(共38张PPT)
温故知新
1.二次根式乘法法则？
2.二次根式除法法则？
3.什么是最简二次根式？
最简二次根式：
化简下列两组二次根式，每组化简后有什么共同特点
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
化简后被开方数相同
温故知新
16.3 二次根式的加减
人教版八年级数学 下册
第1课时 二次根式的加减
目标导航
1．探索二次根式加减运算的法则。
2．会进行二次根式的加减运算。
3.能根据运算律和相关法则进行二次根式的四则运算。
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
=
+
我们知道，单项式加单项式的法则.观察下图并思考.
由上图，易得2a+3a=5a.
当a= 时，分别代入左右得 ;
当a= 时，分别代入左右得 ;
......
你发现了什么？
目标导学一：在二次根式的加减运算中可以合并的二次根式
因为 ，由前面知两者可以合并.
你又有什么发现吗
当a= ,b= 时，得2a+3b= .
a
2a+3b
b
=
+
b
b
a
这两个二次根式可以合并吗？
前面依次往下推导，由特殊到一般易知二次根式的被开方数相同可以合并.继续观察下面的过程：
将二次根式化成最简式，如果被开方数相同，则这样的二次根式可以合并.
注意：判断几个二次根式是否可以合并，一定都要化为最简二次根式再判断.
合并的方法与合并同类项类似，把根号外的因数(式)相加，根指数和被开方数(式)不变.如：
知识归纳
几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式.
判断同类二次根式的关键是什么？
(1)化成最简二次根式，
(2)被开方数相同,根指数相同(都等于2)
先把这些式子化为最简二次根式，由于它们的被开方数相同，所以它们是同类二次根式．
注意：判断一组式子是否为同类二次根式，只需看化为最简二次根式后的被开方数是否相同，与最简二次式前面的因式及符号无关．
如何判断一组式子是否为同类二次根式
BY YUSHEN
深入探究
对被开方数相同的二次根式进行合并，实质是对被开方数相同的二次根式的系数进行合并。
计算:
试试看
仿照前两题，你能算出这个题吗？
有什么发现？
合作交流
注意:不是同类二次根式的二次根式
(如 与 )不能合并
例1 若最简根式 与 可以合并，求
的值.
解：由题意得 解得
即
确定可以合并的二次根式中字母取值的方法：利用被开方数相同，指数都为，2列关于待定字母的方程求解即可.
归纳
精典例题
如果最简二次根式 与 可以合并，那么要使式子 有意义，求x的取值范围.
解：由题意得3a-8=17-2a,
∴a=5，
∴
∴20-2x≥0，x-5＞0，
∴5＜x≤10.
变式练习
下列各组二次根式是否为同类二次根式？
√
×
√
×
√
如何判断？
即学即练
思考 现有一块长7.5dm、宽5dm的木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截出两个分别是8dm2和18dm2的正方形木板？
7.5dm
5dm
问题1 怎样列式求两个正方形边长的和
S=8dm2
S=18dm2
目标导学二：二次根式的加减及其应用
问题2 所列算式能直接进行加减运算吗 如果不能,把式中各个二次根式化成最简二次根式后，再试一试(说出每步运算的依据）.
（化成最简二次根式）
（逆用分配律）
∴在这块木板上可以截出两个分别是8dm2和18dm2的正方形木板．
解：列式如下：
在有理数范围内成立的运算律，在实数范围内仍然成立.
二次根式的加减法法则:
一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.
知识归纳
（3）合并同类二次根式。
一化
二找
三合并
二次根式加减法的步骤：
（1）将每个二次根式化为最简二次根式；
（2）找出其中的同类二次根式；
交流 归纳
化为最简
二次根式
用分配
律合并
整式
加减
二次根
式性质
分配律
整式加
减法则
依据：二次根式的性质、分配律和整式加减法则.
基本思想：把二次根式加减问题转化为整式加减问题．
深入探究
例2.计算
分析：题中二次根式不是最简二次根式，所以先要对其进行化简。再计算。
解：
精典例题
例3.计算:
解：
精典例题
计算:
加减混合运算，应从左向右依次计算。
即学即练
解：原式=
别漏了“1”.
化简
即学即练
解：原式=
即学即练
二次根式的加减与整式的加减根据都是分配律，它们的运算实质也基本相同。
二次根式的加减即为对同类二次根式的合并。
先化为最简二次根式
把同类二次根式合并（合并系数）。
知识归纳
例4 已知a,b,c满足 .
(1)求a,b,c的值；
(2)以a,b,c为三边长能否构成三角形？若能构成
三角形，求出其周长；若不能，请说明理由.
解：(1)由题意得 ；
(2)能.理由如下：∵ 即a＜c＜b，
又∵ ∴a+c＞b，
∴能够成三角形，周长为
分析：(1)若几个非负数的和为零，则这几个非负数必须为零；(2)根据三角形的三边关系来判断.
精典例题
有一个等腰三角形的两边长分别为
，求其周长.
解： 当腰长为 时，
∵
∴此时能构成三角形，周长为
当腰长为 时，
∵
∴此时能构成三角形，周长为
二次根式的加减与等腰三角形的综合运用，关键是要分类讨论及会比较两个二次根式的大小.
归纳
变式练习
化简： ．
解：原式
即学即练
二次根式加减
法则
注意
运算顺序
运算原理
一般地，二次根式的加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.
运算律仍然适用
与实数的运算顺序一样
课堂小结
1.在下列各组根式中，是同类二次根式的是（ ）
A . B .
D.
B
检测目标
125
2. 与 是同类二次根式的是( )
A. B. C. D.
D
检测目标
3.计算:
检测目标
答案：（1） ；（2） ；（3） ；
（4） ．
4.计算：
（1）
（3）
（2）
（4）
．
检测目标
5.要焊接一个如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到0.1米）
A
C
D
B
4m
1m
2m
解：
根据勾股定理得：
所需钢材的长度为：
答：大约需要13.7m的钢材.
检测目标
说说这节课你学到了什么
有什么体会
有什么感想
收获园地
作 业 ：
1.完成同步练习题
2.背诵知识点(共26张PPT)
温故知新
1.二次根式加减法法则？
2.什么是同类二次根式？
3.简要说明二次根式加减的运算步骤？
16.3 二次根式的加减
人教版八年级数学 下册
第2课时 二次根式的混合运算
目标导航
1．探索二次根式加减运算的法则。
2．会进行二次根式的加减运算。
3.能根据运算律和相关法则进行二次根式的四则运算。
例1 计算：
（1）
（2）
思考：（1）中，先计算什么？后计算什么，最后
的目标是什么？（2）呢？
目标导学一：二次根式的混合运算及应用
与有理数、实数运算一样，在混合运算中先乘除，
后加减；
对于（1）：先算乘，再化简，若有相同的二次根
式进行合并，最后的目标是二次根式是最简二次根式；
对于（2）：先算除，再化简，若有相同的二次根
式进行合并，把所有的二次根式化成最简二次根式．
思路点拨
例1 计算：
解：
（1）
思考：（1）中，每一步的依据是什么？
第一步的依据是：分配律或多项式乘单项式；
第二步的依据是：二次根式乘法法则；
第三步的依据是：二次根式化简．
（1）
（2）
精典例题
解：
例1 计算：
（2）
思考：（2）中，每一步的依据是什么？
第一步的依据是：多项式除以单项式法则；
第二步的依据是：二次根式除法法则．
（1）
（2）
精典例题
解：(1)原式
(2)原式
计算：
有绝对值符号的，同括号一样，先去绝对值，注意去掉绝对值后，得到的数应该为正数.
归纳
即学即练
解
例题3 如图,在面积为 的正方形 中,截得直角三角形 的面积为 ,求 的长.
因为正方形
面积为
所以
精典例题
问题1 整式乘法运算中的乘法公式有哪些
平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2;
完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2;
(a-b)2=a2-2ab+b2.
问题2 整式的乘法公式对于二次根式的运算也适用吗
整式的乘法公式就是多项式×多项式
前面我们已经知道二次根式运算类比整式运算，所以适用哟
目标导学二：利用乘法公式进行二次根式的运算
例2 计算：
解：
（1）
思考：（1）中，每一步的依据是什么？
第一步的依据是：多项式乘多项式法则；
第二步的依据是：二次根式化简，合并被开方数
相同的二次根式（依据是：分配律）；
第三步的依据是：合并同类项．
（1）
（2）
精典例题
解：
例2 计算：
（2）
思考1：（2）中，每一步的依据是什么？
每一步的依据是：平方差公式．
思考2：为什么二次根式运算中可以用运算律？
乘法公式使计算准确、简便，因此能用运算公式
的，尽可能用运算公式．因为二次根式表示数，二次
根式的运算也是实数的运算．
（1）
（2）
精典例题
计算：
解：(1)原式
(2)原式
即学即练
例3 已知 试求x2+2xy+y2的值.
解： x2+2xy+y2=（x+y)2
把 代入上式得
原式=
目标导学三：求代数式的值
在前面我们学习了二次根式的除法法则时，学会了怎样去掉分母的二次根式的方法，比如:
思考 如果分母不是单个的二次根式，而是含二次根式的式子，如： 等，该怎样去掉分母中的二次根式呢？
根据整式的乘法公式在二次根式中也适用，你能想到什么好方法吗？
拓展延伸
例4 计算:
解:
分母形如 的式子，分子、分母同乘以
的式子，构成平方差公式，可以使分母不含根号.
归纳
精典例题
（1）已知 ≈2.236，求下面式子的值（结
果精确到0.01）.
即学即练
二次根式混合运算
乘法公式
化简求值
分母有理化
化简已知条件和所求代数式
(a+b)(a-b)=a2-b2
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
课堂小结
6
1.计算：
（1）
（2）
检测目标
2 计算 的结果是
（ ）．
A
A．
B．
C．
D．
检测目标
3 （2）已知 ，求下面式子
的值.
检测目标
解:∵ ，
∴
∴x3y+xy3=xy(x2+y2)=xy[(x+y)2-2xy]
4.已知 ，求x3y+xy3.
检测目标
5.已知 ,求 .
解:∵
检测目标
说说这节课你学到了什么
有什么体会
有什么感想
收获园地
作 业 ：
1.完成同步练习题
2.背诵知识点
