【双减—同步分层作业】28.1锐角三角函数（含解析）

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【双减—同步分层作业】28.1锐角三角函数
一、知识梳理
1、在菱形ABCD中，DE⊥AB，垂足是E，DE=6，sin A=，则菱形ABCD的周长是　　　　　.
2、已知∠A是△ABC的内角,且，则tan A=.
二、夯实基础（必做题）
1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝3，AC＝4，则cosB的值为（　　）
A． B． C． D．
2、角α，β满足0°＜α＜β＜45°，下列是关于角α，β的命题，其中错误的是（　　）
A．0＜sinα< B．0＜tanβ＜1 C．cosβ＜sinα D．sinβ＜cosα
3、在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA=，则tanA＝（　　）
A． B． C． D．
4、若角a的余角是30°，则cosa的值是（　　）
A． B． C． D．
5、在Rt△ABC中，AB是斜边，AB＝10，BC＝6，tanA＝　 　．
6、若θ为三角形的一个锐角，且2sinθ-=0，则tanθ＝　 　．
7、计算：sin30°+cos30° tan60°＝　 　．
8、已知∠B是Rt△ABC的一个内角，且tan B=,则cos=　　　　　.
9、若sin(x+10°)-1=0，则锐角x=　　　　　.
10、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，求sinA，cosA，tanA的值．
11、计算：|1﹣cos60°|﹣2tan45° sin60°
12、计算：
13、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA=，BC＝2，求AB的长．
三、能力提升（中等生加练题）
1、已知：如图，Rt△ABC，∠ABC＝90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于E，与AC切于D，且AD＝2，AE＝1．
求：（1）圆O直径的长；
（2）BC的长；
（3）sin∠DBA的值．
2、通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化.类似地，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系.我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad)。如图①，在△ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sad A，这时sad A=。容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的。根据上述角的正对定义,解决下列问题：
（1）sad 60°=　　　　　；
（2）对于0°<∠A<180°，∠A的正对值sad A的取值范围是　　　　　；
（3）如图②，已知sin A=，其中∠A为锐角，试求sad A的值。
四、拓展训练（尖子生加练题）
1、如图,要求tan 30°的值，可构造直角三角形进行计算：作Rt△ABC，使∠C=90°，斜边AB=2，直角边AC=1，则BC=，∠ABC=30°，tan 30°=。在此图的基础上通过添加适当的辅助线，可求出tan 15°的值。请你写出添加辅助线的方法，并求出tan 15°的值。
2、如图，以△ABC的边AC上一点O作⊙O经过点B、C，交AC于点D．连接BD，作OG∥BD交⊙O于点G，交BC于点E，连接DG交BC于点F．
（1）当∠ABD＝∠C时，求证：AB为⊙O的切线；
（2）若GB＝4，GD＝8，求FD的长；
（3）若sin∠GDB=，求tan∠BGD的值。
【参考答案】
一、
1、40
2、
二、
1、B
2、C
3、D
4、D
5、
6、
7、2
8、
9、35°
10、解：由勾股定理得，
所以
答：。
11、解：|1﹣cos60°|﹣2tan45° sin60°
=
=
12、解：
=
=
=1
13、解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴tanA=
∵BC＝2，
∴，AC＝6
∵AB2＝AC2+BC2＝40
∴AB=
三、
1、解：（1）连接DE，OD，BD
∵∠ADO＝∠EDB＝90°
∴∠ADE＝∠ODB
又∵∠ODB＝∠OBD
∴∠ADE＝∠OBD
∵∠A＝∠A
∴△ADE∽△ABD
∴
∴AD2＝AE（AE+EB）
即4＝1 （1+BE）
∴BE＝3，即圆O的直径长。
（2）∵OB是圆O的半径，且∠ABC＝90°，
∴BC是圆O的切线
∵CD是圆O的切线
∴DC＝BC设BC＝x
Rt△ABC中，x2+42＝（2+x）2
解之，得x＝3即BC＝3
（3）连接DE，可证△ADE∽△ABD，
∴
在Rt△EDB中，设DE＝k，BD＝2k，
由勾股定理，得BE=
∴sin∠DBA=
2、解：（1）1；（2）0（3）延长AC至点D，使AD=AB。由sinA=，可设BC=3a，AB=5a，则AC=4a，AD=5a，CD=a。
所以
于是sadA=
四、
1、解：给出两种解法：（1）如图，
延长CB到点D，使BD=AB，连接AD
则∠D=15°，tan15°=
（2）如图，
延长CA到点E，使CE=CB，连接BE。过点A作AG⊥BE，垂足为G。
则△AEG为等腰直角三角形，且AE=，BE=，AG=，∠ABE=15°
故tan15°=
2、解：（1）证明：如图1，连接OB，则OB＝OC，
∴∠OBC＝∠C，
∵∠ABD＝∠C，
∴∠ABD＝∠OBC，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CBD＝90°，
即∠OBC+∠OBD＝90°，
∴∠ABO＝∠ABD+∠OBD＝∠OBC+∠OBD＝90°，
∴OB⊥AB，
∵OB是⊙O的半径，
∴AB是⊙O的切线．
（2）证明：∵CD是⊙O的直径，
∴∠CBD＝90°，即CB⊥BD
∵OG∥BD，
∴OG⊥BC，
∴，
∴∠GDB＝∠GBF，
又∵∠DGB＝∠BGF，
∴△GBD∽△GFB；
∴
∴GB2＝GF GD，
∴42＝8GF，
∴GF＝2，
∴FD＝8﹣2＝6
（3）连接CG，如图2所示：
∵∠GDB＝∠GCB，OG⊥BC，
∴，BE＝CE，
设GE＝x，OG＝OC＝r，则OE＝r﹣x，CG＝3x
在Rt△CGE中，
∴
在Rt△OCE中，OE2+CE2＝OC2，
即
解得
∴CD＝2r＝9x
在Rt△DBC中，BD2+BC2＝CD2，
∴
∴BD＝7x或BD＝﹣7x（舍去）
∴
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