【双减-同步分层作业】27.2.3相似三角形应用举例（含解析）
文档属性
| 名称 | 【双减-同步分层作业】27.2.3相似三角形应用举例（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.7MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-02-18 15:01:31 | ||
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文档简介
中小学教育资源及组卷应用平台
【双减—同步分层作业】27.2.3相似三角形应用举例
1、 知识梳理
1 2
1、如图，某同学利用标杆BE测量教学楼的高度，已知标杆BE高1.5m，测得AB＝1.2m，BC＝12.8m，则教学楼CD的高度是 m．
2、如图是小孔成像原理的示意图，点O与物体AB距离为30cm，与像CD的距离是14cm，AB∥CD．若物体AB的高度为15cm，则像CD的高度是 cm．
二、夯实基础（必做题）
1 2
1、如图,小明在打网球时,要使球恰好能过网,而且落在离网5 m的位置上,则球拍击球的高度h应为( )
A.1.8 m B.2.7 m C.3.6 m D.4.5 m
2、据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体AB在幕布上形成倒立的实像CD．若物体AB的高为6cm，小孔O到物体和实像的水平距离BE，CE分别为8cm，6cm，则实像CD的高度为（ ）
A．4cm B．4.5cm C．5cm D．6cm
3 4 6
3、图1是装满了液体的高脚杯（数据如图），用去部分液体后，放在水平的桌面上如图2所示，此时液面AB＝（ ）
A．4cm B．3cm C．cm D．cm
4、如图，有一块三角形余料ABC，它的面积为36cm2，边BC＝12cm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，则加工成的正方形零件的边长为（ ）cm．
A．8 B．6 C．4 D．3
5、已知某建筑物在地面上的影长为36 m,同时高为1.2 m的测杆影长为2 m,则该建筑物的高为 ________m.
6、如图,某水平地面上建筑物的高度为AB,在点D和点F处分别竖立高是2 m的标杆CD和EF,两标杆相隔52 m,并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内.从标杆CD后退2 m到点G处,在G处测得建筑物顶端A和标杆顶端C在同一条直线上;从标杆FE后退4 m到点H处,在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一直线上,则建筑物的高是 m.
7 8 9
7、如图所示，用手电来测量古城墙高度，将水平的平面镜放置在点P处，光线从点A出发，经过平面镜反射后，光线刚好照到古城墙CD的顶端C处．如果AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝1.5米，BP＝1.8米，PD＝12米，那么该古城墙的高度是 米．
8、如图，有一块形状为Rt△ABC的斜板余料，∠A＝90°，AB＝6cm，AC＝8cm，要把它加工成一个形状为 DEFG的工件，使GF在边BC上，D、E两点分别在边AB、AC上，若点D是边AB的中点，则S DEFG的面积为 cm2．
9、甲、乙两同学测量一棵树的高度，在阳光下，甲同学测得一根1米长的竹竿的影长为0.8米，同时，乙同学测量时，发现树的影子不全落在地面上，如图，有一部分影子落在教学楼的墙壁上，其影长CD＝1.2米，落在地面上的影长BC＝2.4米，则树高AB的长是 米．
10、如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条边DF＝0.5m，EF＝0.3m，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝10m，求树高AB．
11、如图（1）是一种广场三联漫步机，其侧面示意图如图（2）所示，其中AB＝AC＝120cm，BC＝80cm，AD＝30cm，∠DAC＝90°．求点D到地面的高度是多少？
12、某市公共自行车的建设速度、单日租骑量等四项指标稳居全国首位，公共自行车车桩的截面示意图如图所示，AB⊥AD，AD⊥DC，点B，C在EF上，EF∥HG，EH⊥HG．已知AB＝80cm，AD＝24cm，BC＝25cm，EH＝4cm，求点A到地面的距离．
13、如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成矩形零件PQMN，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上．
（1）求证：△APQ∽△ABC；
（2）若这个矩形的边PN：PQ＝2：1，则这个矩形的长、宽各是多少？
三、能力提升（中等生加练题）
1、西安市的大雁塔又名“慈恩寺塔”，是国家级文物保护单位，玄奘为保存由天竺经丝绸之路带回长安的经卷主持修建了大雁塔，最初五层，后加盖至九层，是西安市的标志性建筑之一，某校社会实践小组为了测量大雁塔的高度，在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，大雁塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得EC＝4米，将标杆CD向后平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，大雁塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与塔底处的点A在同一直线上），这时测得FG＝6米，GC＝53米，请你根据以上数据，计算大雁塔的高度AB．
2、李师傅用镜子测量一棵古树的高，但树旁有一条小河，不便测量镜子与树之间的距离，于是他两次利用镜子，第一次把镜子放在C点（如图所示），人在F点正好在镜中看到树尖A；第二次他把镜子放在C′处，人在F′处正好看到树尖A．已知李师傅眼睛距地面的高度为1.7m，量得CC′为12m，CF为1.8m，C′F′为3.84m，求树高．
四、拓展训练（尖子生加练题）
1、为更好筹备“十四运”的召开，小颖及其小组成员将利用所学知识测量一个广告牌的高度EF．在第一次测量中，小颖来回走动，走到点D时，其影子末端与广告牌影子末端重合于点H，其中DH＝1m．随后，组员在直线DF上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线DF上的对应位置为点G．镜子不动，小颖从点D沿着直线FD后退5m到B点时，恰好在镜子中看到顶端E的像与标记G重合，此时BG＝2m．
如图，已知AB⊥BF，CD⊥BF，EF⊥BF，小颖的身高为1.5m（眼睛到头顶距离忽略不计），平面镜的厚度忽略不计．根据以上信息，求广告牌的高度EF．
2、八（一）班同学到野外上数学活动课，为测量池塘两端A、B的距离，设计了如下方案：
（Ⅰ）如图1，先在平地上取一个可直接到达A、B的点C，连接AC、BC，并分别延长AC至D，BC至E，使DC＝AC，EC＝BC，最后测出DE的距离即为AB的长；
（Ⅱ）如图2，先过B点作AB的垂线BF，再在BF上取C、D两点使BC＝CD，接着过D作BD的垂线DE，交AC的延长线于E，则测出DE的长即为AB的距离．
阅读后回答下列问题：
（1）方案（Ⅰ）是否可行？请说明理由；
（2）方案（Ⅱ）是否可行？请说明理由；
（3）方案（Ⅱ）中作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是 ；若仅满足∠ABD＝∠BDE≠90°，方案（Ⅱ）是否成立？ ．
【参考答案】
一、
1、17.5
2、7
二、
1、B
2、B
3、C
4、C
5、21.6
6、54
7、10
8、12 解：过点A作AM⊥BC，交DE于点N
∵∠A＝90°，AB＝6cm，AC＝8cm，
∴
∵
∴，即
∵四边形DEFG是平行四边形
∴DE∥BC
又∵点D是边AB的中点
∴DE=BC＝5cm
∴DE＝FG＝5cm
∴△ADE∽△ABC
∴
∴AN＝MN＝2.4cm
∴ DEFG的面积为：5×2.4＝12（cm2）
9、4.2 解：设从墙上的影子的顶端到树的顶端的垂直高度是x米．
则有
解得x＝3
树高是3+1.2＝4.2米
10、解：∵∠DEF＝∠DCB＝90°，∠EDF＝∠CDB
∴△DEF∽△DCB
∴
在Rt△DEF中
∵DF＝0.5m，EF＝0.3m
由勾股定理得
∵CD＝10m
∴
∴BC＝7.5m
∴AB＝AC+BC＝1.5+7.5＝9m
答：树高AB是9m。
11、解：过A作AF⊥BC，垂足为F，过点D作DH⊥AF，垂足为H．
∵AF⊥BC，垂足为F，
∴BF＝FC=BC＝40cm
根据勾股定理，得
∵∠DHA＝∠DAC＝∠AFC＝90°
∴∠DAH+∠FAC＝90°，∠C+∠FAC＝90°
∴∠DAH＝∠C，
∴△DAH∽△ACF，
∴
∴
∴AH＝10cm
∴HF＝（10+80）cm
答：D到地面的高度为（10+80）cm。
12、解：过点A作AM⊥BF于点M，过点C作CN⊥AB于点N，
∵AD＝24cm，则NC＝24cm，
∴
∵∠AMB＝∠CNB＝90°，∠ABM＝∠CBN
∴△BNC∽△BMA
∴
即
则
∴点A到地面的距离是
答：点A到地面的距离是cm。
13、解：（1）∵四边形PNQM为矩形
∴MN∥PQ
即PQ∥BC
∴△APQ∽△ABC
（2）设边宽为xmm，则长为2xmm
∵四边形PNMQ为矩形
∴PQ∥BC
∵AD⊥BC
∴PQ⊥AD
∵PN：PQ＝2：1
∴PQ为长，PN为宽
∵PQ∥BC
∴△APQ∽△ABC
∴
由题意知PQ＝2xmm，AD＝80mm，BC＝120mm，PN＝xmm
∴
解得x=，2x=．
即长为mm，宽为mm．
答：矩形的长mm，宽为mm。
三、
1、解：∵△EDC∽△EBA，△FHG∽△FBA，
∴
∵DC＝HG
∴
即
∴CA＝106米
∵
∴
∴AB＝55米
答：大雁塔的高度AB为55米。
2、解：根据反射定律可以推出∠ACB＝∠ECF，∠AC′B＝∠E′C′F′
∴△BAC∽△FEC、△AC′B∽△E′C′F′
设AB＝x，BC＝y
∴
解得
答：这棵古树的高为10m。
四、
1、解：设广告牌的高度EF为xm，
依题意知：DB＝5m，BG＝2m，DH＝1m，AB＝CD＝1.5m
∴GD＝DB﹣BG＝3m，
∵CD⊥BF，EF⊥BF，
∴CD∥EF．
∴△EFH∽△CDH．
∴，即
∴
∴
由平面镜反射规律可得：∠EGF＝∠AGB
∵AB⊥BF，
∴∠ABG＝90°＝∠EFG．
∴△EFG∽△ABG．
∴，即
∴
∴x＝3
答：广告牌的高度EF为3m。
2、解：（1）方案（Ⅰ）可行；
∵DC＝AC，EC＝BC且有对顶角∠ACB＝∠DCE
∴△ACB≌△DCE（SAS）
∴AB＝DE
∴测出DE的距离即为AB的长
故方案（Ⅰ）可行。
（2）方案（Ⅱ）可行；
∵AB⊥BC，DE⊥CD
∴∠ABC＝∠EDC＝90°
又∵BC＝CD，∠ACB＝∠ECD
∴△ABC≌△EDC
∴AB＝ED
∴测出DE的长即为AB的距离
故方案（Ⅱ）可行。
（3）方案（Ⅱ）中作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是∠ABD＝∠BDE．
若仅满足∠ABD＝∠BDE≠90°，方案（Ⅱ）不成立；
理由：若∠ABD＝∠BDE≠90°，∠ACB＝∠ECD，
∴△ABC∽△EDC，
∴
∴只要测出ED、BC、CD的长，即可求得AB的长
但是此题没有其他条件，可能无法测出其他线段长度
∴方案（Ⅱ）不成立。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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【双减—同步分层作业】27.2.3相似三角形应用举例
1、 知识梳理
1 2
1、如图，某同学利用标杆BE测量教学楼的高度，已知标杆BE高1.5m，测得AB＝1.2m，BC＝12.8m，则教学楼CD的高度是 m．
2、如图是小孔成像原理的示意图，点O与物体AB距离为30cm，与像CD的距离是14cm，AB∥CD．若物体AB的高度为15cm，则像CD的高度是 cm．
二、夯实基础（必做题）
1 2
1、如图,小明在打网球时,要使球恰好能过网,而且落在离网5 m的位置上,则球拍击球的高度h应为( )
A.1.8 m B.2.7 m C.3.6 m D.4.5 m
2、据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体AB在幕布上形成倒立的实像CD．若物体AB的高为6cm，小孔O到物体和实像的水平距离BE，CE分别为8cm，6cm，则实像CD的高度为（ ）
A．4cm B．4.5cm C．5cm D．6cm
3 4 6
3、图1是装满了液体的高脚杯（数据如图），用去部分液体后，放在水平的桌面上如图2所示，此时液面AB＝（ ）
A．4cm B．3cm C．cm D．cm
4、如图，有一块三角形余料ABC，它的面积为36cm2，边BC＝12cm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，则加工成的正方形零件的边长为（ ）cm．
A．8 B．6 C．4 D．3
5、已知某建筑物在地面上的影长为36 m,同时高为1.2 m的测杆影长为2 m,则该建筑物的高为 ________m.
6、如图,某水平地面上建筑物的高度为AB,在点D和点F处分别竖立高是2 m的标杆CD和EF,两标杆相隔52 m,并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内.从标杆CD后退2 m到点G处,在G处测得建筑物顶端A和标杆顶端C在同一条直线上;从标杆FE后退4 m到点H处,在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一直线上,则建筑物的高是 m.
7 8 9
7、如图所示，用手电来测量古城墙高度，将水平的平面镜放置在点P处，光线从点A出发，经过平面镜反射后，光线刚好照到古城墙CD的顶端C处．如果AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝1.5米，BP＝1.8米，PD＝12米，那么该古城墙的高度是 米．
8、如图，有一块形状为Rt△ABC的斜板余料，∠A＝90°，AB＝6cm，AC＝8cm，要把它加工成一个形状为 DEFG的工件，使GF在边BC上，D、E两点分别在边AB、AC上，若点D是边AB的中点，则S DEFG的面积为 cm2．
9、甲、乙两同学测量一棵树的高度，在阳光下，甲同学测得一根1米长的竹竿的影长为0.8米，同时，乙同学测量时，发现树的影子不全落在地面上，如图，有一部分影子落在教学楼的墙壁上，其影长CD＝1.2米，落在地面上的影长BC＝2.4米，则树高AB的长是 米．
10、如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条边DF＝0.5m，EF＝0.3m，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝10m，求树高AB．
11、如图（1）是一种广场三联漫步机，其侧面示意图如图（2）所示，其中AB＝AC＝120cm，BC＝80cm，AD＝30cm，∠DAC＝90°．求点D到地面的高度是多少？
12、某市公共自行车的建设速度、单日租骑量等四项指标稳居全国首位，公共自行车车桩的截面示意图如图所示，AB⊥AD，AD⊥DC，点B，C在EF上，EF∥HG，EH⊥HG．已知AB＝80cm，AD＝24cm，BC＝25cm，EH＝4cm，求点A到地面的距离．
13、如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成矩形零件PQMN，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上．
（1）求证：△APQ∽△ABC；
（2）若这个矩形的边PN：PQ＝2：1，则这个矩形的长、宽各是多少？
三、能力提升（中等生加练题）
1、西安市的大雁塔又名“慈恩寺塔”，是国家级文物保护单位，玄奘为保存由天竺经丝绸之路带回长安的经卷主持修建了大雁塔，最初五层，后加盖至九层，是西安市的标志性建筑之一，某校社会实践小组为了测量大雁塔的高度，在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，大雁塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得EC＝4米，将标杆CD向后平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，大雁塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与塔底处的点A在同一直线上），这时测得FG＝6米，GC＝53米，请你根据以上数据，计算大雁塔的高度AB．
2、李师傅用镜子测量一棵古树的高，但树旁有一条小河，不便测量镜子与树之间的距离，于是他两次利用镜子，第一次把镜子放在C点（如图所示），人在F点正好在镜中看到树尖A；第二次他把镜子放在C′处，人在F′处正好看到树尖A．已知李师傅眼睛距地面的高度为1.7m，量得CC′为12m，CF为1.8m，C′F′为3.84m，求树高．
四、拓展训练（尖子生加练题）
1、为更好筹备“十四运”的召开，小颖及其小组成员将利用所学知识测量一个广告牌的高度EF．在第一次测量中，小颖来回走动，走到点D时，其影子末端与广告牌影子末端重合于点H，其中DH＝1m．随后，组员在直线DF上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线DF上的对应位置为点G．镜子不动，小颖从点D沿着直线FD后退5m到B点时，恰好在镜子中看到顶端E的像与标记G重合，此时BG＝2m．
如图，已知AB⊥BF，CD⊥BF，EF⊥BF，小颖的身高为1.5m（眼睛到头顶距离忽略不计），平面镜的厚度忽略不计．根据以上信息，求广告牌的高度EF．
2、八（一）班同学到野外上数学活动课，为测量池塘两端A、B的距离，设计了如下方案：
（Ⅰ）如图1，先在平地上取一个可直接到达A、B的点C，连接AC、BC，并分别延长AC至D，BC至E，使DC＝AC，EC＝BC，最后测出DE的距离即为AB的长；
（Ⅱ）如图2，先过B点作AB的垂线BF，再在BF上取C、D两点使BC＝CD，接着过D作BD的垂线DE，交AC的延长线于E，则测出DE的长即为AB的距离．
阅读后回答下列问题：
（1）方案（Ⅰ）是否可行？请说明理由；
（2）方案（Ⅱ）是否可行？请说明理由；
（3）方案（Ⅱ）中作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是 ；若仅满足∠ABD＝∠BDE≠90°，方案（Ⅱ）是否成立？ ．
【参考答案】
一、
1、17.5
2、7
二、
1、B
2、B
3、C
4、C
5、21.6
6、54
7、10
8、12 解：过点A作AM⊥BC，交DE于点N
∵∠A＝90°，AB＝6cm，AC＝8cm，
∴
∵
∴，即
∵四边形DEFG是平行四边形
∴DE∥BC
又∵点D是边AB的中点
∴DE=BC＝5cm
∴DE＝FG＝5cm
∴△ADE∽△ABC
∴
∴AN＝MN＝2.4cm
∴ DEFG的面积为：5×2.4＝12（cm2）
9、4.2 解：设从墙上的影子的顶端到树的顶端的垂直高度是x米．
则有
解得x＝3
树高是3+1.2＝4.2米
10、解：∵∠DEF＝∠DCB＝90°，∠EDF＝∠CDB
∴△DEF∽△DCB
∴
在Rt△DEF中
∵DF＝0.5m，EF＝0.3m
由勾股定理得
∵CD＝10m
∴
∴BC＝7.5m
∴AB＝AC+BC＝1.5+7.5＝9m
答：树高AB是9m。
11、解：过A作AF⊥BC，垂足为F，过点D作DH⊥AF，垂足为H．
∵AF⊥BC，垂足为F，
∴BF＝FC=BC＝40cm
根据勾股定理，得
∵∠DHA＝∠DAC＝∠AFC＝90°
∴∠DAH+∠FAC＝90°，∠C+∠FAC＝90°
∴∠DAH＝∠C，
∴△DAH∽△ACF，
∴
∴
∴AH＝10cm
∴HF＝（10+80）cm
答：D到地面的高度为（10+80）cm。
12、解：过点A作AM⊥BF于点M，过点C作CN⊥AB于点N，
∵AD＝24cm，则NC＝24cm，
∴
∵∠AMB＝∠CNB＝90°，∠ABM＝∠CBN
∴△BNC∽△BMA
∴
即
则
∴点A到地面的距离是
答：点A到地面的距离是cm。
13、解：（1）∵四边形PNQM为矩形
∴MN∥PQ
即PQ∥BC
∴△APQ∽△ABC
（2）设边宽为xmm，则长为2xmm
∵四边形PNMQ为矩形
∴PQ∥BC
∵AD⊥BC
∴PQ⊥AD
∵PN：PQ＝2：1
∴PQ为长，PN为宽
∵PQ∥BC
∴△APQ∽△ABC
∴
由题意知PQ＝2xmm，AD＝80mm，BC＝120mm，PN＝xmm
∴
解得x=，2x=．
即长为mm，宽为mm．
答：矩形的长mm，宽为mm。
三、
1、解：∵△EDC∽△EBA，△FHG∽△FBA，
∴
∵DC＝HG
∴
即
∴CA＝106米
∵
∴
∴AB＝55米
答：大雁塔的高度AB为55米。
2、解：根据反射定律可以推出∠ACB＝∠ECF，∠AC′B＝∠E′C′F′
∴△BAC∽△FEC、△AC′B∽△E′C′F′
设AB＝x，BC＝y
∴
解得
答：这棵古树的高为10m。
四、
1、解：设广告牌的高度EF为xm，
依题意知：DB＝5m，BG＝2m，DH＝1m，AB＝CD＝1.5m
∴GD＝DB﹣BG＝3m，
∵CD⊥BF，EF⊥BF，
∴CD∥EF．
∴△EFH∽△CDH．
∴，即
∴
∴
由平面镜反射规律可得：∠EGF＝∠AGB
∵AB⊥BF，
∴∠ABG＝90°＝∠EFG．
∴△EFG∽△ABG．
∴，即
∴
∴x＝3
答：广告牌的高度EF为3m。
2、解：（1）方案（Ⅰ）可行；
∵DC＝AC，EC＝BC且有对顶角∠ACB＝∠DCE
∴△ACB≌△DCE（SAS）
∴AB＝DE
∴测出DE的距离即为AB的长
故方案（Ⅰ）可行。
（2）方案（Ⅱ）可行；
∵AB⊥BC，DE⊥CD
∴∠ABC＝∠EDC＝90°
又∵BC＝CD，∠ACB＝∠ECD
∴△ABC≌△EDC
∴AB＝ED
∴测出DE的长即为AB的距离
故方案（Ⅱ）可行。
（3）方案（Ⅱ）中作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是∠ABD＝∠BDE．
若仅满足∠ABD＝∠BDE≠90°，方案（Ⅱ）不成立；
理由：若∠ABD＝∠BDE≠90°，∠ACB＝∠ECD，
∴△ABC∽△EDC，
∴
∴只要测出ED、BC、CD的长，即可求得AB的长
但是此题没有其他条件，可能无法测出其他线段长度
∴方案（Ⅱ）不成立。
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