等式得证．
6．为正整数，证明：．
证：先证左边不等式
．
式成立，故原左边不等式成立．
其次证右边不等式
式恰符合均值不等式，故原不等式右边不等号成立．
2．12 不等式的应用
基础练习
1．今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确，有人说要用它称物体的重量，只需将物体放在左右托盘各称一次，则两次称量结果的和的一半就是物体的真实重量，这种说法对吗？并说明你的结论．
解：错，．
2．已知水渠在过水断面面积为定值的情况下，过水湿周越小，其流量越大，现有以下两种设计，如图的过水断面为等腰，，过水湿周．
图的过水断面为等腰梯形，，，，过水湿周．若与梯形的面积都为，
（1）分别求和的最小值．
（2）为使流量最大，给出最佳设计方案．
解：（1）在图中，设，，则，
由于，，均为正值，
则当且仅当，即时取等号，．
在图中，设，，由，
可求得：．
由，
则，．
（2）由于，故在方案②中当取得最小值时的设计方案为最佳方案．
3．设，，都是实数，且，，求的最小值及相应的的值．
解：利用柯西不等式求解，取时，．
能力提高
4．（1）已知：，，均是正数，且，求证：．
（2）当，，均是正数，且对真分数，给出类似上小题的结论，并予以证明．
（3）证明：中，（可直接应用第（1）、（2）小题结论）．
（4）自己设计一道可直接应用第（1）、（2）小题结论的不等式证明题，并写证明过程．
解：（1）由于，则，
又，则，
（2）由于，则，应用第（1）小题结论，得，取倒数，得．
证明：（3）由正弦定理，原题中，求证：．
由（2）的结论得，，，，且，，均小于，
则，，，
．
解：（4）在四边形中，求证：．
凸边形中，边长依次为，，…，，可证：
．
为各项为正数的等差数列，，求证：
．
5．设证明不等式．
证：，
（当且仅当时取等号）．
取，，，则
．
，，不能同时相等，
．
6．设，，是大于的整数．求的最小值，其中表示正整数，的最小公倍数．
解：不妨设，当，， ，时，
，，，，，下证：当是时，有，- 25 -
．
因为，所以只需证．
由于，且由柯西不等式，
所以．
故，当时等式成立，
所以，的最小值为．
7．设实数，满足，，证明：．
证：假设，则，，由，得，即
，由于单调递减，，
且，则．
由，得，即．
由于单调递减，，且，
则，因此，，与矛盾，所以，．第三章 函数
3.1 函数与映射
基础练习
1．已知集合，映射：，在作用下点的像是，则集合（ ）．
A．
B．
C．
D．
解：D．（解法要点：因为，所以．）
2．设集合，，如果从到的映射满足条件：对中的每个元素与它在中的像的和都为奇数，则映射的个数是（ ）．
A．8个 B．12个 C．16个 D．18个
解：D．（解法要点： 为奇数， 当为奇数、1时，它们在中的像只能为偶数、0或2，所以方法有种；而当时，它在中的像为奇数或1，共有2种对应方法．故映射的个数是9×2=18．）
3．在下列四组函数中，与表示同一函数的是（ ）．
A．，
B．，
C．，，，
D．，
解：B．（解法要点：解析式和定义域都需要一致．）
4．若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（ ）．
A．（0，4] B．[2，4] C．（0，2] D．（2，4）
解：B．（解法要点：画图即可得．）
5．给定映射：，求点的原像．
解：：，或．
6．已知，，映射：满足：对任意的，它在中的像使得为偶数，这样的映射有__________个．
解：奇数自变量所对应值也为奇数，故±1各有2种对应，0有3种对应．所以2×3×2=12．
7．给定{1，2，3}，和映射：，若为单射，则有__________个；若．为满射，则有__________；满足的映射有__________个．
解：（1）由定义可得：6个；
（2）由定义可得：6个；
（3）枚举可得：1个．
8．（1）已知函数的定义域为[0，1]，求的定义域．
（2）已知函数的定义域是，求函数的定义域．
（3）已知函数的定义域为[1，3），求函数的定义域．
（4）已知函数的定义域是，求函数的定义域．
解：（1）．
（2）．
（3） [5，7）．
（4）
9．已知是一次函数，且．求的解析式．
解：设，．
10．求出解析式为，值域为{1，4}的所有函数．
解：，．
①，；
②，；
③，；
④，；
⑤，；
⑥，；
⑦，．
能力提高
11．是集合到集合{0，1，2}的映射，满足的映射有多少个？
解：将0，1，2三个元素设想为0号盒、1号盒和2号盒三个盒子．只要5个元素，，，，全部放放盒子（允许有空盒）便可得到1个映射．设放入1号盒的元素个数为，放入2号盒的元素个数为，则放入0号盒的元素个数为个，，．则有
，
由条件，考虑到，且，，
故上述方程的解是．
因此满足条件的元素的放法有三类．
第一类：放入1号盒1个元素，放入2号盒2个元素，其余元素放入0号盒，放法种数是：30种．
第二类：放入1号盒3个元素，放入2号盒1个元素，其余元素放入0号盒，放法种数是：20种．
第三类：全部5个元素都放入1号盒，放法种数为1种．
所以放法总数为30+20+1=51种．故符合条件的映射有51个．
12．求下列函数的值域：
（1）求函数的值域．
（2）函数的值域为__________．
（3）求函数，的值域．
解：（1）
．
当时，，所以函数值域是．
（2）先平方去掉根号，由题设得，
则．由，得．
解得，．由于能达到下界0，
所以函数的值域为．
（3）令，因为所以，所以．
显然在单调递增．
所以该函数值域为．
13．设在[0，1]上有定义，要使函数有定义，则的取值范围为
解：由于，．
14．已知函数和的图像关于原点对称，且．
（1）求函数的解析式．
（2）解不等式．
解：（1）设函数图像上一点为，
其关于原点对称点在函数上，
则有．则有．
（2）原不等式等价于．
当时，有解集为空集．
当时，的解集为．
综上，原不等式的解集为．
15．函数．
（1）求函数的值域．
（2）设，记的最大值为，求的表达式．
（3）在第（2）条件下，试求满足不等式的实数的取值范围．
解：（1）要使有意义，必须且，即．
由于，且，
则的值域是．
（2）设，则，
则，．
由题意知即为函数，的最大值，
由于直线是抛物线的对称轴，
则可分以下几种情况进行讨论：
当时，函数，的图像是开口向上的抛物线的一段，
由知在上单调递增，故；
当时，，，有；
当时，函数，的图像是开口向下的抛物线的一段，
若即时，．
若即时，，
若即时，．
综上所述，有
（3）由（2）得到：
当时，单调递减，单调递增，
则恒成立．
当时，由于，则，
则单调递减，又由于递增，
则，所以恒不成立．
当时，所以：恒不成立．
综上：满足不等式的实数的取值范围是：．
16．已知函数．
（1）是否存在实数，使得函数的定义域和值域都是？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
（2）若存在实数，使得函数的定义域是，值域是，求实数的取值范围．
解：（1）不存在实数满足条件．事实上，若存在实数满足条件，则有．故
（ⅰ）当时，在（0，1）上为减函数，所以，即．
由此推得，与已知矛盾，故此时不存在实数满足条件．
（ⅱ）当时，在上为增函数，所以，
即．
于是，为方程的实根．而此时方程无实根，故此时也不存在实数，满足条件．
（ⅲ）当，时，显然，而，所以，矛盾．
综上可知，不存在实数满足条件．
（2）若存在实数满足定义域是，值域是，，易得，．
仿（1）知，当或，时，满足条件的实数，不存在．
只有当时在上为增函数，有
即于是为方程的两个大于1的实根．
则只须解得．
所以的取值范围为．
17．函数在整数集上，且满足，求的值．
解：定义：，其中等式右边有层函数．
因为，根据周期性，所以
．
18．已知函数，
（1）当时，求函数的最小值．
（2）若对任意，恒成立，试求实数的取值范围．
解：（1）当时，，
由于在上是增函数，
则在上有最小值．
（2）在上，恒成立，等价于
恒成立，令，
则在上是增函数，当时，有最小值，
由恒成立，得，故．
19．设，为常数，；：把平面上任意一点映射为函数．
（1）证明：不存在两个不同点对应于同一个函数．
（2）证明：当时，，这里为常数．
（3）对于属于的一个固定值，得，在映射的作用下，作为像，求其原像，并说明它是什么图像．
解：（1）假设有两个不同的点，对应同一函数，即与相同，即对一切实数均成立．特别令，得；令，得这与，是两个不同点矛盾，假设不成立．故不存在两个不同点对应同函数．
（2）当时，可得常数，，使
，
，
由于，，为常数，设，，则是常数．从而．
（3）设，由此得，其中，，在映射之下，的原像是，则的原像是
．
消去得，即在映射之下，的原像是以原点为圆心，为半径的圆．
20．设．记，，2，3，…，
{对所有正整数，．证明：．
证明：（1）如果，则，．
（2）如果，由题意，，2，3，…．则
①当时，．
事实上，当时，，设时成立（为某整数），则对，
．
②当时，．
事实上，当时，，设时成立（为某整数），则对，有．注意到当时，总有，即．从而有．由归纳法，推出．
（3）当时，记，则对于任意，且
．
对于任意，，则．
所以，．
当时，，即．因此．
综合（1）（2）（3），我们有．
3.2 函数关系的建立
基础练习
1．某商场在节日期间推出一项促销活动，“满100送30”，即当消费额超过100元当场抵扣30元，例如消费额为180元抵扣30元，实际支付费用为150元；消费额200元抵扣60元，实际支付费用为140元；依此类推．
（1）建立实际支付费用与消费额之间的函数关系．
（2）消费金额不同，实际支付的费用能否相同？
解：（1）则，．
（2）消费金额不同，实际支付的费用可能相同，如消费额170元时，实际支付费用为140元，而消费额200元时，实际支付的费用也为140元．
2．某种衬衫进货价为每件30元，若以40元一件售出，则每天可以卖出40件；若每件提价1元，则每天卖出的件数将减少一件．试写出每天出售衬衫的净收入与销售价格之间的函数关系．
解：，．
3．投寄本埠平信，每封信不超过20克时付邮费0.6元，超过20克不超过40克时付邮费1.2元，依此类推，每增加20克需增加邮费0.6元（重量在100克以内），如果某人投一封重量为72.5克的信，求他应付的邮费．
解：0.6×4=2.4元．
4．一长方形泳池中相邻的两条泳道和（看成两条互相平行的线段见图3-2）分别长90米，甲在泳道上从处出发，以3米/秒的速度到达以同样的速度返回处，然后重复上述过程；乙在泳道上从处出发，以2米/秒的速度到达以同样的速度游回处，然后重复上述过程．（不考虑每次折返时的减速和转向时间）．两人同时开始运动．
（1）设甲离开池边处的距离为米，当时间（单位：秒）时，写出关于的函数解析式．
（2）在图3-2的直角坐标系中，轴表示时间（单位：秒），轴表示离开池边处的距离．在同一个坐标系中画出甲乙两人各自运动的函数图像（实线表示甲的图像，虚线表示乙的图像）．
（3）请根据图像判断从开始运动起到3分钟为止，甲乙的相遇次数．
解：（1）．
（2）如上右图．
（3）图线交点代表相遇，可见相遇五次．
5．某学校要建造一个面积为10000平方米的运动场．如图3-3，运动场是由一个矩形和分别以、为直径的两个半圆组成．跑道是一条宽8米的塑胶跑道，运动场除跑道外，其他地方均铺设草皮．已知塑胶跑道每平方米造价为150元，草皮每平方米造价为30元．
（1）设半圆的半径（米），试建立塑胶跑道面积与的函数关系．
（2）由于条件限制[30，40]，问当取何值时，运动场造价最低？（精确到元）
解：（1）塑胶跑道面积．．
（2）设运动场造价为，在[30，40]上单调递增．
当，运动场造价最低位636510元．
6．国际上常用恩格尔系数（记作）来衡量一个国家和地区人民生活水平的状况，它的计算公式为：，各种类型家庭的如下表所示：
家庭类型 贫困 温饱 小康 富裕 最富裕
根据某市城区家庭抽样调查统计，2003年初至2007年底期间，每户家庭消费支出总额每年平均增加720元，其中食品消费支出总额每年平均增加120元．
（1）若2002年底该市城区家庭刚达到小康，且该年每户家庭消费支出总额9600元，问2007年底能否达到富裕？请说明理由．
（2）若2007年比2002年的消费支出总额增加36％，其中食品消费支出总额增加12％，问从哪一年底起能达到富裕？请说明理由．
解：（1）2007年底能达到富裕．
（2）（解题提示：通过支出增加的比例与实际量，算出2002年的消费支出总额）6年后即2008年底起达到富裕．
7．某公司为帮助尚有26.8万元无息贷款没有偿还的残疾人商店，借出20万元将该商店改建成经营状况良好的某种消费品专卖店，并约定用该店经营的利润逐步偿还债务（所有债务均不计利息）．
已知该种消费品的进价为每件40元；该店每月销售量（百件）与销售价（元/件）之间的关系用图3-4中的一条折线（实线）表示；职工每人每月工资为600元，该店应交付的其他费用为每月13200元．
（1）若当销售价为52元/件时，该店正好收支平衡，求该店的职工人数．
（2）若该店只安排40名职工，则该店最早可在几年后还清所有债务，此时每件消费品的价格定为多少元？
解：（1）设该店的月利润为元，有职工名．
所以，．
由已知，当时，，即
，
解得．即此时该店有50名职工．
（2）若该店只安排40名职工，则月利润
．
当时，求得时，取最大值7800元．
当时，求得时，取最大值6900元．
综上，当时，有最大值7800元．
设该店最早可在年后还清债务，依题意，有12×7800-268000-200000≥0．
解得．
所以，该店最早可在5年后还清债务，此时消费品的单价定为55元．
8．已知每生产一件合格的仪器可以盈利元，但每生产一件次品将亏损元，故厂方希望定出合适的日产量．
（1）试将生产这种仪器每天的盈利额（元）表示为日产量（件）的函数．
（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？
解：（1）当时，，所以，每天的盈利额．
当时，，所以，每日生产的合格仪器约有件，次品约有件．则每天的盈利额
．
综上，日盈利额（元）与日产量（件）的函数关系为：
．
（2）由（1）知，当时，每天的盈利额为0．
当时，．
为表达方便，令，则．故
．等号当且仅当，即（即）时成立．所以，
①当时，（等号当且仅当时成立）．
②当时，由得，易证函数在，上单调递增（由函数图像易知）．所以，．因此，
．
即．（等号当且仅当时取得）
综上，若，则当日产量为88件时，可获得最大利润；若，则当日产量为时，可获得最大利润．
9．某医院研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量使用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量与时间之间近似满足如图3-5所示的曲线．
（1）写出服药后与之间的函数关系式．
（2）据测定，每毫升血液中含药量不少于4微克时治疗疾病有效，假若某病人一天中第一次服药为
7：00，问一天中怎样安排服药时问、次数，效果最佳？
解：（1）依题意，得．
（2）设第二次服药时，在第一次服药后小时，
则，（小时）．
因而第二次服药应在10：00．
设第三次服药在第一次服药后小时，则此时血液中含药量应为两次服药后含药量之和，即有，解得（小时），
因而第三次服药应在14：00．
设第四次服药在第一次服药后小时（），则此时第一次服的药已吸收完，此时血液中含药量应为第二、三次之和，
解得（小时），故第四次服药应在17：30．
10．居民自来水收费规定：月总费用=基本费用3元+保险金元+超额费（为定值且元）；每月每户用量不超出基本限额米3付基本费3元和保险费，超出部分付元/米3，某户近三月费用见下表，求、、．
月序号 用水量（米3） 费用（元）
1 4 4
2 25 14
3 35 19
解：费用，由于，故2月，3月都超额．
（1）1月不超额，，；
又，故．
（2）如果1月也超额，将数据代入，无解．
综合之，，，．
11．如图3-6，在单位正方形内作两个互相外切的圆，同时每一个圆又与正方形的两相邻边相切，记其中一个圆的半径为，两圆的面积之和为，将表示为的函数，求函数的解析式及的值域．
解：设另一个圆的半径为，
则
，
则
，
因为当一个圆为正方形内切圆时半径最大，而另一圆半径最小，
所以函数的定义域为．
因为，所以；
因为，
所以，所以函数的值域为．
3.3 函数的运算及图像
基础练习
1．已知函数的图像如图3-10所示，那么，函数的图像是图3-11中的（ ）．
解：A．（解题提示：将图像向左平移1个单位，将轴以下部分向上翻折即可）
2．甲、乙两人沿同一方向去地，途中都使用两种不同的速度，（）．甲一半路程使用速度，另一半路程使用速度，乙一半时间使用速度，另一半时间使用速度，甲、乙两人从地到地的路程与时间的函数图像及关系，图3-12中4个不同的图示分析（其中横轴表示时间，纵轴表示路程），其中正确的图示分析为（ ）
A．（1） B．（3）
C．（1）或（4） D．（1）或（2）
解：D．（解题提示：速度相同，图线斜率相同）
3．定义域和值域均为 （常数）的函数和的图像如图3-13所示，给出下列四个命题：
（1）方程有且仅有三个解；
（2）方程有且仅有三个解；
（3）方程有且仅有九个解；
（4）方程有且仅有一个解．
那么，其中正确命题的个数是（ ）．
A．1 B．2
C．3 D．4
解：B．（1），（4）正确．
4．如图3-14所示，向高为的水瓶，，，同时以等速注水，注满为止．
（1）若水深与注水时间的函数图像是图3-15中的（），则水瓶的形状是__________．
（2）若水量与水深的函数图像是图3-15中的（），则水瓶的形状是__________．
（3）若水深与注水时间的函数图像是图3-15中的（），则水瓶的形状是__________．
（4）若注水时间与水深的函数图像是图3-15中的（），则水瓶的形状是__________．
解：（1）C．（2）A．（3）D．（4）B．
5．已知，且
，则的值有（ ）．
A．2个 B．3个
C．4个 D．无数个
解：D．（解题提示：满足，且的都可以）
6．已知，，求和．
解：，，．
7．根据函数，作出下列函数的图像：
①，
②．
解：
能力提高
8．已知，，那么方程的解的个数是__________．
解：作图像可得5个．
9．设函数，，已知时恒有，求的取值范围．
解：．
10．设曲线的方程是，将沿轴、Y轴正方向分别平移、个单位长度后得到曲线，
（1）写出曲线的方程．
（2）证明曲线与关于点对称．
（3）如果曲线与有且仅有一个公共点，证明：．
解：（1）曲线的方程为．
（2）证明：在曲线上任意取一点，设是关于点的对称点，
则有，， ，代入曲线的方程，
得的方程：，
即可知点在曲线上．
反过来，同样证明，在曲线上的点的对称点在曲线上．
因此，曲线与关于点对称．
（3）证明：由于曲线与有且仅有一个公共点，
方程组有且仅有一组解，
消去，整理得，这个关于的一元二次方程有且仅有一个根，
则，即得，
因为，所以．
11．（1）试作出函数的图像．
（2）对每一个实数，三个数，，中最大者记为，试判断是否是的函数．
解：（1）由于，则为奇函数，从而可以作出时的图像，
又由于时，，
则时，的最小值为2，图像最低点为（1，2），
又由于在（0，1）上为减函数，在上是增函数，
同时即以为渐近线，
于是时，函数的图像应为下图①，图像为图②：
（2）是的函数，作出，，的图像可知，的图像是图③中实线部分．定义域为；值域为．
12．设函数．
（1）在区间上画出函数的图像．
（2）设集合．试判断集合和之间的关系，并给出证明．
（3）当时，求证：在区间上，的图像位于函数图像的上方．
解：（1）如右图所示，
（2）方程的解分别是，0，4和，
由于在和[2，5]上单调递减，
在和[上单调递增，因此
．
由于，，则．
（3）当时，．
，
由于，则．又，
①当，即时，取，
．
由于，则，则．
②当，即时，取，．
由①、②可知，当时，，．
因此，在区间[1，5]上，的图像位于函数图像的上方．
13．已知集合，．若是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则的值为__________．
解：点集是顶点为，，，的正方形的四条边（如右图）．
将，变形为，
所以，集合是由四条直线，构成．
欲使为正八边形的顶点所构成，
只有或这两种情况．
（1）当时，由于正八边形的边长只能为2，
显然有，故．
（2）当时，设正八边形边长为，则
，，这时，．
综上所述，的值为或，如图中，．
14．记函数的定义域为，若存在，使成立，则称为坐标的点为函数图像上的不动点．
（1）若函数等图像上有两个关于原点对称的不动点，求，应满足的条件．
（2）在（1）的条件下，若，记函数图像上有两个不动点分别为，，为函数图像上的另一点，其纵坐标，求点到直线距离的最小值及取得最小值时的坐标．
（3）下述命题：“若定义在上的奇函数图像上存在有限个不动点，则不动点有奇数个”是否正确？若正确，给予证明；若不正确，请举一反例．
解：（1）若为函数不动点，则有，
整理得 ①
根据题意可判断方程①有两个根，且这两个根互为相反数，得
且，．
所以，而，所以．
即，，且．
（2）在（1）的条件下．当时，．
由，解得两个不动点为，，
设点，则，即，解得：．
设点到直线的距离为，则
．
当且仅当，即时取等号，此时．
（3）命题正确．
因为定义在上的奇函数，所以，所以0是奇函数的一个不动点．设是奇函数的一个不动点，则，由，所以也是的一个不动点．所以奇函数的非零不动点如果存在，则必成对出现，故奇函数的不动点数目是奇数个．
3.4 函数的奇偶性和函数的单调性
基础练习
1．已知是偶函数，，当时，为增函数，若，，且，则（ ）．
A． B．
C． D．
解：B．
2．判断下列各函数的奇偶性：
（1）．
（2）．
解：（1）由定义域不对称，可知为非奇非偶函数．
（2）由定义可知为奇函数．
3．已知是定义在上的减函数，若成立，求的取值范围．
解：，
且，或．
4．已知定义域为的函数是偶函数，并且在上是增函数，若，求不等式的解集．
解：即与异号．．
5．已知是上的奇函数，且当时，，求的解析式．
解：．
6．若为奇函数，且在上是减函数，又．求的解集．
解：画的大致图像，可知．
7．设，是上的偶函数．
（1）求的值．
（2）证明在上为增函数．
解：（1）依题意，对一切，有，即．
则对一切成立，则，
则，由于，则．
（2）设，则
，
由，，，得，，，
则，即，则在上为增函数．
8．已知函数对一切，，都有，
（1）求证：是奇函数．
（2）若，用表示．
解：（1）显然的定义域是，它关于原点对称．在中，
令，得，令，得，即．
则，即．是奇函数．
（2）由，及是奇函数，
得．
9．设是上的偶函数，且在区间上递增，若成立，求的取值范围．
解：
由于，恒为正数，
则．
能力提高
10．设函数在上是奇函数，又在上是减函数且，指出在上的增减性，并证明．
解：增函数，用单调性定义证明．
11．已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数．
（1）如果函数的值域为，求的值．
（2）研究函数（常数）在定义域内的单调性，并说明理由．
（3）对函数和（常数）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明）．
解：（1）±3．
（2）上递减，上递增，上递增，上递减．
（3），若为奇数，则在上递减，上递增；在上递减，在递增．若为偶数则在上递减，上递增；在上递增，在递减．
12．定义在上的奇函数满足，且当，，时，有．
（1）判定函数在的单调性并加以证明．
（2）若对所有，恒成立，求的取值范围．
解：（1）任取，，且，则
．
因为，，所以，．
则是上的增函数．
（2）要使得对所有，恒成立，
只须，即对任意的恒成立，
考虑，只须，
解之得：或或．
13．已知函数（且）．
（1）试就实数的不同取值，写出该函数的单调递增区间．
（2）已知当时，函数在上单调递减，在上单调递增，求的值并写出函数的解析式．
（3）记（2）中的函数的图像为曲线，试问是否存在经过原点的直线，使得为曲线的对称轴？若存在，求出的方程；若不存在．请说明理由．
解：（1）①当时，函数的单调递增区间为及，
②当时，函数的单调递增区间为及，
③当时，函数的单调递增区间为及．
（2）由题设及（1）中③知且，解得，因此函数解析式为．
（3）假设存在经过原点的直线为曲线的对称轴，显然、轴不是曲线的对称轴，故可设：，
设为曲线上的任意一点，与关于直线对称，且，，则也在曲线上，由此得，，
且，，
整理得，解得或，
所以存在直线及为曲线的对称轴．
14．定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界．
已知函数；．
（1）当时，求函数在上的值域，并判断函数在上是否为有界函数，请说明理由．
（2）若函数在上是以3为上界的有界函数，求实数的取值范围．
（3）若，函数在[0，1]上的上界是，求的取值范围．
解：（1）当时，．
因为在上递减，所以，即在的值域为．
故不存在常数，使成立．
所以函数在上不是有界函数．
（2）由题意知，在上恒成立．
，．
在上恒成立．
．
设，，，由得，
设，，
，
所以在上递减，在上递增，在上的最大值为，在上的最小值为．
所以实数的取值范围为．
（3），由于，，则在[0，1]上递减，
则，即．
①当，即时，，
此时；
②当，即时，，
此时．
综上所述，当时，的取值范围是；
当时，的取值范围是．
15．已知定义在上的函数满足：，且对于任意实数、，总有成立．若对于任意非零实数，总有．设有理数，满足，判断和的大小关系，并证明你的结论．
解：令，，则，又由于，则．
令，得，即．
则对任意的实数总成立，则为偶函数．
结论：．证明：由于时，，
则，即．
则令，故，总有成立．
则
则对于，总有成立．
则对于，，若，则有成立．
由于，所以可设，，其中，是非负整数，，都是正整数，则，，令，，，则，．
由于，则，则，即．
由于函数为偶函数，则，．
则．
3.5 函数的最值
基础练习
1．求下列函数的最值：
（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
（5）．
（6）．
解：（1）换元法解题，可得：．
（2）函数单调递增，可得：．
（3）三角换元，可得：．
（4）取平方解题，．
（5）判别式法解题，．
（6）换元法解题，可得：．
2．求函数，的最小值．
解：时，最小值为；时，最小值为．
3．已知函数．
（1）若，求函数的值域．
（2）若对于任意的实数，恒成立，求实数的取值范围．
解：（1）．
（2）因为恒成立恒成立，．
4．已知的值域是，试求的值域．
解：换元法解题，，，
．
5．若函数在区间上的最小值为，最大值为，求．
解：当时，，，为的两根，无解．
当时，，解得：，．
当时，，
则或．
6．已知为正整数，实数，满足，若的最大值为40，则满足条件的数对的个数为__________．
解：，
则有（1，9），（2，8），（3，7），（4，6），（5，5）共5对．
7．已知函数，．若，那么的最大值是__________．
解：画出上述函数的图像，所求的最大值为1．
8．如图3-16，在锐角中，，于点，且，点为边上的任意一点，过点作，交于点．设的高为，以为折线将翻折，所得的与梯形重叠部分的面积记为（点关于的对称点落在所在的直线上）．
（1）分别求出当与时，与的函数关系式．
（2）当取何值时，的值最大？最大值是多少？
解：（1），．
（2）当时，有最大值：．
9．已知函数是奇函数．
（1）求常数的值．
（2）判断的单调性并证明．
（3）求函数的值域．
解：（1）．
（2）．
①若，则，
于是，，，
故，即．
②若，则，
于是，，，仍有．
综上，在及上都是减函数．
（3）由得：，解得或，即函数值域是．
能力提高
10．甲、乙两地相距千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过千米/时．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度（千米/时）的平方成正比，比例系数为；固定部分为元．
（1），把全部运输成本（元）表示成（千米/时）的函数，并指出它的定义域．
（2）为使最小，汽车应以多大速度行驶？
解：（1）依题意，．化简，得，．
（2）因，当且仅当，即时，有最小值．
若，则当（千米／时）时，最小．
若，设，考虑两数的单调性．
．
因此，是减函数．于是，当（千米/时），最小．
综上可知，当时，取（千米/时）；当（千米／时）时，取，这样可使最小．
11．要完成一项加工任务，其中包含6 000个零件，2 000个零件．该厂有214名工人，每名工人加工5个零件的时间可以加工3个零件．现将工人分成两组，同时开始，分别加工这两种零件．为使该项任务尽快地全部完成，应如何分组？（每名工人只加工一种零件）
解：设加工零件人，加工零件人，在单位时间内，每名工人可加工零件个，或者可以加工零件个，
则加工完零件所需时间，加工完零件所需时间，
要使两项工作都完成，则取，中最大的一个时间为．
由于．
则当时，，是关于的增函数，当时，．
则当时，，是关于的减函数，当时，．
为使任务尽快完成，则要求最小．
由于，
则当时，所需时间最少．
故应安排137人完成零件，应安排77人完成零件．
12．求函数的最大值．
解：，
记点，，，
则表示动点到点和距离的差，见右图．
因为，
当且仅当为延长线与抛物线的交点时等号成立．
所以．
13．已知函数．将的图像向右平移两个单位，得到图像．
（1）求函数的解析式．
（2）若函数与函数图像关于直线对称，求函数解析式．
（3）设，已知的最小值是，且，求实数的取值范围．
解：（1）由题设，．
（2）设在的图像上，在的图像上，则．
则，即．
（3）由题设，．
由于，
①当时，有，，而，，
则，这与的最小值，矛盾；
②当时，有
，，在上是增函数，故不存在最小值；
③时，有，此时在上是减函数，故不存在最小值；
④当时，有，，．
当且仅当时取得等号，取最小值．
又及，得，，
则．
14．已知函数的图像与轴的交点至少有一个在原点右侧，
（1）求实数的取值范围．
（2）令，求．（其中表示不超过的最大整数，例如：，，）
（3）对（2）中的，求函数的值域．
解：（1）由于，
①时由图像易知，交点分布在原点两侧，
②是交轴与符合题意，
③时，，解得，则；
（2）由于，则，则时，时；
（3）时，，，
于是，由于在上递增，
则，设，递减
则，则，
设，则，
则，则，
则时，值域为即，
综上，的值域为．
15．已知函数（为实常数）．
（1）若，作函数的图像．
（2）设在区间上的最小值为，求的表达式．
（3）设，若函数在区间[1，2]上是增函数，求实数的取值范围．
解：（1）当时，
．作图（如右所示）．
（2）当时，．
若，则在区间[1，2]上是减函数，．
若，则，图像的对称轴是直线．
当时，在区间[1，2]上是减函数，．
当，即时，在区间[1，2]上是增函数，．
当，即时，，
当，即，时在区间[1，2]上是减函数，．
综上可得
（3）当时，，在区间[1，2]上任取，，且，
则
．
因为在区间[1，2]上是增函数，所以，
因为，，所以，即，
当时，上面的不等式变为，即时结论成立．
当时，，由得，，解得，
当时，，由得，，解得，
所以，实数的取值范围为．
16．已知，函数．
（1）当时，求所有使成立的的值．
（2）当时，求函数在闭区间[1，2]上的最小值．
（3）试讨论函数的图像与直线的交点个数．
解：（1），所以或．
（2），
．当时，，这时，，对称轴，
所以函数在区间[1，2]上递增，；
．当时，时函数；
．当时，，这时，，对称轴，
，，由于，
所以函数；
（3）因为，所以，所以在上递增；
在上递增，在上递减．
因为，所以当时，函数的图像与直线有2个交点；
又，当且仅当时，等号成立．
所以，当时，函数的图像与直线有1个交点；
当时，函数的图像与直线有2个交点；
当时，函数的图像与直线有3个交点；
当时，函数的图像与直线有2个交点；
当时，函数的图像与直线有3个交点．
17．设为实数，设函数的最大值为．
（1）设，求的取值范围，并把表示为的函数．
（2）求．
解：本小题主要考查函数、方程等基本知识，考查分类讨论的数学思想方法和综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力．
（1）令，
要使有意义，必须且，即，
则， ①
的取值范围是．由①得，
则，．
（2）由题意知即为函数，的最大值．
注意到直线是抛物线的对称轴，分以下几种情况讨论．
①当时，函数，的图像是开口向上的抛物线的一段，
由知在上单调递增，则．
②当时，，，则．
③当时，函数，的图像是开口向下的抛物线的一段，
若，即，则．
若，即，则．
若，即，则．
综上有
18．求函数在区间上的值域．
解：，换元法求得：值域为．
3.6 函数的周期性
基础练习
1．已知是定义在上的偶函数，并且满足，当时，，，，求的值．
解：．
2．已知定义在上的奇函数满足，求的值．
解：．
3．已知是定义在上的函数，且对任意都有，．若，则__________．
解：由得：，所以
，
．
即，．
则．
则．即是周期为1的周期函数，又，故．
4．已知函数的图像关于点对称，且满足，又，，求的值．
解：是周期为3的周期函数，且是偶函数．
，则．
5．设是定义在上的奇函数，且的图像关于直线对称，求的值．
解：是周期为1的周期函数．
．
能力提高
6．实数，是定义在全体实数集上的实值函数，对每一个实数，有，证明：是周期函数．
解：将原式移项后两边平方，得
，
即 ①
在①中用替换后得
②
②-①得 ③
但据原式知，对任意，，于是，由③得到
，此式表明是以为周期的周期函数．
7．设对任意，有，试证，函数为周期函数．
证：用替换上式中的后得， ①
进而有 ②
①+②得，即
所以，； ③
④
据③和④得，即是以6为周期的周期函数．
本例可推广为：
若满足，则是以为周期的周期函数（）．（证略）
8．设为正整数，规定：，已知．
（1）解不等式：．
（2）设集合，对任意，证明：．
（3）求的值．
（4）若集合，证明：中至少包含有8个元素．
解：（1）①当时，由得，． ．
②当时，因恒成立． ．
由①②得，的解集为．
（2） ，，，
当时，；
当时，；
当时，．
即对任意，恒有．
（3），
，
，
，…
一般地，．则．
（4）由（1）知，，则．则．则．
由（2）知，对，或1，或2，恒有，则．则0，1，．
由（3）知，对，，，，恒有，则，，，．
综上所述，，0，1，2，，，，． 中至少含有8个元素．（答案不唯一）
9．设是定义在上以2为周期的函数，对，用表示区间，已知当时，．
（1）求在上的解析表达式．
（2）对自然数，求集合{使方程在上有两个不相等的实根．
解：（1）．
（2）对自然数，集合．
10．设是定义在上以2为周期的函数，且是偶函数，在上，，
（1）求当的的解析式．
（2）若函数的图形与过定点的直线在上有4个不同的交点，求此直线斜率的取值范围．
解：（1）．
（2）由数形结合可知：．
11．设，，记，，，…，，试求方程在上有几个根？
解：由于函数的图像关于直线对称，（）
则的图像首先是关于对称，
又当时，，其图像又关于对称，于是，据例1的推广知，在上以为周期，易知方程有个根．
同样的，的图像首先关于，对称，又关于为对称，其三，关于为对称，于是知在[0，1]上以为周期，依上面讨论知的图像如上图，故方程的根的个数为个．
一般地，函数分别在区间；；…，上以；；，…，为对称轴，且图像与轴交点也恰好为这些对称轴与轴的交点．故在[0，1]上以为周期，于是，根据周期性可作出的图像（图略），它由叫个“”字连接而成，根据图像可知方程在[0，1]上有个根．
12．函数定义在实数集上，且对一切实数满足等式：和．设是的一个根，记在区间中的根的个数为．求的最小值．
解：由已知条件，有 ①
及
在①中令，得．
区间是的200个周期．因此上至少有1+200×2=401个根．
我们可以构造出一个“锯齿形”函数（如右图），满足上述所有条件，它在区间上有401个根，除此以外不再有其他根，因此．所求的最小值为401．
13．对于实数，当且仅当时，规定，
（1）求不等式的解．
（2）某学校数学课外活动小组，在坐标纸上某沙漠设计植树方案如下：第棵树种植在点处，其中，当时，
求2008棵树种植点的坐标．
解：（1），则
（2）令，则
故是周期为5的函数．
计算可知：；；；；；．所以，
；；…；．
以上各式叠加，得
；
同理可得．所以，第2008棵树的种植点为（3，402）．
14．设是一个从实数集映射到自身的函数，并且对任何均有，以及．证明：是周期函数，即存在一个非零实数，使得对任意，成立．
证：因为对任何，有
，
即 ①
同样，有
即 ②
由①②
即．
则对所有成立．
又由于有界，故只有．
则，为周期函数．
3.7 简单的函数方程
基础练习
1．求下列函数方程的解：
（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
解：（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
2．设函数：，满足，且对任意，，都有，求．
解：由于对，，有，
则有．
则．
即，令，得．
3．已知函数定义域为且单调递增，满足，
（1）证明：．
（2）求．
（3）若，求的范围．
（4）试证．
解：（1）令，，则，则．
（2）．
（3），在上单调递增．
则．
则．
（4）由于，则．
4．已知集合是满足下列性质的函数的全体：若存在非零常数，对任意，等式恒成立．
（1）判断一次函数是否属于集合．
（2）证明属于集合，并找到一个常数．
（3）已知函数与的图像有公共点，试证明：．
解：（1）若，则存在非零常数，对任意均有，即恒成立，得无解，则．
（2），则，，时等式恒成立，则．
（3）由于与有交点，由图像知，与必有交点．
设，则，则．
5．设函数的定义域为．当时，，且对任意的实数，，有成立．证明在上为减函数．
证明：令，，得，，
当时，，，进而得．
设，且，则，，
．
故，函数在上是单调递减函数．
6．已知是定义在上的函数，且对任意的，，有，规定，成立，又知，但不恒为0，且，证明：为周期函数．
证明：在题设中令，得： ， ①
由于，则， ②
注意，并用和分别替换题设中的和得
．
所以， ③
再据③有，
则是以为周期的周期函数．
7．设定义在正整数集上，且，．求．
解：令，得
再依次令，有
，
，
……
，
，
依次代入，得
，
则．
8．函数对一切实数，均有成立，且，
（1）求的值．
（2）对任意的，，都有成立时，求的取值范围．
解：（1）由已知等式．令，得，又由于，则．
（2）由，令得，由（1）知，则．由于，则在上单调递增，则．
要使任意，都有成立，
当时，，显然不成立．
当时，，则，解得．
则的取值范围是．
9．设集合
（1）试判断；，是否属于集合？
（2）若（，为常数，）属于，试寻找其充要条件．
（3）根据对第（1），（2）小题的研究，请你对属于集合函数从函数性质方面提出一个有价值的结论，说明理由；若（，，，），判断与集合的关系．
解：（1）若时，，则．
任取，，
，
．
（2）若，则对任意的恒成立，即对任意的，恒成立，由于，则．
（3）可得对属于集合的函数是奇函数．
取，得．
任取，令，，得，
得，则，．
则对属于集合的函数必是奇函数．
因为如果一个函数不是奇函数，则此函数不属于集合，而二次函数，（，，，）必定不是奇函数，所以（，，，）．
能力提高
10．对每一实数对，函数满足．若，试求满足的所有整数__________．
解：1或．令，得；
令，由，得，又令，，可得，
再令，得 ①
所以，即为正整数时，．
由可知对一切正整数，，
因此时，，即对一切大于1的正整数，恒有．
由①得，．
下面证明：当整数时，，
因，故，
由①得：，即，
，…，，．
相加得：，因为：，故．
综上所述：满足的整数只有或．
11．定义在上的函数满足：对任意实数，，总有，且当时，．
（1）试求的值．
（2）判断的单调性并证明你的结论．
（3）设，，若，试确定的取值范围．
（4）试举出一个满足条件的函数．
解：（1）在中，令，．得：．
因为，所以，．
（2）要判断的单调性，可任取，且设．
在已知条件中，若取，，则已知条件可化为：
．由于，所以．
为比较、的大小，只需考虑的正负即可．
在中，令，，则得．
由于时，，则当时，．
又，所以，综上可知，对于任意，均有．
则．则函数在上单调递减．
（3）首先利用的单调性，将有关函数值的不等式转化为不含的式子．
即，，即
．由，所以，直线与圆面无公共点．所以，．解得：．
（4）如．
12．已知定义在上的函数满足：
①值域为，且当时，；
②对于定义域内任意的实数，，均满足：试回答下列问题：
（1）试求的值．
（2）判断并证明函数的单调性．
（3）若函数存在反函数，求证：．
解：（1）在中，令，，则有．
即．也即．
由于函数的值域为，所以，，所以．
（2）函数的单调性必然涉及到，于是，由已知，我们可以联想到：是否有
①
这个问题实际上是：是否成立？
为此．我们首先考虑函数的奇偶件，也即与的关系．由于，所以，在中，令，得．
所以，函数为奇函数．故①式成立．
所以，．
任取，，且，则，故且，．
所以，
所以，函数在上单调递减．
（3）由于函数在上单调递减，所以，函数必存在反函数，由原函数与反函数的关系可知：也为奇函数；在上单调递减；且当时，．
为了证明本题，需要考虑的关系式．
在①式的两端，同时用作用，得：，
令，，则，，则上式可改写为：
．
不难验证：对于任意的，，上式都成立（根据一一对应）．
这样，我们就得到了的关系式．这个式子给我们以提示：即可以将写成的形式，则可通过立项相消的方法化简求证式的左端．
事实上，由于
，
所以，．
所以，
．
13．设是定义在上的函数，若对任何实数以及中的任意两数，，恒有，则称为定义在上的函数．
（1）试判断函数，中哪些是各自定义域上的函数，并说明理由．
（2）已知是上的函数，是给定的正整数，设，且，记．对于满足条件的任意函数．试求的最大值．
（3）若是定义域为的函数，且最小正周期为，试证明不是上的函数．
解：（1）是函数，证明如下：对任意实数，及，
有
．
即．
则是函数．
不是函数，证明如下：取，，，
则
．
即．
则不是函数．
（2）对任意，取，，．
由于是上的函数，，且，，
则．
那么．
可证是函数，且使得都成立，此时．
综上所述，的最大值为．
- 1 -
（3）假设是上的函数．若存在且，使得．
若，记，，，则，且．
那么
．
这与矛盾．若，
记，，也可得到矛盾．
则在上是常数函数，又因为是周期为的函数．所以在上是常数函数，这与的最小正周期为矛盾．所以不是上的函数．微信公众号:上海试卷
第四章 幂函数、指数函数、对数函数
4.1 幂函数
基础练习
1．研究下列函数的性质，并作出其图像．
①；
②．
解： 的图像 的图像
2．设，已知幂函数为偶函数，且在上递减，试确定满足条件的幂函数，并作出它们的大致图像．
解： 函数的图像 函数的图像
函数的图像 函数的图像
函数的图像 函数的图像
函数的图像 函数的图像
3．已知，是幂函数，其图像分布在第一、第三象限，求的解析式．
解：春回大地为是幂函数，所以，解得或或．
由于是幂函数，且图像分布在第一、第三象限，故．
所以．
4．已知函数为偶函数，且，求的值，并确定的解析式．
解：由于是偶函数，则应为偶数．
又由于，即，整理，得，
由于，则．
又由于，则或．
当时，为奇数（舍去）；当时，为偶数．
故的值为1，．
5．若，试求实数的取值范围．
解：由于函数在上单调递增，所以，解得．
6．若，试求实数的取值范围．
解：由题6题解配图，，解得．
7．若，试求实数的取值范围．
解：作出幂函数的图像如题7解题配图所示．由图像知此函数在上不具有单调性，若分类讨论步骤较繁，把问题转化到一个单调区间上是关键．考虑时，．
于是有，即．
又由于幂函数在上单调递增，
由于，
解得，或．
能力提高
8．讨论函数在时随着的增大其函数值的变化情况．
解：（1）当，即或时，为常函数．
（2）当时，或，此时函数为常函数．
（3）即时，函数为减函数，函数值随的增大而减小．
（4）当，即或时，函数为增函数，函数值随的增大而增大．
（5）当，即时，函数为增函数，函数值随的增大而增大．
（6）当，即时，函数为减函数，函数值随的增大而减小．
9．已知幂函数为偶函数，且在区间上是减函数，求的解析式，并讨论函数的奇偶性．
解：因为幂函数在区间上是减函数，所以有．
解上述不等式得到：，而，所以或．
当或时，是奇数，不合题意，
当时，是偶数，故；．
（1）当，0时，是奇函数．
（2）当，时，是偶函数．
（3）当时，既是奇函数又是偶函数．
当时， 即不奇函数，又不是偶函数．
10．已知函数，且．
（1）求的值．
（2）试判断是否存在正数，使函数在区间上的值域为；若存在，求出这个的值；若不存在，说明理由．
解：（1）或1．
（2）假设存在满足题设，由（1）知，．
由于，则两个最值点只能在端点和顶点处取得．
则．解得．
则存在满足题意．
11．设函数（，为常数），且：
（1）．
（2）有两个单调递增区间，写出一个同时满足上述两个条件的有序数对．
解：，如．
12．已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在区间上是减函数，在区间上是增函数．
（1）如果函数的值域为，求实数的值．
（2）研究函数（常数）在定义域内的单调性，并说明理由．
（3）对函数和（常数）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性．
解：（1）．
（2）和递减，和递增．
（3）（常数）在上是减函数，在区间上是增函数；当为奇数，则相反．
4.2 指数函数
1．利用指数函数的性质，比较下列各组中两个数的大小；
（1）和．
（2）和．
（3）和．
解：（1）．
（2）．
（3）．
2．若函数．
解：由于，则
3．设，求出的值．
解：可证：，进而可得：答案为500．
4．某工厂今年1月、2月、3月生产某产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量与月份数的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数(其中、、为常数)、已知四月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好 请说明理由．
解：作为模拟函数较好．理由略．
5．比较与（且）的大小．
解：，
时，，
时，则．
时，则．
综上，．
6．设．
(1)证明在上是增函数．
（2）求值域．
解：（1）
，
由于，则，所以原函数单调递增．
（2）．
7．设函数，求使的取值范围．
解：．
7．(1)求函数的值域．
（2）如果函数有两个不同的零点，求实数的取值范围．
（3）已知函数在上单调递减，求实数的取值范围．
解：（1），
令，
则，．
（2），
，，
问题转化为在有两个不同的零点，
可得：．
（3）略．
9．已知函数，在上是增函数，求实数的取值范围．
解：，
时，单调递增，则且；
时，单调递减，则，
则．
能力提高
10．设，；
（1）求证：且是奇函数．
（2）求证：且是偶函数．
证明：（1），
．
则，所以为奇函数．
（2）．
，，，
，则为偶函数．
11．设，求函数的最大值和最小值．
解：当时，，；
当时，，；
当时，，；
当时，，．
12．定义在上的增函数对任意，都有．
（1）求．
（2）求证为奇函数．
（3）若对任意恒成立，求实数的取值范围．
解：（1）令，可得．
（2）令，可证．
（3）即．
13．已知集合是满足下列性质的函数的体体；存在非零常数，对任意，有成立．
（1）函数是否属于集合？说明理由．
（2）设函数（，且）的图像与的图像有公共点，证明：．
（3）若函数，求实数的取值范围．
解：（1）对于非零常数，，，因为对任意，不能恒成，所以．
（2）因为函数（且）的图像与函数的图像有公共点，
所以方程组：有解，消去得，
显然不是方程的解，所以存在非零常数，使．
于是对于有，故．
（3）当时，，显然．
当时，因为，所以存在非零常数，对任意，有成立，即．
因为，且，所以，，于是，,
故要使成立，只有，当时，成立，则，．
当时，成立，即成立，
则，，即，．
综合上述得，实数的取值范围是．
14．已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数．
（1）如果函数在上是减函数，在上是增函数，求的值．
（2）设常数，求函数的最大值和最小值．
（3）当是正整数时，研究函数的单调性，并说明理由．
解：（1）由已知得，则．
（2）由于，则，于是，当时，函数取得最小值．
，
当时，函数的最大值是；
当时，函数的最大值是．
（3）设，．
当时，，函数在上是增函数；
当时，，函数在上是减函数．
当是奇数时，是奇函数，
函数在上是增函数，在上是减函数．
当是偶数时，是偶函数，
函数在上是减函数，在上是增函数．
15．若，，，，为常数，且
．
（1）求对所有实数成立的充要条件（用，表示）．
（2）设为两实数，且，，若．求证：在区间上的单调增区间的长度和为（闭区间的长度定义为）．
解：（1）恒成立
（*）
若，则，显然成立；若，记．
若时，
所以，故只需．
当时，
所以，故只需．
综上所述，对所有实数成立的充要条件是．
（2）第一，如果，则的图像关于直线对称．如题15解题配图．
因为，所以区间关于直线对称．
因为减区间为，增区间为，所以单调增区间的长度和为．
第二，如果，不妨设，则．
于是当时，，从而．
当时，，从而．
当时，及，
由方程，得①
显然，表明在与之间．
所以
综上可知，在区间上，如题15解题配图．
故由函数及函数的单调性可知，在区间上的单调增区间的长度之和为，由，即，得②
故由①得．
综合上述两方面可知，在区间上的单调增区间的长度和为．
4.3 对数概念及其运算
基础练习
1．把下列各题的指数式写成对数式：
（1）． （2）．
（3）． （4）．
解：（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
2．把下列各题的对数式写成指数式：
（1）． （2）．
（3）． （4）．
解：（1）．（2）．（3）．（4）．
3．计算下列各题：
（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
（5）．
（6）．
解：（1）1.（2） 1.（3） 1.（4） 21.5（5） 1.（6）．
4．（1）已知，，试用、表示．
（2）已知，求．
（3）已知，，求．
解：（1）．（2）．（3）．
5．设且．
（1）求证：．
（2）比较，，的大小．
解：（1）换无法，令，，，，即可证．
（2）由于，则．
6．用，，表示下列各式：
（1）．
（2）．
解：（1）．
（2）．
7．求解下列各题：
（1）已知，，试用，表示．
（2）已知，，试用，表示．
（3）已知，试建立间的关系式．
解：（1）．
（2）．
（3）或．
8．我们都处于有声世界里，不同场合，人们对音量会有不同的要求，音量大小的单位是分贝，对于一个强度为的声波，分贝的定义是：．这里是人耳能听到的声音的最低声波强度，，当时，，即．
(1)如果，求相应的分贝值．
(2)时声音强度是时声音强度的多少倍
解：(1)，相应的分贝值为．
(2)时声音强度是时声音强度的10倍．
9．科学研究表明，宇宙射线在大气中能够产生放射性碳14．碳14的衰变极有规律，其精确性可以称为自然界的“标准时钟”．动植物在生长过程中衰变的碳14，可以通过与大气的相互作用得到补充，所以活着的动植物每克组织中的碳14含量保持不变．死亡后的动植物，停止了与外界环境的相互作用，机体中原有的碳14按确定的规律衰减，我们已经知道其“半衰期”为5730年．湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳14的残余量约占原始含量的76.7％，试推算马王堆古墓的年代．
解：马王堆古墓是近2200年前的遗址．
能力提高
10．设，，且，求的最小值．
解：令，
则，，，；则，则，
代入可得：．
可知：，当且仅当，时取最小值．
11．（1）设都是正数，且，求的值．
（2）已知，且，求：的值．
（3）设，若，求的值．
解：（1）令，，，，代入，原式．
（2）利用公式：，证明如下：
，
可得：原式为0．
（3）利用函数奇偶性，令，为奇函数，
由于，
则原式．
12．解方程组：（其中）．
解：方程组的解为；．
13．对于正整数和实数，若，且，求证：．
证明：由取常用对数得．
所以，，，
相加得，由题设，
所以，所以．所以．
若，则因为，所以与题设矛盾，所以．
又，且为70的正约数，所以只有，，．
所以．
4.4 反函数
基础练习
1．求下列函数的反函数：
（1）．
（2）．
（3）．
（4）（且）．
解：（1）由，得，将与互换，得．
（2）由，得，因为，所以有．
将与互换，得，所以函数的反函数是
．
（3）由，得，将与互换，得，
所以函数的反函数是．
（4）由，得，即．
当时，，将与互换，得（且）．
所以，函数（且）的反函数是（且）．
2．若函数存在反函数，则下列命题中不正确的是（ ）．
Ａ．函数与函数的图像关于直线对称
Ｂ．若是奇函数，则也是奇函数
Ｃ．若在其定义域上是增函数，则在上也是增函数
Ｄ．函数与的图像重合．
解：Ｃ．
3．函数在区间上存在反函数的充要条件是（ ）．
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
解：抛物线只能是在单调区间上才存在反函数，Ｄ．
4．已知，函数的图像与的图像关于直线对称，则__________．
解：由于，，则，．
5．若点既是的图像上，又在它的反函数图像上，则__________；__________．
解：．
6．若函数的反函数是，则__________．
解：解方程得．
7．若定义在上的函数的反函数是，且，则__________．
解：，可得：2009．
8．已知函数（定义域为，值域为）有反函数，则方程有，且的充要条件是满足：__________．
解：且．
9．设函数，又函数与的图像关于对称，求的值．
解：由图像可知．
10．若点（2，1）既在函数的图像上，又在它的反函数的图像上，求实数的值．
解：．
11．（1）设函数（定义域为，值域为）的反函数是，且函数在上单调递增，证明函数在上也是增函数．
（2）设函数是上的奇函数，证明函数也是上的奇函数．
解：（1）时，，．则，得证．
（2）略．
12．已知函数，
（1）求函数的反函数．
（2）若时，不等式恒成立，试求实数的取值范围．
解：（1），
（2）．
能力提高
13．．
（1）证明函数有反函数，并求出反函数．
（2）反函数的图像是否经过（0，1）点？反函数的图像与有无交点？
（3）设反函数为，求不等式的解集．
解：（1）在正实数集上是增函数，则有反函数，
；
（2）经过点（0，1）；无交点；
（3）解集为空集．
14．已知函数的反函数．定义：若对给定的实数，函数与互为反函数，则称满足“和性质”；若函数与互为反函数，则称满足“积性质”．
（1）判断函数是否满足“1和性质”，并说明理由．
（2）求所有满足“2和性质”的一次函数．
（3）设函数对任何，满足“积性质”．求的表达式．
解：（1）函数的反函数是．
由于．
而，其反函数为，
故函数不满足“1和性质”．
（2）设函数满足“2和性质”，．
则，则．
而，得反函数．
由“2和性质”定义可知对恒成立，
则，，即所求一次函数为．
（3）设，，且点在图像上，则在函数图像上．
故，可得．
令，则．，即．
综上所述，，此时，其反函数就是，而，故与互为反函数．
4.5 对数函数
基础练习
1．求下列函数的定义域：
（1）． （2）．
（3）． （4）．
（5）． （6）．
解：（1）．
（2）．
（3）（-1，1）．
（4）．
（5）．
（6）．
2．求下列函数的值域：
（1）． （2）．
解：（1）．
（2），．
3．利用对数函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：
（1）和；
（2）和，其中，；
（3）和，其中．
解：（1）．
（2）当时，，当时，．
（3）．
4．函数在恒为正，求实数的范围．
解：首先，由于取值可以正无穷大，可知．
所以只要在恒大于1，即，在上恒成立．
转化为：在上恒成立．
即在上恒成立．则．
因为在上单调递增．则，则．
5．设，则对任意实数是的什么条件？
解：是奇函数，且单调递增．
充分必要条件．
6．已知函数的反函数是，且，求的范围．
解：，则．
7．已知函数，
（1）求函数的定义域，并判断它的单调性（不用证明）．
（2）若的反函数为，证明方程有解，且有唯一解．
（3）解关于的不等式．
解：（1）的定义域为，在定义域（-1，1）内是增函数．
（2）令，得，即是方程的一个解．
设是的另一解，则由反函数的定义知，这与矛盾，故有且只有一个解．
（3）先计算定义域，然后
由于，则或．
8．（1）已知在区间上是的减函数，求实数的取值范围．
（2）函数，在区间上是增函数，求实数的取值范围．
（3）如果不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围．
解：（1）分类讨论可得．
（2），恒成立．
，在单调递减．
恒成立，故，，且，．
（3）易知，极限情况．
9．若函数的值域为，求实数的取值范围．
解：可以取遍所有的正数，即．
10．已知函数是奇函数．
（1）求出实数的值．
（2）根据（1）的结果，判断在上的单调性（不必证明）．
（3）如果当时，的值域恰为，求和的值．
解：（1）由定义可知．
（2），单调递减；，单调递增．
（3）即，．
11．设函数，
（1）求函数的定义域．
（2）问是否存在最大值与最小值？如果存在，请把它写出来；如果不存在，请说明理由．
解：（1）的定义域为．
（2）当，即时，函数既无最大值又无最小值；
当，即时，函数有最大值，但无最小值．
12．已知是偶函数．
（1）求的值．
（2）证明：对任意实数，函数的图像与直线最多只有一个交点．
（3）设，若函数与的图像有且只有一个公共点，求实数的取值范围．
解：（1），所以．
（2）由，
假设方程有两个不相同的实根，则①
②
由②①得，因为，所以，即，代入①或②不成立，假设错误，命题成立．
（3）解法1：由方程
可变形为，由②得，或，
由①得，令，则，或．
则．
当时，单调递增，则，则，此时方程有且只有一个解；
当时，，，当时方程有且只有一个解．
当或时，函数与的图像有且只有一个公共点．
解法2：，
，
两个交点式两相异正根，
一个交点式只有一个正根讨论得，
综上：时，一个交点．
13．已知，当点在的图像上运动时，点在函数的图像上运动．
（1）求的表达式．
（2）求集合关于的方程有实根，}．
（3）设，函数的值域为，求实数的值．
解：（1）由条件知，则
则．
（2）由于方程即，
则求集合就是求方程有实根时的范围．
而，
则时原方程总有实根，．
（3），且在单调递减．
则，
，．
14．设，，且．若当有意义，求的取值范围．
解：在有意义，当且仅当，对恒成立．即函数对于任意的恒成立．
因为在上是减函数，其最小值为，所以对恒成立的充要条件是，即．
故所求实数的范围为．
15．已知，是上的奇函数．
（1）求的值．
（2）求的反函数．
（3）对任意的解不等式．
解：（1）由题知，得，此时
，即为奇函数．
（2）由于，得，
则．
（3）由于，则，则，
①当时，原不等式的解集；
②当时，原不等式的解集．
16．已知，其中．
（1）试求的定义域和值域；求出的反函数．
（2）求出的反函数．
（3）判断函数的奇偶性和单调性．
（4）若实数满足，求的取值范围．
解：（1）由于，所以，函数的定义域为．函数的值域为．
（2）设，则，利用与互为倒数，可得，所以，．所以，，．
（3）任取，则，所以，函数为奇函数．
任取，，且，则由及指数函数的性质可知：
，，所以，，即，所以，在定义域内单调递增．
（4）由得：，即
．
结合的单调性可知：上式等价于：，解之得：或．
17．已知函数．
（1）求反函数，并求出其定义域．
（2）设．如果，求的取值范围．
解：（1）设．
则．
两端平方整理得：．
则
由于时，值域为；
时，的值域为．
则的定义域为：时，，
时，．
（2），
由，
即．
由于，则；
又由于，则，
即．
4.6 指数方程和指数不等式
1．解下列方程：
（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
（5）．
（6）．
解：（1） . （5）.（6）．
2．解下列不等式：
（1）．
（2）．
（3）．
解：（1）（-2，4）．
（2）．
（3）．
3．已知关于的方程有一根是2．
（1）求实数的值．
（2）若，求不等式的解集．
解：（1）将代入可得或．
（2）设后解方程得．
4．设，，求证：关于的方程的根不在区间[0，1]内．
证明：用反证法证：
假设方程有解，
由不等式可知：，则．
则，得出：，矛盾．
因此，题目结论成立．
能力提高
5．若，不等式恒成立，则实数的取值范围是__________．
解：令，则对于，恒成立．
6．设方程的两根为，，则（ ）．
Ａ． Ｂ．，
Ｃ． Ｄ．
解：D．
7．设，则关于的方程的所有实数解之和为__________．
解：，单调递减，且，，，
所以答案为4．
4.7 对数方程和对数不等式
基础练习
1．解下列方程人：
（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
（5）．
（6）．
解：（1）或．
（2）．
（3）．
（4）25或0.2．
（5）10或．
（6）或．
2．解下列不等式：
（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
解：（1）．
（2）．
（3）．
（4），且．
3．若函数的值域为，则实数的取值范围是__________．
解：．
4．求函数的单调递增区间．
解：首先定义域为，
再根据复合函数的单调性的性质，可得：．
5．已知是方程的两个根，求的值．
解：换元法解题，．
6．如果，，，，求的值．
解：令，则．
7．设集合，，若，求实数的取值范围．
解：．
8．已知，求函数的最大、最小值．
解：令，则，．
9．有关于的不等式．
（1）当时，解此不等式．
（2）当为何值时，此不等式的集是．
解：（1）当时，或或．
（2）时此不等式的解集是．
能力提高
10．已知是函数，的一个零点，是函数的一个零点，求的值．
解：，，与互为反函数，所以．
11．函数的定义域为，若满足①在内是单调函数，②存在，使在上的值域为，那么就称为“好函数”．现有，是“好函数”，求的取值范围．
解：有两个实数解．
12．已知，试求使方程有解的的取值范围．
解：由对数性质知，原方程的解应满足
若①②同时成立，则③必成立，
故只需解．
由①可得④
当时，④无解；当时，④的解是，代入②得．
若，则，所以；若，则，所以．
综上，当时，原方程有解．
13．若，求的最小值．
解：．
由对称性只考虑，因为，则只须求的最小值．令，代入，有，这个关于的二次方程显然有实根，故．
14．已知函数，对定义域内的任意都有成立．
（1）求实数的值．
（2）若当时，的取值范围恰为，求实数的值．
解：（1）由及可得：
．
解之得：．当时，函数无意义，所以，只有．
（2）时，，其定义域为．
所以，或．
①，则．
为研究时的值域，可考虑在上的单调性．
下证在上单调递减．任取，且，则
．
又，所以，，即．
所以，当，在上单调递减．
由题：时，的取值范围恰为，所以，必有且，解之得：（因为，所以舍去）．
②若，则．又由于，，所以，．
此时，同上可证在上单调递增（证明过程略）．
所以，在上的取值范围应为，而为常数，故的取值范围不可能恰为．
所以，在这种情况下，，无解．综上，符合题意的实数的值为．
15．设，证明：．
证明：由于，，，，都是正数，并且它们的乘积等于1，
则，
又由于，
则，即．
4.8 函数的应用
基础练习
1．若表示的区间长度．函数的值域区间长度为，则实数值为__________．
解：运用基本不等式可得4．
2．设定义域、值域均为的函数的反函数为，若对一切成立，则的值为__________．
解：．
3．设正数，满足，则的最大值是__________．
解：，可得：答案为2．
4．函数的图像关于直线__________对称．
解：定义域为，．
显然为偶函数，所以关于对称．
5．方程恰有七个解，则这七个解的和为__________．
解：．
6．对．函数的值域为__________．
解：转化为坐标系中的点与点距离问题，（-1，1）．
7．某同学研究函数得到下面的结论：①的定义域为；②的值域为；③是偶函数；①在上是增函数；⑤在区间上的最大值和最小值之和为2．上述结论中正确的是__________．
解：①④．
8．给出下列四个命题：
①函数为奇函数的充要条件是；
②函数的反函数是；
③设，则函数在其定义域上是减函数；
④若函数是偶函数，则函数的图像关于直线对称．其中所有正确命题的序号是__________．
解：①②．
9．设，满足方程，求的最值．
解：用表示，转化成一元函数，可得：最小值为1，最大值为．
10．已知，求函数的最大值与最小值．
解：注意：的定义域为，然后用换元法解题．
最小值为6，最大值为．
能力提高
11．已知的定义域为，值域为，求实数，的值．
解：真数的范围为[1，9]，然后用判别式法解题，可得：．
12．已知函数是定义在上的周期函数，周期，函数是奇函数．又知在[0，1]上是一次函数，在[1，4]上是二次函数，且在时函数取得最小值-5．
(1)证明：．
(2)求，的解析式．
(3)求在[4，9]上的解析式．
解：(1)由于是以5为周期的周期函数，则，
又由于是奇函数，则，则．
(2)当∈[1，4]时，由题意可设．
由得，则，
则．
(3)由于是奇函数，则，
又知在[0，1]上是一次函数，则可设，
而，则，则当时，，
从而当时，，故时，．
则当时，有，则．
当时，，则，
则．
13．是否存在实数,使函数为奇函数，同时使函数为偶函数，证明你的结论．
证明：为奇函数，所以，得．
若为偶函数，则为奇函数，
．
则存在符合题设条件的．
14．设定义在上的偶函数又是周期为4的周期函数，且当时为增函数，若，求证：当时，为减函数．
证明：在[4，6]内任取、，设，则，
由于在[-2，0]内为增函数，则，
由于，则，
由于，则，
则当时，有，
即，故当，为减函数．
15．已知的反函数为,．
(1)若，求的取值范围．
(2)设函数，当时，求函数的值域．
解：(1)由于，则．
由,则，解得，则．
(2),
由于，则．
则，则的值域为．
16．设函数(为实数)．
(1)若，用函数单调性定义证明：在上是增函数．
(2)若，的图像与的图像关于直线对称，求函数的解析式．
解：(1)设任意实数，则
．
由于，则，则；由于，则．
又，所以，所以是增函数．
(2)当时，，所以，所以，．
17．篮球比赛时，运动员的进攻成功率主要受投篮命中率和进攻时被对方球员防守的被拦截率所制约：进攻成功率一投篮命中率一被拦截率，某校队队员在距篮10米(即到篮球筐圆心在地面上射影的距离，下同)以内的投篮命中率有如下变化：距篮1米以内(不含1米)为100％，以后每远离球篮1米，命中率下降10％；同时，该队员在距篮米处进攻的被拦截率为(表示不大于实数的最大整数)．
(1)请用描述该队员距篮米处的投篮命中率．
(2)若不计其他因素的影响，当该队员在比赛时，他在三分线处(距篮大约)的进攻成功率为多少
(3)若不计其他因素的影响，当该队员在比赛时，他在距篮几米处的进攻成功率最大 最大进攻成功率为多少
解：(1)投篮命中率．
(2)，．
(3)∈[2，3)进攻成功率最大，最大进攻成功率为0.5．
18．设是定义在[-1，1]上的偶函数，与的图像关于直线对称．且当时，(为实数)．
(1)求函数的表达式．
(2)在∈(2，6]或(6，+)的情况下，分别讨论函数的最大值，并指出为何值时，的图像的最高点恰好落在直线上．
解:(1) ．
(2)因为为偶函数，所以，的最大值，必等于在区间[0，1]上的最大值．故只需考虑的情形，此时，．
对于这个三次函数，要求其最大值，比较容易想到的方法是：考虑其单调性．因此，我们不妨在区间[0，1]上任取，，设，则
．
如果，则，故，即在区间[0，1]上单调递增．所以，的最大值在取得，为．
令可解得：．
如果，则的符号不能确定，为确定的单调区间，可令．
由于，要使上式成立，只需：，即，由此我们不难得知：在区间上单调递增，在区间上单调递减（证明略）．
所以，在区间[-1，1]上的最大值为．
令，解之得：，与矛盾．
综上可知：当时，的最大值为，当时，的最大值为．
19．若函数的定义域为，且，其中为任意正实数，且．
（1）求函数的最小值、最大值．
（2）若，，其中是正整数，对一切正整数不等式都有解，求的取值范围．
（3）若对任意，，，都有，，为三边长构成三角形，求的取值范围．
解：（1）在上是减函数；在上是增函数．
则当时有最小值为．
当时有最大值为．
（2）当时最小值为，
当时最小值为．
则．
设，，
则 ．
（3）由题意：只须即可，由（1）得
．
20．对于定义在区间上的两个函数和，如果对任意的，均有不等式成立，则称函数与在上是“友好”的，否则称“不友好”的．现在有两个函数与，给定区间．
(1)若与在区间上都有意义，求的取值范围．
(2)讨论函数与在区间上是否“友好”．
解：(1)函数与在区间上有意义，必须满足
；
(2)假设存在实数，使得函数与在区间上是“友好”的，则，
即 (*)
因为，而在的右侧，
所以函数在区间上为减函数,从而
;
于是不等式(*)成立的充要条件是．
因此，当时，函数与在区间上是“友好”的；
当时，函数与在区间上是不“友好”的．
21．已知函数，满足，是不为0的实常数．
(1)若函数，是周期函数，写出符合条件的值．
(2)若当时，，且函数在区间上的值域是闭区问，求的取值范围．
(3)若当时，，试研究函数在区间上是否可能是单调函数 若可能，求出的取值范围；若不可能，请说明理由．
解：（1）时，，，．
（2）当时，，
则，；
当时舍去；
当时符合，当时符合；
当时符合，当时符合；
则．
（3）当时，，
则；
易证函数，，，当时是增函数，
此时则，
若函数在区间上是单调增函数，则必有，解得：；
显然当时，函数在区间上不是单调函数；所以．
- 1 -
22．已知是关于的二次方程的两个根，且，若函数．
（1）求的值．
（2）对任意的正数，求证：．
解：由韦达定理有，，
，
，
则．
（2）已知函数，函数在上是增函数．
注意到对于任意的正数有
，，
即，同理．
则，，
．
于是，
则．
而，
则．第五章 三角比
5.1 任意角及其度量
1．把下列各角的度数化为弧度数：
（1）． （2）． （3）． （4）．
解：（1）．（2）．（3）．（4）．
2．把下列各角的弧度数化成度数：
（1）． （2）-3． （3）．
解：（1）． （2）． （3）．
3．设集合为锐角}，{为第一象限角}，为小于的角}，则（ ）．
A． B．
C． D．
解：D．
4．已知扇形弧长为，半径为，求扇形的面积．
解：．
5．已知地球半径为，地面上一段弧所对的球心角为，求该弧的弧长．
解：．
6．下列命题中，正确的是（ ）
A．终边相同的角是相等的角
B．终边在第二象限的角是钝角
C．若角的终边在第一象限，则的终边也一定在第一象限
D．终边落在坐标轴上的所有角可表示为，
解：D．
7．写出于下列各角终边相同的最小正角与最大负角：
（1）．（2）．（3）．
解：（1），．（2），．（3），．
8．在弧度制下，写出下面处在标准位置的终边相同的角的集合：
（1）
（2）第二象限的角．
（3）角的终边落在直角坐标系的左半平面上．
解：（1）．
（2）．
（3）．
9．已知为第三象限的角，确定角所在的象限，并画出其变化区域．
解：
则
故在第二或第四象限．
10．已知扇形的圆心角为，半径为，圆与扇形的两条半径及扇形的弧都相切，求圆中圆心角为的扇形与原扇形的面积之比．
解：．
5.2 任意角的三角比
1．若，则点（）必在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解：B．
2．确定下列各角的正弦、余弦、正切的符号：
（1）． （2）． （3）．
解：（1）+--． （2）-+-． （3）--+．
3．如果（1）． （2）． （3），试分别确定角的终边所在的象限．
解：（1）第三或第四象限． （2）第二或第三象限． （3）第二或第四象限．
4．若点的坐标为（），（指的长度），试求出值，并写出终边都过的角的三角函数值．
解：或．
当．
当．
5．（1）的值为__________．
（2）__________．
解：（1）0． （2）．
6．角为何值时，下面式子无意义：
（1）． （2）．
（3）． （4）．
解：（1）．（2）．（3）．（4）．
7．方程表示的曲线是（ ）
A．焦点在轴上的椭圆
B．焦点在轴上的双曲线
C．焦点在轴上的椭圆
D．焦点在轴上的双曲线
解：C．
由于，则，则，
即．
又由于，则，则，方程表示的曲线是椭圆．
由于…（*）
，则，，则．
则，则（*）或<0．
即．
则曲线表示焦点在轴上的椭圆，故选C．
8．已知，求的值的集合．
解：分四个象限讨论，
为第1象限，，
为第2象限，，
为第3象限，，
为第4象限，，
得到的值的集合为{4，-2，0}．
9．已知实数，满足，且，则化简．
解：由题设可知，和异号，
又由于，则．
10．已知角的终边经过（）（），问是第几象限的角 并求的六个三角比的值．
解：第二象限．
．
11．用三角比的定义证明：．
证：．
5.3 同角三角比的关系和诱导公式
1．已知，，计算：．
解：．
2．求下列各三角比的值：
（1）． （2）． （3）．
解：（1）．（2）．（3）．
3．已知，求值：
（1）． （2）．
解：（1）． （2）无意义．
4．求证恒等式：．
证明：．
5．计算：
（1）__________．
（2）__________．
解：（1）0． （2）0．
6．证明下列三角恒等式：
（1）． （2）．
（3） （4）．
证明：（1）
．
（2）左边，
右边=
因为，
所以左边=右边，得证．
（3）
=
=
（4）
=
=
．
7．设，化得．
解：．
8．化简．
解：原式=．
9．（1）已知关于的一元二次方程的一个实根是，求．
（2）是否存在，使得关于的方程和有一个实数解相等？如果存在求出；如果不存在，说明理由．
解：（1）两根分别为，，由韦达定理得．
（2）存在且．
10．已知函数，求函数的最小值．
解：运用换元法和基本不等式得：
设，
记，
，得．
于是，，
．
则，等号不成立．或，则．所以最小值为．
5.4 两角和与差的余弦、正弦和正切
1．不查表，求下列三角比的值：
（1）． （2）．
（3） （4）
解：（1）．（2）-．（3）-．（2）．
2．在中，若，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
解：D．
3．不查表，求下列各式的值：
（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
解：（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
4．已知，，且，都是锐角，求证：．
证明：，由于
则
则．
5．已知，求的值．
解：
，
则．
6．求的值．
解：原式=．
7．求证：．
证明：
．
8．（1）求函数的最大值．
（2）求函数的值域．
（3），求的最小值．
解：（1）令
换元可得：．
（2）换元
．
（3）当．
当；
当．
9．证明不等式：．
证明：，
根据柯西不等式可得：．
10．（1）已知，是关于的方程的两个实根，求．
（2）已知是关于的方程的两个实根，求的取值范围．
解：（1）．
（2）．
11．知不等式对于恒成立，求的取值范围．
解：设，则，
从而原不等式可化为：，
即，，
有 ①
由于原不等式等价于不等式①，则，则
①不等式恒成立等价于恒成立．
从而只要．
又容易知道在上递减，则．
所以．
12．求出使方程在上有奇数个解的一切的值．
解：首先，，不然的话会有无穷多组解．
令，
其中．
于是原方程化为：即
．
第一个式子得：，又由于，则．第二个式子得：．
令，则由于，则，所以．
又．
（1），既有偶数个解，不满足．
（2），有奇数个解，满足．
（3）满足．
（4），有奇数个解，满足．
（5）满足．
综上所述，满足条件的的值为，此时．
5.5 二倍角与半角的正弦、余弦和正切
1．已知求．
解：．
2．求证：．
证明：
．
3．求下列各式的值：
（1）． （2）．
（3）． （4）．
（5）．
解：（1）．（2）．（3）．（4）．（5）．
4．若，化简__________．
解：由倍角公式，可得．
5．设为正整数，求证：．
证明：提示：等式左右两边同时乘以．
6．求证三倍角公式：．
证明：
=
．
7．试用万能公式求函数的值域．
解：设则．．
．
8．设，求的值域．
解：．
令，则．
因此，．
即得．
9．已知（是不同时为0的实数），求证：．
证明：若，则，由已知第一式得，代入第二式又得；若，则由第一式得，代入第二式即可证得．
10．设，求的最大值．
解：因为，所以，即．
所以
．
当且仅当，即时，取得最大值．
11．在中，
（1）若，求的值．
（2）若，判别的形状．
解：（1）
．
（2），等腰三角形．
12．已知，求的值．
解：
．
13．当时，求的最大值．
解：
，
．
同理可证：．（）
故：，当时等号成立．
5.6 三角比的积化和差与和差化积
1．求证：（1）．
（2）
证明：（1）
（2）由（1）得，
，
两式相除，可证．
2．求的值．
解：
=．
3．求证：．
证：．
4．已知，，求的值．
解：两式平方求和，可得：，
两式平方作差，可得：，
化简：，
则．
利用积化和差，可得：
．
5．求值．
解：．
6．已知函数，若且，求证：．
证明：
．
．
显然不等式成立．
7．在中，（1）求证：．
（2）求证：．
（3）求证：．
证明：（提示：由于是三角形内角，故，，用倍角公式和和差化积证明．）
（1）
；
（2）左边=
=
，获证．
（3）从略．
8．在非直角中，求证：．
证明：
．
9．在中，求证下列恒等式：
（1）．
（2）．
证明：（1）即证，
即证．
左边
，得证．
（2）即证
下面参考题7第（2）小题，可证．
10．求···的值．
解：原式=
=．
11．已知，且，求的值．
解：由条件得，平方相加，得，于是，，代入第二个已知条件得到，，于是．
5.7 正弦定理、余弦定理和解斜三角形
1．辨别下列的形状：
（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
解：（1），利用余弦定理可得：钝角三角形．
（2），
等腰或直角三角形．
（3）
，
等腰直角三角形．
（4）利用余弦定理可得，等边三角形．
2．在中，求证：
（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
提示：（1）利用正弦定理证明．
（2）利用倍角公式，和差化积公式证明．
（3）利用正余弦定理证明．
（4）利用正余弦定理证明．
3．在中，、、为三边，判别下列命题的真假．
（1）的充要条件是．
（2）的充要条件是．
（3）的充要条件是．
（4）的充要条件是．
（5）的充要条件是．
解：真；真；假；真；真．
4．在锐角中，已知．且，求的值．
解：和．
5．某货轮在处看灯塔在北偏东方向，它以每小时36海里的速度向正北方向航行，经过40分钟航行到处，看灯塔在北偏东方向．求此时货轮到灯塔的距离．
解：由正弦定理可得12海里．
6．已知的三个内角成等差数列，且，试求的值．
解：因为，所以，
又由于
，
所以．
解得或．
又，所以．
7．在中，如果，求的值．
解：原式=．
8．已知在中，，．
（1）求的外接圆半径和角的值．
（2）求的取值范围．
解：（1），且．
（2）．
9．已知锐角中，，若，求的面积．
解：
．
．
，．
过点作边的高，垂足为．
则，
．
5.8 三角比的应用
1．已知为实数，函数．
（1）若，试求的取值范围．
（2）若，求函数的最小值．
解：（1），即，又，所以，从而的取值范围是．
（2），令，则，因为，所以，当且仅当时，等号成立，由解得，所以当时，函数的最小值是．
下面求当时，函数的最小值．
当时，，函数在（0，2]上为减函数，所以函数的最小值为．
由于当时，函数在（0，2]上为减函数的证明：任取，因为，所以，由单调性的定义函数在（0，2]上为减函数．
于是，当时，函数的最小值是；当时，函数的最小值．
2．已知数列，满足，求：
（1）数列的通项．
（2）设
求证：．
解：（1）设则．
由递推，
，
故，即，（）．
得到：．
故通项公式为：．
（2）．获证．
3．已知，求证：．
证明：由题设，令，则
．
因为，，所以，所以．
又因为，且，所以，所以．
又因为当时，，所以．
4．已知锐角，角满足．
（1）三边长为连续整数时，求三边的长．
（2）三边长为连续整数时，求的面积．
解：（1）设的三边为，由题设，
由题意，即，
得．
①当时，得，故角所对的边为，角所对的边为，于是有
，得又，
得，解得，舍去；
②当时，，得，故角所对的边为，角所对的边为，于是有
，得又，
得，解得，故的三边长为．
（2）由（1）中的②得，故，因此．
5．一个圆锥的外接球体积为，且内切球表面积为圆锥的侧面积和底面面积的等差中项，求这个圆锥的体积．（提示：可设圆锥的顶角为．）
解：．
6．已知的，，的对边分别为，，，且．
（1）求．
（2）若为最小边，求的取值范围．
（3）若为最大边，求的取值范围．
解：（1）．
，，即或．
（2）若为最小边，则，
；同理．
，所以．
（3）若为最大边，则，
，
，又，所以．
7．已知的三边和三内角满足条件，判断三角形形状．
解：为等腰三角形．
8．已知函数，（其中为常数，）
（1）当时，求函数的单调递增区间．
（2）当时，求函数在上的最大值（其中常数）．
（3）是否存在，使得函数为一常函数，若存在，求出的值，并加以证明，若不存在，请说明理由．
解：（1）．
由．
（2），令，于是，原函数等于．
当时，则当时，最大值为；当时，则当时，最大值为．
（3）假设函数为常函数，令，则原式=0，
令，则原式=（为正整数）；
令，则原式．
综上．
当时，原式为
=
=．
第六章 三角函数
6.1 正弦函数和余弦函数的性质与图像
1．判断下列函数的奇偶性，并求最小正周期：
（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
（5）．
（6）．
（7）．
（8）．
解：（1）奇函数，最小正周期是．
（2）奇函数，不是周期函数．
（3）奇函数，最小正周期是2．
（4）非奇非偶函数，最小正周期是．
（5）偶函数，最小正周期是2．
（6）非奇非偶函数，最小正周期是．
（7）偶函数，最小正周期是．
（8）偶函数，最小正周期是．
2．用五点法分别作出下列各函数的图像，并说明这些函数的图像和图像的区别：
（1）． ．
解：（1）将的纵坐标扩大2倍，然后向下平移1个单位，得到．
（2）将的横坐标扩大2倍，然后再将纵坐标扩大2倍，得到．
3．观察正弦曲线和余弦曲线，写出满足下列条件的区间：
（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
解：（1）
（2）．
（3）．
（4）．
4．求下列函数的单调区间：
（1）． （2）．
（3）．
解：（1）．
（2）．
（3）．
5．求下列函数的最值，及取得相应最值的值：
（1）． （2）．
（3）．
解：（1）；的值分别为及．
（2）．
（3）．
6．确定函数的定义域、值域、单调区间、奇偶性、周期性．
解：定义域；
值域；
单调区间：递增：，递减：；
非奇非偶，．
7．设，满足：，则的大小关系为__________．
解：．
8．求下列函数的周期：
（1）．
（2）．
（3）y．
解：（1）．（2）．（3）
9．求的图像的对称轴方程．
解：．
10．（1）求函数的最大值，并画出的图像．
（2）若函数的最大值为0，最小值为-4，实数，求的值．
解：（1）当；
当；
当．
（2）．
6.2 正切函数的性质与图像
1．有人说：“正切函数在整个定义域内是单调递增的函数．”这句话对吗 为什么
解析：不对，应该说在各自区间是单调递增函数．
2．求下列函数的周期：
（1）
（2）．
解：（1）．（2）．
3．求函数的定义域．
解：．
4．求函数的最大值、最小值，并求函数取得最大值或最小值时自变量的集合．
解：用分离常数法或用判别式法解题，取值分别为及．
5．求下列函数的最大值和最小值：
（1）．（2）．
解：（1）换元法解题，．
（2）万能公式，或者利用几何意义解题，．
6．求函数的最值．
解：换元法解题，．
，单调递增，所以．
7．根据条件比较下列各组数的大小：
（1）已知，比较，，的大小．
（2）已知，比较，，的大小．
（3）已知，比较，，的大小．
解：（1）．
（2）．
（3）
6.3 函数的图像与性质
1．经过怎样的图形变换，函数的图像可以变换成为函数的图像 反之，函数的图像经过怎样的变换可以成为函数的图像
解：将的图像向轴负方向平移6个单位长度，然后将所得各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将纵坐标变为原来的2倍。最后将整个图像向轴正方向平移2个单位长度；反之得第二问．
2．利用五点法作出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的图像：
（1）． （2）．
（3）． （4）．
解：
3．已知函数的图像关于对称，则函数的图像的一条对称轴是（ ）
A． B．
C． D．
解：C．
4．求函数的单调增区间．
解：，．
5．已知函数在同一周期中的最高点坐标为（2，2），最低点坐标为（8，4），求．
解：．
6．简谐振动和叠加后得到的合振动是__________．
解：，．
7．已知函数．
（1）求以为对称轴的该函数图像的对称图像的函数表达式．
（2）求以为对称中心的该函数图像的对称图像的函数表达式．
解：（1）．
（2）．
8．已知函数，且）的部分图像如图6-16所示．
（1）求的值；
（2）若方程在内有两个不同的解，求实数的取值范围．
解：（1），．
（2）数形结合，或．
9．在平面直角坐标系中，求函数在一个最小正周期长的区间上的图像与函数的图像所围成的封闭图形的面积．
解：．
10．已知奇函数在上有意义，且在（0，+）上是减函数，，又有函数，若集合，集合．
（1）求的解集．
（2）求．
解：（1）．
（2）分离参数，得，进而求出：．
6.4 反三角函数
1．求下列反正弦函数的值：
（1）． （2）
（3）． （4）．
（5）． （6）．
解：（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
（5）．
（6）．
2．求下列函数的定义域和值域：
（1）． （2）．
（3）． （4）．
解：（1）．（2）．（3）．（4）．
3．求值：
（1） （2）．
（3）． （4）．
（5）． （6）．
（7）． （8）．
解：（1）． （2）． （3）．
（4）． （5）． （6）．
（7）． （8）-
4．求下列函数的反函数：
（1）． （2）．
（3）． （4）．
解：（1）．
（2）．
（3）
（4）．
5．用反正切函数值的形式表示下列各式中的：
（1）．
（2）．
（3）．
解：（1）．（2）．（3），．
6．求值：（可用反三角函数表示）：
（1）
（2）．
（3）．
解：（1）．（2）．（3）．
7．当时，比较与的大小．
解：当时，；
当时，；
当时，．
6.5 最简三角方程
1．求下列三角方程的解集：
（1）． （2）．
（3）． （4）．
（5）． （6）．
（7）． （8）．
（9）． （10）．
解：（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
（5）．
（6）．
（7）
（8）
（9）．
（10）．
2．解下列三角方程：
（1）．
（2）．
（3）．
（4），其中是非零常数．
（5）．
（6）．
（7）．
（8）．
解：（1）．
（2）．
（3）．
（4），或时，解集是
时，解集是
时，解集是．
或时，解集是．
（5）．
（6）．
（7）．
（8）．
3．解方程：
（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
（5）．
解：（1）．
（2）或或．
（3）．
（4）．
（5）或．
4．试求方程厅在区间[0，20]内有多少个实根
解：数形结合法解题，，换元，题目转化为的根的个数问题．数形结合，画图可得：122个实根．
6.6 三角函数综合练习
一、选择题
1．若，则角的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
解：C．
2．若三角形的三条高线长分别为12，15，20，则此三角形的形状为（ ）．
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．形状不确定
解：B．
3．设，上述函数中，周期函数的个数是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
解：B．
4．若，则的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
解：D．
二、填空题
5．方程有__________个解．
解：6个（可通过图像得出）．
6．在中，分别表示它的斜边长，内切圆半径和面积，则的取值范围是__________．
解：，
解：，
．
令，
．
7．已知是平面上三个不同的点，且满足关系式，则实数的取值范围是__________．
解：．
8．设，则的值是__________．
解：．
9．已知，则__________．
解：．
．
．
10．已知函数（且）的部分图像如图6-22所示．则，，的值分别为__________．
解：．
从图可知，周期为，且．
把图像向左移动单位即可，
，所以．
11．设且，则对任意
=__________．
解：．
12．方程的解集为__________．
解：．
三、解答题
13．已知函数，求函数的最大值与最小值．
解：用三角代换法解题．，．当，即时，，当，即时，．
14．设，求．．
当且仅当取等号．
15．已知．求的最小值．
解：．
．
16．设，其中．求证：
（1）不恒等于零．
（2）若，则
证明：（1），
，
若恒为0，则．
所以，
．
注意到，
矛盾．所以不恒等于零．
（2）
=
因为，系数不全为0，所以可以表示为．
所以．所以．
17．在中，所对的边为，若，求．
解：，，，
，
，
，解得，．
则，
所以．
18．如图6-23，要计算西湖岸边两景点与的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取和两点，现测得，，，，，求两景点与的距离（精确到）．参考数据：
解：
设，
则，
，
解得．
．
19．已知，为锐角，且，求证：．
证明：当时，，由于，为锐角，则
，同理，，
所以．
同理，时也成立．
20．设满足，若对于任意，，求．
解：
．
平方求和可得：．
同理可得：．
又因为．
21．将函数在区间内的全部最值点按从小到大的顺序排成数列．
（1）求数列的通项公式．
（2）设，求证：．
解：（1），
的最值点为，
所以．
（2），
化简得，．
22．设函数，其中为正整数．
（1）判断函数、的单调性，并就的情形证明你的结论．
（2）证明：．
（3）对于任意给定的正整数，求函数的最大值和最小值．
解：（1）、在上均为单调递增的函数．
（2）等式左边，
等式右边，
所以．
（3）当为奇数时，函数的最大值为0，最小值为-1．
当为偶数时，函数的最大值为l，最小值为．
23．在中，已知．
（1）若任意交换的位置，的值是否会发生变化 试证明你的结论．
（2）求的最大值．
解：（1）
=，
任意交换，，的位置，的值不会发生变化．
（2），取得最大值．
24．已知函数的定义域为，对任意的，都满足，当时，．
（1）判断并证明的单调性和奇偶性．
（2）是否存在这样的实数，当时，使不等式对所有恒成立，如存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．
- 1 -
解：（1）奇函数，增函数．
（2）分离参数法，可得：，
令，原题转化为：恒成立问题．
．第六章 三角函数
6.1 正弦函数和余弦函数的性质与图像
基础练习
1．判断下列函数的奇偶性，并求最小正周期：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）．
2．用五点法分别作出下列各函数的图像，并说明这些函数的图像和图像的区别．
（1）； （2）．
3．观察正弦曲线和余弦曲线．写出满足下列条件的区间：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
4．求下列函数的单调区间：
（1）； （2）；
（3）．
5．求下列函数的最值，及取得相应最值的值．
（1）； （2）；
（3），．
6．确定函数的定义域、值域、单调区间、奇偶性、周期性．
能力提高
7．设，满足：，则的大小关系为__________．
8．求下列函数的周期：
（1）；
（2）；
（3）．
9．求的图像的对称轴方程．
10．（1）求函数的最大值，并画出的图像．
（2）若函数的最大值为0，最小值为，实数，求的值．
§6.1 正弦函数和余弦函数的性质图像
基础练习
1．（1）奇函数，最小正周期是；（2）奇函数，不是周期函数；
（3）奇函数，最小正周期是；（4）非奇非偶函数，最小正周期是；
（5）偶函数，最小正周期是；（6）非奇非偶函数，最小正周期是；
（7）偶函数，最小正周期是；（8）偶函数，最小正周期是．
2．略．
3．（1）；（2）；
（3）；（4）．
4．（1）；（2）；
（3）．
5．（1）；的值分别为及；
（2）；（3）．
6．定义域；值域；
单调区间：递增：，递减：；非奇非偶：．
能力提高
7．． 8．（1）；（2）；（3）． 9．．
10．（1）当时，当时，当时；
（2）．
6.2 正切函数的性质与图像
基础练习
1．有人说：“正切函数在整个定义域内是单调递增的函数．”这句话对吗？为什么？
2．求下列函数的周期：
（1）；
（2）．
3．求函数五的定义域．
4．求函数的最大值、最小值，并求函数取得最大值或最小值时自变量的集合．
5．求下列函数的最大值和最小值：
（1）； （2）．
能力提高
6．求函数的最值．
7．根据条件比较下列各组数的大小：
（1）已知，比较，，的大小；
（2）已知，比较，，的大小；
（3）已知，比较，，的大小．
§6.2 正切函数的性质与图像
基础练习
1．不对． 2．（1）；（2）．
3．．
4．，取值分别为及．
5．（1）；（2）．
能力提高
6．．
7．（1）；（2）；
（3）．
6.3 函数的图像与性质
基础练习
1．经过怎样的图形变换，函数的图像可以变换成为函数的图像？反之，函数的图像经过怎样的变换可以成为函数的图像？
2．利用五点法作出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的图像：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
3．已知函数的图像关于对称，则函数的图像的一条对称轴是（ ）
A． B． C． D．
4．求函数的单调增区间．
5．已知函数在同一周期中的最高点坐标
为，最低点坐标为，求，，，．
6．筒谐振动和叠加后得到的合振动是__________．
能力提高
7．已知函数．
（1）求以为对称轴的该函数图像的对称图像的函数表达式；
（2）求以为对称中心的该函数图像的对称图像的函数表达式．
8．已知函数（，且）的部分图像如图6－16所示．
（I）求的值；
（Ⅱ）若方程在内有两个不同的解，求实数的取值范围．
9．在平面直角坐标系中，求函数在一个最小正周期长的区间上的图像与函数的图像所围成的封闭图形的面积．
10．已知奇函数在上有意义，且在上是减函数，又有函数，若集合，集合．
（1）求的解集；
（2）求．
§6.3 函数的图像与性质
基础练习
1．将的图像向轴负方向平移个单位长度，然后将所得各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将纵坐标变为原来的倍，最后将整个图像向轴正方向平移个单位长度；反之得第二问．
2．（1）见图；
（2）见图；
（3）见图；
（4）见图．
3．（）．
4．．
5．．
6．．
能力提高
7．（1）；（2）．
8．（1）；（2）或．
9．．
10．（1）；（2）．
6.4 反三角函数
例l．求证，．
证明： ，
．
又由于，，，
所以，即，
一般说来，要证明两个角的方法是：先证明这两个角的同一个三角函数值相等，比如；再证明这两个角在同一个单凋区间内．
例2．求下列各式的值：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
解：（1）因为，且，由定义知；
（2）因为，且，于是由定义有；
（3）因为，所以
；
（4）因为，且，所以
．
例3．求值：
（1）； （2）；
（3）．
解：（1）设，则，且，于是
；
（2）设，则，且，于是
，
所以，；
（3）设，，则，于是
，，，．
．
例4．求值：
（1）； （2）．
解：（1）；
（2）．
例5．比较下列各组数的大小：
（1）与； （2）与；
（3）与； （4）与．
解：（1）由于是一个单调递增的函数，且，于是；
（2）由于是一个单调递减的函数，，于是；
（3）设，则，且，于是
，
所以．又，故．
（4）设，则，，于是，故．
例6．已知，求的值．
解：，
与互余．
，
．
化简，得．
例7．用反正弦函数值的形式表示下列各式中的：
（1）； （2）；
（3），．
解：（1）；
（2），或；
（3），或．
例8．比较与的大小．
解：当，或时，；
当时，；
当时．
基础练习
1．求下列反正弦函数的值：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）．
2．求下列函数的定义域和值域：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
3．求值：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）；
（7）； （8）．
4．求下列函数的反函数：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
5．用反正切函数值的形式表示下列各式中的：
（1）；
（2）；
（3）．
能力提高
6．求值：（可用反三角函数表示）：
（1）；
（2）；
（3）．
7．当时，比较与的大小．
§6.4 反三角函数
基础练习
1．（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）．
2．（1）；（2）；（3）；（4）．
3．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；
（6）；（7）；（8）．
4．（1）；（2）；
（3）；（4）．
5．（1）；（2）；（3）或．
能力提高
6．（1）；（2）；（3）．
7．当时，；当时，；当时，．
6.5 最简三角方程
例1．解最简三角方程．
解：当时，方程无解．
当时，方程在内有唯一解，
方程的解是．
当时，方程在内有唯一解，
方程的解是．
当时，方程在内有唯一解，
在内有唯一解，
方在内有两个解．
方程的解是．
例2．解最简三角方程．
解：当时，方程无解．
当时，方程在内有唯一解，
方程的解是．
当时，方程在内有唯一解，
方程的解是．
当时，方程在内有唯一解，
在内有唯一解，
方程在内有两个解．
方程的解是．
例3．解最简三角方程．
解：方程在内有唯一解，
方程的解是．
例4．（1）已知，且，求；
（2）已知，且，求．
解：（1）由余切函数在开区间上是减函数，可知符合条件的角有且只有一个．由反余切函数的定义可知
；
（2）由余切函数的周期性，可知当
时，
因此所求的角的集合是
一般来说，适合的角的集合是
例5．求下列三角方程的解集：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）．
解：（1），
．
方程的解集是．
（2），
．
方程的解集是．
（3），
，或．
方程的解集是．
（4），
．
方程的解集是．
（5），其中．
．
方程的解集是．
（6），
，或．
方程的解集是
．
基础练习
1．求下列三角方程的解集：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）；
（7）； （8）；
（9）； （10）．
2．解下列三角方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4），其中是非零常数；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）．
3．解方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）．
能力提高
4．试求方程在区间内有多少个实根？
§6.5 最简三角方程
基础练习
1．（1）；
（2）；
（3）；（4）；
（5）；（6）；
（7）；
（8）；
（9）；
（10）．
2．（1）；
（2）；（3）；
（4），或时，解集是，
时，解集是，
时，解集是，
，或时，解集是；
（5）；（6）
（7）；
（8）．
3．（1）；（2）或或；
（3）；（4）；
（5）或．
能力提高
4．个根．
6.6 三角函数综合练习
例1．已知集合，．
（1）判断与的关系，并说明理由；
（2）中的元素是否都是周期函数，证明结论；
（3中的元素是否都是奇函数，证明结论．
解：（1）
．
（2）因是周期为6的周期函数，猜测也是周期为6的周期函数
由，得，
，
，是周期函数．
（3）考察函数．
则
．
且等，不是奇函数．故中函数不一定都是奇函数．
例2．已知且，求满足上述条件的不同数对的个数．
解：由已知，，有，故
，①
因此， ②
若时，则；若时，则；
若，，则．此时不妨设，．
由于，从而
矛盾！
解上知：
再由①知：因此，当时，可取，，…，，实数对共计个．
当 ，可取，，…，，实数对共计个．
类似地，讨论，，…，．故
满足条件的不同数对的个数为个．（个）
例3．在中，平分，交于，平分，交于，已知，且，求各内角的度数的可能值．
解：设三边长为，考虑到，
，
，又平分，
，，
，同理
又由余弦定理知，，
，
，
，解之得：或，
或，
或或
若时，，，；
若时，，，．
例4．已知点是内一点，使得，求证：
．
解：作的外接圆圆，延长交圆于点．
则，
．
作，垂足是；作，垂足是．
作，垂足是（见图6－21）；设．
，
，
由于，
是圆切线，
．．
．
综合练习
一、选择题
1．若，则角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．若三角形的三条高线长分别为12，15，20，则此三角形的形状为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．形状不确定
3．设，，，，上述函数中，周期函数的个数是（ ）
A．l B．2 C．3 D．4
4．若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．方程有__________个解．
6．在中，分别表示它的斜边长，内切圆半径和面积，则的取值范围是__________．
7．已知，，是平面上三个不同的点，且满足关系式，则实数的取值范围是__________．
8．设，则的值是__________．
9．已知，，则__________．
10．已知函数（，且）的部分图像如图6－22所示．则的值分别为__________．
11．设，，且，则对任意，__________．
12．方程的解集为__________4
三、解答题
13．已知函数，求函数的最大值与最小值．
14．设，求的最大值．
15．已知．求的最小值．
16．设，其中，．求证：
（1）不恒等于零；
（2）若，则，（）
17．在中，所对的边为，若，求．
18．如图6－23，要计算西湖岸边两景点与的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取和两点，现测得，，，，求两景点与的距离（精确到）．参考数据：（，，．）
19．已知为锐角，且，求证：．
20．设满足，若对于任意，，求．
21．将函数在区间内的全部最值点按从小到大的顺序排成数列，（）．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求证：．
22．设函数，，其中为正整数．
（1）判断函数的单调性，并就的情形证明你的结论；
（2）证明：；
（3）对于任意给定的正整数，求函数的最大值和最小值．
23．在中，已知．
（1）若任意交换的位置，的值是否会发生变化？试证明你的结论；
（2）求的最大值．
24．已知函数的定义域，对任意的都满足，当时，．
（1）判断并证明的单调性和奇偶性；
（2）是否存在这样的实数，当时，使不等式对所有恒成立，如存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．
- 1 -
§6.6 三角函数综合练习
1．（）． 2．（）． 3．（）． 4．（）．
5．个（可通过图像得出）． 6．．
7．． 8．． 9．． 10．．
11．． 12．．
13．当，即时，，当，即时，．
14．． 15．． 16．略． 17．．
18．． 19．略． 20．．
21．（Ⅰ）；
（Ⅱ）．
22．（1）在上均为单调递增的函数；（2）略；
（3）当为奇数时，函数的最大值为，最小值为，
当为偶数时，函数的最大值为，最小值为．
23．（1）任意交换的位置，的值不会发生变化；（2）取得最大值．
24．（1）奇函数、增函数；（2）．微信公众号:上海试卷
第七章 平面向量
7.1 向量的基本概念及表示
基础练习
1．下列各量中是向量的有__________．
（A）动能 （B）重量 （C）质量 （D）长度 （）作用力与反作用力 （）温度
解：A，C，D，只有大小．没有方向，而和既有大小又有方向，故为向量．
2．判断下列命题是否正确．若不正确，请简述理由．
①向量与是共线向量，则，，，四点必在一直线上．
②单位向量都相等．
③任一向量与它的相反向量不相等．
④共线的向量，若起点不同，则终点一定不同．
解：①不正确．可能平行但不共线．
②不正确．方向不一定相同．
③不正确．零向量．
④不正确．两个同向且模相等的向量．
3．回答下列问题，并说明理由．
（1）平行向量的方向一定相同吗？
（2）共线向量一定相等吗？
（3）相等向量一定共线吗？不相等的向量一定不共线吗？
解：（1）平行向量的方向不一定相同．可能方向相反．
（2）不一定，大小不一定相等．
（3）相等向量必共线，不相等的可以是不共线的．也可以是共线的．
4．命题“若则．”（ ）．
A．总成立 B．当时成立
C．当时成立 D．当时成立
解：C．
5．已知正六边形（见图），在下列表达式中：①；②；③；④；与相等的有____________．
解：①②③④．
7.2 向量的加减法
1．若对个向量存在个不全为零的实数，，…，，使得成立，则称向量为“线性相关”，依此规定，能说明 “线性相关”的实数是依次可以取__________________ （写出一组数值即可，不必考虑所有情况）．
解：（只要符合这个比例就行）．
2．已知矩形ABCD中，宽为2，长为，，试作出向量，并求出其模的大小．
解：．
3．设，为两个相互垂直的单位向量．已知．若为等边三角形，则，的取值为（ ）．
A． B．
C． D．
解：C．
4．若、、、是平面内任意四点，则下列四式中正确的是（ ）．
① ②
③ ④
A．1 B．2 C．3 D．4
解：C．
5．设表示“向东走”，表示“向西走”，表示“向北走”，表示“向南走”．说明下列向量的意义．
（1）． （2） （3）．
解：（1）表示向东走．
（2）表示向西南走．
（3）表示向东南走．
6．在图的正六边形中，，求．
解：；
．
．
7.3实数与向量的乘法
1．已知向量是两非零向量，在下列四个条件中，能使，共线的条件是（ ）．
①2且；
②存在相异实数、，使；
③ （其中实数、满足）；
④已知梯形中，其中、．
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
解：A．
2．判断下列命题的真假：
（1）若与是共线向量，则，，，四点共线．
（2）若，则，，三点共线．
（3），则．
（4）平面内任意三个向量中的每一个向量都可以用另外两个向量的线性组合表示．
解：四个命题均是错误的．
3．已知中是上的一点，且，试求证：．
证明：，
则
由向量求和的三角形法则知（参见题3解析图）：
①
②
再由①+②得：
则．
4．已知．试判断与是否共线．
解：由于
则与共线．
5．已知在四边形中，，，，求证：四边形是梯形．
证明：参见题5解析图，显然
又点不在上，
则，，
则四边形是梯形．
6．已知是平面上三个不同的点，且满足关系式，求实数的取值范围．
解：由题：在椭圆上．
设，则=，
．
其中则．
7．已知梯形中，，，分别是、的中点，若，用表示．
解：参见解析图，（1）．
（2）
．
（3）．
8．四边形是一个梯形，且，，分别是和的中点，已知，试用表示和．
解：．
9．已知是不共线的非零向量，，其中为常数，若，求，的值．
解：．
10．设是不共线的两个非零向量，，其中，，，均为实数，，若三点共线，求证：．
证明：由于三点共线，则存在实数，使得，
则，
由于不共线，则，则．
11．在中，与交点为．设，试用向量表示．
解：由于与共线，则，
则 ①
又与共线，则，
则 ②
由①②，得．
由于与不共线，则即 ③
解方程组③得，将它们代入①式得
．
12．在平面直角坐标系中，为坐标原点，设向量，若且，则求出点所有可能的位置所构成的区域面积．
解：作，
为中点，则在内，面积为．
7.4向量的数量积
1．已知是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数为（ ）
①； ②反向；
③； ④．
A．１ B．２ C．３ D．４
解：④错，所以选C．
2．已知向量为相互垂直的单位向量，，求．
解：．
3．如图所示，已知平行四边形，，求．
解：．
4．设，求与的夹角的余弦值．
解：96=，．
5．已知，当时，求实数的值．
解：．
6．已知不共线向量，且向量与垂直．求：与的夹角的余弦值．
解：．
7．已知，，且与不共线，为何值时，向量与互相垂直？
解：．
8．在中，已知，求．
解：．
9．在中，，且，则的形状是__________．
解：，故是钝角三角形．
10．已知向量，．若向量，则实数的值是_______．
解：．
11．如图7-17，在四边形中，，，，求的值．
解：=4．
12．如图7-18，在中，已知，若长为的线段以点为中点．问与的夹角为何值时，的值最大？并求出这个最大值．
解：由于，则．由于，
则．
．
当，即，（与方向相同时），最小，即最大值为．
13．已知中满足，，，分别是的三边．试判断的形状，并求的取值范围．
解：由于，
，即，
即，是以为直角顶点的直角三角形，
则，
则的取值范围为．
14．设边长为1的正的边长上有等分点，沿点到点的方向，依次为，，若，求证：．
证明：设，令，则．其中，．
则．
又由于，
则
．
又由于，与的夹角为，
则．
15．在中，，又，则三边长之比___________．
解：（）
．
16．在向量之间，该等式成立，当时，求和的值．
解：．
17．若中每两个向量的夹角均为，且，求的值．
解：
．
7.5向量的坐标表示及其运算
基础练习
已知，求的坐标．
解：列式计算得．
2．设点在内部，且有，求的面积与的面积的比．
解：．
3．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，求顶点的坐标．
解：由平行四边形性质，易得（2，2）．
4．已知向量为相互垂直的单位向量，设，，求的值．
解：由，易得．
5．已知等腰梯形，其中，且，三个顶点（1，2），（2，1），（4，2），求点的坐标．
解：作图，南等腰梯形性质易得，点坐标为（2，4）．
6．如图7-21所示，已知，将绕着点逆时针方向旋转，且模伸长到模的2倍，得到向量．求四边形的面积．
解：．
7．如图7—22所示，已知四边形是梯形，，，其中，，求点坐标及的坐标．
解：点坐标为（5，5），坐标为（4，3）．
8．已知向量与相等，其中，求．
解：，列式算得．
9．平面内有三个已知点，求
（1）．（2）．（3）．
解（1）由于，
则，
（2）．
或．
（3）．
或．
10．已知向量，且，求．
解：．
11．已知求和．
解：
12．已知两个非零向量和满足，求与的夹角的余弦值．
解：．
13．已知平面上三个向量均为单位向量，且两两的夹角均为，若，求的取值范围．
解：，．
14．已知不共线，点分所成的比为，求．
解：．
7.6线段的定比分点公式与向量的应用
1．在中，若，则=_____________．
解：由已知得．
所以，．由余弦定理得．
已知为内一点，且满足，那么____________．
解：为重心（参见题2解析图）．
．
同理，，则
．
如图，设为内一点，且，求的面积与的面积之比．
解：．
4．已知的三顶点坐标分别为，直线，交于，且直线平分的面积，求点坐标．
解：因为直线平分的面积，由相似可知：，
所以，
由定比分点公式可知，．
所以点坐标为．
已知，，且，求点、的坐标．
解：，所以点的坐标为．
6．点是平面上一定点，是此平面上不共线的三个点，动点满足，．则点的轨迹一定通过的________心．
解：表示与共线的单位向量，表示与共线的单位向量，
由平行四边形法则可知，表示菱形的对角线向量，
因此表示角的角平分线向量，又因为，．
所以表示角的角平分线向量，所以点的轨迹一定通过内心．
能力提高
7．设为直角坐标系内、轴正方向上的单位向量，若，且．
（1）求点的轨迹的方程．
（2）过定点（0，3）作直线与曲线交于，两点，设，是否存在直线使四边形为正方形？若存在，求出的方程，若不存在说明理由．
解：（1）由得．
（2）假设直线存在，显然的斜率存在．
设．
由得，
，由于，
则若为正方形，只有即，
．
则．
则存在且的方程为．
8．（1）已知，求与的夹角．
（2）设，，在上是否存在点，使，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
解：（1）由于，则．
又，则．则，则．
（2）设存在点，且，
则．
则，．
则，解得或，
则或．
则存在或满足题意．
9．设是两个不共线的非零向量
（1）记，那么当实数为何值时，、、三点共线？
（2）若且与夹角为，那么实数为何值时的值最小？
解：（1）三点共线知在在实数，使，
即，则，实数．
（2），
则，当时，取最小值．
10．设平面内的向量，，点是直线上的一个动点，求当取最小值时，的坐标及的余弦值．
解：设．由于点在直线上，则与共线，而（2，1），
则即，有．
由于，
则
．
从而，当且仅当时，取得最小值，
此时．
于是，
则．
11．已知向量，向量与向量夹角为，且．
（1）求向量．
（2）若向量与向量的夹角为，向量，求的值．
解：（1）设，由，有 ①
由与夹角为，有．则 ②
由①②解得或即或．
（2）由与垂直知．，
则．
12．已知定点．动点满足：．
（1）求动点的轨迹方程．
（2）当时，求的最大值和最小值．
解：（1）设动点的坐标为，则，
则，
则．
若，则方程为，表示过点是平行于轴的直线．
若，则方程化为：，表示以为圆心，以为半径的圆．
（2）当时，方程化为．
，
．
由，则，则的最大值为4，最小值为．
由于，
则．
，则．
由于，则令．
．
则的最大值为，最小值为．
13．在平行四边形中，，，点是线段的中点，线段与交于点．
（1）若，求点的坐标．
（2）当时，求点的轨迹．
解：（1）设点坐标为，又，
即，则，即点．
（2）设，则，
由于，则平形四边形为菱形．
则，即．
．
则．
故点的轨迹是以为圆心，2为半圆去掉与直线的两个交点．
14．已和向量，向最与向量的夹角为，且，
（1）求向最．
（2）若且，其中是的内角，若三角形的内角、、依次成等差数列，试求的取值范围．
解：（1）设，则，且．
则解得，．
（2），由于，，则．
则，
则
，
由于，
则，则．
第八章 空间直线与平面
8.1平面及其基本性质
基础练习
1．用符号语言表示下列语句：
（1）点在平面内，但在平面外．
（2）直线经过平面外一点．
（3）直线在平面内，又在平面内，即平面和平面相交于直线．
解：（1）但．
（2），．
（3）且，即．
2．已知、、是空间三条直线，且与、都相交，求证直线、、在同一个平面上．
证明：设直线n与直线r交于点A，直线6与直线c、交于点B．
因为，则直线、确定一个平面，设为，
则，同理可知，、在直线上，故可知．
3．怎样用两根细绳检查一张桌子的四条腿的下端是否在一个平面内？
解：提示：将桌子的四条腿中在对角线的两条腿分别用细绳相连，若两条细绳相交，则四条腿的下端在同一平面内．
4．如图所示，与不在同一个平面内，如果三直线、、两两相交，证明：三直线、、交于一点．
解：证明三线共点的一般思路是：先证明两条直线交于一点，再证明该点在第三条直线上即可．
5．已知在平面外，它的三边所在的直线分别交平面于，，三点，证明：，，三点在同一条直线上．
解：如题5解析图所示，欲证，，三点共线，只须证，，在平面和平面的交线上，由，，都是两平面的公共点而得证．
6．画水平放置的正五边形的直观图．
解：提示：用斜二侧画法．
8.2空间直线与直线之间的位置关系
基础练习
1．从正方体的12条棱和12条面对角线中选出条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则”的最大值为___________．
解：提示与答案：不能有公共端点，最多4条，由题l解析图可知4条可以．
2．如图，已知三棱锥中，，侧棱底面，点在棱和上的射影分别是点、，求证：．
证明：由于、、三点不共线，，
则要证，只要证平面，
只要证 （如图）．
又由于，，则平面，
则是在平面上的射影．
则只要证 （已知），则．
已知、是两条异面直线，直线上的两点、的距离6，直线上的两点、的距离为8，、的中点分别为、，且，见同．求异面直线、所成的角．
解：如图8—13，连接，并取的中点，连接、，
由于、分别是和的中位线，
则，即．
则、所成的锐角或直角是异面直线、所成的角．
又由于．
则．
在中，又由于，
则，
则么．
故异面直线、所成的角是．
4．已知四面体的所有棱长均为．求：
（1）异面直线，的公垂线段及的长．
（2）异面直线和所成的角．
解：（1）构造立方体的内接正四面体，可知，所在面夹的棱即为，由此可知长度等于立方体边长，故．
（2）与所在正方形边所夹的角即为所求，为．
5．如图，等腰直角三角形中，，，若．且为的中点．求异面直线与所成角的余弦值．
解：取中点，连接，．
即为所求．．
6．如图8—15，在正三角形中，，，分别为各边的中点，，，，分别为，，，的中点．将沿，，折成三棱锥以后，求与=所成角的度数．
解：由于分别为，中点，
则，同理，
则与所成角的度数等于与所成角的度数．
由于三棱锥为正三棱锥，则与所成角为，
则与所成角的度数为．
7．长方体中，，则异面直线与间的距离为__________．
解：以为原点建立空间直角坐标系可得：
．
8．空间两条异面直线，所成角，过空间一定点与，所成角都是口的直线，有多少条？
解：时，有0条；
时，有1条；
时，有2条；
时，有3条；
时，有2条；
时，有1条；
时，有0条．
8.3空间直线与平面
1．如果三个平面、、两两相交于三条交线、、，讨论三条交线的位置关系，并证明你的结论．
解：平行或者交于一点．
2．在正方体中，为棱上一点，过点在空间作直线，使与平面和平面均成角，求这样的直线条数．
解：2条．
已知空间四边形，、分别是和的重心，求证：平面．
证明：取中点．且，则平面平面．
所以平面．
4．在棱长为的正方体中，
（1）求证：．
（2）求证：平面．
（3）求点到平面的距离．
解：（1）在平面上投影为，由三垂线定理可得．
（2）由（1）可知，同理．所以平面．得证．
（3）等体积法得：，所以．
5．正方体中，求与平面所成角的大小．
解：易知，．令与交于，与交于，．
易知，．
又为直角，则
6．正方体的棱长为，则异面直线与间的距离等于________．
解：取中点，连接，，与交于，与交于
由于，则为与间的垂线．
．
7．正方形与正方形所在平面相交于，在、上各取一点、，且．求证：平面．
解：在取一点，使得．得到：．
故．
因为，，则平面平面．
所以平面．
能力提高
8．如图，已知在平面上，为平面外一点，满足（为锐角），点在平面上的射影为．
（1）求证点在的平分线上．
（2）讨论、、之间的关系．
证明：（1）过点分别作、垂线，垂足分别为、．
由于平面，平面，
又，则平面，则．
同理，
在和，
则．则，
又，则点在的平分线上．
（2）在直角三角形中．
在直角三角形中，，
在直角三角形中，，
则．
9．若直线与平面成角，直线在平面，且和直线异面，则与所成角的取值范围是多少？
解：由直线与面所成角的概念可知，．
10．如图，为平面的斜线，为斜足，垂直平面于点，为平面内的直线，，，，求证：．
证明：过点作垂直于点，连．
由于，
则在平面内射影为．
由于，，
则．
在中有 ①
在中有 ②
在中有 ③
由①②③可得 ．
11．如图8—25，平面内有一半圆，直径，过作平面，在半圆上任取一点．连，，且，分别是在、上的射影．
（1）求证：．
（2）这个图形中有多少个线面垂直关系？
（3）这个图形中有多少个直角三角形？
（4）这个图形中有多少对相互垂直的直线？
解：（1）证明：连接、，如上图所示，
由于为已知圆的直径，则．
由于平面，，则．
由于，则平面．
由于平面，则．
由于于，，则平面．
出于于，且是在平面的射影，则．
（2）由（1）知，平面，平面，平面．
由于且，则平面，
则图中共有4个线面垂直关系．
（3）由于平面，则、均为直角三角形．
由于平面，则、均为直角三角形．
由于平面，则、、均为直角三角形．
由于平面，则、、、均为直角三角
综上，图中共有11个直角三角形．
（4）由平面知，，，．
由平面知，，，．
由平面知，，，．
由平面知，，．
综上，图中共有11对互相垂直的直线．
12．如图8-26，在正方体中．为异面直线与的公垂线，求证：．
证明：连接，由于，
则．
又，，
则平面． ①
由于平面，平面，
则．
由于四边形为正方形，
则，
则平面，
而平面，则．
同理，
则平面．②
由①、②可知：．
13．如图8-27所示，．在平面内，是的斜线，．求与平面所成的角．
解：如图8-27所示，过作于．连接，
则为在面上的射影，为与平面所成的角．
作．由三重线定理可得．
作，同理可得．
由，，
可得，则．
由于、分别为、在内射影，
则．
所以点在的平分线上．
设，又，则，
则．
在中，，
则，即与所成角为．
8.4空间平面与平面的位置关系
1．已知平面，，为夹在，间的异面线段，、分别为、的中点．
求证：．
证明：如题1解析图，连接并延长交于．
由于，
则，确定平面，且．
由于，所以，
则.
又，
则．
则．
又，
则．故．同理．
2．如果，和是夹在平面与之间的两条线段，，且，直线与平面所成的角为，求线段长的取值范围．
解：如题2解析图所示：作于，连接、、．
由于，，，
则在中，由余弦定理，得：
．
由于，是与所在的角．
又由于，
则也就等于与所成的角，即．
由于，
则，
则，即．
则，即长的取值范围为．
3．如图8-35，已知正方体中，、分别为、的中点．求平面与平面所成二面角的平面角的正弦值．
解：延长、、交于一点，设棱长为1，
可知，，，故．同理，，
则即为所求二面角的平面角，易求，
其正弦值为．
4．如图8-36，点在锐二面角的棱上，在面内引射线，使与所成的角为，与面所成的角大小为，求二面角的大小．
解：在射线上取一点，作于，
连接，则为射线与平面所成的角（参见题4解析图），
则．
再作，交于，连接，
则为在平面内的射影．
由三垂线定理的逆定理，，则为二面角的平面角．
设，在中，，，则．在中，，，，，
由于是锐角，则，即二面角等于．
5．正方形边长为4，点是边上的一点，将沿折起到，的位置时，有平面平面，并且．
（1）判断并证明点的具体位置．
（2）求点到平面的距离．
解：如题5解析图（）所示，（1）为边中点．连接、交于点，再连，由，
且平面平面于，则平面，
故，又，则平面，
即得，在中，由于，
则，
则，
则，即点为边的中点．
（2）取的中点，连接、，则，得平面，见题5解析图（），即，又因为，则，又，由于，则，则平面，则，在中，，，过作于点，则平面，由于，此即得点到平面的距离．
6．在正三角形中，、、分别是、、边上的点，满足，如图8-37．将沿折起到的位置，使二面角成直二面角，连接、，如图8-38．
（1）求证：平面．
（2）求直线与平面所成角的大小．
（3）求二面角的大小（用反三角函数表示）．
解：（1）不妨设正三角形的边长为3，在图8-37中，取中点，连结．由于，
则而，
则是正三角形，又，
则在图8-38中，，
则为二面角的平面角．
由题设条件知此二面角为直二面角，又，
则平面，即平面；
（2）在图8-38中，不垂直，则是平面的垂线．又平面，则．从而垂直于在平面内的射影（三垂线定理的逆定理）设在平面内的射影为，且交于点，则就是与平面所成的角，且．在中，而，则是等边三角形．又平面，
则，则为的中点，且，又，在中，，则，
则直线与平面所成的角为；
（3）过作与，连接，由于，，则是正三角形．则．有，则 ①
由于平面，，则，则从而 ②
由①②及为公共边知，则，且，从而为二面角的平面角．在中，，
又则．
由于，则，则．
在中，，由余弦定理得．
在中，；
则二面角的大小为．
7．如图8-39，将边长为的正三角形以它的高为折痕折成一个二面角．
（1）指出这个二面角的面、棱、平面角．
（2）若二面角是直二面角，求的长．
（3）求与平面所成的角．
（4）若二面角的平面角为，求二面角的平面角的正切值．
解：（1）由于，则，，则二面角的面为和面，棱为，二面角的平面角为．
（2）若，
由于，则，则．
（3）由于，则平面，
则为与平面所成的角．
在直角三角形中，，则，
于是．
（4）取的中点，连接、，
由于，则，
则为二面角的平面角．
由于，则，
在直角三角形中，，则．
8．在棱长为的正方体中，求异面直线和之间的距离．
解：具体解法可按如下几步来求：
①分别经过和找到两个互相平等的平面；
②作出两个平行平面的公垂线；
③计算公垂线夹在两个平等平面间的长度．
如题8解析图（），根据正方体的性质，易证：
平面平面．
连接，分别交平面和平面于和．
因为和分别是平面的垂线和斜线，
在平面内，．
由三垂线定理：，同理，．
则平面，同理可证，平面．
则平面和平面间的距离为线段长度．
如图（）所示：在对角面中，为的中点，为的中点．
则．
则和的距离等于两平行平面和的距离为．
9．设由一点发出三条射线、、，，，，、、均为锐角，且．求证：平面平面．
证明：如题9解析图，连接．
由于，
故．
又由，
则，从而可得，
即，已作，故平面，
即有，已作，从而平面，
故平面平面．
10．如图8-40，矩形，平面，若，与平面所成的角为，与平面成角，求：
（1）的长．
（2）求与所成的角．
（3）求二面角的余弦值．
解：（1）因为与平面所成的角为，则
因为与平面成角，则．
则．
（2）因为，与所成的角为，显然．
（3）．
11．如图8-41，线段分别交两个平行平面、于、两点，线段分别交、于、两点，线段分别交、于、两点，若，，，的面积为72，求的面积．
解：由于平面，平面，
又由于，则．
同理可证：．则与相等成互补，
由，得：，则，
由，得：
又由于的面积为72，即，
．
12．如图8-42，已知正方形．、分别是、的中点．将沿折起，如图8-43所示，记二面角的大不为．
（1）求证平面．
（2）若为正三角形，试判断点在平面内的射影是否在直线上，证明你的结论，并求角的余弦值．
解：（1）证明：、分别为正方形两边、之中点，
则，且，则四边形为平行四边形．则．
由于平面，而平面
则平面．
（2）解：如图8-43，点在平面内的射影在直线上，过点作垂直于平面，垂足为，连接．
由于为正三角形，则，则．
由于在的垂直平分线上，
则点在平面内的射影在直线上，过作垂直于于，连接，则，所以为二面角的平面角．即．
设原正方体的边长为，连接在折后图的中，，，即为直角三角形，．
则．在中，，则．
则．
13．在矩形中，已知，平面，且．
（1）在边上是否存在点，使得，说明理由．
（2）若边上有且仅有一个点，使，求与平面所成角的正弦值．
（3）在（2）的条件下，求出平面与平面所成角的大小．
解：本题第（1）问是一道“是否存在”的探索性问题．首先假设存在点，使得，然后根据这个假设进行正确的推理和验证．若能找出点在上的位置，说明存在，否则就不存在．第（2）小题，可结合（1）中的结论找出线面角，通过解三角形求得其值．
（1）假设存在点，使得．
由于平面，则．
设，则．
由，得．
即方程：． ①
其判别式为．
则当时，，方程①有一解，即存在一个点，使；
当时，．方程①有两解，即存在两个点，使得；
当时，，方程①无实根，即不存在点，使得．
（2）当边上仅有一个点，使得时，可知，为的中点．
由于，
则平面平面．
过作，垂足为，则平面，
故为和平面所成的角．
在中，．
在中，．
（3）平面与平面所成角的大小为．
14．两个平行平面和将四面体截成三部分．已知中间一部分的体积小于两端中任一部分的体积，点和到平面的距离分别为30和20．而点和到平面的距离分别为20和16，两个截面中有一个是梯形，点到平面的距离小于24．求平面和截四面体所得的截面面积之比．
解：由已知有一个截面为梯形且平面和平行，可知平面和平行于四面体的一条棱．
记为到平面的距离．
若，则，矛盾．
若，则，矛盾．
若，则，矛盾．
若，则，矛盾．
若，则中间部分的体积大于含棱部分的体积，矛盾．
所以，，如题14解析图所示，由已知
不妨设，
；
．
所以，小于，小于，符合题意．
设平面，平面分别交延长线于，．
由梅内劳斯定理，，所以，
，所以．
又因为，
．
8.5空间向量及其坐标表示
基础练习
1．如图8-50，，、、分别为，，的中点，试用，，表示下列向量：．
解：由于为中点，
则．
由于、为、中点，
则，、
同理．
由于，
则．
2．已知空间三点，，．设，，是否存在实数，使向量与互相垂直，若存在，求的值；若不存在，说明理由．
解：．
由于，
则或．
3．菱形的边长为1，，若为延长线上任意一点，交于点，求向量与和夹角的大小．
解：以为原点建立平面直角坐标系，．
设坐标为．则．
则．
夹角，则夹角大小为．
4．如图8-51，已知矩形，平面，、分别是、的中点，为，能否确定，使直线是直线与的公垂线？若能确定，求出的值；若不能确定，说明理由．
解：以点为原点建立空间直角坐标系．
设．则、、、、、、．
则，，．
由于，则．即．
若，则．
则，而是锐角．
则．
即当时，直线是直线与的公垂线．
5．在棱长为的正方体中，、分别是棱、上的点，且，见图8-52．
（1）当、在何位置时，．
（2）是否存在点、，使面？
（3）当、在何位置时三棱锥的体积取得最大值，并求此时二面角的大小．
解：（1）以为原点，以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，见题5解析图．
设，则有
，
则．
因此，无论、在何位置均有．
（2），，若面，则得矛盾，故不存在点、，使而．
（3）．
当时，三棱锥的体积最大，这时，、分别为、的中点．连接交于，则，
由三垂线定理知：．
则是二面角的平面角．
由于，则，
即二面角的大小为．
8.6 空间直线的方向向量和平面的法向量
基础练习
1．用向量方法证明直线与平面垂直的判定定理：
已知直线垂直平面内两条相交直线、，求证：直线垂直平面．
证明：设直线、、的方向向量分别为、、，
则对平面内任意一条直线，设其方向向量为．
因为、不平行，由平面向量唯一分解定理可知存在满足：．
则，所以直线．
2．如图8-59．在长方体中，求二面角的平面角大小．
解：如图8-59，以为坐标原点建立空间直角坐标系
则，，，易知，
平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为．
则，
．
取则，
即，则此时两个法向量同时远离平面，因此二面角的平面角与法向量的夹角互补．
而，所以．
3．如图8-60所示，垂直于正方形所在平面，，是的中点．与夹角的余弦值为．（1）建立适当的空间坐标系，写出点的坐标．（2）在平面内是否存在一点，使平面？
解：（1）以，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，设．则，，，．
从而．
，得．
所以点的坐标为．
（2）由于点在平面内，故可设，由平面得：
且，即
；
．
所以点的坐标为，即点是的中点时，可使平面．
8.7 空间向量在度量问题中的应用
能力提高
1．如图8-67，已知是底面为正方形的长方体，，，点是上的动点．
（1）试判断不论点在上的任何位置，是否都有平面垂直于平面？并证明你的结论．
（2）当为的中点时，求异面直线与所成角的余弦值．
（3）求与平面所成角的正切值的最大值．
解：（1）由于平面，则都有平面垂直于平面．
（2）建立空间坐标系解题，异面直线与所成角的余弦值为．
（3）为与平面所成角．所以与平面所成角的正切值的最大值为．
2．如图8-68．正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，是等腰直角三角形，．
（1）求证：平面．
（2）设线段，的中点分别为，．求证：平面．
（3）求二面角大小的余弦值．
解：因等腰直角三角形，，所以．
又因为平面平面，所以平面．
所以即、、两两垂直；如图建立空间直角坐标系，
（1）设，则，，，，．
由于，则，从而，，，．
于是，则．
由于平面，平面，，则平面．
（2），从而
于是．
则，又平面，直线不在平面内，故平面．
（3）设平面的一个法向量为，并设，，
即．
取，则，从而．
取平面的一个法向量为，
，
3．如图8-69，在正三棱柱中，所有棱的长度都是2，是边的中点，问：在侧棱上是否存在点，使得异面直线和所成的角等于？
解：以点为原点，建立如题3解析图所示的空间右手直角坐标系．
因为所有棱长都等于2，所以，，，，．点在侧棱上，
可设，
则，于是，，．
如果异面直线和所成的角等于，
那么向量和的夹角是或，而，所以．
解得，这与矛盾．
即在侧棱上不存在点，使得异面直线和所成的角等于．
4．如图8-70，在底面是菱形的四棱锥中，，点在上，且．
（1）证明平面．
（2）求以为棱，与为面的二面角的大小．
（3）在棱上是否存在一点，使平面？证明你的结论．
解：（1）证明：因为底面是菱形．，所以，在中，由，知．同理，，所以平面．
（2）作交于，由平面．知平面．作于，连接，则，即为二面角的平面角．
又，所以，，．
从而．
（3）以为坐标原点，直线、分别为轴、轴，过点垂直平面的直线为轴．建立空间直角坐标系如题4解析图．由题设条件，相关各点的坐标分别为，，，．所以，，，．设点是棱上的点，，，则
．
令得
，
解得．
即时，．
亦即，是的中点时，、、共面．
又平面，所以当是棱的中点时，平面．
5．如图8-71，在三棱锥中，侧面、是全等的直角三角形，是公共的斜边，且，，另一个侧面是正三角形．
（1）求证：．
（2）求二面角的大小．
（3）在直线上是否存在一点．使与面成角？若存在确定的位置；若不存在，说明理由．
解：（1）作面于，连、、，则四边形是正方形，且．以为原点，以为轴，为轴建立空间直角坐标系如题5解析图，
则，．，
则，则．
（2）设平面的法向量为，
则由知：；
同理由知：．可取．
同理，可求得平面的一个法向量为．
由图可以看出，三面角的大小应等于．
则，即所求二面角的大小是．
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（3）设是线段上一点，则，，平面的一个法向量为，，要使与面成角，由图可知与的夹角为．
所以．则，解得，则．故线段上存在点，且时，与面成角．微信公众号:上海试卷
第八章 空间直线与平面
8.1平面及其基本性质
基础练习
1．用符号语言表示下列语句：
（1）点在平面内，但在平面外．
（2）直线经过平面外一点．
（3）直线在平面内，又在平面内，即平面和平面相交于直线．
解：（1）但．
（2），．
（3）且，即．
2．已知、、是空间三条直线，且与、都相交，求证直线、、在同一个平面上．
证明：设直线n与直线r交于点A，直线6与直线c、交于点B．
因为，则直线、确定一个平面，设为，
则，同理可知，、在直线上，故可知．
3．怎样用两根细绳检查一张桌子的四条腿的下端是否在一个平面内？
解：提示：将桌子的四条腿中在对角线的两条腿分别用细绳相连，若两条细绳相交，则四条腿的下端在同一平面内．
4．如图所示，与不在同一个平面内，如果三直线、、两两相交，证明：三直线、、交于一点．
解：证明三线共点的一般思路是：先证明两条直线交于一点，再证明该点在第三条直线上即可．
5．已知在平面外，它的三边所在的直线分别交平面于，，三点，证明：，，三点在同一条直线上．
解：如题5解析图所示，欲证，，三点共线，只须证，，在平面和平面的交线上，由，，都是两平面的公共点而得证．
6．画水平放置的正五边形的直观图．
解：提示：用斜二侧画法．
8.2空间直线与直线之间的位置关系
基础练习
1．从正方体的12条棱和12条面对角线中选出条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则”的最大值为___________．
解：提示与答案：不能有公共端点，最多4条，由题l解析图可知4条可以．
2．如图，已知三棱锥中，，侧棱底面，点在棱和上的射影分别是点、，求证：．
证明：由于、、三点不共线，，
则要证，只要证平面，
只要证 （如图）．
又由于，，则平面，
则是在平面上的射影．
则只要证 （已知），则．
已知、是两条异面直线，直线上的两点、的距离6，直线上的两点、的距离为8，、的中点分别为、，且，见同．求异面直线、所成的角．
解：如图8—13，连接，并取的中点，连接、，
由于、分别是和的中位线，
则，即．
则、所成的锐角或直角是异面直线、所成的角．
又由于．
则．
在中，又由于，
则，
则么．
故异面直线、所成的角是．
4．已知四面体的所有棱长均为．求：
（1）异面直线，的公垂线段及的长．
（2）异面直线和所成的角．
解：（1）构造立方体的内接正四面体，可知，所在面夹的棱即为，由此可知长度等于立方体边长，故．
（2）与所在正方形边所夹的角即为所求，为．
5．如图，等腰直角三角形中，，，若．且为的中点．求异面直线与所成角的余弦值．
解：取中点，连接，．
即为所求．．
6．如图8—15，在正三角形中，，，分别为各边的中点，，，，分别为，，，的中点．将沿，，折成三棱锥以后，求与=所成角的度数．
解：由于分别为，中点，
则，同理，
则与所成角的度数等于与所成角的度数．
由于三棱锥为正三棱锥，则与所成角为，
则与所成角的度数为．
7．长方体中，，则异面直线与间的距离为__________．
解：以为原点建立空间直角坐标系可得：
．
8．空间两条异面直线，所成角，过空间一定点与，所成角都是口的直线，有多少条？
解：时，有0条；
时，有1条；
时，有2条；
时，有3条；
时，有2条；
时，有1条；
时，有0条．
8.3空间直线与平面
1．如果三个平面、、两两相交于三条交线、、，讨论三条交线的位置关系，并证明你的结论．
解：平行或者交于一点．
2．在正方体中，为棱上一点，过点在空间作直线，使与平面和平面均成角，求这样的直线条数．
解：2条．
已知空间四边形，、分别是和的重心，求证：平面．
证明：取中点．且，则平面平面．
所以平面．
4．在棱长为的正方体中，
（1）求证：．
（2）求证：平面．
（3）求点到平面的距离．
解：（1）在平面上投影为，由三垂线定理可得．
（2）由（1）可知，同理．所以平面．得证．
（3）等体积法得：，所以．
5．正方体中，求与平面所成角的大小．
解：易知，．令与交于，与交于，．
易知，．
又为直角，则
6．正方体的棱长为，则异面直线与间的距离等于________．
解：取中点，连接，，与交于，与交于
由于，则为与间的垂线．
．
7．正方形与正方形所在平面相交于，在、上各取一点、，且．求证：平面．
解：在取一点，使得．得到：．
故．
因为，，则平面平面．
所以平面．
能力提高
8．如图，已知在平面上，为平面外一点，满足（为锐角），点在平面上的射影为．
（1）求证点在的平分线上．
（2）讨论、、之间的关系．
证明：（1）过点分别作、垂线，垂足分别为、．
由于平面，平面，
又，则平面，则．
同理，
在和，
则．则，
又，则点在的平分线上．
（2）在直角三角形中．
在直角三角形中，，
在直角三角形中，，
则．
9．若直线与平面成角，直线在平面，且和直线异面，则与所成角的取值范围是多少？
解：由直线与面所成角的概念可知，．
10．如图，为平面的斜线，为斜足，垂直平面于点，为平面内的直线，，，，求证：．
证明：过点作垂直于点，连．
由于，
则在平面内射影为．
由于，，
则．
在中有 ①
在中有 ②
在中有 ③
由①②③可得 ．
11．如图8—25，平面内有一半圆，直径，过作平面，在半圆上任取一点．连，，且，分别是在、上的射影．
（1）求证：．
（2）这个图形中有多少个线面垂直关系？
（3）这个图形中有多少个直角三角形？
（4）这个图形中有多少对相互垂直的直线？
解：（1）证明：连接、，如上图所示，
由于为已知圆的直径，则．
由于平面，，则．
由于，则平面．
由于平面，则．
由于于，，则平面．
出于于，且是在平面的射影，则．
（2）由（1）知，平面，平面，平面．
由于且，则平面，
则图中共有4个线面垂直关系．
（3）由于平面，则、均为直角三角形．
由于平面，则、均为直角三角形．
由于平面，则、、均为直角三角形．
由于平面，则、、、均为直角三角
综上，图中共有11个直角三角形．
（4）由平面知，，，．
由平面知，，，．
由平面知，，，．
由平面知，，．
综上，图中共有11对互相垂直的直线．
12．如图8-26，在正方体中．为异面直线与的公垂线，求证：．
证明：连接，由于，
则．
又，，
则平面． ①
由于平面，平面，
则．
由于四边形为正方形，
则，
则平面，
而平面，则．
同理，
则平面．②
由①、②可知：．
13．如图8-27所示，．在平面内，是的斜线，．求与平面所成的角．
解：如图8-27所示，过作于．连接，
则为在面上的射影，为与平面所成的角．
作．由三重线定理可得．
作，同理可得．
由，，
可得，则．
由于、分别为、在内射影，
则．
所以点在的平分线上．
设，又，则，
则．
在中，，
则，即与所成角为．
8.4空间平面与平面的位置关系
1．已知平面，，为夹在，间的异面线段，、分别为、的中点．
求证：．
证明：如题1解析图，连接并延长交于．
由于，
则，确定平面，且．
由于，所以，
则.
又，
则．
则．
又，
则．故．同理．
2．如果，和是夹在平面与之间的两条线段，，且，直线与平面所成的角为，求线段长的取值范围．
解：如题2解析图所示：作于，连接、、．
由于，，，
则在中，由余弦定理，得：
．
由于，是与所在的角．
又由于，
则也就等于与所成的角，即．
由于，
则，
则，即．
则，即长的取值范围为．
3．如图8-35，已知正方体中，、分别为、的中点．求平面与平面所成二面角的平面角的正弦值．
解：延长、、交于一点，设棱长为1，
可知，，，故．同理，，
则即为所求二面角的平面角，易求，
其正弦值为．
4．如图8-36，点在锐二面角的棱上，在面内引射线，使与所成的角为，与面所成的角大小为，求二面角的大小．
解：在射线上取一点，作于，
连接，则为射线与平面所成的角（参见题4解析图），
则．
再作，交于，连接，
则为在平面内的射影．
由三垂线定理的逆定理，，则为二面角的平面角．
设，在中，，，则．在中，，，，，
由于是锐角，则，即二面角等于．
5．正方形边长为4，点是边上的一点，将沿折起到，的位置时，有平面平面，并且．
（1）判断并证明点的具体位置．
（2）求点到平面的距离．
解：如题5解析图（）所示，（1）为边中点．连接、交于点，再连，由，
且平面平面于，则平面，
故，又，则平面，
即得，在中，由于，
则，
则，
则，即点为边的中点．
（2）取的中点，连接、，则，得平面，见题5解析图（），即，又因为，则，又，由于，则，则平面，则，在中，，，过作于点，则平面，由于，此即得点到平面的距离．
6．在正三角形中，、、分别是、、边上的点，满足，如图8-37．将沿折起到的位置，使二面角成直二面角，连接、，如图8-38．
（1）求证：平面．
（2）求直线与平面所成角的大小．
（3）求二面角的大小（用反三角函数表示）．
解：（1）不妨设正三角形的边长为3，在图8-37中，取中点，连结．由于，
则而，
则是正三角形，又，
则在图8-38中，，
则为二面角的平面角．
由题设条件知此二面角为直二面角，又，
则平面，即平面；
（2）在图8-38中，不垂直，则是平面的垂线．又平面，则．从而垂直于在平面内的射影（三垂线定理的逆定理）设在平面内的射影为，且交于点，则就是与平面所成的角，且．在中，而，则是等边三角形．又平面，
则，则为的中点，且，又，在中，，则，
则直线与平面所成的角为；
（3）过作与，连接，由于，，则是正三角形．则．有，则 ①
由于平面，，则，则从而 ②
由①②及为公共边知，则，且，从而为二面角的平面角．在中，，
又则．
由于，则，则．
在中，，由余弦定理得．
在中，；
则二面角的大小为．
7．如图8-39，将边长为的正三角形以它的高为折痕折成一个二面角．
（1）指出这个二面角的面、棱、平面角．
（2）若二面角是直二面角，求的长．
（3）求与平面所成的角．
（4）若二面角的平面角为，求二面角的平面角的正切值．
解：（1）由于，则，，则二面角的面为和面，棱为，二面角的平面角为．
（2）若，
由于，则，则．
（3）由于，则平面，
则为与平面所成的角．
在直角三角形中，，则，
于是．
（4）取的中点，连接、，
由于，则，
则为二面角的平面角．
由于，则，
在直角三角形中，，则．
8．在棱长为的正方体中，求异面直线和之间的距离．
解：具体解法可按如下几步来求：
①分别经过和找到两个互相平等的平面；
②作出两个平行平面的公垂线；
③计算公垂线夹在两个平等平面间的长度．
如题8解析图（），根据正方体的性质，易证：
平面平面．
连接，分别交平面和平面于和．
因为和分别是平面的垂线和斜线，
在平面内，．
由三垂线定理：，同理，．
则平面，同理可证，平面．
则平面和平面间的距离为线段长度．
如图（）所示：在对角面中，为的中点，为的中点．
则．
则和的距离等于两平行平面和的距离为．
9．设由一点发出三条射线、、，，，，、、均为锐角，且．求证：平面平面．
证明：如题9解析图，连接．
由于，
故．
又由，
则，从而可得，
即，已作，故平面，
即有，已作，从而平面，
故平面平面．
10．如图8-40，矩形，平面，若，与平面所成的角为，与平面成角，求：
（1）的长．
（2）求与所成的角．
（3）求二面角的余弦值．
解：（1）因为与平面所成的角为，则
因为与平面成角，则．
则．
（2）因为，与所成的角为，显然．
（3）．
11．如图8-41，线段分别交两个平行平面、于、两点，线段分别交、于、两点，线段分别交、于、两点，若，，，的面积为72，求的面积．
解：由于平面，平面，
又由于，则．
同理可证：．则与相等成互补，
由，得：，则，
由，得：
又由于的面积为72，即，
．
12．如图8-42，已知正方形．、分别是、的中点．将沿折起，如图8-43所示，记二面角的大不为．
（1）求证平面．
（2）若为正三角形，试判断点在平面内的射影是否在直线上，证明你的结论，并求角的余弦值．
解：（1）证明：、分别为正方形两边、之中点，
则，且，则四边形为平行四边形．则．
由于平面，而平面
则平面．
（2）解：如图8-43，点在平面内的射影在直线上，过点作垂直于平面，垂足为，连接．
由于为正三角形，则，则．
由于在的垂直平分线上，
则点在平面内的射影在直线上，过作垂直于于，连接，则，所以为二面角的平面角．即．
设原正方体的边长为，连接在折后图的中，，，即为直角三角形，．
则．在中，，则．
则．
13．在矩形中，已知，平面，且．
（1）在边上是否存在点，使得，说明理由．
（2）若边上有且仅有一个点，使，求与平面所成角的正弦值．
（3）在（2）的条件下，求出平面与平面所成角的大小．
解：本题第（1）问是一道“是否存在”的探索性问题．首先假设存在点，使得，然后根据这个假设进行正确的推理和验证．若能找出点在上的位置，说明存在，否则就不存在．第（2）小题，可结合（1）中的结论找出线面角，通过解三角形求得其值．
（1）假设存在点，使得．
由于平面，则．
设，则．
由，得．
即方程：． ①
其判别式为．
则当时，，方程①有一解，即存在一个点，使；
当时，．方程①有两解，即存在两个点，使得；
当时，，方程①无实根，即不存在点，使得．
（2）当边上仅有一个点，使得时，可知，为的中点．
由于，
则平面平面．
过作，垂足为，则平面，
故为和平面所成的角．
在中，．
在中，．
（3）平面与平面所成角的大小为．
14．两个平行平面和将四面体截成三部分．已知中间一部分的体积小于两端中任一部分的体积，点和到平面的距离分别为30和20．而点和到平面的距离分别为20和16，两个截面中有一个是梯形，点到平面的距离小于24．求平面和截四面体所得的截面面积之比．
解：由已知有一个截面为梯形且平面和平行，可知平面和平行于四面体的一条棱．
记为到平面的距离．
若，则，矛盾．
若，则，矛盾．
若，则，矛盾．
若，则，矛盾．
若，则中间部分的体积大于含棱部分的体积，矛盾．
所以，，如题14解析图所示，由已知
不妨设，
；
．
所以，小于，小于，符合题意．
设平面，平面分别交延长线于，．
由梅内劳斯定理，，所以，
，所以．
又因为，
．
8.5空间向量及其坐标表示
基础练习
1．如图8-50，，、、分别为，，的中点，试用，，表示下列向量：．
解：由于为中点，
则．
由于、为、中点，
则，、
同理．
由于，
则．
2．已知空间三点，，．设，，是否存在实数，使向量与互相垂直，若存在，求的值；若不存在，说明理由．
解：．
由于，
则或．
3．菱形的边长为1，，若为延长线上任意一点，交于点，求向量与和夹角的大小．
解：以为原点建立平面直角坐标系，．
设坐标为．则．
则．
夹角，则夹角大小为．
4．如图8-51，已知矩形，平面，、分别是、的中点，为，能否确定，使直线是直线与的公垂线？若能确定，求出的值；若不能确定，说明理由．
解：以点为原点建立空间直角坐标系．
设．则、、、、、、．
则，，．
由于，则．即．
若，则．
则，而是锐角．
则．
即当时，直线是直线与的公垂线．
5．在棱长为的正方体中，、分别是棱、上的点，且，见图8-52．
（1）当、在何位置时，．
（2）是否存在点、，使面？
（3）当、在何位置时三棱锥的体积取得最大值，并求此时二面角的大小．
解：（1）以为原点，以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，见题5解析图．
设，则有
，
则．
因此，无论、在何位置均有．
（2），，若面，则得矛盾，故不存在点、，使而．
（3）．
当时，三棱锥的体积最大，这时，、分别为、的中点．连接交于，则，
由三垂线定理知：．
则是二面角的平面角．
由于，则，
即二面角的大小为．
8.6 空间直线的方向向量和平面的法向量
基础练习
1．用向量方法证明直线与平面垂直的判定定理：
已知直线垂直平面内两条相交直线、，求证：直线垂直平面．
证明：设直线、、的方向向量分别为、、，
则对平面内任意一条直线，设其方向向量为．
因为、不平行，由平面向量唯一分解定理可知存在满足：．
则，所以直线．
2．如图8-59．在长方体中，求二面角的平面角大小．
解：如图8-59，以为坐标原点建立空间直角坐标系
则，，，易知，
平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为．
则，
．
取则，
即，则此时两个法向量同时远离平面，因此二面角的平面角与法向量的夹角互补．
而，所以．
3．如图8-60所示，垂直于正方形所在平面，，是的中点．与夹角的余弦值为．（1）建立适当的空间坐标系，写出点的坐标．（2）在平面内是否存在一点，使平面？
解：（1）以，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，设．则，，，．
从而．
，得．
所以点的坐标为．
（2）由于点在平面内，故可设，由平面得：
且，即
；
．
所以点的坐标为，即点是的中点时，可使平面．
8.7 空间向量在度量问题中的应用
能力提高
1．如图8-67，已知是底面为正方形的长方体，，，点是上的动点．
（1）试判断不论点在上的任何位置，是否都有平面垂直于平面？并证明你的结论．
（2）当为的中点时，求异面直线与所成角的余弦值．
（3）求与平面所成角的正切值的最大值．
解：（1）由于平面，则都有平面垂直于平面．
（2）建立空间坐标系解题，异面直线与所成角的余弦值为．
（3）为与平面所成角．所以与平面所成角的正切值的最大值为．
2．如图8-68．正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，是等腰直角三角形，．
（1）求证：平面．
（2）设线段，的中点分别为，．求证：平面．
（3）求二面角大小的余弦值．
解：因等腰直角三角形，，所以．
又因为平面平面，所以平面．
所以即、、两两垂直；如图建立空间直角坐标系，
（1）设，则，，，，．
由于，则，从而，，，．
于是，则．
由于平面，平面，，则平面．
（2），从而
于是．
则，又平面，直线不在平面内，故平面．
（3）设平面的一个法向量为，并设，，
即．
取，则，从而．
取平面的一个法向量为，
，
3．如图8-69，在正三棱柱中，所有棱的长度都是2，是边的中点，问：在侧棱上是否存在点，使得异面直线和所成的角等于？
解：以点为原点，建立如题3解析图所示的空间右手直角坐标系．
因为所有棱长都等于2，所以，，，，．点在侧棱上，
可设，
则，于是，，．
如果异面直线和所成的角等于，
那么向量和的夹角是或，而，所以．
解得，这与矛盾．
即在侧棱上不存在点，使得异面直线和所成的角等于．
4．如图8-70，在底面是菱形的四棱锥中，，点在上，且．
（1）证明平面．
（2）求以为棱，与为面的二面角的大小．
（3）在棱上是否存在一点，使平面？证明你的结论．
解：（1）证明：因为底面是菱形．，所以，在中，由，知．同理，，所以平面．
（2）作交于，由平面．知平面．作于，连接，则，即为二面角的平面角．
又，所以，，．
从而．
（3）以为坐标原点，直线、分别为轴、轴，过点垂直平面的直线为轴．建立空间直角坐标系如题4解析图．由题设条件，相关各点的坐标分别为，，，．所以，，，．设点是棱上的点，，，则
．
令得
，
解得．
即时，．
亦即，是的中点时，、、共面．
又平面，所以当是棱的中点时，平面．
5．如图8-71，在三棱锥中，侧面、是全等的直角三角形，是公共的斜边，且，，另一个侧面是正三角形．
（1）求证：．
（2）求二面角的大小．
（3）在直线上是否存在一点．使与面成角？若存在确定的位置；若不存在，说明理由．
解：（1）作面于，连、、，则四边形是正方形，且．以为原点，以为轴，为轴建立空间直角坐标系如题5解析图，
则，．，
则，则．
（2）设平面的法向量为，
则由知：；
同理由知：．可取．
同理，可求得平面的一个法向量为．
由图可以看出，三面角的大小应等于．
则，即所求二面角的大小是．
- 29 -
（3）设是线段上一点，则，，平面的一个法向量为，，要使与面成角，由图可知与的夹角为．
所以．则，解得，则．故线段上存在点，且时，与面成角．第九章 简单几何体
9.1 棱柱、棱锥、棱台
1.设有四个命题：
①底面是矩形的平行六面体是长方体；
②棱长都相等的直四棱柱是正方体；
③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；
④对角线相等的平行六面体是直平行六面体．
其中真命题的个数是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
解：A
2．已知长方体的一条对角线与从它的一个端点出发的三条棱所成的角分别是、、，写出一个、、满足的关系式．
解：见题2解析图．设．
由于
则．
3．如图9-15，在棱锥中，与底面平行的平面截棱锥得多边形，点在底面、截面的射影分别是、，求证：
（1）．
（2）截面与底面相似．
（3）．
证明：（1）如图所示，连接和．
和分别是平面和平面与平面的交线．
由于平面∥平面，
则．
同理可证，．
则．
（2）由于，是公共角，
则，．
同理可证，．
由于截面与底的对应边成比例，
则截面与底相似．
（3）由（2）知，
．
4．以1，l，1，，，为六条棱长的四面体有多少个
解：3个．
5．四面体中，面，，点满足，其中为正数且．若直线是由到面、面和面的距离相等的点构成，求二面角的余弦值（用，，表示）．
解：在面上．
面，，则在面的垂足在上．
又．
同理．
则．
6．如图9-16，已知正三棱柱的所有棱长都相等，是的中点，在棱上，当点使得最小时，求异面直线与所成的角．
解：如图可知为中点时，满足题意．
由于则．
又由于，则，又．
则，则．
7．如图9-17，正四棱柱中，对角线与侧面所成角为，求：
（1）与底面所成角．
（2）异面直线与所成角．
（3）正四棱柱的全面积．
解：（1）在正四棱柱中，由于面，
则是与侧面所成角，即．
由于，则，
由于是正方形，则，
平面，则是与底面所成角，
在中，，，
则则，
即与底面所成角为．
（2）由于，
则是与所成角（或补角）．
由于平面，则
中，，
则，则，
即异面直线与，所成角为．
（3）中，，．
则，
则．
8．如图9-18，已知三棱锥中，、、与底面所成角相等，，为中点，点在上且截面．求：
（1）与底面所成角．
（2）到平面的距离．
解：（1）证明：由于、、与底面所成角相等，
则顶点在底面上的射影为底面的外心．
而的外心在斜边的中点处，
即平面，
而平面，
则平面底面．
由于截面，平面，
且平面平面，
则截面，而为中点，
则为的中点．
过作，
则与的交点，为的中点，连接，
由于底面，则底面．
则为与底面所成的角．
，则，
而，
则为等腰直角三角形．
在中，．
则与底面所成角的正弦值为，所以成角为
（2）等体积法，可得：．
9．作出正四面体每个面的中位线，共得12条线段，在这些线段中，相互成异面直线的“线段对”有__________个．
解：24个．
10．如图9-19，为正方体．任作平面与对角线垂直，使得与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为，周长为则（ ）．
A．为定值，不为定值 B．不为定值，为定值
C．与均为定值 D．与均不为定值
解：将正方体切去两个正三棱锥与后，得到一个以平行平面与为上、下底面的几何体，的每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形的每一条边分别与的底面上的一条边平行，将V的侧面沿棱剪开，展平在一张平面上，得到一个，而多边形的周界展开后便成为一条与平行的线段（如题10解析图中），显然，故为定值．正确选项为B．
11．如图9-20，长方体，，，，为中点，若平面与平面所成二面角的平面角为，则=__________．
解：．
12．如图9-21，已知直三棱柱的底面为直角三角形，，是上一动点．求的最小值．
解：将直三棱柱侧面展开可得：．
13．设棱台的两底面积分别为、，它的中截面的面积为，求证：．
证明：如题13解析图所示，因为棱台的中截面与两底面平行，所以多边形，相似，因此，
则．
两式相加，又因为是梯形的中位线，
则
故．
14．已知四棱锥的底面为等腰梯形，，，与相交于点，且顶点在底面上的射影恰为点，又，，．
（1）求异面直线与所成角的余弦值．
（2）求二面角的大小．
（3）设点在棱上，且，问为何值时，平面．
解：（1），取中点，连，故，连，故（或其补角）为异面直线与所成角，，，，
则．
（2）连，，可证得，，则为二面角的平面角，
，则．
（3）．
若面，则，则，
则．
9.2 简单多面体与欧拉定理
1．已知：一个简单多面体的各个顶点都有三条棱，求证：．
证明：由于每个定点都有三条棱，而每条棱有两个顶点，
则，代入欧拉公式得，即．
2．是否存在七条棱的简单多面体
解：假设存在七条棱的简单多面体，由欧拉定理可得：
（*）
因为多面体至少四个面，至少四个顶点，即，，故（，）只可能为（4，5）或（5，4），
我们考虑最简单的多面体——四面体。它只有四个顶点，而四个顶点的多面体只有四面体，此时不满足（*）式．所以不存在七条棱的简单多面体．
3．1996年的诺贝尔化学奖授予对发现，有重大贡献的三位科学家．是由60个原子组成的分子，它的结构为简单多面体的结构（见图9-28），这个多面体有60个顶点，从每个顶点都引出3条棱，各面的形状分为五边形或六边形两种，计算分子中形状为五边形和六边形的面各有多少
解：设分子中形状为五边形和六边形的面各有个和个多面体的顶点数，面数，棱数．
根据欧拉公式，得．
另一方面，棱数也可由多边形的边数来表示，即．
由以上两个方程可解出：．
9.3 旋转体的概念
1．已知等边圆锥的轴截面面积是，求等边圆锥的底面圆半径和高．
解：轴截面是等边三角形．
设圆锥底面圆半径为，高为．
由于，
则．
2．求正四面体的内切球和外接球的半径之比．
解：设为棱长，．
3．由曲线围成的图形绕轴旋转一周所得的几何体的体积为；满足,的点组成的图形绕轴旋转一周所得的几何体的体积为，求．
解：由祖咂原理可知，=．
4．三个圆柱侧面两两相切，且它们的轴也两两相互垂直，如果每个圆柱底面半径都是1，求这三个圆柱侧面都相切的最小球的半径．
解：用正方形的模型考虑问题，．
5．已知是连接南北两极的球直径，是线段三等分点，求过点且垂直的平面截球所得的截面圆面积与球的大圆面积的比值．
解：如题5解析图所示，在轴截面中，设球半径是，截面圆半径是．
由于，
则，即．
由于是线段三等分点，，
则截面圆面积与球的大圆面积的比值是．
6．四面体中，，，，求四面体的外接球半径．
解：将四面体放入长方体中考虑问题，四面体的棱是长方体的面对角线，则外接球的直径为长方体的体对角线．外接球半径为．
7．已知、两点在半径为的球面上，点位于东经，北纬，点位于东经，北纬．
（1）当时，求、两点的球面距离．
（2）当，时，求、两点的球面距离．
解：（1）．
（2）．
8．如图9-40，在三棱锥的棱，，上分别有点，，，且．求证：在同一球面上．
证明：过显然不共面的四点和可作一个球面，
设它交棱和分别于（如图）．
在平面截球面的截面圆上；
在平面截球面的截面圆上．由割线定理得
．
于是由已知条件得
．
即点与重合，点与重合，故点在同一球面上．
9.4 几何体的直观图和三视图
1．已知长方体长、宽、高分别是5、4、3．画出此长方体的三视图．
解：
2．已知正六棱台的上、下底面边长分别是2、4，高是3．画出此正六棱台的三视图．
解：
3．已知立体的主视图和俯视图如图9-59所示，其中正方形的边长是4，画出4个不同的左视图，并画出相应的轴侧图．
解：
9.5 几何体的表面积
1．已知长方体的表面积为，所有棱长的和为．求此长方体的对角线长．
解：
此长方体的对角线长．
2．设直平行六面体的底面是菱形，经下底面的一边及与它相对的上底面的一边的截面与底面成的二面角，面积为，求直平行六面体的全面积．
解：设平行六面体为，见题2解析图．
过作为垂足，连接．
由于平面，
则，，
则．
又在菱形中，有，
则截面的面积为：．
侧面的面积为：．
底面的面积为：．
所以．
3．已知平行于圆柱轴的截面是正方形，面积为，它与轴的距离是底面圆半径的一半，求圆柱的全面积．
解：设圆柱底面圆半径是，是在上的射影（见题3解析图）．
由于是正方形，则．
由于在中，，
则．
则．
4．已知正六棱锥的底面积是，对角面的面积是6，求正六棱锥的侧面积．
解：设正六棱锥的高为，斜高为，侧棱长为，底面正六边形的边长为 （见题4解析图）．
由于则．
由于，则．
由于
则．
则．
5．正三棱锥底面边长和高都是4，它的一个内接三棱柱的三个侧面都是正方形．求内接三棱柱的全面积．
解：设三棱柱的棱长为（见题5解析图），由于三棱柱的上底面，
则有，即，
则．
6．已知正四棱台的上、下底面正方形的边长分别是、，正四棱台的上、下底面面积之和等于侧面积，求正四棱台的高．
解：设正四棱台的高为，斜高为（见题6解析图），
．
由于，则．
则
=．
7．从球外一点观察球，测得到球面的最近点、最远点的距离分别是l和3．求所观察到的球冠面积与球面积的比值．
解：设球半径为，过作截面得球的大圆（见题7解析图）．
由于与大圆相切，则．
解得．
由于，则．
由于，则．
由于，则．
8．两个半径分别为和的球，相互外切，且内切于一个圆锥．这两个球和此圆锥相切的点组成两个圆，求以这两个圆为底面的圆台的面积．
解：做轴截面如题8解析图，设圆台上、下底面的半径分别为、，．
圆锥轴截面三角形的半顶角．
过作于，
由于为矩形，即，，
于是．
那么，在直角三角形中，有
．
则．
又．
则．
9．如图9-74所示，在三棱锥中，底面为直角三角形，两直角边，三棱锥侧面与底面所成二面角都为．求此三棱锥的侧面积．
解：由于底面三角形三边为3、4、5，则底面是以3、4为直角边，斜边为5的直角三角形．可得底面积．
由于三棱锥各侧面与底面所成的二面角均为，
则根据平面与平面所成角的性质，可得，
由此可得此三棱锥的侧面积侧面为12．
10．求证：，其中是球冠底的半径，是球冠的高．
证明：如题10解析图：，设，由球的截面性质知圆，
则，
则．
即有，
则．
11．设飞机离地高度为，求在飞机上能看到的地球的表面积（记地球半径为）．
解：设飞机位于点，如题11解析图，过点作地球的大圆．
，分别切圆于，．
球冠即为飞机所能看到的地球部分．
易知三角形与相似．
则．
则．
又，
则．
则．
则．
12．在球面上有四个点，如果两两互相垂直，且．求这个球的表面积．
解：设过三点的球的截面半径为．
球心到该圆面的距离为，则．
由题意知四点不共面，
因而是以这四个点为顶点的三棱锥（如题12解析图所示）．
的外接圆是球的截面圆．
由互相垂直知，在面上的射影是的垂心，又，
所以也是的外心，所以为等边三角形，
且边长为，是其中心，从而也是截面圆的圆心．
据球的截面的性质，有垂直于所在平面，
因此、、共线，三棱锥是高为的球内接正三棱锥，从而．
由已知得，，所以，可求得，则．
9.6 几何体的体积
1．表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为__________．
解：设正八面体的边长为，则表面积为，球的半径为，则球的体积为．
2．四面体的体积为，且满足，求长．
解：由于
即．又，
等号当且仅当时成立，这时，面，则．
3．长方体中，，，求异面直线与间的距离．
解：利用空间坐标系的方法求解，异面直线与间的距离为．
4．在四面体中，设，直线与的距离为2，夹角为，则四面体的体积等于（ ）．
A． B． C． D．
解：B
5．如图9-86（a），将长，宽的矩形沿长的三等分线处折叠成一个三棱柱，如图9-86（b）所示：
（1）求平面与底面所成二面角的正切值．
（2）求三棱锥的体积．
解：（1）依题意知，三棱柱是正三棱柱，且侧棱，底面边长为，，．
延长交延长线于点，连．
在中，，，，于是．
过作于，连．
则为平面与平面所成的锐二面角．
，于是．
即平面与面所成锐二面角的正切值为．
（2）连，的面积为要，
点到平面的距离为，
则．
6．如图9-87，四棱锥，侧面是边长为2的正三角形且与底面垂直，底面是面积为的菱形，为菱形的锐角．
（1）求证：．
（2）求二面角的大小．
（3）求棱锥的侧面积与体积．
证明：（1）取中点，连、，
由于是等边三角形，则，
由于面底面，则底面，
由于等边的边长为2，则。
则菱形的边长为2，又菱形的面积是2，
则，则，又是锐角，
则，则是等边三角形，
则，在平面上射影为，则．
（2）由于，由（1），
则，．
则是二面角的平面角，
在中，
则，即二面角的大小为．
（3）由（2）在中，可得，
在中，，，则，，
在中，，，可得，
在中，，，可得，
又正边长为2，则，
则，
由于，则．
7．斜三棱柱的底面是直角三角形，，，在底面上的射影恰好是的中点，侧棱与底面成角，侧面与侧面所成角为，求斜棱柱的侧面积与体积．
解：由于在底面上，射影为中点，如题7解析图．
则平面．
则为侧棱与底面所成角，即，
由于，即，又，
则平面，过作于，连接，则．
则是侧面与侧面所成二面角的平面角，
则．
在直角中，由于，，则，
在直角中，由于，，
则，
在直角中，，，
则．
则侧面积为
．
体积为．
8．已知棱长为3的正四面体，是棱，上的点，且．求四面体的内切球半径和外接球半径．
解：设四面体内切球半径为，球心，外接球半径，球心，连接，，，，见题8解析图（a），则．
四面体各面的面积为
，
．
各边边长分别为，
则．
由于，
，
则，则．
如题8解析图，是直角三角形，斜边的中点．
设中心为，连接，过作平面的垂线，
必在此垂线上，连接，．
由于平面，平面，
则，．
在直角梯形中，，
，
又由于，则，
解得：．
综上，四面体的内切球半径为，外接球半径为．
9．一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内注入水，并放入一个半径为的铁球，这时水面恰好和球面相切．则将球从圆锥内取出后，圆锥内水平面的高是多少
解：如题9解析图，作轴截面，设球未取出时，水面高，球取出后，水面高．
由于，，则以为底面直径的圆锥容积为
，
．
球取出后，水面下降到，水的体积为
．
解得．
故圆锥内水平面高为．
10．正三棱锥的高为1，底面边长为2，正三棱锥内有一个球与其四个面相切．求球的表面积与体积．
解：如题10解析图，球是正三棱锥的内切球，
到正三棱锥四个面的距离都是球的半径．
是正三棱锥的高，即．是边中点，
在上，的边长为，则．
则．
可以得到．
．
由等体积法，
则．
得，
则．
则．
11．斜三棱柱的底面是直角三角形，，侧棱与底面成角，点在底面的射影为的中点，．
（1）求证．
（2）若为的二面角，求四棱锥的体积．
解：如题11解析图所示，
（1）由于平面，底面，
则．
由于，则平面，则．
由于在底面上的射影为的中点，
侧棱与底面成角，则四边形是菱形，
由于，则平面，则，
（2）过作，连接．
由于平面，则是在平面上的射影，
由于，则是二面角的平面角，则．
在中，，在中，
由可得．
则，
则
．
则．
12．如图9-88，在边长为的正三角形的三个角处各剪去一个四边形．这个四边形是由两个全等的直角三角形组成的，并且这三个四边形也全等，如图9-88（）．若用剩下的部分折成一个无盖的正三棱柱形容器，如图9-88（）．则当容器的高为多少时，可使这个容器的容积最大，并求出容积的最大值．
解：设容器的高为．则容器底面正三角形的边长为，
则
．
当且仅当，即时，．
故当容器的高为时，容器的容积最大，其最大容积为．
13．如图9-89，在三棱锥中，底面，，分别是和的中点，为上一点，且．
（1）求证：平面．
（2）求截面分棱锥所成两部分的体积之比．
证明：（1）由于平面，且平面，
则平面平面，且相交于．
在中，由于，是边上的中线，
则．则平面．
由于平面，则．
利用两个平面垂直的性质定理可以证明平面．
在和中，设，则，，．
由于，
由于，则．
由于，则，则．
由于，利用相似三角形的性质，得到，则．
由于，则平面．
（2）解：由于，
由于
则．
则．
则．
则截面分棱锥为两部分，三棱锥与四棱锥的体积之比为．
14．三个12×12的正方形都被连接两条邻边的中点的直线分成两片，如图9-90，把这六片粘在一个正六边形的外面，然后折成多面体，则这个多面体的体积为__________．
解：几何体正好是正方体体积的一半，864．
15．如图9-91，设是一个高为3，底面边长为2的正四棱锥，是棱的中点，过作平面与线段，分别交于，（，可以是线段的端点）．试求四棱锥的体积的最大值与最小值．
解：为了建立与原四棱锥的关系．我们先引用下面的事实：
设分别在三棱锥的侧棱，，上，又与的体积分别是和，则
．
事实上，设在平面的射影分别是，．
则，
又，所以．
下面回到原题．
设，因的体积为．
于是由上面的事实有
．
得
，于是，
而由得．
则，．
又得．
所以
（1）当时，为减函数，
（2）当时，，为增函数．
所以得，又，得．
9.7 立体几何综合应用
1．在一个棱长为的密封正方体盒子中，放一个半径为的小球．无论怎样摇动盒子，小球在盒子中不能达到的空间体积是多少
解：在正方体盒子中，不能达到的8个角的空间，即为题1解析图（）中内切于边长为的正方体的小球不能到达的空间，其体积为
．
小球沿每条棱运动不能到达的空间（除去两端的两个角）的体积，即是高为4，底面边长为2的正四棱柱的体积减去其内接圆柱的体积的．如题1解析图（），体积为
．
正方体有12条棱，所以在盒子中，小球不能到达的空间体积为
．
2．如图9-95，三棱锥被任意平面所截，截面分别交于．
求证：．
证明：设，到平面的距离分别为，，则．
又在平面中显然有，而是平面的斜线，故，从而
，即结论成立．
3．如图9-96，已知四面体中，棱，，四面体的棱被平行于、的一个平面截成距离之比为的两部分，求这两部分的体积比．
解：因为截面，所以，故而平面．
设过且与平面平行的平面交于，则多面体被分成锥体与三棱柱．
记．依题意知．
从而．
由题2知，
三棱锥与三棱柱共底且，
，共线，则．
又由锥体内平行关系知，故，
所以，
而，
因此．
4．已知棱柱的底面是等腰三角形，，上底面的顶点在下底面的射影是的外接圆圆心，设，棱柱的侧面积为．
（1）证明：侧面和都是菱形，是矩形．
（2）求棱柱的侧面所成的三个两面角的大小．
（3）求棱柱的体积．
解：（1）略．
（2）都为．
（3）．
5．若干个棱长为2，3，5的长方体，依相同方向拼成棱长为90的正方体，则正方体的一条对角线贯穿的小长方体的个数是多少
解：66．
6．空间是否存在一个正方体，它的8个顶点到一个平面的距离恰好为0，1，2，3，4，5，6，7．若存在，求出正方体的棱长；若不存在，说明理由．
解：如题6解析图，设平面为符合题意的平面，过点，延长，，分别交平面于点，由图可知，点与平面的距离分别应为0，1，2，3，4，5，6，7．
因为互相平行，所以它们与平面所成的角相等，故由比例关系得．
设正方体的棱长为，则，，，用几何方法可解得，故．
由面，知位四面体的底面上的高，所以由，算得点到平面距离
．
实际上已知，所以，从而．
所以，正方体棱长为．由图知，该正方体存在．- 1 -
7．如图9-97，四棱锥的底面是平行四边形，过棱的中点和点作一平面，分别交棱和于点和，试证：，其中是四棱锥的体积，是四棱锥的体积．
解：如图9-97，设，由四点共面，得
．
将上式各项同除以，得，
故，
即，故．
因为，所以，即，
同理，这表明，均在上变化．此时，
．
（1）要证明，只需证明显然成立．
（2）要证明，只需证明，这在时也显然成立．
综上所述，成立．微信公众号:上海试卷
第十章 矩阵与行列式初步
10.1 矩阵的定义及其运算
1．设矩阵求（1），（2），（3），（4）．
解：（1），（2），（3），（4）．
2．设矩阵，求和．
解：．
3．求下列矩阵的乘积：
（1）．（2）．（3）．
解：（1）．（2）．（3）．
4．设矩阵．
求（1）．（2）．
解：（1）．（2）．
5．在一次校运会中，高二年级的三个夺冠热门班级获得前六名的项目数如表1所示，而每一种名次可获得如表2所示相应的积分．
表1
名次 第一名 第二名 第三名 第四名 第五名 第六名
班 5 2 3 4 5 3
班 1 8 7 2 1 2
班 6 1 2 4 3 6
表2
名次 第一名 第二名 第三名 第四名 第五名 第六名
积分 10 6 4 3 2 1
如果现在要求按前6名的得分统计各个班的团体总分，进而决定各班在年级中的名次，那么，哪个班级最终获胜了呢？（要求用矩阵运算）
解：；
；
；
所以班最终获胜了．
6．设矩阵，，求；并说出矩阵对矩阵产生了怎样的变换？
解：，产生了一个镜像变换，类似于直角坐标系中关于轴对称．
10.2 矩阵变换求解线性方程组
1．写出方程的系数矩阵和增广矩阵．
解：系数矩阵，增广矩阵．
2．对下列方阵施以初等变换，使之成为单位方阵：
（1），（2）
解：（1）
（2）
3．把矩形化为行最简形矩阵．
解：．
4．用矩形的初等变换解下列线性方程组：
（1）． （2）．
（3）． （4）．
解：（1）．（2）无解．（3）．（4）．
5．线性方程组的增广矩阵是__________．
解：．
6．设是一个的矩阵．若，求：
（1），．
（2）猜测，并用数学归纳法证明．
解：（1）．（2）．
10.3 二阶行列式与二元线性方程组
1．计算下列二阶行列式的值：
（1）．（2）．
解：（1）．
（2）．
2．用二阶行列式求解方程组．
解：；
，所以方程组的解为．
3．设，若方程组除外，还有其他解，求的值．
解：或．
4．已知方程组恰有一解，求的最小值，并求此时的范围．
解：，
．
．
．
的最小值为，此时的范围是．
10.4 三阶行列式
1．用对角线法计算下列行列式：
（1）．（2）．
解：（1）182．（2）．
2．利用行列式解下列方程组：
（1）．（2）．（3）．
解：（1）．（2）．（3）．
3．利用行列式性质，化简并计算下列行列式：
（1）．（2）．（3）
解：（1）．
（2）．
（3）．
4．展开行列式，证明下列行列式的值为零：
（1）．（2）．
解：（1）．
（2）．
5．用行列式性质证明：
（1）
（2）．
证明：（1）
．
（2）．
6．，且，则__________．
解：．
7．设行列式，则（ ）．
A． B． C． D．
解：，选Ａ．
8．如行列式，则（ ）．
A． B． C． D．
解：，选B．
9．一位同学对三元一次方程组（其中不全为零）的解的情况进行研究后得到下列结论：
结论1：当，且时，方程组有无穷个解；
结论2：当，且都不为零时，方程组有无穷个解；
结论3：当，且时，方程组无解．
但是上述结论均不正确．下面给出的方程组可以作为结论1、2和3的反例依次为（ ）．
（1）；（2）；（3）．
A．（1）（2）（3） B．（1）（3）（2）
C．（2）（1）（3） D．（3）（2）（1）
解：带入逐一检验即可，选B．
10．在中，、、所对的边分别为、、，已知，且，求的面积．
解：，
，
，
．
10.5 三阶行列的展开与三元齐次线性方程组
1．利用代数余子式展开下列三阶行列式并求值，并用对角线法验算：
（1）．（2）．
解：（1）．
（2）．
2．利用行列式按行或按列展开式计算三阶行列式：．
解：．
3．计算下列行列式：
（1）．（2）．（3）．
解：（1）．
（2）．
（3）．
4．解下列齐次线性方程组：
（1）．（2）．（3）．
解：（1）．（2）．（3）．
5．已知的代数余子式，则代数余子式__________．
解：．
6．大于零的充要条件为__________．
解：．
7．问取何值时，齐次线性方程组有非零解？
解：或．
9．个正数排成一个行列的矩阵，其中表示该数阵中位于第行第列的数，已知该数阵每一行的数成等差数列，每一列的数成公比为2的等比数列，且．
（1）求和．
（2）计算行列式和．
（3）设，证明：当是3的倍数时，能被21整除．
解：（1）．
（2）．
；
（3）．
两式相减，得．
当时，．
①时，显然能被21整除；- 1 -
②假设时，能被21整除，结论也成立．
由①、②可知，当是3的倍数时，能被21整除．第十一章 复数
11.1 复数的概念
1．取何实数时，复数．
（1）是实数．（2）是虚数．（3）是纯虚数．
解：（1）．故时，是实数．
（2）且．故当且时，是虚数．
（3）或．故当或时，是纯虚数．
2．设是纯虚数，且，求．
解：设，则．故．
3．已知复数，若，求实数的值．
解：，将其代入．
4．满足的有序实数对有__________组．
解：．共4组．
5．若复数是纯虚数，则求实数的值．
解：．
6．已知，则“”是“复数是纯虚数”的什么条件？
解：取，则复数为实数，而非纯虚数，又若复数是纯虚数，则必有，故其为必要不充分条件．
7．已知，则命题“是纯虚数”是命题“”的__________条件．
解：当是纯虚数，则，又取，则但非纯虚数，所以其为充分非必要条件．
8．使“复数为实数”的充分而不必要条件的是（ ）．
A．为实数 B．为实数 C． D．
解：对为纯虚数的，有、成立，又为实数，故A、B、C选项错误．
又，当时，不成立，所以为复数为实数的充分而不必要条件．
9．已知关于的方程有实根，求这个实根以及实数的值．
解：，得实根为或，值为或．
10．已知复数当，求的取值范围．
解：．解得的取值范围是．
11．若，试求．
解：由于，故，故．
12．已知复数，若，求证：．
证：，
．
13．设，若对所有，都有，求的取值范围．
解：若存在，使得，则，所以要使对所有，都有，则．
14．已知方程，有实根，求实根的取值范围．
解：设为方程的一个实根，则，又有，则．
11.2 复数的代数运算
1．计算：．
解：利用的周期为4来解题．
．
2．（1）计算．（2）计算．
解：（1）．
（2）
．
3．已知两个复数和，它们之和是，它们之差是，求、．
解：，解得：．
4．若复数满足，求证：．
证：设，
．
5．若，则的值为__________．
解：，
然后降次可得：．
6．若，求的值．
解：．
．
7．求同时满足下列两个条件的复数：
（1）．（2）的实部、虚部都是整数．
解：设，则，则或，或．
8．设，求满足且的复数．
解：设，则．
，或．
9．已知复数（、），集合．
（1）若，求的最小值．
（2）若，求的最小值的表达式．
解：，得到．
（1），，
的最小值为．
（2）设，
，
得到
10．已知、为复数，为纯虚数，，且，求．
解：设，则
得出．
则，则．
11．求所有整数，使成立．
解：分类讨论，分别代入检验可得：．
12．已知分别为1的立方根，求的值．（）
解：无妨设．对分类讨论即可．被3整除时，原式为3；反之，为0．
13．已知复数满足，其中为虚数单位，，若，求的取值范围．
解：，
．
11.3 复数的模和共轭复数的运算性质
1．已知复数满足，且为实数，求复数．
解：设，则．
．
则或，
得出：．
2．已知，问为何值时，与为共轭复数．
解：或．
3．已知复数满足，求．
解：．
设，则，解得：．
4．已知复数满足，求的最值．
解：由复数几何意义可知，为复数在坐标系中所表示的点与点的距离，因此，最小为0，最大为4．
5．求复数的模．
解：．
6．设复数满足，求的最大值与最小值，并求出相应的复数的值．
解：设，
．
当，即时，；，即时，．
7．（1）已知，求的值．
（2）若复数的模均为，求的值．
解：（1）．
（2）．
8．已知复数，且，求的取值范围．
解：，
，
．
9．已知复数，求的最大值和最小值．
解：．
10．设复数满足．
（1）若满足，求．
（2）若，是否存在常数，使得等式恒成立，若存在，试求出；若不存在说明理由．
解：（1）由，两边同时取共轭复数可得：．
代入已知方程得：．
即．令，即可得到．
即．解得或．
则，或．
（2）由已知得．又由于，则．
则，则．
整理得：．即．
则，即．
则存在常数，使得等式恒成立．
11.4 复数与复数的加法、减法和几何意义
1．是否存在实数，使得复数在复平面上对应的点在虚轴上，若存在，求出所有的实数，若不存在，请说明理由．
解：，这样的不存在．
2．（1）若且，求的最小值．
（2）若且，求的最大值．
解：利用复数和几何意义解题，看成点与点之间的距离问题，（1）3；（2）7．
3．已知复数满足的虚部为2．
（1）求；（2）设在复平面上的对应点分别为，求的面积．
解：（1）或．（2）．
4．已知复数满足，且，求与的值．
解：，
所以复数构成一个矩形．．
5．已知，且，求复数．
解：，
，得出：．
经检验，满足题意．
6．已知为复数，和均为实数，其中是虚数单位．
（1）求复数．
（2）若复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数的取值范围．
解：（1）．（2）．
7．若，求的最大值和最小值．
解：由几何意义可得：表示以（）为圆心的单位圆，则．
8．设复数满足，求的最大值及此时的复数．
解：由几何意义可得：表示以原点为圆心半径为2的圆，表示圆上的点与（0，1）的距离，显然则当时，取最大值3．
9．已知是实数，求复数在复平面上所对应的点集的图形．
解：设，
则．
则或．
设，．
则或，得出：或或（不同时为0）．
10．设复数在复平面上所对应的点是，画出满足下列条件的点的集合所表示的区域：
（1）．（2）．（3）．
解：（1）由于，
则点位于虚轴（轴）的右侧，点的集合表示由虚轴右侧所有点构成的半平面，见下图．
（2）则．
则点的集合表示由直线围成的矩形，如下图，包括边界，但不包括边界，以及矩形内的实轴部分．
（3）由于，则点在该以原点为圆心2为半径的圆上以及该圆内部．而，即，它表示一条直线，过点．
则点的集合表示过点的直线被圆面所截得的线段（包括端点）．
11．已知两个复数集：及的交集为非空集合，求的取值范围．
解：．
12．复数且对应的点在第一象限，若复数对应的点是正三角形的三个顶点，求实数的值．
解：．
复数对应的点是三角形的三个顶点，得．
联立，求得．
13．已知复数在的条件下变动，而，则复数对应点的形成的区域图形的面积是__________．
解：对应的形成的区域图形是一个以点为圆心，4为半径的圆面，其面积为．
14．关于的二次方程中，、、均是复数，且．设这个方程的两个根为，求的最大值和最小值．
解：由韦达定理可知：．
．
设，带入可得：．
的几何意义为圆上的点到原点的距离问题．
因此，的最大值是的最小值是．
15．设复数满足，且在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上，，求和的值．
解：设，则
联立．
当时，有，即，得．
当时，同理可得．
16．设为实数，且存在复数满足和，求的取值范围．
解：．
17．设是复数，则的最小值等于__________．
解：提示：在复平面上，设，则当为的费马点时，取最小值．
18．在复平面上有两个动点和，它们分别对应于复数与，且满足，当沿曲线运动时，求的最值．
解：当沿曲线运动时，的轨迹方程为．
设的坐标为，即，则．
，则的最小值是1，最大值是3．
19．已知为直线上的动点，以为边作正（按顺时针方向排列），则点的轨迹方程为__________．
解：设的直角坐标为（），对应复平面的复数为．
则．
对应的的直角坐标为，带入到方程中，可得．
11.5 复数的三角形式与运算
1．下列复数是不是复数的三角形式？
①．②．③．④．
解：由复数的三角形式定义可知，④是．
2．（1）计算：．
（2）已知、、是的三个内角，三个复数，，试求的值．
解：（1）原式．
（2）转化为三角形式
．
同理：．
．
则．
．
原式．
3．若复数和在复平面上的对应点的距离为1，求复数的模与辐角主值．
解：．
，
．
4．已知复数满足，，求．
解：设，
．
或（舍），
．
5．有一个人在草原上散步，开始时从点出发，向东行走，每走1千米后，便向左转角度，他走过千米后，首次回到原出发点，则__________．
解：方法一：由正十二边形可知：
方法二：由几何意义可知，记，
则．
．
6．设复平面上单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数依次为，则复数所对应的不同点的个数是__________．
解：可设：，
，
…
，
，
，
，
…
，
由此可知，
所以表示四个不同的点．
7．已知，（1）设，求的三角形式．（2）如果，求实数的值．
解：（1）．
（2）．
8．在复平面上，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为（为原点），已知对应复数，求点和点所对应的复数．
解：
．
．
9．方程的7个根在复平面上对应的7个点，这些点在四个象限中只有1个点的象限是__________．
解：．
由复数的平方，得7个复数方根为，
其中容易得只有是第三象限的角．
10．若复数满足，且，则的值为__________．
解：设，
则．
．
由万能置换公式可知：，
得到：．
11．设复数，复数满足，已知的对应点在虚轴的负半轴上，且，求的代数形式．
解：设，
．
则，则．
12．已知，，若在复平面上分别对应点，且，求的立方根．
解：．
设．
则
．
，
，
．
的立方根为．
13．已知是实数，是非零复数，且满足．
（1）求的值．（2）设，若，求的值．
解：（1）设．
，
则．
（2），
．
14．已知，求复数．
解：．
15．已知复数满足，且，则求的值．
解：．
16．设为的三内角，复数，求的最大值．
解：．
．
的最大值为．
17．求证：．
解：构造法解题．
设1是的次单位根为：，
则都是其根．
由
．
则．
取，则．
．
．
18．设复数的模相等，且，求实数的值．
解：．
19．若，求证：．
证明：由已知解得，则
由于，则，则．
20．设复数，求函数的最大值以及对应的值．
解：．
．
当时，取最大值．
21．已知复数，（1）求及．（2）当复数满足，求的最大值．
解：（1）．
；
（2）由几何意义可知：的最大值为．
11.6 复数乘除法的几何意义
1．复平面内，已知等边三角形的两个顶点所表示的复数分别为，求第三个顶点所表示的复数．
解：设第三个顶点所表示的复数为，
则或，
解得第三个顶点所表示的复数为或．
2．已知向量所表示的复数满足，将绕原点按顺时针方向旋转得，设所表示的复数为，求复数的辐角主值．
解：，
，
．
3．设，其中，是虚数单位，，且，求的辐角主值的取值范围．
解：，
，
．
4．已知复数在复平面上分别对应点为复平面的原点．
（1）若，向量逆时针旋转，模变为原来的2倍后与向量重合，求．
（2）若，试判断四边形的形状．
解：（1）．
（2），显然为菱形．
5．已知复数、分别对应复平面上的点，且满足条件：．
（1）当为何值时，的面积取得最大值？并求出这个最大值．
（2）当面积取得最大值时，求动点的轨迹．
解：（1）．
，则．
．
当时，的面积取得最大值为．
（2），轨迹是以原点为圆心，为半径的圆．
6．设对应复平面上的点，点为原点，，则面积是__________．
解：，
，
则，则面积是1．
7．复平面上，非零复数对应的点在以（0，1）为圆心，1为半径的圆上，的实部为零，的辐角主值为，则__________．
解：．
．
，
．
8．复数列的通项公式为．
（1）将数列的各项与复平面上的点对应，问从第几项开始，以后所有各项对应的点都落在圆内部．
（2）将数列中的实数项按原来的顺序排成一个新数列，求数列的通项以及所有项的和．
解：（1）设数列在复平面上对应点的坐标为，则
，
要使得点落在圆的内部，则
，
则；则．
即从第六项起，以后所有各项对应的点都落在圆的内部．
（2）要使数列中的项为实数，则
，则．
则数列的通项为：．
则．
则数列为首项为1，公比为的无穷递缩等比数列．
则数列的所有项的和为：．
11.7 复数集内的方程
1．在复数范围内分解因式．
解：，
．
2．已知方程有两个根是1，，求方程的其他根．
解：实系数方程的虚根成对出现，则也是根．
．
利用待定系数法或长除法得：．
方程的其他的根为．
3．求实数的值，使方程至少有一个实根．
解：设实根为，则．
则．
4．设，若二次方程有两个虚根，求需满足的充要的条件．
解：若方程有实根，则方程组有实数解，由方程组得：．
若，则无实根，矛盾．
则，此时．
方程有两个虚根的充要条件为．
5．在复数范围内解方程（为虚数单位）．
解：原方程的解是．
6．已知复数满足（为虚数单位），，求一个以为根的实系数一元二次方程．
解：，则，则方程另外一个根为．
所求的一个一元二次方程可以是．
7．已知关于的方程的一个根为，
（1）求方程的另一个根及实数的值．
（2）是否存在实数，使对时，不等式对恒成立？若存在，试求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．
解：（1）另一根为．
（2）设存在实数，对时，不等式对恒成立，
由于的最小值为1，则不等式对恒成立．
即：对，设，
则．
存在满足条件．
8．设复数，其中为虚数单位，为实数，．若是方程的一个根，且在复平面内所对应的点在第一象限，求与的值．
解：，得到：，
则．
9．已知是关于的方程的两个根，求的值．
解：分实根与虚根讨论，．
10．已知关于的实系数方程的两根分别为，且，求的值．
解：分实根与虚根讨论，
或．
解得：．
11．设复数列满足，且．若对任意都有，求的值．
解：由，
恒成立，即．因为或0，故，
所以．
12．已知、为方程的根，求：
（1）．（2）．（3）．
解：由韦达定理可知：．
（1）．
（2）．
（3）．
13．已知关于的二次方程．
（1）如果此方程有一个实根，求锐角和这个实根．
（2）试证无论取任何实数，此方程不可能有纯虚数根．
解：（1）设方程有一个实根为，则，
．
（2）设方程有一个纯虚数根为，则，
则
因为无实数解，则无论取任何实数，此方程不可能有纯虚数根．
14．设虚数满足．
（1）若是一个实系数一元二次方程的两个根，求．
（2）若（为虚数单位），，复数，求的取值范围．
解：（1），则，
，得出，
或．
（2），
，
．
15．对任意一个非零复数，定义集合．
（1）设是方程的一个根，试用列举法表示集合．
（2）设复数，求证：．
解：（1）．（2）略．
16．定义数列：是方程的两根，且当时，有，求证：对一切自然数，有
．
证明：由方程，解得或．
不妨设，由递推关系得
，
即．
若存在某个，使，则可由上式经过有限次倒退，得，这与矛盾，所以，对一切自然数，．
则．
由此可得．
因为，则，即数列是以3为周期得纯周期数列，注意到，恰好是一个周期长．而．故对一切自然数，有
．
而．
所以对一切自然数，有．
11.8 复数的综合应用
1．实数取什么值时，复数，
（1）是实数，（2）是纯虚数，（3）对应的点位于第二象限．（4）对应的点在直线上．
解：（1）．
（2）．
（3）．
（4），得出：或．
2．分解成一次式的乘积为____________________．
解：．
3．，则的最大值为__________．
解：的轨迹为（）为圆心，半径为2的圆面，则最大值为7．
4．复数的值是__________．
解：．
5．已知复数，其中实数满足方程，则__________．
解：
．
6．已知，且，则在复平面内对应的点的轨迹是__________．
解：利用椭圆第一定义可知，点的轨迹是椭圆．
7．复数，且成等比数列，则__________．
解：．
8．复数满足，那么的取值范围是__________．
解：利用椭圆第一定义可知，表示以（），（）为焦点，长轴长为的椭圆．
椭圆的方程为，则．
9．已知函数，那么__________．
解：可证．
．
10．复数满足，则的最小值是__________．
解：复数的轨迹是，则由几何意义可知：的最小值为1．
11．设为复平面的原点，、为单位圆上两点，所对应的复数分别为的辐角主值分别为，若的重心对应的复数为，求．
解：
．
12．设非零复数满足
其中为实数且，求证：复数在复平面上所对应的点位于同一圆周上．
证明：设，则由下式得．
则，故，或．
（1）若，则得
．
则由已知，有，且．
令．
则．
．
则．再令．
则或．
若，则为实数．此时或．此时，或．
此时，由，知．此时，．
若，仍有，故此五点在同一圆周上．
（2）若．则，则．此时，即此五点在同一圆上．
综上可知，复数在得平面上所对应的点位于同一圆周上．
13．若，且．求的最大值和最小值，并求取得最大值、最小值的复数．
解：设，
．
．
则．或．- 1 -
14．给定实数，已知复数满足求的值．
解：可设，则，．
由题设，有，
则
．
故或或，
因而，或或．
如果，代入原式即．
故．
这时，．
类似地，如果，则；
如果，则．
所以，的值为或或．第十二章 数列、数学归纳法与数列的极限
12．1 数列
基础练习
1．写出下面数列的一个通项公式：
（1）90，70，40，0，50…．
（2），，，，…．
（3），2，，8，…．
（4）7，77，777，7777，77777…．
（5）1，0，，0，…．
解：直接带入检验即可．（1）．（2）．（3）．（4）．（5）．
2．已知数列的通项公式，则的最大项是第几项，值是多少？
解：，最大项是．
3．已知数列，，，，…，则是这个数列的第几项？
解：，数列第7项．
4．数列中，，对所有的，都有…．
（1）求．（2）是此数列中的项吗？
解：（1）．
（2）．
5．已知数列的通项公式是，为使时，恒有成立，则正整数的最小值是多少？
解：，故所求的最小的是99．
12．2 递推数列与递推方法
基础练习
1．求下列递推数列的通项公式：
（1），．
（2），．
（3），，．
（4），．
（5），．
（6），，．
解：（1），令，，．
（2）．
（3）由特征根法可知：，，
则．
因为，，解得：，，
则．
（4）令，则，故．
（5），则．
（6）．
2．已知数列各项都是正数，且满足：，，，求数列的通项公式．
解：，两边取对数，可得：．
3．已知数列中，，，求的通项公式．
解：取倒数法．
4．已知数列满足性质：对于，，且，求的通项公式．
解：不动点法，，．
，．
两式相除，可得：，得，．
5．若则称为的不动点，函数．
（1）求的不动点．（2）数列满足，，求数列的通项公式．
解：（1），．（2），．
两式相除，可得．
6．已知数列中，，，，求数列的通项公式．
解：．
7．已知数列，满足，且，求．
解：．
能力提高
8．在轴的正方向上，从左向右依次取点列，，2，…，以及在第一象限内的抛物线上从左向右依次取点列，，使都是等边三角形，其中是坐标原点，求第2011个等边三角形的边长．
解：易得，．令，，
则．
则边长．则第2011个等边三角形的边长为2011．
9．已知数列满足，，，其中是给定的实数，是正整数，试求的值，使得的值最小．
解：令，
由题设，有，且．
于是，即．
则
又，，则．
则当的值最小时，应有，，且．
即，．
由（1）式，得，
由于，且，解得，
则当时，的值最小．
10．将位性别相同的客人，按如下方法入住，，…，共个房间．首先，安排1位客人和余下的客人的入住房间；然后，从余下的客人中安排2位和再次余下的客人的人住房间；依此类推，第几号房间就安排几位客人和余下的客人的入住；这样，最后一间房间，正好安排最后余下的位客人．试求客人的数目和客房的数目，以及每间客房入住客人的数目．
解：设安排完第号客房后还剩下位客人，则，．
因为第号客房入住的客人数为，所以，
即，变形得．
这表明数列是等比数列，公比，
其中，．
代人通项公式得，即．
由于为正整数，并且与叫互质，故，但
解得，从而．由此可知，客房入住位客人；
客房入住位客人；客房入住位客人；
客房入住位客人；客房入住位客人；
最后一间客房入住了剩下的6位客人．
综上可知，共有客人36人，客房6间，每问客房均人住6位客人．
11．已知数列中，；数列中，．当时，，，求，．
解：因，
所以，
即 （1）
又因为，
所以．
即 （2）
由①②得：，．
12．数列定义如下：，且当时，
已知，求正整数．
解：由题设易知，，，，…．又由，当为偶数时，；
当是奇数时，．
由，所以为偶数，于是，所以，是奇数．
于是依次可得：
，是偶数，
，是奇数，
，是偶数，
，是奇数，
，是偶数，
，是偶数，
，是奇数，
，是偶数，
，是奇数，
，是偶数，
，
所以，，解得，．
13．数列，定义如下：，，且
，，，，…
证明：对一切正整数，是完全平方数．
证明：由题设得：，．
两式相减得：，又，消去得
，所以．两式相减得
，记，由，，可得，，故，，，且
． ①
下证明是正整数数列．
①式为，
所以，
由于，
故．
而是严格递增数列，故也是严格递增数列，从而，
故，即，，，
则是正整数数列，从而对一切正整数，是完全平方数．
12．3等差数列
基础练习
1．三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，求此三个数．
解：设三个数为，，，由条件，，
则，三个数是3，5，7．
2．试判断数列：，，，…是不是等差数列，若是求出其公差．
解：是等差数列；．
3．若、、成等差数列，且，求证：，，不可能是等差数列．
解：设，．
把，用表示出，可知无论，，如何排序，，，不能是等差数列．
4．已知数列的前项和为，且满足，．
（1）求证：数列是等差数列．（2）求．
解：（1）将代入即可，
，显然数列是等差数列．
（2），利用公式：，
则
5．，且两数列，，，，和，，，，，均为等差数列，求．
解：，，则．
6．在等差数列，，，，…的相邻两项之间插入一个数，使之组成一个新的等差数列，求新数列的通项．
解：，则．
7·已知数列是各项不为零的等差数列，且对任意正整数恒有
成立，其中是常数，求的值．
解：利用裂项求和的方法，，得．
能力提高
8．设无穷等差数列的前项和．
（1）若首项，公差，求满足的正整数．
（2）求所有无穷等差数列，使得对于一切正整数都有成立．
解：（1）．
（2），，
把，，带入解出或或，经检验符合要求．
9．已知等差数列中，，，求数列的前项的和．
解：，则．
．
10．设数列为正项数列，前项的和为，且有、、成等差数列．
（1）求通项．（2）设，求的最大值．
解：（1），，作差，利用，得到
．
（2），时，有最大值．
11．等差数列的前项和，前项和，求前项和．
解：由于是等差数列的前项和，设：，
，
两式相减，可得
．
12．（1）若等差数列，的前项和为与，满足，求的值．
（2）若关于的方程和的四个根可组成首项为的等差数列，求的值．
（3）在等差数列中，它的前项和为，已知，，求．
解：（1），．
（2）由根与系数关系，这四项分别为，，，，，，．
（3），，成等差数列，．
13．求所有正整数，使得下述命题成立：
设，，…，成等差数列，若为有理数，则，，…，中至少有
一个数为有理数．
解：设公差为，，则．
于是为有理数，为整数时命题得以成立．
我们要证明必须是整数，从而推出．
否则，我们取为无理数，而使得为有理数，
则对任意，，因此它是无理数，这与要求相悖．
12．4等比数列
基础练习
1．等比数列中，（1）已知，，求通项公式．（2）已知以，求的值．
解：（1）．（2）．
2．有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是37，第二个数与第三个数的和是36，求这四个数．
解：12，16，20，25或，，，．
3．若，，，成等比数列．求证：．
证明：设，，，
．
4．数列是等比数列，其中，，求．
解：，，成等比数列，，得出．
5．已知等差数列的公差和等比数列的公比都是，又知，且，．
（1）求与的值．（2）是中的第几项．
解：（1），．（2）是中的第34项．
6．求数列的通项公式：（1）在数列中，，． （2）在数列中，，，．
解：（1），得出：．
（2），得出：．
利用累加法可得：，得出：．
7．等比数列的公比大于零且不等于1，且数列的第17项的平方等于第24项．求使成立的正整数的取值范围．
解：设等比数列的公比为，
则由得 ①
则．
又和分别是以为首项，为公比以及为首项，为公比的等比数列．
则，
．
于是已知不等式即为 ②
由于，，当时，有，
此时，②．
因此，当时，为大于19的任意自然数．
当时，有，
此时，②．
因此，当时，为l，2，3，4，…，18这18个自然数．
8．已知，且，数列的前项和为，它满足条件．数列中，．（1）求数列的前项和．（2）若对一切都有，求的取值范围．
解：（1）．（2）或．
9．从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入资金800万元，以后每年投入资金比上年减少．本年度当地旅游产业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加．
（1）设年内（本年度为第1年）总投入为万元，旅游业总收入为万元．写出、的表达式．
（2）至少经过几年旅游业的总收人才能超过总投入？
解：（1）第1年投入800万元，第2年投入万元…，第年投入万元，所以年内总投入
同理，第1年收入万元，第2年收入万元，…，第年收入万元，所以年内的旅游总收入为
．
（2）当，即时旅游业的总收人才能超过总投入．
化简得．
设，，则，（舍），即，解得．
所以至少经过5年旅游业的总收人才能超过总投入．
能力提高
10．正数列，，…，，…满足且，求通项．
解：．
令，则，得．
11．已知数列的通项为，求这个数列的前项的和．
解：分组求和法，．
12．已知数列中，是它的前项和，并且．
（1）设，求证：数列是等比数列，并求其通项公式．
（2）设，求证：数列是等差数列，并求其通项公式．
（3）求数列前项和．
解：（1），两式相减，因为，
故．
（2），．
（3），
．
13．无穷正实数数列具有以下性质：，．
（1）求证：对具有上述性质的任一数列，总能找到一个，使均成立．
（2）寻求这样的一个数列使不等式对任一均成立．
解：（1）不断反复利用二元均值不等式
．
因此，当足够大时，就有．
（2）取无穷等比数列，，则
．
14．如果有穷数列，，，…，（为正整数）满足条件，，…，，即，我们称其为“对称数列”．例如，由组合数组成的数列就是“对称数列”．
（1）设是项数为7的“对称数列”，其中，，，是等差数列，且，．依次写出的每一项．
（2）设是项数为 （正整数）的“对称数列”，其中，是首项为50，公差为的等差数列．记各项的和为．当为何值时，取得最大值？并求出的最大值．
（3）对于确定的正整数，写出所有项数不超过的“对称数列”，使得1，2，，…，依次是该数列中连续的项；当时，求其中一个“对称数列’’前2 008项的和．
解：（1）设的公差为，则，解得，
则数列为2，5，8，11，8，5，2．
（2）
，
，
则当时，取得最大值．
的最大值为626．
（3）所有可能的“对称数列”是：
①1，2，，…，，，，…，，2，1；
②1，2，，…，，，，，…，，2，1；
③，，…，，2，1，2，，…，；
④，，…，，2，1，1，2，，…，；
对于①，当时，．
当时，
．
对于②，当时，．
当时，．
对于③．当时，．
当时，．
对于④，当时，．
当时，．
12．5数学归纳法及其应用
基础练习
1．下面对于命题“任何个女孩都有相同颜色的眼睛”的证明是否正确．请说明理由．
证明：（1）当时，命题显然成立．
（2）假设时，命题成立，即任何个女孩都有相同颜色的眼睛．则当时，不妨设这个女孩分别为，，，…，，，去掉，则剩下的，，…，，有个，由归纳假设，她们眼睛颜色相同，若去掉，则剩下的，，…，有个，南归纳假设，她们眼睛颜色也相同，由等量代换原理可知，，，，…，，这个女孩眼睛颜色也相同．
根据（1）（2）可以断定，对任何命题“任何个女孩都有相同颜色的眼睛”都成立．
答：不正确．走时的命题仅对，，…，成立，与第个女孩无关．
2．用数学归纳法证明：
（1）．
（2）．
（3）．
证明：（1）对归纳，时显然成立，
设时命题成立，时由归纳假设只需证明：
．
因为，
则．
（2）对归纳，时显然成立，设时命题成立， 时由归纳假设只需证明
．
上式左边，
右边，左边=边，故原命题成立．
（3）对归纳，我们将定义域延拓为，为整数，可以看出不影响归纳过度．
时命题显然成立，设时命题成立，时只需证明：
，由，
欲证上式右边
=边，获证．
3．用数学归纳法证明：
（3）能被9整除．
（2）当为正奇数时，能被64整除．
（3）能被整除．
证明：（1）对归纳，时，时命题成立，时只需证明：
，而右边被9整除．
（2）对归纳，时容易验证．设时成立，时，因为
，由于为奇数，所以，所以上式被64整除。从而完成了归纳过程，命题成立．
（3）对归纳，时命题成立，设时命题成立，时：
，
用归纳假设命题对也成立，故原命题成立．
4．用数学归纳法证明：
（1）．
（2）．
（3）．
证明：（1），，，故利用归纳可知结论对所有大于1的正整数成立．
（2）是结论成立，设时结论成立，时，
命题对成立，故原命题成立．
（3）时结论显然成立，设1，2。3，…，时结论成立，时．
最后一个不等号用了归纳假设．于是命题得证．
5．设，，…，和均为锐角，求证：
．
证明：
，，，均为锐角．
利用，，，均为锐角，证明本题．
当时，，显然成立．
假设当是时，命题成立，
即．
当时，
．
显然得证．
6．试证明：．
证明：先证加强命题：，
本题利用第二数学归纳法证明．
当时，，显然成立．
当时，若，显然，显然成立．
若，，
则，显然成立．
假设时，命题成立．
则
若，则，显然得证．
若，从上面可知：，
则．
则
，显然得证．
7．设数列中，，，其中是不等于零的常数，求证：不在数列中．
证明：归纳法证明，因为时，．
8．在数列中，，，，3，…，其中表示不超过的最大整数，证明该数列中有无穷多项是7的倍数．
证明：直接验证可知是7的倍数．接下来我们归纳地构造出数列中7的倍数的项（注意不是全部的7的倍数的项）．
如果，则，如果这时，则有，
否则，设，可以验证：，，
由于，则必有使得．
由于，则，．
因此我们构造了一个下标大于的项使，故可以找出数列中的无穷多项被7整除．
9．平面内有个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点，求证：
这个圆把平面分成个部分．
证明：（1）当时，一个圆把平面分成两部分，此时，即命题成立．
（2）假设当是时命题成立，即个圆把平面分成个部分．
（3）那么当时，这个圆中的是个圆把平面分成个部分．第个圆被前个圆分成条弧，这条弧中的每一条把所在的部分分成了2个部分，这时共增加了个部分，故个圆把平面分成个部分，这说明当时命题也成立．
综上所述，对一切，命题都成立．
12．6归纳一猜想论证
基础练习
1．数列满足，，．
（1）求，．
（2）猜测，并用数学归纳法证明．
解：（1），．
（2
①当时，命题显然成立．
②假设当时命题成立．
③那么当时，
．
当时命题也成立．
综上所述，对一切，命题都成立．
2．设数列是12，1122，111222，…，．
试问：的每一项是否可以表示为两个相邻整数的乘积？
解：．
因为，且，
，
则，为两个相邻整数，显然得证．
3．对于数列，若，．
（1）求，，．
（2）猜测的通项公式，并证明你的结论．
解：（1），，．
（2），数学归纳法证明．
当时，，显然成立．
假设当时，命题也成立，即：．
当时，
，显然得证．
4．比较与的大小，并证明你的结论．
解：当时，，当时，，用归纳法，后项比前项．
5．数列中，已知，前项和为，并且，，成等差数列，求，，；猜测并加以证明．
解：．
（1），，．
（2）猜想：，
用数学归纳法证明．
当时，左边，右边；
假设时，命题成立．即：；
当时，．
显然得证．
能力提高
6．已知数列的通项公式是，试问是否存在常数，，使等式
对一切正整数都成立．- 1 -
解：先猜想，联立三个方程，用待定系数法解得：，，，
后用数学归纳法证明：．
当时，左边，右边；
假设时，命题成立．即；
当时，左边
，
右边，
显然，左边等于右边．得证．
7．设为的展开式中的系数，试问是否存在实数，，使得对于不小于2的自然数，关系式成立，并加以证明．
解：
，，．第十三章 算法初步
13．1算法的概念与基本特点
基础练习
1．有，，三个相同规格的玻璃瓶，装着酒精，装着醋，为空瓶，请设计一个算法，把，瓶中的酒精与醋互换．
解：（1）倒进．（2）倒进．（3）倒进．
2．已知，，写出求直线斜率的一个算法．
解：（1）输入四个变量：．（2）．（3）输出斜率．
3．写出一个求方程的两个实根的算法．
解：（1）定义；，．（2）判断，如果真，则执行输出结论，如果假执行输出结论．
4．一个人带三只狼和三只羚羊过河，只有一条船，同船可以容纳一个人和两只动物．没有人在的时候，如果狼的数量不少于羚羊的数量，狼就会吃掉羚羊．请设计过河的算法．
解：（1）人运两只狼去对岸，空船回来．
（2）人运两只羚羊去对岸，运一只狼回来．
（3）人运一只羊去对岸，空船回来．
（4）人运两只狼去对岸．
5．输入三个数，，，如果这三个数能作为一个三角形的三边长，则输出，否则提示重新输入，试用算法表示上述过程．
解：（1）输入．
（2）判断：若且且，则，输出；
若不是且且，则输出“重新输入”．
13.2 程序框图
基础练习
1．已知函数，写出当为整数时求的算法，并画出程序框图．
解：算法略．程序框图如下．
2．任意给定三个正实数，设计一个算法，判断分别以这三个数为三边边长的三角形是否存在，并画出这个算法的程序框图．
解：算法如下：
（1）输入正实数，，；
（2）若且且则（ⅲ）；若不然转（ⅳ）；
（3）输出“存在这样的三角形”；
（4）输出“不存在这样的三角形”
程序框图如下．
3．写出求（共有6个2）的值的一个算法，并画出程序框图．
解：算法略，程序框图如下．
4．某高中男子体育小组的50米跑成绩为（单位：）：
6.4，6.5，7.0，6.8，7.1，7.3，6.9，7.4，7.5．设计一个算法，从这些成绩中找出所有小于6.8的成绩，并画出程序框图．
解：算法如下．
（1）；
（2）输入；
（3）若则转（4）；
若不然转（5）；
（4）输出；
（5）：
（6）若则转（7）
若不然，则退出；
程序框图如右．
5．设计一个计算的值的一个算法，并画出程序框图．
解：算法如下．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）若则转（6）
若不然则转（ⅲ）；
（6）输出；
程序框图如下．
6．写出求的值的一个算法，并画出程序框图．
解：算法如下．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）若则转（6）
若不然则转（3）；
（6）输出；
程序框图如右．
7．我国的国民生产总值近几年来一直以不低于8％的年增长率增长，照此速度，最多只需经过几年我国的国民生产总值就可以翻一番？写出一个算法，并画出程序框图．
解：算法如下．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）若则转（6）；
若不然则转（3）；
（6）输出；
程序框图如下．
8．设是三位正整数中所有既是12的倍数，又是15的倍数的数之和．写出一个求5的算法，并画出程序框图．
解：（1）；
（2）；
（3）若为15的倍数且为12的倍数则转（4）；
若不然转（5）
（4）；
（5）；
（6）若则转（7）
若不然，则转（3）；
（7）输出；
程序框图如右．
9．根据给出的算法，分析该算法所解决的是什么问题，并画出相应的程序框图．
（1）；
（2）；
（3）输入；
（4）；
（5）；
（6）若不大于100，转（3）；否则，转（7）；
（7）；
（8）输出．
解：其解决的是求取100个数的平均数．
程序框图如下．
10．一个三位数的十位和个位的数字互换，得到的一个新的三位数，新、旧两个三位数都能被4整除；设计一个算法，求满足条件的三位数的个数，并画出程序框图．
解：（1）；
（2）；
（3）小于等于999，不然则转（11）；
（4）为4的倍数，不然则转（10）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）为4的位数，不然则转（10）；
（9）；
（10）；
（11）输出．
程序框图如下．- 1 -第十四章 坐标平面上的直线
14．1直线方程
1．判断下列命题是否正确：
（1）一条直线一定是某个一次函数的图像．
（2）一次函数的图像一定是一条不过原点的直线．
（3）如果一条直线上所有点的坐标都是某一个方程的解，那么这个方程叫做这条直线的方程．
（4）如果以一个二元一次方程的解为坐标的点都在某一条直线上，那么这条直线叫做这个方程的直线．
解：（1）不正确．直线，不是一次函数．
（2）不正确．当时，直线过原点．．
（3）不正确．第一、三象限角的平分线上所有的点都是方程的解，但此方程不是第一、三象限角平分线的方程．
（4）不正确．以方程的解为坐标的点都在第一象限的角平分线上，但此直线不是方程的图像．
2．求过点且与直线有相同方向向量的直线方程．
解：．
3．已知直线是线段的垂直平分线，且点，的坐标分别是（一2，3），（4，），求直线的点法向式方程．
解：．
4．在中，，，依次为、、的中点，求、、所在直线的点方向式方程．
解：，，．
5．正方形中，点为坐标原点，且向量，求：
（1）边所在直线的点法向式方程．
（2）对角线所在直线的点法向式方程．
解：（1）．（2）或．
6．设直线；
试问：“”是“直线的法向量恰好是直线的方向向量”的什么条件？
解：等价于两条直线的法向量互相垂直．，，所以是充分非必要条件．
14.2直线的倾斜角和斜率
1．在中，，，过引中线的垂线与交于点，求证：．
证明：以为原点，所在直线为轴，建立直角坐标系．设点，坐标分别为，，则点坐标为．
直线方程为 ①
直线方程为 ②
设直线和的斜率分别为，则．因为，所以．所以．
所以直线方程为，由，解得点坐标为．
所以直线斜率为是．因为．
所以么，即．
2．求与直线关于点（1，-1）对称的直线．
解：设对称的直线方程为，则点（1，-1）分别到两条直线的距离相等．
（舍去）．
所以直线方程为．
3．过点（1，4）引直线，使它在两坐标轴上的截距都是正数，且截距和为最小，求直线的方程．
解：设直线方程为，则，则截距和为．
，当且仅当时取等号．
所以直线方程为．
4．直线过点，倾斜角的正弦值是，求直线的方程．
解：因为倾斜角的范围是：，又由题意：，所以，，
直线过点，由直线的点斜式方程得到：，即或．
5．当，均为有理数时，称点为有理点，又设，，则直线上（ ）．
A．不存在有理点 B．仅有一个有理点
C．仅有两个有理点 D．有无穷多个理点
解：由题，可知直线的方程为，移项平方后有，从而若存在有理点，则等式左边为有理数，右边为无理数，矛盾．故选A．
6．已知直线经过，两点（），求直线的倾斜角的取值范围．
解：，所以直线的倾斜角的取值范围为．
7．（1）直线过点和点，求的斜率和倾斜角．
（2）若直线过，点，且，求此直线的倾斜角．
（3）已知直线过点和，求的倾斜角和斜率．
解：（1），的倾斜角，即：．
（2），此直线的倾斜角为．
（3）因此，当时，，直线没有斜率．
当时，，．
当时，，．
8．在直线：上找一点，使得点对，的视角最大．
解：的最大值为，点的坐标为（3，2）．（提示：以为弦作圆与直线相切，切点即为点的选取）．
9．四条直线，，，，围成一个四边形，求出使此四边形有外接圆的值．
解：（提示：利用倒角公式及圆内接四边形的对角之和为）．
10．直线过点，且分别交轴、轴的正半轴于点、．点是坐标原点，（1）求当面积最小时直线的方程．（2）当最小时，求直线的方程．
解：（1）如解析图，设，，的面积为，则
．
并且直线的截距式方程是
．
由直线通过点（2，1），得
．
所以，．
因为点和点在轴、轴的正半轴上，所以上式石端的分母．由此得．
当且仅当，即时，面积取最小值4，这时，直线的方程是：，即．
（2）设，则，，如图，所以，．
当时有最小值4，此时，直线的方程为．
14.3两条直线的位置关系
1．已知曲线与直线有两个交点，求的取值范围．
解：数形结合可得．
2．当为何值时，直线与直线：互相垂直？
解：方向向量互相垂直，．
3．求经过两条直线和的交点，并且垂直于直线的直线方程．
解：可设直线方程为，并将交点坐标代入方程可得：．
4．直线，求关于直线对称的直线的方程．
解：由得与的交点为，显见也在上．
设的斜率为，又的斜率为，的斜率为，
利用到角公式可得：，
解得．
故的直线方程为，即．
5．一张坐标纸对折一次后，点与点重叠，若点与点重叠，求．
解：可解得对称轴方程为，由，，得，，所以．
6．在中，，，为三边，，，为内角，且，试判断和的位置关系并给出证明．
解：，，所以两条直线重合．
7．在平面直角坐标系中定义两点，之间的交通距离为．若到点，的交通距离相等，其中实数满足，则所有满足条件的点的轨迹的长之和为多少？
解：由条件得 ①
当时①化为，无解；
当时，①化为，无解；
当时，①化为 ②
当，则，线段长度为；若，则，线段长度为；
若，则，线段长度为4．
综上可知，点的轨迹的构成的线段长度之和为．
8．已知直线经过点，且被两平行直线和截得的线段之长为5，求直线的方程．
解：方法一：所求的方程为或．
若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时与、的交点分别为和，截得的线段的长，符合题意，
若直线的斜率存在，则设直线的方程为．
解方程组得，
解方程组得．
由，得．
解之，得，即欲求的直线方程为．
综上可知，所求的方程为或．
方法二：和的平行线之间的距离为．
所以直线与平行线的夹角为，所以直线的倾斜角为或．
故所求的方程为或．
9．求的值使得方程表示两条直线，并求出这两条直线的夹角．
解：，
，则
，求出这两条直线的夹角为．
10.已知三条直线，，围成，求为何值时，的面积有最大值、最小值．
解：解的方程分别为①，②，③．在①、③中取，，知等式成立，所以为与的交点；
在②，③中取，等式也成立，所以为与的交点．
设，斜率分别为，，若则，所以，
当时，也成立．所以，
由点到直线距离公式：
，．
所以．
因为，．
当时，取得最大值；当时，取到最小值．
11．复数，和其中，，，均为实数，且有，．
（1）求的值，并分别写出和用，表示的关系式．
（2）将作为点的坐标，（）作为点的坐标，上述关系式可看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点变到这一平面上的点，当点在直线上移动时，求点经该变换后得到的点的轨迹方程．
（3）是否存在这样的直线：它上面的任意一点经上述变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这些直线的方程；若不存在，则说明理由．
解：（1）由题设，，，
于是由且，
因此由，
得关系式．
（2）设点在直线上，则其经变换后的点满足
，
消去，得，
故点的轨迹方程为．
（3）假设存在这样的直线，平行坐标轴的直线显然不满足条件，
所求直线可设为，
解法一：该直线上的任一点，其经变换后得到的点仍在该直线上，
，
即，
当时，方程组无解，
故这样的直线不存在．
当时，由，
得，
解得或，
故这样的直线存在，其方程为或，
解法二：取直线上一点，其经变换后的点仍在该直线上，
，
得，
故所求直线为，取直线上一点，其经变换后得到的仍在该直线上．
即，得或，
故这样的直线在在，其方程为或．
12．在平面直角坐标系中，在轴的正半轴上给定、两点，在轴正半轴上求一点，使取得最大值．
解：设，，再设，，．则，．见解析图．
．
当且仅当，，时，有最大值，最大值为，
在内为增函数．
角的最大值为．此时点的坐标为．
14.4 点到直线的距离
基础练习
求出平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线的距离中的最小值．
解：设整点为，，，．
则点到直线的距离为，
因为，当，时，，
．
2．已知两点（1，2），（3，1）到直线的距离分别是，则满足条件的直线共有多少条？
解：画两个分别以（1，2），（3，1）为圆心，半径为的圆，两圆正好相外切，有三条公切线，所以答案为3．
3．求点（1，1）到直线的距离的最大值．
解：，所以距离的最大值为．
4．已知两个定点，，点是平面上的一个动点，点到直线的距离为1．求直线的方程．
解：作图可得：直线的倾斜角或，所以直线的方程为．
5．已知函数的定义域为，且．设点是函数图像上的任意一点，过点分别作直线和轴的垂线，垂足分别为、．
（1）求的值．
（2）问是否为定值？若是，则求出该定值，若不是，则说明理由．
（3）设为坐标原点，求四边形面积的最小值．
解：（1），．
（2）设点的坐标为，则有，，由点到直线的距离公式可知，，，
有，即为定值，这个值为1．
（3）由题意可设，可知．
与直线垂直，，即．解得．
又，．
，．
．
当且仅当时，等号成立．
此时四边形的面积有最小值．
6．如图14—19，已知：射线为，射线为，动点在的内部，于，于，四边形的面积恰为．
（1）当为定值时，动点的纵坐标是横坐标的函数，求这个函数的解析式．
（2）根据的取值范围，确定的定义域．
解：（1）设，，．
则，．由动点在的内部，得．
，．
则
，
则 ①
又由，
分别解得，代入①式消，，并化简得．
，．
（2）由，得
（*）②
当时，不等式②为恒成立，（*）．
当时，由不等式②得，，
．
当时，由不等式②得，且，．
但垂足必须在射线上，否则，，，四点不能组成四边形，
所以还必须满足条件：，将它代入函数解析式，得．
解得，或．
综上，当时，定义域为；
当时，定义域为；
当时，定义域为．
14.5二元一次不等式的解集与线性规划问题
1．若、满足条件．求的最大值和最小值．
解：作出约束条件所表示的平面区域，即可行域，如解析图所示．
作直线，即，它表示斜率为，纵截距为的平行直线系，当它在可行域内滑动时，由图可知，直线过点时，取得最大值，当过点时，取得最小值．
．
2．已知点，直线过点．若可行域的外接圆直径为20，求的值．
解：注意到直线也过点，所以为直线与的交点．
可行域如解析图中阴影部分（含边界）所示．
设直线的倾斜角为，则，
在中，由正弦定理得，则．所以，直线的斜率为，则，得．
又直线过点，所以，解得．
3．已知，求的最大值．
解：先画图，表示与的距离，的最大值为．
4．设满足不等式组．
（1）求点所在的平面区域．
（2）设在（1）区域里，求函数的最大值、最小值．
解：（1）由已知得或．
（2）是直线，在轴上的截距，直线与阴影相交，因为，所以它过顶点时，最大，点坐标为（，7），于是的最大值为．如果，则通过点时，最小，此时值为；如果，则通过时取最小值为．
5．设函数，试求函数的图像与轴所围成图形中的封闭部分的面积．
解：函数的图像如解析图的实线部分所示．
所求的封闭部分的面积为
．
6．平面直角坐标系内有，顶点坐标为．两平行直线之间与公共部分的面积记为．则当变化时，求的最大值．
解：由相似性计算公共部分面积：
，由于，则当且仅当时取最大值．最大值为．
7．甲、乙、丙三种食物的维生素、含量及成本如下表：
甲 乙 丙
维生素（单位/千克） 600 700 400
维生素（单位/千克） 800 400 500
成本（元/千克） 11 9 4
某食物营养研究所想用千克甲种食物，千克乙种食物，千克丙种食物配成100千克的混合食物，并使混合食物至少含56000单位维生素和63000单位维生素．（1）用、表示混合物成本．（2）确定、、的值，使成本最低．
解：（1）元．
（2），解之得元，千克，千克时成本最低．
8．某工厂生产、两种产品，已知生产产品要用煤，电力，3个工作日；生产产品要用煤，电力，10个工作日．又知生产出产品可获利7万元，生产出产品可获利12万元，现在工厂只有煤，电力，300个工作日，在这种情况下生产，产品各多少千克能获得最大经济效益？
解：在题目条件比较复杂时，可将题目中的条件列表．
产品 工作日 煤 电力 利润万元
产品 3 9 4 7
产品 10 4 5 12
设为千克，为千克，为千克，经济效益为万元，则
，
解之得：产品为20千克，产品为40千克，最大经济效益为428万元．
9．有一批钢管，长度都是4 000，要截成和两种毛坯，且这两种毛坯数量比要大于配套，怎样截最合理？
解：设截的根，的根，根据题意，得
且．
作出可行域，如解析图中阴影部分．
目标函数为，作一组平行直线，经过可行域内的点且和原点距离最远的直线为过（0，8）的直线，这时
由，为正整数，知（0，8）不是最优解．在可行域内找整点，使．
可知点（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1）均为最优解．
答：每根钢管截500的2根，600的5根，或截500的3根，600的4根或截500的4根，600的3根或截500的5根，600的2根或截500的6根，600的1根最合理．
10．咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料每杯含奶粉9克、咖啡4克、糖3克，乙种饮料每杯含奶粉4克、咖啡5克、糖10克．已知每天原料的使用限额为奶粉3 600克、咖啡2 000克、糖3 000克．如果甲种饮料每杯能获利0.7元，乙种饮料每杯能获利1.2元，每天在原料的使用限额内饮料能全部售出，每天应配制两种饮料各多少杯能获利最大？
解：设每天配制甲种饮料杯、乙种饮料杯可获得最大利润，利润总额为元．
由条件知：．变量、满足
作出不等式组所表示的可行域（如解析图）．
作直线，把直线向右上方平移至经过点的位置时，取最大值．
由方程组：得点坐标．
答：应每天配制甲种饮料200杯，乙种饮料240杯方可获利最大．
14.6直线综合运用
1．如图14—26，、、是同一平面内的三条平行直线，与间的距离是1，与间的距离是2，正三角形的三顶点分别在、、上，则的边长是（ ）．
A． B． C． D．
解：设边长为，，，则，
则，所以选．
2．如图14—27，平面中两条直线和相交于点，对于平面上任意一点，若、分别是到直线和的距离，则称有序非负实数对是点的“距离坐标”．已知常数，，给出下列命题：
①若，则“距离坐标”为（0，0）的点有且仅有1个；
②若，且，则“距离坐标”为（）的点有且仅有2个；
③若，则“距离坐标”为（）的点有且仅有4个．
上述命题中，正确命题的个数是（ ）．
A．0 B．1 C．2 D．3
解：①③正确，②也应有4个，故选C．
3．已知点，求：
（1）过点与原点距离为2的直线的方程．
（2）过点与原点距离最大的直线的方程，最大距离是多少？
（3）是否存在过点与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．
解：（1）显然符合题意，对于一般直线，
则原点到直线的距离为，所以直线方程为，
综上所述直线方程为或．
（2）由几何意义可知，原点到垂直于的直线距离最远．最远的距离为．
（3）因为，不存在过点且到原点距离为6的直线．
4．设2阶方矩阵，则矩阵所对应的矩阵变换为：，其意义是把点变换为点，矩阵叫做变换矩阵．
（1）当变换矩阵时，点，经矩阵变换后得到点分别是，，求过点，的直线的点方向式方程．
（2）当变换矩阵时，若直线上的任意点经矩阵变换后得到的点仍在该直线上，求直线的方程．
（3）若点经矩阵变换后得到点，且与关于直线对称，求变换矩阵．
解：（1）.
（2）当直线垂直于轴显然不成立．
设，
，
或，，
得到：或．
（3）设
．
5．已知过点且斜率为的直线与轴、轴分别交于、，过、作直线的垂线，垂足为、，求四边形面积的最小值．
解：由题，直线方程为，解得，，求中点到直线的距离，再求到直线的距离，得四边形面积与的表达式，从而得四边形的面积的最小值为3.6．
6．已知三条直线，直线和直线，且与的距离是．（1）求的值；（2）求到的角；（3）能否找到一点，使得点同时满足下列三个条件：①是第一象限的点；②点到的距离是点到的距离的；③点到的距离与点到的距离之比是？若是，求点坐标；若不是，请说明理由．
解：（1）
所以与的距离．
（2）利用三角公式可得：，所以．
（3）设点的坐标为，，
则
．
7．已知点和直线，求一点使，且点到的距离等于．
解：设点的坐标为，
则．
点或为所求的点．
8．已知两直线和的交点为（2，3），求过两点的直线方程．
解：，所以，在上过两点有且仅有一条直线，所以直线方程为．
9．某市现有自市中心通往正西和东北方向的两条主要公路，为了解决交通拥挤问题，市政府决定修一条环城路，分别在通往正西和东北方向的公路上选取，两点，使环城公路在，间为线段，要求环城路段与中心的距离为，且使，间的距离最小，请你确定，两点的最佳位置（不要求作近似计算）．
解：建立直角坐标系解题，，两点的最佳位置是离市中心均为处．
10．在直线方程中，当，，求此直线方程．
解：设，
或
解得：直线方程为或．
11．已知两点，．
（1）求直线的斜率是与倾斜角．
（2）求直线的方程．
（3）已知实数，求直线的倾斜角的取值范围．
解：（1）当时，直线的斜率不存在，倾斜角．
当时，，
当时，，
当时，．
（2）当时，，当时，．
（3）当时，；当时，- 1 -
，．
故综合、得，直线的倾斜角．第十五章 圆锥曲线
15.1曲线和方程
基础练习
1．如果命题“坐标满足方程的点都在曲线上”不正确，那么以下正确的命题是（ ）．
（A）曲线上的点的坐标都满足方程
（B）坐标满足方程的点有些在上，有些不在上
（C）坐标满足方程的点都不在曲线上
（D）一定有不在曲线上的点，其坐标满足方程
解：原命题不正确说明坐标满足方程的点不都在曲线上，故正确．
2．若曲线与有两个公共点，求实数的取值范围．
解：数形结合法，可得：．
3．判断并画出方程所表示的曲线．
解：由原方程可得
，即
方程的曲线是两条射线，如解析图所示．
4．若曲线与直线恰有三个公共点，则的值为__________．
解：数形结合，可知：无解．
5．过（2，4）点作两条互相垂直的直线，，若交轴于，交轴于，求线段中点的轨迹方程．
解：设的方程为，则的方程为（若两直线的斜率均存在），
则，．
由中点坐标公式知，的坐标为．
所以的轨迹方程为．
若两直线有一条无斜率，则的坐标为（1，2）．
所以的轨迹方程为．
能力提高
6．如题6解析图，已知两点以及一直线，设长为的线段在直线上移动．求直线和的交点的轨迹方程．
解：由于、在直线，且线段长为，设，.
则方程为，
方程为．
联立两方程得．
所以的轨迹方程为．
7．如题7解析图，的两条直角边长分别为和，与两点分别在轴的正半轴和轴的正半轴上滑动，求直角顶点的轨迹方程．
解：设点的坐标为，连接，由，所以、、、四点共圆．
从而．由，，有，即．
注意到方程表示的是过原点、斜率为的一条直线，而题目中的与均在两坐标轴的正半轴上滑动，由于、为常数，故点的轨迹不会是一条直线，而是直线的一部分．我们可考查与两点在坐标轴上的极端位置，确定点坐标的范围．
如图，当点与原点重合时，
，所以．
如图，当点与原点重合时，点的横坐标．
由射影定理，，即，有．
由已知，所以．
故点的轨迹方程为：．
8．已知常数，在矩形中，，，为的中点，点、、分别在、、上移动，且，为与的交点（如解析图）．求点的轨迹方程．
解：根据题设条件可知，点的轨迹即直线与的交点．
据题意有，，，．
设，，
由此有，，
直线的方程为， ①
直线的方程为． ②
从①②消去参数，得点的轨迹方程是：．
1 5.2 圆的方程
基础练习
1．求过两点（1，4）、（3，2）且圆心在直线上的圆的标准方程并判断点（2，4）与圆的关系．
解：圆心坐标为中垂线与直线的交点，半径为圆心到的距离，继而得，计算点到圆心的距离为5，圆半径为，其大于半径，故点在圆外．
2．圆上到直线的距离为的点共几个．
解：圆方程为，圆心坐标（，），其到直线的距离为，又圆的半径为，故圆上到直线距离为的点有3个．
3．自点发出的光线射到轴上，被轴反射，反射光线所在的直线与圆相切.
（1）求光线和反射光线所在的直线方程．（2）光线自到切点所经过的路程多长？
解：（1）根据对称性可知，入射光线与圆关于轴对称的圆相切．
设入射光线的方程为，则，．
所以入射光所在直线方程为或．
根据对称性可知，反射光线是通过点关于轴对称的点与圆相切的直线．
设入射光线的方程为，则，．
所以反射光线所在的直线的方程为或．
（2）根据对称性可知，光线自到切点所经过的路程等于点与圆相切的切线的长度，即答案为．
4．求半径为4，与圆相切，且和直线相切的圆的方程．
解：依题意，所求圆与直线相切且半径为4，则圆心的坐标为或，又已知圆的圆心坐标为，半径，若两圆相切，则或．
（1）当圆心为时，有，
解得，或，无解．
故所求圆的方程为或．
（2）当圆心为时，有，
解得，或，无解．
故所求的圆的方程为或．
综合（1）（2）可知所求圆的方程为或或或．
5．求经过点（0，5），且与直线和都相切的圆的方程．
解：设圆心坐标为，半径为，则，
解得：或，所以圆的方程为：或．
6．设点是圆上的任一点，求的取值范围．
解：由得：，此直线与圆有公共点，
故点到直线的距离．解得：．
能力提高
7．在直角坐标系中，以为圆心的圆与直线相切．
（1）求圆的方程．（2）圆与轴相交于，两点，圆内的动点使，，成等比数列，求的取值范围．
解：（1）点到直线的距离为，故圆方程为．
（2），设，故为．
因点在圆内，所以，得．
8．矩形的两条对角线相交于点（2，0），边所在直线的方程为，点（1，1）在边所在直线上．
（1）求边所在直线的方程．
（2）求矩形外接圆的方程．
（3）若动圆过点，且与矩形的外接圆外切，求动圆的圆心的轨迹方程．
解：（1）因为，因为，又过．故直线方程为．
（2）由题知，点坐标为，圆心为点（2，0），所以矩形外接圆的方程为．
（3）由题知，，由双曲线的定义知：．
9．在平面直角坐标系中，给定两点和，点在轴上移动，当取最大值时，试求点的横坐标．
解：经过，两点的圆的圆心在线段的垂直平分线，设圆心为，则圆的方程为：．对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大，所以，当取最大值时，经过，，三点的圆必与轴相切于点，即圆的方程中的值必须满足，解得或．
即对应的切点分别为（1，0）和，而过点，，的圆的半径大于过点，，的圆的半径，所以，故点（1，0）为所求，所以点的横坐标为l．
10．已知，是轴上的动点，，分别切于，两点．
（1）如果，求直线的方程．（2）求动弦的中点的轨迹方程．
解：（1）如解析图所示，由，可得．
由射影定理，得，得，在中，
，
故或，所以直线方程是
或．
（2）连接，．设，，由
点，，在一直线上，得
由射影定理得， ①
即 ②
在①及②中消去，并注意到，可得．
11．在轴同侧的两个圆：动圆和圆外切，且动圆与轴相切，求：
（1）动圆的圆心轨迹方程．
（2）若直线与曲线有且仅有一个公共点，求，之值．
解：（1）由可得，
由，，以及两圆在轴同侧，可知动圆圆心在轴上方，设动圆圆心坐标为，
则有，
整理得到动圆圆心轨迹方程．
（2）联立方程组 ①
②
消去得，
由，整理得 ③
从③可知．故令，代入③可得，
．再令，代入上式得．
同理可得，．可令，，代入③可得 ④
对④进行配方，得，对此式进行奇偶分析，可知，均为偶数．所以为8的倍数，令，则．
所以0，1，2，3，4，5，6．
仅当时，为完全平方数。于是解得
．
15.3椭圆的标准方程和性质
基础练习
1．设是椭圆上异于长轴端点的任意一点，、分别是其左、右焦点，为中心，求的值．
解：设的坐标由焦半径公式．
2．设，是椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且，求的面积．
解：，则为直角三角形，
故的面积为4．
3．已知椭圆的左右焦点分别为与，点在直线上．当取最大值时，求的值．
解：由平面几何知，要使最大，则过，，三点的圆必定和直线相切于点．
设直线交轴于，则，即，
即 ①
又由圆幂定理， ②
而，，从而有．
代入①②．
4．已知椭圆，长轴的两个端点为、，若椭圆上存在点，使，求该椭圆的离心率的取值范围．
解：，，
将代入，得，解得．
5．等腰直角中，斜边，一个椭圆以为其焦点，另一个焦点在线段上，且椭圆经过，两点，求该椭圆的标准方程．
解：由题可知，椭圆的另一焦点与点的连线平分三角形的周长，三角形的周长为．所以椭圆的半长轴长为，同时解得长为，所以椭圆方程为．
6．椭圆的右焦点为，，，…，，为24个依逆时针顺序排列在椭圆上的点，其中是椭圆的右顶点，并且…．若这24个点到右准线的距离的倒数和为，求的值．
解：椭圆中，，，故．所以．
设与轴正向的夹角为，为点到右准线的距离．则
．即．
同理．
所以．
从而，于是．
7．过椭圆上任一点，作椭圆的右准线的垂线（为垂足），延长到点，使．当点在椭圆上运动时，求点的轨迹的离心率的取值范围．
解：设，，因为右准线方程为，所以点的坐标为．
又由于，所以，所以由定比分点公式，可得：，代入椭圆方程，得点轨迹为，所以离心率．
8．设椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上异于长轴端点的一点，的内心为，求．
解：记内切圆在，，上的三个切点为，，
则，，．
则，
，
，
．
能力提高
9．设椭圆的方程为，线段是过左焦点且不与轴垂直的焦点弦．若在左准线上存在点，使为正三角形，
求椭圆的离心率的取值范围，并用表示直线的斜率．
解：如下页解析图，设线段的中点为．
过点、、分别作准线的垂线，垂足分别为、、，
则．
假设存在点，则，且，
即，所以．
于是，．
则．
若（如解析图）则．
当时，过点作斜率为的焦点弦，它的中垂线交左准线于，由上述运算知，．故为正三角形．
若，则由对称性得．
又，所以，椭圆的离心率的取值范围是，
直线的斜率为．
10．如图15—16，已知，，是长轴为4的椭圆上三点，点是长轴的一个顶点，过椭圆中心，且，．
（1）建立适当的坐标系，求椭圆方程．
（2）如果椭圆上两点，使直线，与轴围成底边在轴上的等腰三角形，是否总存在实数，使？请给出证明．
解：（1）以为原点，所在的直线为轴建立如解析图直角坐标系，则（2，0），椭圆方程可设为
．
如解析图所示，为椭圆中心，南对称性知又．
则，又，所以，
则为等腰直角三角形，所以点坐标为（1，1）．
将（1，1）代入椭圆方程得．
则椭圆方程为．
（2）由直线、与轴围成底边在轴上的等腰三角形，设直线的斜率为，则直线的斜率为，直线的方程为，直线的方程为．由椭圆方程与直线的方程联立，消去得
①
因为（1，1）在椭圆上，所以是方程①的一个根，于是
．同理，．
这样，，又，所以，即．
所以，存在实数使．
11．学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．设计方案如图1 5—1 7．航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以轴为对称轴、为顶点的抛物线的实线部分，降落点为（8，0）．观测点（4，0）、（6，0）同时跟踪航天器．
（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程．
（2）试问：当航天器在轴上方时，观测点、测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令．
解：（1）设曲线方程为，由题意可知，．
则．
则曲线方程为．
（2）设变轨点为，根据题意可知
得，即或（不合题意，舍去）．
则．得或（不合题意，舍去）．
则点的坐标为（6，4），．
即当观测点、测得、距离分别为、时，应向航天器发出指令．
12．如图15—18，为椭圆上的一个动点，弦、分别过焦点、．当垂直于轴时，恰好．
（1）求该椭圆的离心率．
（2）设，，试判断是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由．
解：（1）当垂直于轴时，
，由，得
．
在中，，解得．
（2）由，则．
焦点坐标为，，则椭圆方程为，化简有．
设，，．
①若直线斜率存在，则直线方程为，
代入椭圆—方程有．
由韦达定理得，则．
所以，同理可得．故．
②若直线轴，，，．
则．综上所述：是定值6．
1 5.4 双曲线的标准方程和性质
基础练习
1．已知点为双曲线的左顶点，点和点在双曲线的右分支上，是等边三角形，则的面积是（ ）．
（A） （B） （C） （D）
解：设点和点，则
，因为点和点在双曲线的右分支上，所以，．
所以直线方程为，联立，得
，故选．
2．已知一条直线与双曲线的两支分别相交于、两点，为原点，当时，求双曲线的中心到直线的距离．
解：设，
则，
则
①+②得．
记到的距离为，则，
则．
3．方程表示的曲线是（ ）．
（A）焦点在轴上的椭圆
（B）焦点在轴上的双曲线
（C）焦点在轴上的椭圆
（D）焦点在轴上的双曲线
解：，
，
，所以选．
4．如图15—25，从双曲线的左焦点引圆的切线，切点为．延长交双曲线右支于点．若为线段的中点，为坐标原点，试判断与的大小关系，并予以证明．
解：记双曲线右焦点为，连接，
则．
．
又由于，则，
则，
．（利用双曲线的定义）
5．已知双曲线，抛物线的顶点在原点，的焦点是的左焦点．
（1）求证：，总有两个不同的交点．
（2）问：是否存在过的焦点的弦，使的面积有最大值或最小值？
若存在，求直线的方程与的最值，若不存在，说明理由．
解：（1），所以，总有两个不同的交点．
（2），存在过的直线使面积有最小值．
6．在正中，、分别是、的中点，试求以、为焦点且过点、的双曲线的离心率．
解：．
能力提高
7．已知曲线，，为正常数．直线与曲线的实轴不垂直，且依次交直线、曲线、直线于、、、四个点，为坐标原点．若，求证：的面积为定值．
解：设直线代入得．
得．
设，，则有．
设，，易得，．
由得．
故．
代入得．
整理得：．
又．
则为定值．
8．过双曲线的右焦点作轴，交双曲线于，两点，与左焦点连线交双曲线于点，联结交轴于点．求证：的横坐标为定值．
证明：设点，，的坐标分别为，，，则，，的坐标分别为，，，因为，分别是直线，与轴的交点，
所以 ①
所以
．
由①得，
代入上式得，即（定值）．
9．已知动点与双曲线的两个焦点、的距离之和为定值，且的最小值为．
（1）求动点的轨迹方程．
（2）若已知（0，3），、在动点的轨迹上且，求实数的取值范围．
解：（1）由题意．设，由余弦定理，得
．
又，
当且仅当时，取最大值，
此时取最小值，令，
解得．由于，则，故所求的轨迹方程为．
（2）设，，则由，可得，
故，．
由于，在动点的轨迹上，
则且，
消去可得，解得．
又，，解得．
故实数的取值范围是．
10．在双曲线的一支上有三个点、、与焦点（0，5）的距离成等差数列．
（1）求．
（2）求证线段的垂直平分线经过某个定点，并求出定点的坐标．
解：（1）双曲线方程可以化为：，
由题意可知，，三点在双曲线的一支上，即得
由于，，成等差数列
由于，则，得．
（2）设的中点坐标，由于，在双曲线上，故
，两式相减得：
，
整理得：，
则中垂线斜率为，
则的中垂线方程为：，即，
则当时，即的中垂线经过定点．
11．直线与双曲线的左支相交于，两点，设过点和中点的直线在轴上的截距为，求的取值范围．
解：由得．令，
直线与双曲线左支交于两点，等价于方程在上有两个不等实根．
因此．解得，又中点为，
则直线的方程为，
令，得，
由于，则．
则故的取值范围是．
12．已知双曲线的两条渐近线过坐标原点，且与以为圆心，为半径的圆相切，双曲线的一个顶点和关于直线对称，设直线过点，斜率为．
（1）求双曲线的方程．
（2）当时，在双曲线的上支求点，使其与直线的距离为．
（3）当时，若双曲线的上支上有且只有一个点到直线的距离为，求斜率的值及相应的点的坐标．
解：（1）由已知得双曲线的渐近线为．
因而为等轴双曲线，其中一个顶点为，所以双曲线的方程为．
（2）若是双曲线的上支上到直线的距离为的点，
则，解得，．故点坐标为．
（3）因为当时，双曲线的上支在直线的上方，所以点在直线的上方．
设直线与直线平行，两线间的距离为，
直线在直线的上方，双曲线的上支上有且只有一个点到直线的距离为，等价于直线与双曲线的上支有且只有一个公共点．
设的方程是，由上的点到距离为，可知，
解得，其中舍去．
由方程及，消去得，．
由于，则．
令．由于，解得，．
当时，，解得，，则点的坐标为．
当时，，解得，，而，则点的坐标为．
1 5.5 抛物线的标准方程和性质
基础练习
1．过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，若此直线与抛物线交于，两点，弦的中垂线与轴交于点，求线段的长．
解：易知此抛物线焦点与坐标原点重合，故直线的方程为，因此，，两点的横坐标满足方程，由此求得中点的横坐标，纵坐标进而求得其中垂线方程为，令，得点的横坐标，即．
2．抛物线顶点在原点，对称轴为轴，焦点在直线上，求此抛物线的方程．
解：焦点为（4，0），则抛物线方程为．
3．已知抛物线，是坐标原点，为轴上一动点，过作直线交于，两点，设，求的最小值．
解：．
．
设方程为，设，点坐标分别为，，
联立得：．
．
则的最小值为．
4．正方形的两顶点，在抛物线上，，两点在直线上，求正方形的边长．
解：设，两点坐标分别为、，显然．
由于，则，即．
一方面，
，
则 ①
另一方面，，
则 ②
将①代入②，得，即．
故或．
5．如图15—30，抛物线顶点在原点，圆的圆心是抛物线的焦点，直线过抛物线的焦点，且斜率为2，直线交抛物线与圆依次为、、、四点，求的值．
解：由圆的方程，即可知，圆心为（2，0），半径为2，又由抛物线焦点为已知圆的圆心，得到抛物线焦点为（2，0），设抛物线方程为，
．
由于为已知圆的直径，则，则．
设、，由于，而、在抛物线上，由已知可知，直线方程为，于是，由方程组
消去，得，则．
则，因此，．
能力提高
6．已知，为抛物线上异于原点的两点，，点坐标为．
（1）求证：，，三点共线．
（2）若且，试求点的轨迹方程．
解:（1）证明：设，，由得
，则，
又由于，，
且，则，即，，三点共线．
（2）由（1）知直线过定点，又由及知，垂足为，所以点的轨迹为以为直径的圆，除去坐标原点．即点的轨迹方程为．
7．已知为抛物线的焦点，点的坐标为（4，0），过点作斜率为，的直线与抛物线交于，两点，延长，交抛物线于，两点，设直线的斜率为．
（1）求的值．
（2）求直线与直线夹角的取值范围．
解：（1）由条件知，设、、、，不妨设．
直线的方程为，与联立得．
所以．
①当时，则，故，即．
直线的方程为，从而；直线的方程为：，
与联立得，得，，即．
于是，．所以．
②当时，直线方程为与抛物线方程．
联立得，又由，化简上述方程得．
此方程有一根为，所以另一根，．即，同理，．
所以，，即．
由①、②可知．
（2）故．
所以，直线与直线夹角的取值范围是．
8．如图15—31，已知与轴的交点．如果．试求函数的值域．
解：设，不妨设，则的方程是
取得：，
因，所以，，，
．
因，所以．当时，
，
所以，．因在区间上是减函数，
所以，．即函数的值域为．
9．已知动点到定点（1，0）的距离比到定直线的距离小．
（1）求证：点轨迹为抛物线，并求出其轨迹方程．
（2）大家知道，过圆上任意一点，任意作相互垂直的弦，，则弦必过圆心（定点），受此启发，研究下面的问题：①过（1）中的抛物线的顶点任作相互垂直的弦，，则弦是否经过一个定点？若经过定点（设为），请求出点的坐标，否则说明理由．②研究：对于抛物线上顶点以外的定点是否也有这样的性质？请提出一个一般的结论，并予以证明．
解：（1）到定点（1，0）的距离等于到定直线的距离，则轨迹为抛物线；
轨迹方程为．
（2）①设．
由得，同理．
因此，方程为．
即，令，得．
则直线必过定点（4，0）．
②设点为上一定点，则．
过作互相垂直的弦，，
设，，则，．
则，则．
化简得，即 ①
假设过定点，则有，
即化简得 ②
比较①②得，，则过定点．
10．已知抛物线上横坐标为4的点到焦点的距离为5．
（1）求抛物线的方程．
（2）设直线与抛物线交于两点，，且，是弦的中点，过作平行于轴的直线交抛物线于点，得到；再分别过弦、的中点作平行于轴的直线依次交抛物线于点，，得到和；按此方法继续下去（见图15—32）．解决下列问题：
①求证：．
②计算的面积．
③根据的面积的计算结果，写出，的面积；请设计一种求抛物与线段所围成封闭图形面积的方法，并求出此封闭图形的面积．
解：（1）由抛物线定义，抛物线，上点到焦点的距离等于它到准线的距离，得，，所以抛物线的方程为．
（2）由，得（或），
当，即且时，
．
①由即，得，所以．
②由①知，中点的坐标为，点，
．
③由问题②知，的面积值仅与有关，由于
，所以与的面积
．
设．
由题设当中构造三角形的方法，可以将抛物线与线段所围成的封闭图形的面积看成无穷多个三角形的面积的和，即数列的无穷项和，
所以……，
即……，
因此，所求封闭图形的面积为．
15.6直线与圆锥曲线的位置关系
基础练习
1．若，，成等差数列，则直线被椭圆截得线段的中点的轨迹方程为__________．
解：由知过定点．又点在椭圆，
所以为所截线段的一个端点，设另一个端点为，线段的中点为，
则，即，因为点在椭圆上，
所以．
故得中点的轨迹方程为：．
2．过原点引抛物线的切线，当变化时，两个切点分别在抛物线（ ）上．
（A） （B）
（C）， （D），
解：设切线方程为（显然直线的斜率存在）．
联立，得．
由于切线与抛物线有且仅有一个交点，所以上述方程．
所以或．分别代入方程中可得切点坐标为或．
所以两个切点分别在抛物线，上．故正确选项为．
3．若在抛物线的上方可作一个半径为的圆与抛物线相切于原点，且该圆与抛物线没有别的公共点，求的最大值．
解：，，
．
4．在平面直角坐标系中，经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点和．
（1）求的取值范围．
（2）设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为，，是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由．
解：（1）由已知条件，直线的方程为，代入椭圆方程得．
整理得 ①
直线与椭圆有两个不同的交点和等价于，
解得或．即是的取值范围为．
（2）设，，则，
由方程① ． ②
又 ． ③
而，，．所以与共线等价于，将②③代入上式，解得．
由（1）知或，故没有符合题意的常数．
5．若抛物线上存在关于直线成轴对称的两点，试求的取值范围．
解：抛物线的顶点为，对称轴为轴，存在关于直线对称两点的条件是存在一对点，，满足且相减得，因为不在直线上，所以，所以，即．
所以．此方程有不等实根，所以，求得，即为所求．
6．若直线与椭圆相交．
（1）求的范围．
（2）当截得弦长最大时，求的值．
解：联立．
（1）．
（2），显然当时，最大．
能力提高
7．设双曲线与直线相交于两个不同的点，．
（1）求双曲线的离心率的取值范围．
（2）设直线与轴的交点为，且．求的值．
解：（1）由与相交于两个不同的点，故知方程组
有两个不同的实数解．消去并整理得．
①且．
双曲线的离心率．且，
则．
离心率的取值范围为．
（2）设
由于，则．
由于，都是方程①的根，且，
，．
消去得．
8．过椭圆上一动点引圆的两条切线、，、为切点，直线与轴，轴分别交于、两点（如图15—38）．
（1）已知点坐标为且，试求直线的方程．
（2）若椭圆的短轴长为8，且，求椭圆的方程．
（3）椭圆上是否存在点，由向圆所引的两条切线互相垂直？若存在，请求出存在的条件；若不存在，请说明理由．
解：（1）设，切线，．
由于点在切线，上，，，
则直线的方程为．
（2）在直线方程中，令，则；令，则，则．
由于则．
则椭圆方程：．
（3）假设存在点满足，连接，由知，四边形为正方形，则 ①
又由于点在椭圆上，则 ②
由①②知，．
由于，则．
当，即，时，椭圆上存在点，由点向圆所引两切线互相垂直．
当，即时，椭圆上不存在满足条件的点．
9．设、是椭圆上的两点，点（1，3）是线段的中点，线段的垂直平分线与椭圆相交于、两点．
（1）确定的取值范围，并求直线的方程．
（2）试判断是否存在这样的，使得，，，四点在同一个圆上？并说明理由．
解：（1）依题意，可设直线的方程为，代入，整理得
①
解法一：设，，则，是方程①的两个不同的根
则 ②
且，由（1，3）是线段的中点，得
，则．
解得，代入②得，，即的取值范围是．
于是，直线的方程为．
解法二：设，则有
．
依题意，，则．
由于（1，3）是的中点，则，，从而．
又由（1，3）在椭圆内，则．
则的取值范围是．
直线的方程为．
（2）由于垂直平分，则直线的方程为，即，
代入椭圆方程，整理得 ③
又设，，的中点为，则，是方程③的两根，
则，且，，即．
于是由弦长公式可得 ④
将直线的方程，代入椭圆方程得 ⑤
同理可得 ⑥
由于当时，，．
假设存在，使得，，，四点共圆，则必为圆的直径，点为圆心．
点到直线的距离为 ⑦
于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得
．
故当时，，，，四点均在以为圆心，为半径的圆上．
10．如图15—39，已知抛物线和直线，点在直线上移动，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，线段的中点为．
（1）求点的轨迹．
（2）求的最小值．
（3）求证：直线的倾斜角为定值，并求的值．
解：（1）由得，则．
设，，则，，
则即．
同理，有．
则，为方程的两根，则，．
设，则 ①
②
由①②消去得点的轨迹方程为．
（2），
又则当时，．
（3）由于坐标为，则对任意，恒有轴，则的倾斜角为定值．则又由（2）得．
则．
15.7 圆锥曲线的应用
能力提高
1．在周长为定值的中，已知，且当顶点位于定点时，有最小值为．
（1）建立适当的坐标系，求顶点的轨迹方程．
（2）过点作直线与（1）中的曲线交于、两点，求的最小值的集合．
解：（1）以所在直线为轴，线段的中垂线为轴建立直角坐标系，设为定值，所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆，所以焦距．
由于
又，所以，由题意得，．
此时，点坐标为．故点的轨迹方程为．
（2）不妨设点坐标为，，．当直线的倾斜角不为时，
设其方程为代入椭圆方程化简，得．
显然有，所以，．
而由椭圆第二定义可得
只要考虑为最小值，即考虑为最小值，则时，得最小值16．
当直线的倾斜角为时，，得，
但，故，这样的，不存在，即的最小值的集合为空集．
2．已知椭圆，动圆，其中．若是椭圆上的点，是动圆上的点，且使直线与椭圆和动圆均相切，求，两点的距离的最大值．
解：设，，直线的方程为，
因为既在椭圆上又在直线上，从而有
将①代入②得
由于直线与椭圆相切，故
从而可得， ③
同理，由既在动圆上又在直线上，可得， ④
由③、④得，．
．
即，当且仅当时取等号，所以，两点的距离的最大值为．
3．在平面直角坐标系中，给定三点，，，点到直线的距离是该点到直线，距离的等比中项．
（1）求点的轨迹方程．
（2）若直线经过的内心（设为）．且与点的轨迹恰好有3个公共点，求的斜率的取值范围．
解：（1）直线，，的方程依次为，，．
点到，，的距离依次为，，．
依设，，得，即，或，
化简，得点的轨迹方程为圆与双曲线．
（2）由前知，点的轨迹包含两部分圆 ①
与双曲线 ②
因为和是适合题设条件的点，所以点和点在点的轨迹上，且点的轨迹曲线与的公共点只有，两点．
的内心也是适合题目设条件的点，由解得，且知它在圆上．
直线经过，且与点的轨迹有3个公共点，
所以，的斜率存在，设的方程为 ③
（ⅰ）当时，与圆相切，有唯一的公共点；此时，直线平行于轴，表明与双曲线有不同于的两个公共点，所以恰好与点的轨迹有3个公共点．
（ⅱ）当时，与圆有两个不同的交点．
这时，与点的轨迹恰有3个公共点只能有两种情况：
情况1：直线经过点或点，此时的斜率，直线的方程为．
代入方程②得，解得或．表明直线与曲线有2个交点，，
直线与曲线有个交点，故当时，恰好与点的轨迹有3个公共点．
情况2：直线不经过点和点（即），因为与有两个不同的交点，
所以与双曲线有且只有一个公共点．即方程组有且只有一组实数解，
消去并化简得，
该方程有唯一实数解的充要条件是 ④
或 ⑤
解方程④得．解方程⑤得．
综合得直线的斜率的取值范围是有限集．
4．过点作一条直线和轴、轴分别相交于，两点，试求的最大值（其中为坐标原点）．
解：过点作一圆与轴、轴分别相切于点、，且使点在优弧上，则圆的方程为．
于是，过点作圆的切线和轴、轴分别相交于，两点，
圆为的内切圆，故．
若过点的直线不和圆相切，则作圆的平行于的切线和轴、轴分别相交于
，两点，则．
由折线的长大于的长及切线长定理，得
．
所以，的最大值为6．
5．设椭圆的两个焦点是和，且椭圆与圆有公共点（见图15—41）．
（1）求的取值范围．
（2）若椭圆上的点到焦点的最短距离为，求椭圆的方程．
（3）对（2）中的椭圆，直线与交于不同的两点、，若线段的垂直平分线恒过点，求实数的取值范围．
解：（1）由已知，，
则方程组有实数解，从而，
故，所以，即的取值范围是．
（2）设椭圆上的点到一个焦点的距离为，
则．
由于，则当时，，
于是，，解得．．则所求椭圆方程为．
（3）由得（*）
由于直线与椭圆交于不同两点，则，即 ①
设、，则、是方程（*）的两个实数解．
则，则线段的中点为，
又由于线段的垂直平分线恒过点，，
即，即 ②
由①②得，，又由②得，
则实数的取值范围是．
6．设斜率为的直线交椭圆于、两点，点为弦的中点，直线的斜率为（其中为坐标原点，假设、都存在）．
（1）求的值．
（2）把上述椭圆一般化为，其他条件不变，试猜想与关系（不需要证明）．请你给出在双曲线中相类似的结论，并证明你的结论．
（3）分析（2）中的探究结果，并作出进一步概括，使上述结果都是你所概括命题的特例．如果概括后的命题中的直线过原点，为概括后命题中曲线上一动点，借助直线及动点，请你提出一个有意义的数学问题，并予以解决．
解：（1）设直线方程为，代入椭圆方程并整理，得，
，又中点在直线上，所以，从而可得弦中点的坐标为，，所以．
（2）对于椭圆，，
已知斜率为的直线交双曲线于、两点，点为弦的中点，直线的斜率为（其中为坐标原点，假设是、都存在）．则的值为．
设直线方程为，代入方程并整理，得
，所以，即．
（3）对（2）的概括：设斜率为的直线交二次曲线于、两点，点为弦的中点，直线的斜率为（其中为坐标原点，假设、都存在），则．
提出的问题如：直线过原点，为二次曲线上一动点，设直线交曲线于、两点，当异于、两点时。如果直线、的斜率都存在，则它们斜率的积为与点无关的定值．
设直线方程为，、两点坐标分别为、，则．
把代入得，
，
所以．
7．已知点，一动圆过点且与圆内切．
（1）求动圆圆心的轨迹的方程．
（2）设点，点为曲线上任一点，求点到点距离的最大值．
（3）在的条件下，设的面积为 （是坐标原点，是曲线上横坐标为的点），以为边长的正方形的面积为．若正数满足，问是否存在最小值，若存在，请求出此最小值，若不存在，请说明理由．
解：（1）设动圆圆心为，半径为，已知动圆圆心为，
由题意知，，于是，
所以点的轨迹是以、为焦点，长轴长为的椭圆，其方程为．
（2）设，则
，令，，所以，
当，即时在上是减函数，；
当，即时，在上是增函数，在上是减函数，
则；
当，即时，在上是增函数，．
所以，
（3）当时，，于是，
若正数满足条件，则，即，
，令，设，则，
于是．所以，当，即时，，
即，．所以，存在最小值．
8．已知点，，，，动点满足，动点满足．
（1）求动点的轨迹方程和动点的轨迹方程．
（2）是否存在与曲线外切且与曲线内接的平行四边形，若存在，请求出一个这样的平行四边形，若不存在，请说明理由．
（3）固定曲线，在（2）的基础上提出一个一般性问题，使（2）成为（3）的特例，探究能得出相应结论（或加强结论）需满足的条件，并说明理由．
解：（1）．
（2）连椭圆四端点可得．
（3）问题：已知和，试问，当、满足什么条件时，对上任意一点均存在以为顶点，与外切，与内接的平行四边形．解得．
9．已知焦点在轴上的双曲线的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点为圆心，1为半径的圆相切，又知的一个焦点与关于直线对称．
（1）求双曲线的方程．
（2）若是双曲线上的任一点，、为双曲线的左、右两个焦点，从引的平分线的垂线，垂足为，试求点的轨迹方程．
（3）设直线与双曲线的左支交于、两点，另一直线经过及
的中点，求亘线在轴上的截距的取值范围．
解：(1)设双曲线的渐近线方程为，即．
由于该直线与圆相切，则双曲线的两条渐近线方程为，
故设双曲线的方程为．
又由于双曲线的一个焦点为，
则，，则双曲线的方程为．
(2)若在双曲线的右支上，则延长到，使，
若在双曲线的左支上，则在上取一点，使，
根据双曲线的定义，所以点在以为圆心，2为半径的圆上，
即点的轨迹方程是 ①
由于点是线段的中点，设，，
则，即．
代入①并整理得点的轨迹方程为，．
(3)由得，令，
直线与双曲线左支交于两点，等价于方程在上有两个不等实根．
因此，解得，又中点为，
则直线的方程为．
令，得，
由于，则．
则故的取值范围是．
- 1 -第十六章 坐标变换、参数方程和极坐标方程
16．1 坐标轴的平移
基础练习
1．已知双曲线的两条渐近线方程分别是，，实轴在平行于轴的直线上，且实轴长为，求双曲线方程，并写出顶点坐标和焦点坐标．
解：，顶点坐标,，焦点坐标为，．
2．证明：二次函数的图形是一条抛物线．
解：（提示：把原方程化简，如果能化成抛物线的标准方程，就可以证明它是抛物线．）
设，，得．
3．已知抛物线的对称轴平行于轴，顶点是（1，2），且过点（3，6），求抛物线方程．
解：设由顶点的定义知=，，
再将点的坐标代入可得．
4．已知双曲线两顶点坐标是，．虚轴长为，求双曲线方程．
解：两个顶点的中点坐标，所以双曲线的中心为，从而可以设双曲线为继而可得双曲线方程为．
5．已知两个定圆和，一动圆和它们都相外切，求动圆的圆心的轨迹方程．
解：由题，动圆的圆心到两圆圆心，的距离之差等于两圆的半径之差，所以其轨迹为一双曲线的右支，其中心为，两焦点为，，从而可得轨迹方程为
，
6．椭圆的中心在直线上滑动，对称轴作平行移动，
（1）求滑动时椭圆的方程．
（2）中心滑到何位置时，椭圆与直线相交所得的弦长为．
解：（1）．
（2），即中心为或．
7．已知的两个顶点，是椭圆的两个焦点，顶点在抛物线上移动．求的重心轨迹方程．
解：由题可得，，，设，由重心坐标公式，重心，所以的重心轨迹方程为．
8．已知抛物线的焦点和准线分别是椭圆的一个焦点和对应的准线，求这个椭圆的短轴端点的轨迹方程．
解：通过坐标变换分析，易知焦点为，准线为．
设椭圆短轴的一个端点为，则，，
由点到焦点的距离与到准线的距离之比是知：
，化简得，即．
16．2 坐标轴的旋转变换
基础练习
1．设旋转解，求新坐标系中的两点，在原坐标系中的坐标．
解：由坐标轴的旋转公式，．
2．设旋转角，求原坐标系中的两点，在新坐标系中的坐标．
解：由坐标轴的旋转公式可得，．
3．按所给的角臼旋转坐标轴，变换下列各方程：
（1），． （2），．
（3），． （4），．
解：直接利用坐标旋转公式：
（1）将代入得．
（2）将代入得．
（3）将代入得．
（3）将代入得．
4．利用坐标轴的旋转，化简下列方程，使其不含项．
（1）． （2）．
（3）． （4）．
解：为使其不含项，对二次曲线，旋转角满足．
（1），
将代入得．
（2），，
将代入得．
（3），
将代入得．
（4），
将代入得．
16．3 直线与圆锥曲线的参数方程
基础练习
1．若参数方程（为参数）表示的抛物线焦点总在一条定直线上，这条直线的方程是__________．
解：消去，可得，从而其焦点所在定直线为．
2．给定椭圆，如果存在过左焦点的直线交椭圆于，两点，且，则离心率的取值范围是__________．
解：直接联立直线与椭圆方程求解，的取值范围为．
3．设一椭圆中心为原点，长轴在轴上，离心率为，若圆上点与这个椭圆上点的最大距离为，试求这个椭圆的方程．
解：等价于圆心到椭圆上的点最大距离为，
设椭圆方程为，，则．
任取椭圆上一点，则，若，则当时，取最大值，即．，故矛盾．
若，则当时，取最大值，即．
，，则椭圆的方程为．
4．已知抛物线及定点，，，，是抛物线上的点，设直线，与抛物线的另一个交点分别为，，当变动时，直线恒过一个定点，此定点坐标为__________．
解：设，，，
由，，共线得，同理，，共线得，
设是直线上的点，则，
将以上三式中消去，，得：．
当，时上式恒成立，即定点为．
5．已知：设，为正实数，为参变量，则满足且的点的轨迹方程是__________．
解：由辅助角公式，，知，，所以点的轨迹方程为．
6．实数，满足，设，则的值为__________．
解：易知，设，代入，得．
于是，得，故，，故．
7．已知，求的值域．
解：设，，则，由此可知．
能力提高
8．过椭圆中心作互相垂直的两条弦，，设点，的离心角分别为和（这里的离心角是，等于说的坐标为），求的取值范围．
解：当，恰与坐标轴重合时，；
当，与坐标轴不重合时，令，，则，故．
由题意知，，
则，．故
；
．
取等号条件是，即的倾斜角为或时，故．
9．设动点在椭圆的内部，过作椭圆的弦，证明：，中必有一个不超过．
证明：弦所在直线的参数方程是，
代入椭圆方程得，
由韦达定理，上面方程两根满足：，
．
所以，，中必有一个不超过．
16．4 极坐标系
基础练习
1．在极坐标系中，作出下列各点的点：
（1），，，，．
（2），，，，，并说明这五个点有什么关系．
（3），，，，，并说明这五个点有什么关系．
解：（1）略．
（2）五个点在以极点为圆心半径为的圆上．
（3）五个点在倾斜角且过极点的直线上．
2．若，请判断极坐标方程和方程的关系．
解：这两个方程是等价的，，，均表示同一点．
3．已知，，为极点，求的面积．
解：，易得．
4．从极点作直线与直线相交于，在上取点，使得，求点的轨迹方程．
解：．
能力提高
5．求圆心为，半径为的圆的极坐标方程．
解：．
6．如图，求经过点，且与极轴垂直的直线的极坐标方程．
解：．
7．已知直线上三点的极坐标分别为，，，且，，均为正数．求证：
．
证：若过极点，则，结论成立．若不过极点，不妨设，则由三解形面积公式得，移项，两边除以即得．
16．5 圆锥曲线的极坐标方程
基础练习
1．求双曲线的实轴长．
解：对照圆锥曲线的统一极坐标方程，知实轴长为．
2．在极坐标系下，和圆相切的一条直线方程为（ ）．
（A） （B） （C） （D）
解：由题，该圆的直角坐标方程为，所以与该圆相切，故选B．
3．请判断极坐标方程所确定的曲线．
解：，故曲线的离心率大于，所以为双曲线．
4．曲线与曲线关于直线对称，求曲线的方程．
解：为极角，由极坐标的对称可得，．
5．求双曲线的直角坐标方程．
解：对照圆锥曲线的统一极坐标方程：，，同时注意到其右焦点位于原点处，故为．
能力提高
6．过抛物线的焦点作弦，求的值．
解：由统一方程，设，，
故，，得．
7．已知椭圆，为其左焦点，过作两直线，分别交椭圆于、和，且，求四边形面积最大值和最小值．
解：由得，，，，，
以为极点、为极轴建立极坐标系，则椭圆方程为．
依题意，不忍妨设，则，，，其中．
所以，
，
，又由得：．
当时，取最大值；
当时，取最小值．
8．已知椭圆，直线，是上的一点，射线交椭圆于点，又在上且满足，当点在上移动时，求的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．
解：以原点为极点，轴正方向为极轴建立极坐标系，
则椭圆和直线的极坐标方程分别是，．
设，，，则由得，
即．
变形整理．
将其转换成直角坐标系即．
所以所求点轨迹是中心为，长轴长为，短轴长为的椭圆（除去原点）．
16．6 解析几何的综合运用
能力提高
1．已知两曲线与关于轴对称，试判断它们是什么曲线．
解：，，，
所以是椭圆．
2．一抛物经的顶点和焦点分别是椭圆的左右焦点，求此抛物线的方程．
解：椭圆方程为，所以其左右焦点为，，
所以抛物线方程为．
3．将曲线先向右平移一个单位，再向下平移两个单位，得曲线．在直线上取一点，过作与曲线共焦点的椭圆，则所作的椭圆长轴最短时，求点的坐标．
解：曲线为，焦点为，．
点的选取为到两点距离之和最小的点，作关于直线的对称点，连接，交直线于，故点的坐标为．
4．如果双曲线经过平移坐标轴后得新方程，求新坐标系下的坐标原点在原坐标系下的坐标．
解：原双曲线为，经平移后双曲线中心变为，
故新坐标下的坐标原点在原坐标系下的坐标为．
5．已知圆和直线，求圆关于直线对称的圆方程．
解：考虑圆心的对称，．
6．抛物线沿轴平移__________个单位（正方向为正），沿轴平移__________个单位（正方向为正）后，与直线相切于．
解：的判别式等于零，又过点，所以．
7．设抛物线向右平移一个单位，向上平移两个单位后与直线相切，求切点坐标．
解：的判别式等于零，解得．
8．已知椭圆，试求对称中心到准线的距离．
解：中心，准线，可得距离为．
9．将椭圆在坐标平面上平行移动，使它的中心保持在上，当椭圆在截得弦长为时，求中心的坐标．
解：椭圆，联立与椭圆方程，可以解得中心坐标为或．
10．已知两个定圆和，一动圆与它们都相外切，求圆心的轨迹．
解：由题意，动圆的圆心到两圆圆心的距离之差等于两圆的半径之差，
所以其轨迹为一双曲线的右支，其中心为，两点为，，
从而可得轨迹为双曲线的右支．
11．直线到直线的角为且和圆相切，求的方程．
解：．
利用直线之间的到角公式可得：．
设直线方程为：．
则，所以的方程为或．
12．将曲线先向左平移个单位，再向上平移个单位，得曲线．在直线上任取点，以曲线的焦点为焦点，过作椭圆，问：点何处时，所作椭圆的长轴最短，并求出具有最短长轴的椭圆方程．
解：平移后曲线的方程为两焦点为，点到以上两点距离和最小，且在直线上，故，．
13．设圆与双曲线有四个交点，依顺时针方向排列为，，，．若直线、的倾角分别为，，求理：．
解：设圆的圆心为，
设直红的参数方程为：，
与双曲线的方程联立，可得：，
化简得：
，
则．
同理，设直线的参数方程为，
与双曲线的方程联立，可得．
化简，得
，
则．
由相交线定理可知
，
得，
，
得．
- 1 -
14．用旋转的方法证明曲线为抛物线．
解：提示：得用从标旋转公式即可
代入方程，可得
，
其中，
，
，
， ，．
为了使，则得，
只要取满足，即可．
则取，，
则．
，
则方程为：，此方程显然为抛物线方程，得证．第十七章 排列组合与二项式定理
17．1 乘法原理和加法原理
基础练习
1．个应届高中毕业生报考三所重点院校，每人报一所且只能报一所院校，则共有__________种不同的报名方法．
解：每位学生可以有种报考重点院校的方式，由乘法原理可得：．
2．在所有三位数中，有且只有两个数字相同的三位数有__________个．
解：（1）百位和十位一样，有种，
（2）百位和个位一样，有种，
（3）十位和个位一样，有种，一共种．
3．由，，，，，组成的没有重复数字的六位奇数的个数是__________．
解：首先末尾必须排奇数，其次最高位不排，则．
4．从到这个数字中选个数字组成没有重复数字的四位数，按下列要求分别求符合条件的个数．
①四位数中奇数的个数．②四位数中偶数的个数．③四位数中能被整除的个数．④四位数中大于的个数．⑤四位数中小于的个数．
解：①．②按首位是否为零分类，．③．④．⑤．
5．从，，，这四个数字中，任取两个分别作为分数的分子和分母．有几个是真分数 几个是假分数
解：（1）按照分母可以取，，分类，则．
（2）按照分母可以取，，分类，．
6．已知，，且方程是表示中心在原点的双曲线，则表示不同的双曲线最多有多少条
解：，则分，和，，则．
能力提高
7．在一张平面上画了2 007条互不重合的直线，，…，始终遵循垂直、平行交替的规则进行：,,，…．这条互不重合的直线的交点共有多少个
解：．
8．个学生各写一张贺卡放在一起，然后每人从中各取一张，但不能取自己写的那一张贺卡，则不同的取法共有多少种
解：由于先让一人甲去拿一种有种方法，假设甲拿的是乙写的贺卡，接下来让乙去拿，乙此时也有种方法，剩下两人中必定有一人自己写的贺卡还没有发出去．
这样两人只有一种拿法，，故答案为．
9．一天要排语文、数学、英语、生物、体育、班会六节课（上午四节，下午二节），要求上午第一节不排体育，数学课排在上午，班会课排在下午，有多少种不同排课方法
解：数学课排第一节，班会课排在下午，然后再排体育，则，
数学课不排第一节，先排数学，再排班会，再排体育课，则，
则有种不同排课方法．
10．如果一个三位正整数形如“”满足且，则称这样的三位数为凸数，求这样的凸数的个数．
解：对进行分类讨论，
由题意，当中间数是时，首位可取，个位可取，，故总的种数有，
当中间数为3时，首位可取1，2，个位可取0，1，2，故总的种数共有，
…，
当中间数为9时，首位可取1，2，…，8，个位可取0，1，2，…，8，故总的种数共有，
故所有凸数个数为，故答案为：240．
17．2 排列
基础练习
1．解方程：①．②．
解：①将排列写为分数形式，则，②．
2．10个人站成一排，要求甲，乙之间必须站4个人，则共有多少种不同的站法
解：甲，乙之间选4个人，然后把这6个人视为一个整体，则．
3．一场晚会有5个唱歌节目和3个舞蹈节目．3个舞蹈节目在节目单中的先后顺序固定，可排出多少种不同的节目单
解：3个舞蹈节目无先后顺序，则一共种，
3个舞蹈节目在节目单中的先后顺序固定，则有种．
4．一铁路线上原有”个车站．为适应客运需要，新增加了个车站，客运车票因此增加了62种．问现有多少个车站 （来回的车票不同）
解：，，则．
5．4位男生和4位女生围成一个圆圈，如果男女相问表演舞蹈，有多少种排法
解：．
6．6颗不同珍珠与6颗不同的玛瑙相隔串成一串项链，有多少种不同的串法
解： （项链可以翻转）．
7．有8个队比赛，采取淘汰制，在赛前抽签时，实际上可得到多少种不同的安排法
解：．
能力提高
8．2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王5名志愿者中选派4人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余3人均能从事这四项工作，求不同的选派方案数．
解：由题意知本题需要分类，
若小张或小赵入选，则有选法；
若小张、小赵都人选，则有选法，
根据分类计数原理知共有选法36种．
故答案为：36．
9．甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，求不同站法的总数．
解：由题意知本题需要分组解决，
由于对于7个台阶上每一个只站一人有种；
若有一个台阶有2人，另一个是1人共有种，
则根据分类计数原理知共有不同的站法种数是336种．
故答案为：336．
10．在的黑白相间的棋盘上，有多少种方法将8只互不攻击的车放在同色的格子里 （称放在棋盘的同一行或同一列的2只车是互相攻击的）
解：先考虑8只互不攻击的车放在黑色格里的方法种数，再考虑放在白色格里的方法种数．注意到，放在奇数行的黑格的车与放在偶数行的黑格的车不能互相攻击；同理：放在奇数行的白格的车与放在偶数行的白格的车不能互相攻击．
（1）将原棋盘中奇数行的黑格拼成一个的棋盘，有种方法放置5只互不攻击的车在此棋盘里．将原棋盘中偶数行的黑格拼成一个的棋盘，有种方法放置4只互不攻击的车在此棋盘里．
从而，共有种方法将9只互不攻击的车放在原棋盘的黑格里．再从9只车中拿走任意一只车满足条件且其中没有重复，于是共有种方法将8只互不攻击的车放在原棋盘的黑格里．
（2）将原棋盘中奇数行的白格，偶数行的白格分别拼成一个的棋盘，有种方法放置4只互不攻击的车在各自棋盘里，于是，共有种方法将8只互不攻击的车放在棋盘的白格里．
于是一共有种方法．
17．3 组合
基础练习
1．圆上有8个点，任意两点可连成弦，两弦交点在圆内的有__________个．
解：两弦的交点就是两弦的四个顶点构成的四边形的对角线的交点．于是两弦的交点数就是四边形的个数．于是，两弦交点在圆内的有．
2．以正方体的顶点为顶点的四面体个数是__________个．
解：正方体的八个顶点构成12个矩形，于是．
3．10个名额分配到八个班，每班至少一个名额，则有多少种不同的分配方法
解：由挡板法可得，．
4．100件产品中有4件次品，现抽取3件检查，
（1）恰好有一件次品的取法有__________种．
（2）既有正品又有次品的取法有__________种．
解：（1）．（2）．
5．12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有__________种．
解：．
6．从5双不同尺码的鞋子中任取4只，使其中至少有2只能配成一双，则有多少种不同的取法
解：4只鞋配成一双或配成两双，则．
7．如图17-2，点，，…，分别是四面体顶点或棱的中点，那么在同一平面上的四点组有多少个？
解：个．
8．，，，试证明：．
解：构造数学模型证明．全班有个人，从中选出个人当志愿者。原式等价于先把全班人分成两组，组人数为，组人数为．然后从，组中共选出人．
9．将两个和两个共4个字母填在的小方格内，每个小方格内至多填1个字母，若使用相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有多少种
解：．
10．平面上给定5个点，已知连接这些点的直线互不平行，互不垂直，也不重合．过每个点向其余四点的连线作垂线，这些垂线的交点最多能有多少个（不计已知的5个点）
解：垂线共有条，交点共有个，由于同一点所作垂线无交点，且同一直线的垂线无交点．共扣除个点．则实际有个．
17．4 其他几种排列组合
基础练习
1．有一排5个信号的显示窗，每个窗可亮红灯、绿灯或不亮灯，则共可发出的不同信号有多少种
解：每个窗有3种亮灯方式，由乘法原理可知：一共种方式．
2．组成的13个字母，可以组成多少个不同的13字母的单词？
解：中有个，个，个，个，于是共有个不同的单词．
3．晚会上共有9个演唱节目和4个舞蹈节目，要求每两个舞蹈节目之间至少有两个演唱节目．则有多少种不同的节目顺序表
解：··．
4．求的正整数解的组数．
解：，，，…，．
然后用挡板法解题，得到：．
5．，，，有组正整数解，求的最大值．
解：．
6．在1到之间有多少个整数的各位数字之和等于9
解：转化成方程的自然数解个数的问题，
等价于方程的正整数解个数的问题，．
7．3 570有多少不同的偶数因子
解：，偶数因子里一定有2，3，5，7，17四个质数的每一个质数可能有，可能没有．则．
能力提高
8．如果从1，2，…，14中，按从小到大的顺序依次取出以，，使同时满足：，，那么所有符合要求的不同取法有多少种
解：种．
9．有多少种方法将100表示成3的非负幂次的和的形式 （加数的不同排列是作同一种的表示方法）
解：402．
10．由数字1，2，3组成位数，且在位数中，1，2，3每一个至少出现1次，那么，这样的”位数有多少个
解：位数有个．
17．5 排列与组合的综合应用
基础练习
1．电梯里有7名乘客，在10层楼房的每一层停留，如果恰有3个乘客在同一层出去，有2个乘客在另一层同时出去，这样的下客方法有多少种
解：．
2．把2000个不加区分的小球分别放在10个不同的盒子里，使得第个盒子里至少有个球，则不同的方法总数是多少
解：，
即的正整数解的组数，等价于把1 955个一样的球分给10个人，每人至少得一个球．然后利用挡板法解题，．
3．路上有编号为1，2，3，…，10共十个路灯，为节约用电又看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，且两端的灯也不能关掉，则满足条件的关灯方法共有多少种
解：插空法解题，．
4．7粒相同的骰子扔在桌面上，可能出现多少种不同的结果
解：此问题为可重取组合数问题，用证明多元一次方程非负整数解的隔板模型做．
此问题即是求：的七元可重组合数的个数．
建立模型：7个相同的球排成一排，向八个间隔中插入5块隔板，一个间隔中可插多块．此时，第一块隔板左侧球的个数为1的个数，第一块和第二块间的球的个数为2的个数，依次类推．求插法总数．
为简化问题，在每块隔板左侧加一个球，题目变成12个球排成一排，向除了第一个球左边的间隔以外的12个间隔中插5块隔板，每个间隔只能插一块，求插法总数．．
5．3个白球，6个红球排成一个圆环，共有多少种排法
解：10种．
6．从，，…，中任取若干个数相加，使其和为偶数，问共有多少种不同的取法？
解：．
能力提高
7．个人围圆桌聚餐，甲、乙两人必须相邻，而乙、丙两人不得相邻，问有几种不同的坐法？
解：将甲乙两人视作一个整体，．
8．在圆周上顺时针方向依次放置着数，，…，10，从中取三个数，要求其中任意两个都不圆周上相邻的数，则共有多少种取法？
解：由容斥原理得（，，，）．
9．如图17-4所示，平面被分成六个区域，进行六染色，旋转后重合视为同一种，求染法总数．
解：．
10．空间有个平面，其中任意2个不平行，任意3个不共线，任意4个不共点，则空间被划分成多少个区域
解：．
11．若四位数，的各位数码以，，，，中，任三个数码皆可构成一个三角形的三条边长，则称为四位三角形数，试求所有四位三角形数的个数．
解：称为的数码组，则，，，{1，2，…，9}；
一、当数码组只含一个值，为，，2，…，9，共得9个值．
二、当数码组恰含两个值以，，．
（1）数码组为型，则任取三个数码皆可构成三角形，对于每个{2，…，9}，可取个值，则数码组个数为，对于每组，
有种占位方式，于是这种有个．
（2）数码组为型，据构成三角形条件，有．
的取值
中的个数 0
共得16个数码组，对于每组，有4种占位方式，于是这种有个．
（3）数码组为型，据构成三角形条件，有，同上得个数码组，对于每组，两个有种占位方式，于是这种有个．
以上共计个．
三、当数码组恰含三个值，，．
（1）数码组为型，据构成三角形条件，则有这种有14组，每组中，有种占位方式，于是这种有个．
（2）数码组为型，，此条件等价于{1，2，…，9}中取三个不同的数构成三角形的方法数，有34组，每组中，有种占位方式，于是这种有个．
（3）数码组为（，，，）型，，同情况（2），有个值．
以上共计个值．
四、，，，互不相同，则有，这种，，，有16组，每组有个排法，共得个值．
综上，全部四位三角形数的个数为个．
17．6 二项式定理
基础练习
1．求的展开式中系数最大的项．
解：．
2．已知的展开式中的系数为，求常数的值．
解：，则，
．得出：．
3．的展开式和第项小于第4项，求的取值范围．
解：，则，
．
4．若的展开式的常数项为，求．
解：当为正数时，，
常数项为，解得：．
当为负数时，，
常数项为，解得：．
综上：．
5．求在的展开式中含项的系数．
解：，则，则，则含项的系数为．
6．求展开式中含项的系数．
解：．
能力提高
7．在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项．
解：，则，则，，，
有理项为，，．
8．已知的展开式中项的系数与的展开式中项的系数相等，求解．
解：，．
9．的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．
解：，，依题意有．的展开式中，二项式系数最大的项为．
设第项系数最大，则有
．
则系数最大的项为，．最大的项为：，．
10．已知的展开式中有连续三项的系数之比为，这三项是第几项？若展开式的倒数第二项为，求的值．
解：，
，
，
联立：．这三项是第，，项．
展开式的倒数第二项为：．
则，或．
17．7 二项式定理的性质与应用
基础练习
1．记展开式中的项系数为，，，，…，．求．
解：，则．
2．若，（1）求的值．（2）求的值．（3）求的值．
解：（1）求二项展开式中各项系数之各，相当于去掉展开式中的示知字母，这可由赋值法令实现．则． ①
（2）若要求二项展开式中奇数项系数之和，可由赋值法令，
则． ②
将①，②两式相加得：，
则．
（3）将①，②两式相减得：，
则．
3．（1）求理论上：能被整除．
（2）求除以的余数．
解：（1）由于
，
则原式能被整除．
（2）
，
故被除的余数为．
4．的末尾连续零的个数是几个．
解：
则的末尾连续零的个数是个．
5．若，求证：．
解：
．
又，从而．
所以
．
故．
6．设，求数的个位数字．
解：令，则．
由二项式定理知，对任意正整数，
为整数，且个位数字为零．
因此，是个位数字为零的整数．下面对估值．
因为，且，
所以．故的个位数字为．
7．已知能被整除，求，．
解：
．
能力提高
8．设，．
（1）用，表示．
（2）当时，求．
（3）设，证明：数列是等比数列．
解：（1），
．
（2）．
（3），．
数列是等比数列．
9．已知，均为正整数，且，（其中），，求证：对一切，均为整数．
解：因为，且，，所以．
显然为的虚部，
．
所以．从而为的虚部．因为、为整数，根据二项式定理，的虚部当然也为整数，所以对一切，为整数．
10．观察下列等式：；；；- 6 -
；…由以上等式推测一个一般的结论：
对于，．
解：．
分别将，，，代入，即可得．
11．某市2005年底人口为万，人均住房面积为平方米，计划2009年底人均住房面积达到10平方米，如果该市将人口平均增长率控制在，则要实现上述计划，这个城市每年平均至少要新建住房面积为多少万平方米？（结果以万平方米为单位，保留两位小数）
解：高每年平均新增住房平方米，则2010年住房面积为
，
年人口数为，
依题意知，
解之得（万平方米）．第十八章 概率论初步与基本统计方法
18.1 随机事件和古典概型
基础练习
1．在60件产品中，有30件是一等品，20件是二等品，10件是三等品，从中任取3件，试计算：
（1）3件都是一等品的概率．
（2）2件是一等品、1件是二等品的概率．
（3）一等品、二等品、三等品各有1件的概率．
解：（1）．（2）．（3）．
2．盒中有规格相同的红、白、黑手套各3只，从中任意摸出2只恰好配成同色的概率为多少？
解：先选一个颜色出来，然后从同色中的3只中任选2只出来，则．
3．某班36人的血型情况为：型血12人，型血10人，型血8人，型血6人，若从班里随机叫出两人，两人血型相同的概率是多少？
解：．
4．一枚硬币连掷四次，试求：
（1）恰好出现两次是正面的概率．
（2）最后两次出现正面的概率．
解：（1）．（2）．
5．从一副去掉王牌的牌（52张）中，任取4张，求下列情况的概率：
（1）取出4张全是．
（2）取出4张的数字相同．
（3）取出4张全是黑桃．
（4）取出4张的花色相同．
解：取出4张有个结果．
（1）4张全是“”记为随机事件，只有一个结果，4手长为4个花色的，
故．
（2）取出4张的数字相同记为随机事件，52张牌中共有13种数字，每种数字有4个花色．
所以随机事件包括个基本事件，故所求随机事件概率为．
（3）取出4张全是黑桃记为随机事件，13张黑桃中取出4张，所以有．
（4）取出4张相同花色记为随机事件，4种花色选一种，在选出的花色中13张牌再选出4张相同花色，故随机事件共有个基本事件，故．
6．把4个相同的球放进3个不同的盒子，每个球进盒子都是等可能的．求：
（1）没有一个空盒子的概率．
（2）恰有一个空盒子的概率．
解：4个相同球放进3个不同的盒子，先加进3个球，变成7个相同球，放进3个不同盒子，保证每个盒子至少一个球，用隔板法解决，有个结果，再将多加进的球取出．
（1）“没有一个空盒子”记为随机事件，4个相同球放进3个不同的盒子，每个盒子至少一个球，用隔板法解决，有个结果，故．
（2）“恰好有一个空盒子”记为随机事件，先选一个盒子，4个相同球放进2个不同盒子，每个盒子至少一个球，所以随机事件包含个结果，故．
7．抛掷两颗骰子，计算：（1）事件“两颗骰子点数相同”的概率．（2）事件“点数之和小于7”的概率．
解：（1）．（2）事件“点数之和小于7”为（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（4，1），（4，2），（5，1），则概率为．
8．、、、、五人分四本不同的书，每人至多分一本．求：
（1）不分甲书，不分乙书的概率．（2）甲书不分给、，乙书不分给的概率．
解：（1）（或）（2）．
9．一批产品共有82只，其中6只特级品，现任意取出2只，求：
（1）全是特级品的概率．（2）只有1只是特级品的概率．（3）都不是特级品的概率．
解：（1）．（2）．（3）
10．有九张卡片分别写着数字1、2、3、4、5、6、7、8、9，甲、乙两人依次从中各抽取一张卡片（不放回）．
（1）求甲抽到写有奇数数字卡片，且乙抽到写有偶数数字的概率．
（2）求甲、乙两人至少抽到一张奇数数字卡片的概率．
解：（1）；（2）．
11．设有个人，每个人都等可能地被分配到个房间中的任意一间去住，求下列事件的概率：
（1）指定的个房间各有一个人住．
（2）恰好有个房间，每问各住一个人．
解：由于每个人有个房间可供选择，所以个人住的方式共有种，它们是等可能的，
则（1）指定个房间各有一个人住记作事件：可能的总数为!则．
（2）恰好有个房问其中各住一人记作事件，则这个房间从个房间中任选共有个，由（1）可知：．
12．有5个1克砝码，3个3克砝码和2个5克砝码，任意取出3个砝码，求：
（1）其中至少有2个砝码同样重量的概率．
（2）3个砝码总重量为7克的概率．
解：（1）．（2）．
能力提高
13．由数据1，2，3组成可重复数字的三位数，试求三位数中至多出现两个不同数字的概率．
解：．
14．从一箱产品中随机地抽取一件产品，设事件“抽到的是一等品”，事件 “抽到的是二等品”，事件 “抽到的是三等品”，且已知，，，求下列事件的概率：
（1）事件“抽到的是一等品或二等品”．
（2）事件 “抽到的是二等品或三等品”．
解：（1）．
（2）．
15．从1到9九个数字中不重复地取出3个组成3位数，求：
（1）这个3位数是偶数的概率．
（2）这个3位数是5的倍数的概率．
（3）这个3位数是4的倍数的概率．
（4）这个3位数是3的倍数的概率．
解：9个数字中取出3个组成3位数，有个结果．
（1）“3位数是偶数”记为随机事件，有个结果，．
（2）“3位数是5的倍数”记为随机事件，末尾须是5，故随机事件包含个结果，
所以．
（3）“3位数是4的倍数”记为随机事件，3位数是4的倍数须后两位能被4整除，
后两位可以是12、16、24、28、32、36、48、52、56、64、68、72、76、84、94、98，只要定下百位即可，所以随机事件包含个结果，故．
（4）“3位数是3的倍数”记为随机事件，3位数是3的倍数须各个位置上的数字之和
能被3整除，9个数字，其中3、6、9能被3整除，1、4、7被3除余1，2、5、8被3除余2，
所以3位数被3整除包括4种情况：三个数字均被3整除；三个数字都被3除余1；
三个数字都被3除余2；三个数字一个被3整除、一个被3除余1、一个被3除余2，故
．
16．某条公共汽车线路沿线共有11个车站（包括起点站和终点站），在起点站开出的一辆公共汽车上有6位乘客，假设每位乘客在起点站之外的各个车站下车是等可能的．求：
（1）这6位乘客在互不相同的车站下车的概率．
（2）这6位乘客中恰有3人在终点站下车的概率．
解：（1）；（2）．
17．在某次数学考试中，甲、乙、丙三人及格（互不影响）的概率分别是0．4、0．2、0．5，考试结束后，最容易出现几个人及格？
解：（1）三人都及格的概率，
（2）三个人都不及格的概率，
（3）恰有两人及格的概率，
（4）恰有一人及格的概率．
由此可知，最容易出现的是恰有一人及格的情况．
18．2频率与概率
基础练习
1．一个容量为20的样本数据，分组后，组距与频数如下：（10，20]，2；（20，30]，3；（30，40]，4；（40，50]，5；（50，60]，4；（60，70]，2．则样本在区间上的频率为__________．
解：．
2．一个容量为40的样本数据分组后组数与频数如下：（25，25．3]，6；（25．3，25．6]，4；（25．6，25．9]，10；（25．9，26．2]，8；（26．2，26．5]，8；（26．5，26．8]，4；则样本在（25，25．9]上的频率为__________．
解：．
3．为了了解中学生的体能情况，抽取了某校一个年级的部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图18—3），已知图中从左到右前三个小组的频率分别为，，，第一小组的频数为5．
则第四小组的频率__________；
参加这次测试的学生有__________人．
解：；．
4．下列说法正确的是（ ）．
A．任何事件的概率总是在（0，1）之间
B．．概率是随机的，在试验前不能确定
C．．频率是客观存在的，与试验次数无关
D．．随着试验次数的增加，频率一定会越来越接近概率
解：正确选项为．
5：连续抛掷10次硬币，出现5次“正面朝上”的概率是（ ）．
A．变化的量，不同的人得到的概率也不同
B．模拟的次数不同，其概率也不同
C．
D．是个确定的值，但不是
解：正确选项为．
6．某射击手在同一条件下进行射击，结果如下：
射击次数 20 50 100 200 500
击中靶心次数 9 19 45 91 179 456
击中靶心的频率
（1）计算表中击中靶心的各个频率．
（2）这个射击手射击一次，击中靶心的概率约是多少？
解：（1），，，，，．（2）．
能力提高
7．从正方体的八个顶点中随机选取三点，构成直角三角形的概率是__________．
解：从矩形中选三角形，正方体中一共有12个矩形．．
8．设和分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量表示方程实根的个数（重根按一个计）．
（1）求方程有实根的概率．
（2）求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程有实根的概率．
解：（1）基本事件总数为，
若使方程有实根，则，即．
当时，，3，4，5，6；
当时，，4，5，6；
当时，，5，6；
当时，，5，6；
当时，，6；
当时，，6，
目标事件个数为，
因此方程有实根的概率为．
（2）记“先后两次出现的点数中有5”为事件，“方程有实根”为事件，
则，，．
18.3几何概型
基础练习
1．如图18—7，是由一个圆、一个三角形和一个长方形构成的组合体，现用红、蓝两种颜色为其涂色，每个图形只能涂一种颜色，则三个形状颜色全相同的概率为（ ）．
A． B．
C． D．
解：正确选项为．
2．如图18—8所示：向边长为2的正方形内随机地投飞镖，假设飞镖都能投入正方形内，且投到每个点的可能性相等，则飞镖落在阴影部分的概率是（ ）．
A． B．
C． D．
解：正确选项为．
3．在1升高产小麦种子中混入了一种带麦锈病的种子，从中随机取出10毫升，求取出的种子中含有麦锈病的种子的概率．
解：．
4．平面上画了一些彼此相距的平行线，把一枚半径的硬币任意掷在这平面上，求硬币不与任一条平行线相碰的概率．
解：由于硬币的半径为，则当硬币的中心到直线的距离时，硬币与直线不相碰．
能力提高
5．如图18—9所示，在中，，，高．在内作射线交于点，求的概率．
解：由几何概率模型可知，，．
6．某人午觉醒来，发现表停了（见图18—10），他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率．
解：由几何概率模型可知，．
7．在坐标系中是且的点构成的区域，是由到原点的距离不大于1的点构成的区域．向中随机投一点，求落入中的概率．
解：由几何概率模型可知，落入中的概率为．
8．若连续掷两颗骰子分别得到的点数，作为点的坐标，求点落在圆内的概率．
解：基本事件的总数为个，记事件，则所包含的基本事件为（1，1），（2，2），（1，3），（1，2），（2，3），（3，1），（3，2），（2，1），共8个．则概率为．
9．有五条线段长度为1，3，5，7，9从中任取3条．求不能构成三角形的概率．
解：能构成三角形的组数为（3，5，7），（3，7，9），（5，7，9），．
10．在面积为的的边上任取一点，求的面积大于的概率．
解：由几何概率模型可知，概率为．
11．一个骰子掷两次，记第一次出现的点数为，第二次出现的点数为．试就方程组
，解答下列各题：
（1）求方程组只有一个解的概率．
（2）求方程组只有正数解的概率．
解：事件的基本事件有36个．
由方程组，可得．
（1）方程组只有一个解，需满足，
而的事件有共3个．
所以方程组只有一个解的概率为
．
（2）方程组只有正数解，需且
，即或
其包含的事件有13个：，，，，，，，，，，，，．
因此所求的概率为．
18.4概率的加法公式和乘法公式
基础练习
1．抛掷一颗骰子，观察掷出的点数．设事件为“出现偶数点”，为 “出现3点”，求：
（1），．（2）求“出现偶数点或3点”的概率．
解：（1）．（2）．
2．甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率是．计算：
（1）两人都击中目标的概率．
（2）其中恰有1人击中目标的概率．
（3）至少有1人击中目标的概率．
解：（1）．
（2）
．
（3）．
3．甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到，，，四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．求：
（1）甲、乙两人同时参加岗位服务的概率．
（2）甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率．
解：（1）．（2）．
4．从1，2，3，…，30中任意选一个数，求下列事件的概率：
（1）是偶数． 。
（2）能被3整除．
（3）是偶数且能被3整除．
（4）是偶数或能被3整除．
解：（1）． （2）．
（3）． （4）．
5．某游戏中，一个珠子从如图18—11所示的通道由上至下滑下，从最大面的六个出口出来，规定猜中出口者为胜．如果你在该游戏中，猜得珠子从出口3出来，求你取胜的概率．
解：．
能力提高
6．一电路由电池与两个并联的电池和串联而成，见图18—12．设、、损坏的概率分别为0．3，0．2，0．2，求电路发生间断的概率．
解：通路的概率，
电路发生间断的概率为0.328．
7．两个人射击，甲射击一次中靶概率是，乙射击一次中靶概率是，求：
（1）两人各射击1次，中靶至少1次就算完成目标，则完成目标概率是多少？
（2）两人各射击2次，中靶至少3次就算完成目标，则完成目标的概率是多少？
（3）两人各射击5次，是否有的把握断定他们至少中靶1次？
解：．
（2）中靶3次的概率，
中靶4次的概率，则中靶至少3次的概率为．
（3），能断定．
8．如图18—13，已知电路中4个开关闭合的概率都是，且是相互独立的，求电路正常工作的概率．
解：上面一条线路通的概率为，
下面一条线路通的概率为，
电路正常工作的概率为．
9．一个口袋中有3个黑球，2个白球，1个红球，规定从中摸出1个黑球记1分，摸出1个白球记2分，摸出1个红球记3分．
（1）求从中摸出2个球，记4分的概率．
（2）求从中摸出3个球，记6分的概率．
（3）若每次摸出1个球，记分后再放回，求摸3次记6分的概率．
解：（1）4分的情况可能是或，．
（2）6分的情况可能是，．
（3）6分的情况可能是或，
．
10．用、、三类不同元件连接成两个系统、（见图18—14），当元件、、都正常工作时，系统正常工作；当元件正常工作且元件、至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知元件、、正常工作的概率依次为、、，分别求系统、正常工作的概率、．
解：分别记元件、、正常工作为事件、、，由已知条件，得
，，．
（1）因为事件、、是相互独立的，所以系统正常工作的概率
．
故系统正常工作的概率为．
（2）系统正常工作的概率
，
，
．
故系统正常工作的概率为．
11．设每一架飞机引擎在飞行中故障率为，且各引擎是否发生故障是独立的，如果有至少的引擎能正常运行，飞机就可以成功地飞行．问对于多大的而言，4引擎飞机比2引擎飞机更安全？
解：4引擎飞机成功飞行的概率为
．
2引擎飞机成功飞行的概率为．
要使4引擎飞机比2引擎飞机安全，只要．
化简，分解因式得．
所以，即得．
即当引擎不出故障的概率不小于时，4引擎飞机比2引擎飞机安全．
12．对贮油器进行8次独立射击，且第一次命中只能使汽油流出而不燃烧，第二次命中才能使汽油燃烧起来，每次射击命中目标的概率为，求汽油燃烧起来的概率．（结果保留3个有效数字）
解：其概率为：…．
13．飞机俯冲时，每支步枪射击飞机的命中率为．求：
（1）250支步枪同时独立地进行一次射击，飞机被击中的概率．
（2）要求步枪击中飞机的概率达到，需要多少支步枪同时射击？
解：（1）．
（2），得出：，故．
14．图18—15中甲、乙连接的6个元件，它们断电的概率第一个为，第二个为，其余四个都为．分别求甲断电、乙通电的概率．
解：图甲：电器断电的概率．
图乙：通路的概率．
15．工商局于2003年3月份，对全省流通领域的饮料进行了质量监督抽查，结果显示，某种刚进入市场的饮料的合格率为，现有甲，乙，丙3人聚会，选用6瓶饮料，并限定每人喝2瓶，求：
（1）甲喝2瓶合格的饮料的概率．
（2）甲，乙，丙3人中只有1人喝2瓶不合格的工饮料的概率（精确到）．
解：（1）甲喝2瓶饮料都合格的概率为．
（2）甲．，乙，丙3人中只有1人喝2瓶不合格的饮料的概率为．
16．三人分别独立解一道题，已知甲做对这道题的概率是，甲、丙两人都做错的概率是，乙、丙两人都做对的概率是．求：
（1）乙、丙两人各自做对这道题的概率．
（2）甲、乙、内二人中全少有两人做对这道题的概率．
解：（1）记甲、乙、丙三人独立做对这道题的事件依次为、、，则由已知条件得．
由于，
又，
解得．
则乙、丙两人各自做对这道题的概率分别为，．
（2）甲、乙、丙三人中恰好有两人做对这道题的概率为
；
甲、乙、丙三人都做对这道题的概率为；
则甲、乙、丙三人中至少有两人做对这道题的概率为
．
17．甲、乙两人各投篮1次，设甲的命中率是，乙的命中率是．求：
（1）两人都命中的概率．
（2）至少一人命中的概率．
（3）恰有一人命中的概率．
解：（1）．
（2）．
（3）．
18.5 随机变量和数学期望
基础练习
1．随机变量的分布列如下：
其中，，成等差数列，若，则的值是__________．
解：，
则．
2．已知时刻一质点在数轴的原点，该质点每经过1秒就要向左或右跳动一个单位长度，已知每次跳动，该质点向左的概率为，向右的概率为．
（1）求秒时刻，该质点在数轴上处的概率．
（2）设秒时刻，该质点在数轴上处，求、．
解：（1）．
（2）则；．
3．甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为，
（1）记甲击中目标的次数为，求的概率分布及数学期望．
（2）求乙至多击中目标2次的概率．
（3）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率．
解：（1）的分布列为
0 1 2 3
．
（2）
（3）甲击中目标3次，或甲击中目标2次，则概率为．
4．高二（1）班的一个研究性学习小组在网上查知，某珍贵植物种子在一定条件下发芽成功的概率为，该研究性学习小组又分成两个小组进行验证性实验．
（1）第一组做了5次这种植物种子的发芽实验（每次均种下一粒种子），求他们的实验至少有3次成功的概率．
（2）第一小组做了若干次寿芽试验（每次均种下一粒种子）。如果存一次宴聆中种子发芽成功就停止实验，否则将继续进行下次实验，直到种子发芽成功为止，但发芽实验的次数最多不超过5次，求第二小组所做种子发芽实验的次数的概率分布列和期望．
解：（1）．
（2）的概率分布列为
2 3 4 5
5．某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为、、，且各轮问题能否正确回答互不影响．
（1）求该选手被淘汰的概率．
（2）该选手在选拔中回答问题的个数记，求随机变量的分布列与数学期望．（注：本小题结果可用分数表示）
解：（1）．
（2）的分布列为
1 2 3
则．
6．厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品．
（1）若厂家库房中的每件产品合格的概率为，从中任意取出4件进行检验．求至少有1件是合格品的概率．
（2）若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收．求该商家可能检验出不合格产品数的分布列及期望，并求该商家拒收这批产品的概率．
解：（1）．
（2）
1 2
商家拒收这批产品的概率为．
7．某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的分布列为：
2 3 4 5
商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．表示经销一件该商品的利润．
（1）求事件：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率．
（2）求的分布列及期望．
解：（1）由表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”，
知表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”．
，
．
（2）的可能取值为200元，250元，300元．
，，
．的分布列为
300
（元）．
8．某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）．该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图18—16所示．
（1）求合唱团学生参加活动的人均次数．
（2）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率．
（3）从合唱团中任选两名学生，用表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望．
解：（1）该合唱团学生参加活动的人均次数为
．
（2）从合唱团中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率为．
（3）的分布列：
１ ２
的数学期望：．
能力提高
9．一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是．
（1）若袋中共有10个球：
①求白球的个数；
②从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为，求随机变量的数学期望．
（2）求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于，并指出袋中哪种颜色的球个数最少．
解：（1）①故白球有5个．
②随机变量的分布列是
1 2 3
的数学期望：．
（2）设总球数为，则黑球数为，则从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率为．
因为为单调递减别，
则，得证．
从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是．从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于，且．由此可知，袋中自球的数目多于黑球数目．
已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是，则从袋中任意摸出1个球，得到白球的概率是大于，且从袋中任意摸出l个球，得到红球的概率是小于，因此袋中红球的数目最少．
10．某项考试按科目、科目依次进行，只有当科目成绩合格时，才可继续参加科目的考试．已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书．现某人参加这项考试，科目每次考试成绩合格的概率均为，科目每次考试成绩合格的概率均为．假设各次考试成绩合格与否均互不影响．
（1）求他不需要补考就可获得证书的概率．
（2）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为，求的数学期望．
解：设“科目第一次考试合格”为事件，“科目补考合格”为事件；“科目第一次考试合格”为事件，“科目补考合格”为事件．
（1）不需要补考就获得证书的事件为，注意到与相互独立，则．
答：该考生不需要补考就获得证书的概率为．
（2）由已知得，，注意到各事件之间的独立性与互斥性，可得
．
，
，
故．
答：该考生参加考试次数的数学期望为．
11．甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空．比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止．设在每局中参赛者胜负的概率均为，且各局胜负相互独立．求：
（1）打满3局比赛还未停止的概率．
（2）比赛停止时已打局数的分别列与期望．
解：（1）令甲、乙中胜者为，败者为．由题意可知与丙中胜者必为丙，（丙），且与丙中胜者必为，．（丙）．
（2）的分布列
2 3 4 5 6
从而（局）．
12．某射击测试规则为：每人最多射击3次，击中目标即终止射击，第次击中目标得分，3次均未击中目标得0分．已知某射手每次击中目标的概率为，其各次射击结果互不影响．
（1）求该射手恰好射击两次的概率．
（2）该射手的得分记为，求随机变量的分布列及数学期望．
解：（1）．
（2）的分布列为
0 1 2 3
0.008 0.032 0.16 0.8
．
13．已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．
（1）求取出的4个球均为黑球的概率．
（2）求取出的4个球中恰有1个红球的概率．
（3）设为取出的4个球中红球的个数，求的分布列和数学期望．
解：（1）．
（2）．
（3）可能的取值为，1，2，3．由（1），（2）得，，，
从而．
的分布列为
1 2 3
的数学期望．
18.6 总体和样本
基础练习
1．在用样本频率估计总体分布的过程中，下列说法中正确的是（ ）．
A．总体容量越大，估计越精确 B．．总体容量越小，估计越精确
C．．样本容量越大，估计越精确 D．．样本容量越小，估计越精确
解：正确选项为．
2．已知某机床生产某种产品，每生产件这样的产品的次品数经观察得下表：
次品数 0 1 2 3
频率
则估计该机床生产这种产品l 000件的次品数的方差．
解：．
3．甲、乙两支女子曲棍球队在去年的国际联赛中，甲队平均每场进球数为，全年比赛进球个数的标准差为3；乙队平均每场进球数为，全年比赛进球个数的标准差为．下列说法正确的个数是__________．
①甲队的技术比乙队好；②乙队发挥比甲队稳定；
③乙队几乎每场都进球；④甲队的表现时好时坏．
解：4．
4．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表：
甲的成绩
环数 7 8 9 10
频数 5 5 5 5
乙的成绩
环数 7 8 9 10
频数 6 4 4 6
丙的成绩
环数 7 8 9 10
频数 4 6 6 4
，，分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，试比较，，的大小．
解：．
5．已知样本数据，，…，的方差为4，求数据，，的标准差．
解：．
6．在北京市“危旧房改造”中，小强一家搬进了回龙观小区．这个小区冬季用家庭燃气炉取暖．为了估算冬季取暖第一个月使用天然气的开支情况，从11月15日起，小强连续八天每天晚上记录了天然气表显示的读数，如下表（注：天然气表上先后两次显示的读数之差就是这段时间内使用天然气的数量）：
日期 日 16日 17日 18日 19日 20日 21日 日
天然气表显示读数 （单位：） 220 229 241 249 259 270 279 290
小强的妈妈11月15日买了一张面值600元的天然气使用卡，已知每立方米天然气元，请你估算这张卡够小强家用一个月（按30天计算）吗？为什么？
解：每天平均用量： 一个月用量：
一个月费用：，所以够用．
7．小明家准备五月一日到外地旅游，通过上网调查，小明发现：旅游目的地的气温与海拔高度之间存在着密切关系．某日，该地日平均气温情况如下表所示（参见图18—17）：
海拔（单位：） 0.5 1 1.2 1.5 2 2.4 2.6 3
气温（单位：℃） 18 15.1 13.8 12.1 9 6.6 5.3 3
若小明家有一旅游目标景点处于该地海拔米处，问按气温与海拔高度之问的变化规律，当日该景点处的日平均气温应该约为多少摄氏度？
解：℃．
8．从某校2 100名学生随机抽取一个30名学生的样本，样本中每个学生用于课外作业的时问（单位：）依次为：75，80，85，65，95，100，70，55，65，75，85，110，120，80，85，80，75，90，90，95，70，60，60，75，90，95，65，75，80，80．求该校的学生中作业时间超过一个半小时（含一个半小时）的学生有多少人．
解：．
18.7抽样技术与统计估计
基础练习
1．已知甲、乙两名同学在五次数学测验中的得分如下：甲：85，9l，90，89，95；乙：95，80，98，82，95．则甲、乙两名同学数学学习成绩（ ）．
A．甲比乙稳定 B．．甲、乙稳定程度相同
C．．乙比甲稳定 D．．无法确定
解：选项．
2．假设吉利公司生产的“远景”、“金刚”、“自由舰”三种型号的轿车产量分别是辆、辆和辆，为检验公司的产品质量，现从这三种型号的轿车中抽取48辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取（ ）．
A．16，16，16 B．8，30，10
C．4，33，11 D．12，27，9
解：选项．
3．从个编号中抽取20个号码入样，采用系统抽样的方法，则抽样的间隔为（ ）．
A．99 B． C．100 D．
解：选项．
4．某公司甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点．公司为了调
查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其收入和售后服务等情况，记这项调查为②．则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是（ ）．
A．分层抽样法，系统抽样法 B．分层抽样法，简单随机抽样法
C．系统抽样法，分层抽样法 D．简单随机抽样法，分层抽样法
解：选项．
5．一个容量为40的样本数据分组后组数与频数如下：，6；，4；，10；，8；，8；，4．则样本在上的频率为（ ）．
A． B． C． D．
解：选项．
6．由小到大排列的一组数据：，，，，，其中每个数据都小于，则样本2，，， ，，，的中位数可以表示为（ ）．
A． B． C． D．
解：选项．
7．有一个简单的随机样本：10，12，9，14，13，则样本平均数__________，样本方差__________．
解：；．
8．某学校共有教师490人，其中不到40岁的有350人，40岁及以上的有140人．为了了解普通话在该校中的推广普及情况，用分层抽样的方法，从全体教师中抽取一个容量为70人的样本进行普通话水平测试，其中在不到40岁的教师中应抽取的人数为__________．
解：50．
9．为了了解中学生的体能情况，抽取了某校一个年级的部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图18—20），已知图中从左到右前三个小组的频率分别为，，，第一小组的频数为5．则第四小组的频率__________；参加这次测试的学生有__________人．
解：，50．
10．若取值为，，…，的频率分别为，，…，，则这组数据的平均数为__________．
解：…．
11．某地派出所要了解辖区平均每户的人口数，为方便实施抽样，规定先从20个居委会中抽取4个居委会，再从人样的居委会中等可能地抽取户．为了保证辖区内每户入样的概率相等，应等可能抽样还是不等可能抽样？如果不是等可能抽样，那么每个居委会人样的概率应是多少？现假定第个居委会有户，，2，…，20，各不相同，试问每户入样的概率是多少？
解：在抽居委会时，采用不等可能抽样，抽样的概率为；而在第个居委会抽取户时应是等可能地抽取，每户入样的概率为，，2，…，20，所以最终抽取样本入样的概率为，是等可能的．
12．某地区为了了解知识分子的年龄结构，随机抽样50名，其年龄分别如下：
42，38，29，36，41，43，54，43，34，44，
40，59，39，42，44，50，37，44，45，29，
48，45，53，48，37，28，46，50，37，44，
42，39，51，52，62，47，59，46，45，67，
53，49，65，47，54，63，57，43，46，58．
（1）列出样本频率分布表．
（2）画出频率分布直方图．
（3）估计年龄在岁的知识分子所占的比例约是多少．
解：（1）极差为，取组距为5，分为8组．样本频率分布表：
分组 频 数 频 率
3 0.06
5 0.10
8 0.16
15 0.30
7 0.14
5 0.10
4 0.08
3 0.06
合 计 50 1.00
（2）样本频翠分布直方图：略．
（3）年龄在岁的知识分子约占．
13．在生产过程中，测得纤维产品的纤度（表示纤维粗细的一种量）共有100个数据，将数据分组如右表：
分组 频数
4
25
30
29
10
2
合计 100
（1）完成频率分布表，并画出频率分布直方图．
（2）估计纤度落在中的概率及纤度小于的概率．
（3）统计方法中，同一组数据常用该组区问的中点值（例如区间的中点值是）作为代表．据此，估计纤度的期望．
解：（1）频率分布直方图如题13解析图．
分组 频数 频率
4 0.04
25 0.25
30 0.30
29 0.29
10 0.10
2 0.02
合计 100 1.00
（2）纤度落在中的概率约为，纤度小于的概率约为．
（3）总体数据的期望约为
．
14．对某种电子元件进行寿命追踪调查，情况如下：
寿合
个数 20 30 80 40 30
（1）列出频率分布表．
（2）画出频率分布直方图．
（3）估计电子元件寿命在以内的概率．
（4）估计电子元件寿命在以上的概率．
（5）估计总体的数学期望值．
解：（1）样本频率分布表：
分 组 频 数 频 率
20 0.10
30 0.15
80 0.40
40 0.20
30 0.15
合 计 200 1.00
（2）样本频率分布直方图：略
（3）．
（4）．
（5）．
18.8概率的综合应用
能力提高
1．先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为，．
（1）求直线与圆相切的概率．
（2）将，，5的值分别作为三条线段的长，求这三条线段能围成等腰三角形的概率．
解：（1）先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为，，事件总数为．
由于直线与圆相切的充要条件是
，即，，．
直线与圆相切的概率是．
（2）先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为，，事件总数为．
由于三角形的一边长为5
则当时，，（1，5，5） 1种
当时，，（2，5，5） 1种
当时，，5，（3，3，5），（3，5，5） 2种
当时，，5，（4，4，5），（4，5，5） 2种
当时，，2，3，4，5，6，（5，l，5），（5，2，5），（5，3，5），（5，4，5），（5，5，5），（5，6，5）6种
当以时，，6，（6，5，5），（6，6，5） 2种
故满足条件的不同情况共有14种，三条线段能围成不同的等腰三角形的概率为．
2．某电路如图18—21所示，在某段时间内，开关、、、能接通的概率都是．计算这段时间内电灯不亮的概率．
解：通的概率为，、通的概率为，
、、形成的电路通的概率为，
则．
3．在1，2，…，2 006中随机选取三个数，求能构成递增等差数列的概率．
解：，则，同奇同偶，则．
4．在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较．在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂．现有芳香度分别为0，1，2，3，4，5的六种添加剂可供选用．根据试验设计原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验．用表示所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和．
（1）写出的分布列（以列表的形式给出结论，不必写计算过程）．
（2）求的数学期望（要求写出计算过程或说明道理）．
解：（1）
1 2 3 4 5 6 7 8 9
（2）．
5．甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，且各人正确与否相互之间没有影响．用表示甲队的总得分．
（1）求随机变量分布列和数学期望．
（2）用表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求．
解：（1）所以的分布列为
0 1 2 3
的数学期望为．
（2）对于乙的分布列为
0 1 3 3
．
6．过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，求任选两条为异面直线的概率．
解：全部情况有种，记“15条直线中任选两条为异面直线”为事件，而要使两直线异面，只需四点不共面，且不共面的四点可连成3组异面直线，则事件的可能情况有3种，故．即任选两条为异面直线的概率为．
7．已知点，，…，分别是四面体的顶点或棱的中点，求四点组（，，，）在同一平面上的概率．
解：因均含，故全部的基本事件有种，
记“四点组（，，，）在同一平面”为事件，可能的情况有
（1）从四个面选，有种；（2）含的每条棱上三个点与它异面的棱的中点组成四点共面，有三种情况．故事件有种不同结果．所以．
8．现有、、、四个长方体容器，、的底面积均为，高分别为，；、的底面积均为，高也分别为，（其中的概率为）．现规定一种甲乙两人的游戏规则：每人从四种容器中取两个盛水，盛水多者为胜，如果盛水相同则先取者负，甲在未能确定与大小的情况下先取了，然后随机又取了一个，那么甲先取时胜乙的概率有多大？
解：依题意可知，、、、四个容器的容积分别为，，，．
按照游戏规则，甲先取，则只有三种不同的取法：①取、；②取、；③取、．
问题的实质是比较两个容器和的大小．
①若先取、，则后取者只能取、．
由于，显然，- 1 -
则当时，，这时甲才胜．
②若先取、，则后取者只能取、．
由于，显然，
则当时，，这时甲才胜．
③看先取、，则后取者只能取、．
由于
又，，，则，即先取、时，甲必胜．
甲先取再取或的事件发生的概率为，且的概率为，
此时甲胜的概率为．
同样，若甲先取再取的事件发生的概率为，此时甲胜的概率为．
所以，甲取胜的概率为．
9．猎人在距离100米时开始射击野兔，命中率是而．如果第一次未射中，则进行第二次射击，但此时射击距离为150米．如果第二次未射中，则进行第三次射击，但此时射击距离为200米．若第三次未射中，则不再射击，已知猎人命中概率和距离的平方成反比，求猎人命中野兔的概率．
解：设三次射击为事件，，．
，令，则，
所以，，
故命中野兔概率为：．
