【双减—同步分层作业】28.2.1解直角三角形（含解析）

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【双减—同步分层作业】28.2.1解直角三角形
一、知识梳理
1、在△ABC中，，那么AC的长为________
2、如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则cosC=________
二、夯实基础（必做题）
1 2 3
1、如图，在A处测得点P在北偏东60°方向上，在B处测得点P在北偏东30°方向上，若AB＝2米，则点P到直线AB距离PC为（　　）
A．3米 B．米 C．2米 D．1米
2、如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,E为AB上一点,且AE∶EB=4∶1,EF⊥AC于F,连接FB,则tan∠CFB的值等于(　　)
A. B. C. D.
3、已知Rt△ABC的两条直角边长分别为6,8,现将△ABC如图那样折叠,使点A与点B重合,折痕为DE,则tan∠CBE的值是(　　)
A. B. C. D.
4 5 6 7
4、如图，在△ABC中，，于点D，。若E、F分别为AC、BC的中点，则EF的长为（ ）
A. B.2 C. D.
5、如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=5 cm,，∠BAC的平分线交BC于点D，AD=cm，则
BC=　　　　cm.
6、小敏想知道校园内一棵大树的高度,如图,她测得CB=10 m,∠C=50°,请你帮她算出树高AB约为
　　　　m.
7、如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=，则AB的长为　　　　　.
8、如图，在Rt△ABC中，，CD是AB边上的中线，若CD=5，BC=6，则cos=______
9、已知AD是△ABC的高，CD=1，AD=BD=，则=______
10、如图，在△ABC中，，AB=4，于点D且，求BC的长。
11、如图，△ABC中，，D是AC上一点，，，求AB的长。
12、如图，在△ABC中，，点D、E分别在AC、AB上，BD平分，于点E。AE=6，。
（1）求CD的长；
（2）求的值。
13、如图，在Rt△ABC中，，作BC的垂直平分线交AC于点D，延长AC至点E，使CE=AB。
（1）若AE=1，求△ABD的周长；
（2）若，求的值。
三、能力提升（中等生加练题）
1、如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，tan∠ABD=cos∠DAC。
（1）求证：AC=BD；
（2）若sin C=，BC=12，求AD的长。
2、如图，在△ABC中，AD是中线，。
（1）求的值；
（2）求的值。
四、拓展训练（尖子生加练题）
1、如图，已知☉O的半径为2，弦BC的长为，点A为弦BC所对优弧上任意一点(B、C两点除外)。求:
（1）∠BAC的度数；
（2）△ABC面积的最大值。
2、如图，已知BC是☉O的直径，CA平分，延长EC交☉O于点D，连接DO并延长交AB于点F。
（1）求证：；
（2）已知，求。
【参考答案】
一、
1、6
2、
二、
1、B
2、C
3、C
4、B
5、12　AB=BC·tanC=10×tan50°≈12(m)
6、26
7、　如图,过点C作CD⊥AB于点D
∴∠ADC=∠BDC=90°
∵∠B=45°
∴∠BCD=∠B=45°
∴CD=BD
∵∠A=30°，AC=
∴CD=
∴BD=CD=
由勾股定理得AD=
∴AB=AD+BD=
8、
9、75°或15°
如图所示：
（1），∴
，∴
∴
（2），∴
，∴
∴
∴
10、解：∵
∴△ABD和△ACD都是直角三角形
在Rt△ABD中，，AB=4
∴,
在Rt△ACD中，
∴
∴BC的长为
11、解：∵
∴△BCD和△ABC是直角三角形
在Rt△BCD中，，
∴
在Rt△ABC中，
∴
12、解：（1）∵
∴△AED是直角三角形
在Rt△AED中，AE=6，
∴，
∵BD平分，，
∴CD=DE=8
（2）由（1）得AD=10，CD=8
∴AC=AD+CD=10+8=18
在△ADE与△ABC中，
∵
∴△ADE∽△ABC
∴
即
∴BC=24
∴
13、解：（1）如图，连接BD，设BC的垂直平分线交BC于点F
∴BD=CD
C△ABD=AB+AD+BD=AB+AD+CD=AB+AC
∵AB=CE
∴C△ABD=AB+AC=CE+AC=AE=1
∴△ABD的周长为1。
（2）∵
∴设AD=x，则BD=3x
∵BD=CD
∴AC=AD+CD=x+3x=4x
在Rt△ABD中，
∴
三、
1、（1）证明:∵tan∠ABD=,cos∠DAC=,且tan∠ABD=cos∠DAC
∴
∴AC=BD
（2）解：由sinC=,可设AD=12k,AC=13k,k>0,∴DC==5k
由(1)知BD=AC=13k
∴BC=13k+5k=18k
∵BC=12
∴k=,∴AD=12×=8
2、解：（1）过点A作BD的垂线交BD的延长线于点E
在Rt△ABE中，
∵
∴AB=2AE，
在Rt△ADE中，
∵
∴DE=AE
∴BD=BE-DE=
∴
（2）如图，在AB上取一点E，使得DB=DE，连接EC。
∵DB=DE
∴
∴
∵DB=DC=DE
∴△DEC是等边三角形
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴ED=EA=EC
∵
∴
∴
四、
1、解：（1）(方法一)连接OB、OC，过点O作OE⊥BC于点E。
∵OE⊥BC，BC=
∴BE=EC=
在Rt△OBE中，OB=2，
∴sin∠BOE=
∴∠BOE=60°，∠BOC=120°
∴∠BAC=∠BOC=60°
(方法二)连接BO并延长，交☉O于点D，连接CD。
∵BD是直径
∴BD=4，∠DCB=90°
在Rt△DBC中，sin∠BDC=
∴∠BDC=60°
∴∠BAC=∠BDC=60°
（2）∵△ABC的边BC的长不变
∴当BC边上的高最大时，△ABC的面积最大，此时点A应落在优弧BC的中点处
过点O作OE⊥BC于E，延长EO交☉O于点A，则A为优弧BC的中点。连接AB、AC，则AB=AC，
∠BAE=∠BAC=30°
在Rt△ABE中，
∵BE=，∠BAE=30°
∴AE=
∴S△ABC=
即△ABC面积的最大值是。
2、（1）证明：∵BC是☉O的直径，
∴，即
∵OA=OC
∴
∵CA平分
∴
∴
∴AO∥DE
∴
（2）解：延长AO交BD于点H，延长DF交☉O于点G，连接BG，过点O作于点T
∵
∴设
在Rt△BOH中，
解得
∴
∵BG是直径
∴
∴AH∥GB
∴△DHO∽△DBG，△GBF∽△OAF
∴
∴
∴
∵
∴
∴
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