【双减-同步分层作业】27.3位似（含解析）

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【双减—同步分层作业】27.3位似
一、知识梳理
1 2
1、如图，矩形AOBC与DOEF是位似图形，且点O为位似中心，相似比为1：。若A（0，1），B（2，0），则点F的坐标为 　 　．
2、如图是小孔成像原理的示意图，点O与物体AB距离为30cm，与像CD的距离是14cm，AB∥CD．若物体AB的高度为15cm，则像CD的高度是 　 　cm．
二、夯实基础（必做题）
1 2 3 5
1、青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．如图是视力表的一部分，图中的“”均是相似图形，其中不是位似图形的是（　　）
A．①和④ B．②和③ C．①和② D．②和④
2、如图，在平面直角坐标系中，△OAB与△OCD位似，点O是它们的位似中心，已知A（﹣4，2），C（2，﹣1），则△OAB与△OCD的面积之比为（　　）
A．1：1 B．2：1 C．3：1 D．4：1
3、如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，OA：OD＝1：3，且△ABC的周长为2，则△DEF的周长为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．18
4、在平面直角坐标系中，已知点E(-4,2)，F(-2,-2)，以原点O为位似中心，相似比为，把△EFO缩小，则点E的对应点E'的坐标是(　　)
A.(-2，1) B.(-8，4) C.(-8，4)或(8，-4) D.(-2，1)或(2，-1)
5、如图，将△ABC的三边分别放大为原来的2倍得到△A1B1C1(顶点均在格点上)，它们是以点P为位似中心的位似图形，则点P的坐标是(　　)
A.(-4，-3) B.(-3，-3) C.(-4，-4) D.(-3，-4)
6、已知点A、B的坐标分别为A（﹣4，2）、B（﹣1，﹣1），以原点O为位似中心，按相似比
1：2把△ABO缩小，则点A的对应点A'的坐标为 　 　．
7、下列关于位似图形的表述正确的是　　　　　.(只填序号)
①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形
②位似图形一定有位似中心
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形
④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于相似比
8、如图，原点O是△ABC和△A'B'C'的位似中心，点A(1，0)与A'(-2，0)是对应点，△ABC的面积是，则△A'B'C'的面积是　　　　　
9、如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且，则=　　
10、如图，A是反比例函数（x＞0）图象上的一点，点B、D在y轴正半轴上，△ABD是△COD关于点D的位似图形，且△ABD与△COD的位似比是1：3，△ABD的面积为1，则k的值为　　．
11、如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点B（3，1），B′（6，2）．
（1）请你根据位似的特征并结合点B的坐标变化回答下列问题：
①若点A（，3），则A′的坐标为　 　；
②△ABC与△A′B′C′的相似比为　 　；
（2）若△ABC的面积为m，求△A′B′C′的面积．（用含m的代数式表示）
12、如图，梯形ABCD的四个顶点分别为A(0，6)，B(2，2)，C(4，2)，D(6，6)。按下列要求画图。
（1）在平面直角坐标系中，画出以原点O为位似中心，相似比为的位似图形A1B1C1D1；
（2）画出位似图形A1B1C1D1向下平移5个单位长度后的图形A2B2C2D2。
13、已知平面直角坐标系如图所示。
（1）描出下列各点：A(1，0)，B(3，0)，C(3，3)，D(0，1)，并将这些点用线段依次连接起来；
（2）以坐标原点O为位似中心，把（1）中所得图形放大为原来的2倍。
三、能力提升（中等生加练题）
1、如图，在平面直角坐标系网格中，将△ABC进行位似变换得到△A1B1C1。
（1）求△A1B1C1与△ABC的相似比；
（2）画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2；
（3）设点P(a，b)为△ABC内一点，求依上述两次变换后，点P在△A2B2C2内的对应点P2的坐标。
2、如图所示，在平面直角坐标系中有一格点三角形，该三角形的三个顶点为：A（1，1），
B（﹣3，1），C（﹣3，﹣1）．
（1）若△ABC的外接圆的圆心为P，则点P的坐标为　　 ，⊙P的半径为　 　；
（2）如图所示，在11×8的网格图内，以坐标原点O点为位似中心，将△ABC按相似比2：1放大，A、B、C的对应点分别为A'、B'、C'．①画出△A'B'C'；②将△A'B'C'沿x轴方向平移，需平移　 　个单位长度，能使得B'C'所在的直线与⊙P相切。
四、拓展训练（尖子生加练题）
1、如图，△ABC中，P′是边AB上一点，四边形P'Q'M'N'是正方形，点Q'，M'在边BC上，点N′在△ABC内．连接BN′，并延长交AC于点N，过点N作NM⊥BC于点M，NP⊥MN交AB于点P，PQ⊥BC于点Q．
（1）求证：四边形PQMN为正方形；
（2）若∠A＝90°，AC＝1.5m，△ABC的面积＝1.5m2．求PN的长．
2、已知：如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，点D是的中点，连接BD并延长BD到点E，使BD＝DE，连接CD和DE．
（1）求证：△CDE是正三角形．
（2）问：△CDE经怎样的变换后能与△ABC成位似图形？请在图中直接画出△CDE变换后的对应三角形△CD'E'，并求出△CD'E'与△ABC的位似比．
【参考答案】
一、
1、
2、7
二、
1、B
2、D
3、B
4、D
5、A　因为是放大为原来的2倍，且点A1、A同在一条纵线上，所以点P一定也在A1A的延长线上，设AP=x，所以有，解得x=5，所以点P的坐标是(-4，-3)。
6、（-2，1）或（2，-1）
7、②③
8、6　由题意得,相似比为2,所以S△ABC∶S△A'B'C'=1∶4,
即∶S△A'B'C'=1∶4,所以S△A'B'C'=6
9、
10、8
解：过A作AE⊥x轴，
∵△ABD是△COD关于点D的位似图形，
且△ABD与△COD的位似是1：3
∴
∴OE＝AB
∴
假设BD＝x，AB＝y
∴DO＝3x，AE＝4x，CO＝3y，
∵△ABD的面积为1，
∴xy＝1
∴xy＝2
∴AB AE＝4xy＝8
即k＝4xy＝8
（1）①（5,6）
②1:2
（2）解：∵△ABC与△A'B'C'的相似比为1：2
∴
而△ABC的面积为m
∴△A′B′C′的面积＝4m
12、解：（1）图形A1B1C1D1如图所示；
（2）图形A2B2C2D2如图所示。
13、解：如图：
（1）顺次连接点A，B，C,，D得四边形ABCD；
（2）以点O为位似中心，把四边形ABCD放大为原来的2倍，得新四边形A1B1C1D1和四边形A2B2C2D2。
三、
1、解：（1）△A1B1C1与△ABC的相似比等于
（2）如图所示。
（3）点P(a,b)为△ABC内一点,依次经过题中的两次变换后,点P的对应点P2的坐标为(-2a，2b)。
2、解：（1）△ABC的外接圆⊙P如图所示
由图可知，点P的坐标为（﹣1，0），半径为
（2）如图所示，△A′B′C′即为所求。
将△A′B′C′向右平移或个单位B′C′所在的直线与⊙P相切，
故答案为：或。
四、
1、（1）证明：∵NM⊥BC，NP⊥MN，PQ⊥BC，
∴四边形PQMN为矩形，
∵四边形P'Q'M'N'是正方形，
∴PN∥P′N′，
∴
∵MN∥M′N′
∴
∴
而
∴PN＝MN
∴四边形PQMN为正方形。
（2）解：作AD⊥BC于D，AD交PN于E，如图
∵△ABC的面积＝1.5
∴AB AC＝1.5
∴AB＝2
∴.
∵BC AD＝1.5，
∴
设PN＝x，则PQ＝DE＝x，AE=
∵PN∥BC，
∴△APN∽△ABC，
∴，即，解得x=
∴PN的长为m。
2、解：（1）证明：∵△ABC是⊙O的内接正三角形，
∴∠BAC＝60°，
∴∠CDE＝60°，
∵点D是的中点，
∴BD＝CD，
∵BD＝DE，
∴CD＝DE，
∴△CDE是正三角形。
（2）如图：当△CDE绕点C旋转∠ACD的度数时与△ABC成位似图形
∵∠BDC＝120°，BD＝CD，
∴∠CBD＝∠BCD＝30°，
∵∠ACB＝60°，
∴∠ACD＝90°，
∴当△CDE绕点C旋转90°时与△ABC成位似图形，
作DF⊥BC于F点，
设DC＝2x，
∵∠BCD＝30°，
∴FC=
∴BC＝2FC＝
∴位似比
∴位似比为。
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