(共30张PPT)
温故知新
1.什么是最简二次根式？
2.二次根式加减法法则？
3.二次根式乘除法法则？
国际数学家大会是最高水平的全球性数学科学学术
会议．我国首都北京曾召开了第24届国际数学家大会．如图就是大会的会徽的图案．
请你说说这个图案由哪些基本图形组成？
导入新课
17.1 勾股定理
人教版八年级数学 下册
第1课时 勾股定理
学习目标
1.经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的一
些文化历史背景，会用面积法来证明勾股定理，体
会数形结合的思想。
2.会用勾股定理进行简单的计算 。
追问 正方形A、B、C
所围成的直角三角形三条边
之间有怎样的特殊关系？
在网格中的一般的直角三角形，以它的三
边为边长的三个正方形A、B、C 是否也有类似的面积
关系？
A
B
C
目标导学一：勾股定理的认识及验证
这个图案是公元3世纪我国汉代的赵爽在注解《周
髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．赵爽根
据此图指出：四个全等的直角三角形（红色）可以如图
围成一个大正方形，中间的部分是一个小正方形 （黄
色）．勾股定理在数学发展中起
到了重大的作用，其证明方法据
说有400 多种，有兴趣的同学可
以继续研究，或到网上查阅勾股
定理的相关资料．
c
b
a
（
b
-
a
）
2
黄实
朱实
拓展阅读
命题 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边长为c,那么a2+b2=c2.两直角边的平方和等于斜边的平方.
由上面的例子，我们猜想：
a
b
c
BY YUSHEN
b
a
c
a+b
a
b
c
c
c
c
a
b
c
c
证法1 让我们跟着我国汉代数学家赵爽拼图,再用所拼的图形证明命题吧.
a
b
c
∵S大正方形＝c2，
S小正方形＝(b-a)2,
∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，
赵爽弦图
b-a
证明：
证法2 毕达哥拉斯证法，请先用手中的四个全等的直角三角形按图示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧.
a
a
a
a
b
b
b
b
c
c
c
c
∴a2+b2+2ab=c2+2ab，
∴a2 +b2 =c2.
证明：
∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab,
S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形
=4× ab+c2
=c2+2ab，
BY YUSHEN
毕达哥拉斯是古希腊数学家、哲学家。他出生在爱琴海中的萨摩斯岛(今希腊东部小岛)，自幼聪明好学，曾在名师门下学习几何学、自然科学和哲学。
几何学中，有着无数定理，毕达哥拉斯定理是其中最诱人的一个，是人类科学发现中的一条基本定理，对科技进步起了不可估量的作用。中世纪德国数学家、天文学家开普勒称赞说：“几何学中有两件瑰宝，一是毕达哥拉斯定理，一是黄金分割律。”
a
a
b
b
c
c
∴a2 + b2 = c2.
证法3 美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”.
如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证：a2 + b2 = c2.
中国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾,较长的直角边叫做股，斜边叫做弦.
据《周髀算经》记载，西周战国时期（约公元1千多年）有个叫商高的人对周公说，把一根直尺折成直角，两端连接得一个直角三角形，如果勾是3，股是4，那么弦等于5.
3
4
5
∟
勾
股
弦
勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
几何语言：
∵在Rt△ABC中 ，∠C=90°，
∴a2+b2=c2（勾股定理）.
a
A
B
C
b
c
∟
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系.
在我国又称商高定理，在外国则叫毕达哥拉斯定理，或百牛定理.
a、b、c为正数
公式变形：
勾股定理
a
b
c
例1 如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°.
（1）若a=b=5,求c;
（2）若a=1,c=2,求b.
解：
(1)据勾股定理得
(2)据勾股定理得
C
A
B
目标导学二：利用勾股定理进行计算
例2 已知∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=3,BC=4.求CD的长.
解：由勾股定理可得
AB2=AC2+BC2=25，
即 AB=5.
根据三角形面积公式，
∴ AC×BC= AB×CD.
∴ CD= .
A
D
B
C
3
4
由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积，它常与勾股定理联合使用．
规律
求图中字母所代表的正方形的面积．
A
A
A
Ｂ
225
144
80
24
17
8
即学即练
勾股定理
内容
在Rt△ABC中， ∠C=90°,a,b为直角边，c为斜边，则有a2+b2=c2.
注意
在直角三角形中
看清哪个角是直角
已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论
课堂小结
1.在直角坐标系中，已知点P的坐标为（5,12），则点P到原点的距离是（ ）
A．5 B．7 C．12 D．13
D
检测目标
2.下列说法中正确的是（ ）
A.已知a,b,c是三角形的三边，则a2+b2=c2
B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方
C.在Rt△ABC中，∠C=90°,所以a2+b2=c2
D.在Rt△ABC中，∠B=90°,所以a2+b2=c2
C
检测目标
3.在下列四组数中，不是勾股数的一组数是（ ）
A．a=3，b=5，c=7
B．a=7，b=24，c=25
C．a=9，b=12，c=15
D．a=15，b=8，c=17
A
检测目标
解：在△ABC中，∠C=90°， ∴a2+b2=c2 .
∵c﹣a=4，b=12，∴c=a+4，∴a2+122=（a+4）2 .
∴a=16，∴c=20，即a=16，c=20.
4.在△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若c﹣a=4，b=12，求a，c．
检测目标
5.在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长.
解：本题斜边不确定，需分类讨论：
当AB为斜边时，如图 ，
当BC为斜边时，如图 ，
4
3
A
C
B
4
3
C
A
B
图
图
检测目标
6. 在△ABC中，AB=15,BC=14,AC=13,求△ABC的面积.某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程.
A
B
C
D
作AD⊥BC于D,
设BD=x,用含x的代数式表示CD
根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”建立方程模型求出x
利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形面积
检测目标
解：如图，在△ABC中，AB=15,BC=14,AC=13,
设BD=x,则CD=14-x,
由勾股定理得：AD2=AB2-BD2=152-x2,
AD2=AC2-CD2=132-(14-x)2,
故152-x2=132-(14-x)2,
解之得，x=9.
∴AD=12.
检测目标
说说这节课你学到了什么
有什么体会
有什么感想
收获园地
作 业 ：
1.完成同步练习题
2.背诵知识点(共32张PPT)
温故知新
1.勾股定理的内容？
2.勾股定理公式的变形？
3.请说明一组勾股数。
数学来源于生活，勾股定理的应用在生活中无处不在……
导入新课
2m
1m
A
B
D
C
17.1 勾股定理
人教版八年级数学 下册
第2课时 勾股定理在实际生活中的应用
学习目标
1. 会运用勾股定理求线段长及解决简单的实际问题。
2.能从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型，利用勾股定理建立已知边与未知边长度之间的联系，并进一步求出未知边长。
问题 观看下面同一根长竹竿以三种不同的方式进门的情况，并结合曾小贤和胡一菲的做法，对于长竹竿进门之类的问题你有什么启发？
这个跟我们学的勾股定理有关，将实际问题转化为数学问题
目标导学一：勾股定理的简单实际应用
例1 一个门框的尺寸如图所示，一块长3m,宽2.2m的长方形薄木板能否从门框内通过 为什么
2m
1m
A
B
D
C
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，
AC2=AB2+BC2=12+22=5
因为AC大于木板的宽2.2m,所以木板能从门框内通过.
分析：可以看出木板横着，竖着都不能通过，只能斜着.门框AC的长度是斜着能通过的最大长度，只要AC的长大于木板的宽就能通过.
精典例题
例2.如图,一根旗杆在离地面9米处折裂,旗杆顶部落在离旗杆底部12米处.旗杆原来有多高
12米
9米
精典例题
【解析】设旗杆顶部到折裂处的距离为x米，根据勾股定理得
x=15, 15+9=24
答：旗杆原来高24米.
利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：
（1）读懂题意，分析已知、未知间的关系；
（2）构造直角三角形；
（3）利用勾股定理等列方程；
（4）解决实际问题.
数学问题
直角三角形
勾股定理
实际问题
转化
构建
利用
解决
方法归纳
A
B
C
例3.如图,太阳能热水器的支架AB长为90cm,与AB垂直的BC长120cm.太阳能真空管AC有多长
【解析】在Rt△ABC中,由勾股定理,得
AC= = =150(cm)
答:太阳能真空管AC长150cm.
精典例题
飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶上方3千米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶5千米.这一过程中飞机飞过的距离是多少千米？
【解析】在Rt△ABC中，
答：飞机飞过的距离是4千米.
B
C
A
3
5
？
即学即练
A
2
1
-4
-3
-2
-1
-1
2
3
1
4
5
例4.如图，在平面直角坐标系中有两点A(-3,5),B(1,2)求A,B两点间的距离.
y
O
x
3
B
C
解：如图，过点A作x轴的垂线,过点B作x,y轴的垂线.相交于点C,连接AB.
∴AC=5-2=3，BC=3+1=4，
在Rt△ABC中，由勾股定理得
∴A,B两点间的距离为5.
方法总结：两点之间的距离公式：一般地，设平面上任意两点
目标导学二：利用勾股定理求两点距离及验证“HL”
思考 在八年级上册中，我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？
已知：如图，在Rt△ABC 和Rt△A ′ B ′ C ′ 中，∠C=
∠C ′=90°，AB=A′ B ′，AC=A′ C′ ．
求证：△ABC≌△A ′B ′C′ ．
A
B
C
A
B
C′
′
′
证明：在Rt△ABC 和Rt△A ′B ′C ′中，
∠C=∠C′=90°，
根据勾股定理得
A
B
C
A
B
C′
′
′
C
B
A
问题 在A点的小狗，为了尽快吃到B点的香肠，它选择A B 路线，而不选择A C B路线，难道小狗也懂数学？
AC+CB >AB（两点之间线段最短）
思考 在立体图形中，怎么寻找最短线路呢？
目标导学三：利用勾股定理求最短距离
例5.假期中，王强和同学到某海岛上去玩探宝游戏，按照探宝图，他们登陆后先往东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往西走3千米，在折向北走到6千米处往东一拐，仅走1千米就找到宝藏，问登陆点A 到宝藏埋藏点B的距离是多少千米？
A
B
8
2
3
6
1
C
解：过B点向南作垂线，连结AB，可得Rt△ABC
由题意可知：AC=6千米，BC=8千米
根据勾股定理AB2=AC2＋BC2
＝62＋82＝100
∴AB=10千米
精典例题
例6.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于５５cm，１０cm和６cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物。请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？
B
A
A
B
C
解：台阶的展开图如图：连结AB
在Rt△ABC中根据勾股定理
AB2=BC2＋AC2
＝552＋482＝5329
∴AB=73cm
精典例题
数学思想：
立体图形
平面图形
转化
展开
B
牛奶盒
A
一只小蚂蚁在图中点A处，欲爬去B点吃香肠，你能帮小蚂蚁找到完成任务的最短路程么？
6cm
8cm
10cm
即学即练
B
B1
8
A
B2
6
10
B3
AB12 =102 +（6+8）2 =296，
AB22= 82 +（10+6）2 =320，
AB32= 62 +（10+8）2 =360，
解：由题意知有三种展开方法，如图.由勾股定理得
∴AB1＜AB2＜AB3.
∴小蚂蚁完成任务的最短路程为AB1，长为 .
例6 如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是多少？
牧童A
小屋B
A′
C
东
北
解：如图，作出点A关于河岸的对称点A′，连接A′B则A′B就是最短路线.
由题意得A′C=4+4+7=15(km)，BC=8km.
在Rt△A′DB中，由勾股定理得
精典例题
求直线同侧的两点到直线上一点所连线段的和的最短路径的方法：先找到其中一点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一点的线段就是最短路径长，以连接对称点与另一个点的线段为斜边，构造出直角三角形，再运用勾股定理求最短路径.
归纳
如图,点A是一个半径为 400 m的圆形森林公园的中心,在森林公园附近有 B、C 两个村庄,现要在 B、C两村庄之间修一条长为 1000 m 的笔直公路将两村连通,经测得 ∠B=60°,∠C=30°,问此公路是否会穿过该森林公园 请通过计算说明.
A
B
C
400
1000
60°
30°
D
即学即练
勾股定理
的应用
用勾股定理解决实际问题
用勾股定理解决点的距离及路径最短问题
解决“HL”判定方法证全等的正确性问题
课堂小结
1．若等腰三角形中相等的两边长为10cm,第三边长为16 cm,那么第三边上的高为 ( )
A. 12 cm B. 10 cm
C. 8 cm D. 6 cm
D
检测目标
2.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B都是格点，则线段AB的长度为 （ ）
A.5 B.6
C.7 D.25
A
检测目标
3、已知：数7和24，请你再写一个整数，使这些数恰好是一个直角三角形三边的长，则这个数可以是（ ）
A.22 B.23 C.24 D.25
检测目标
D
4.如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵2米，两棵对相距8米.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵的树梢，问小鸟至少飞行多少？
A
B
C
解：如图，过点A作AC⊥BC于点C.
由题意得AC=8米，BC=8-2=6(米)，
答：小鸟至少飞行10米.
检测目标
5.求斜边长17厘米、一条直角边长15厘米的直角三角形的面积.
【解析】设另一条直角边长是x厘米.由勾股定理得:
152+ x2 =172而x2=172-152=289–225=64
所以 x=±8（负值舍去）
所以另一直角边长为8厘米
直角三角形的面积是:
(平方厘米)
检测目标
6.在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？
D
A
B
C
检测目标
说说这节课你学到了什么
有什么体会
有什么感想
收获园地
作 业 ：
1.完成同步练习题
2.背诵知识点(共30张PPT)
温故知新
1.什么是勾股定理？
2.试说出一种勾股定理的证明方式？
3.勾股定理的公式变形有哪几种？
在数学中也有这样一幅美丽的“海螺型”图案，
如第七届国际数学教育大会的会徽.
这个图是怎样绘制出来的呢？
导入新课
17.1 勾股定理
人教版八年级数学 下册
第3课时 利用勾股定理作图或计算
学习目标
1. 会运用勾股定理确定数轴上表示实数的点及解决
网格问题。
2.灵活运用勾股定理进行计算，并会运用勾股定理
解决相应的折叠问题。
实数
数轴上的点
一一对应
说出下列数轴上各字母所表示的实数：
A B C D
-2 -1 0 1 2
点C表示
点D表示
点B表示
点A表示
我们知道数轴上的点与实数一一对应，有的表示有理数，有的表示无理数.你能在数轴上分别画出表示3,-2.5的点吗？
目标导学一：勾股定理与数轴
-1 0 1 2 3
思考：你能在数轴上表示出 的点吗？ 呢？
用同样的方法作 呢？
提示：可以构造直角三角形作出边长为无理数的边，就能在数轴上画出表示该无理数的点.
想一想 根据上面问题你能在数轴上画出表示 的点吗？
√
√
长为 的线段能是直角边的长都为正整数的直角三角形的斜边吗？
知识
利用勾股定理，可以发现，直角边的长为正整数2, 3
的直角三角形的斜边长为 .由此，可以依照如下方法在数轴上画出表示 的点.
如图,在数轴上找出表示3的点A， 则OA=3,过点A作直线l垂直于OA，在l上取点B，使AB = 2,以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示 的点.
0
1
2
3
4
在数轴上做出表示 的点.
如图所示．作法：
(1)在数轴上找出表示4的点A，则OA＝4；
(2)过A作直线l垂直于OA；
(3)在直线l上取点B，使AB＝1；
(4)以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示 的点．
解：
0
1
2
3
4
A
B
O
精典例题
利用勾股定理表示无理数的方法:
（1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边.
（2）以原点为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与数轴存在交点，在原点左边的点表示是负无理数，在原点右边的点表示是正无理数.
方法归纳
“数学海螺”
类似地，利用勾股定理可以作出长为 线段.
1
1
知识迁移
例1 如图，数轴上点A所表示的数为a，求a的值.
解：∵图中的直角三角形的两直角边为1和2，
∴斜边长为 ，
即－1到A的距离是 ，
∴点A所表示的数为 .
易错点拨：求点表示的数时注意画弧的起点不从原点起，因而所表示的数不是斜边长.
精典例题
动手画 在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在给定网格中以A出发分别画出长度为 的线段AB．
B
B
B
目标导学二：勾股定理与网格
例2 在如图所示的6×8的网格中，每个小正方形的边长都为1，写出格点△ABC各顶点的坐标，并求出此三角形的周长．
解：由题图得A(2,2),B(-2,-1),C(3,-2).
由勾股定理得
∴△ABC的周长为
勾股定理与网格的综合求线段长时，通常是把线段放在与网格构成的直角三角形中，利用勾股定理求其长度.
规律
例3 如图，在2×2的方格中，小正方形的边长是1，点A，B，C都在格点上，求AB边上的高.
解：如图，过点C作CD⊥AB于点D.
D
精典例题
1.勾股定理与网格的综合求线段长时，通常是把线段放在与网格构成的直角三角形中，利用勾股定理求其长度。
2.网格中求格点三角形的高的题，常用的方法是利用网格求面积，再用面积法求高。
方法归纳
例4 如图，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的F点处，若AB=8cm，BC=10cm，求EC的长.
D
A
B
C
E
F
解：在Rt△ABF中,由勾股定理得 BF2=AF2－AB2=102－82=36，
∴BF=6cm.∴CF=BC－BF=4.
设EC=xcm，则EF=DE=(8－x)cm ，
在Rt△ECF中,根据勾股定理
得 x2+ 42=(8－x)2，
解得 x=3.
即EC的长为3cm.
要用到方程思想
目标导学三：勾股定理与图形的计算
折叠问题中结合勾股定理求线段长的方法:
(1)设一条未知线段的长为x(一般设所求线段的长为x)；
(2)用已知线数或含x的代数式表示出其他线段长；
(3)在一个直角三角形中应用勾股定理列出一个关于x的方程；
(4)解这个方程，从而求出所求线段长.
方法归纳
例5 如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，
∠ACB =∠ECD =90°，D为AB边上一点．求证：AD2 +
DB2 =DE2．
证明：∵ ∠ACB =∠ECD，
∴ ∠ACD +∠BCD=∠ACD +∠ACE ，
∴ ∠BCD =∠ACE．
又 BC=AC， DC=EC，
∴ △ACE≌△BCD．
A
B
C
D
E
精典例题
△ABC中,AB=10,AC=17，BC边上的高线AD=8,求线段BC的长和△ABC的面积.
A
B
C
17
10
8
D
8
6
15
15
6
21
或9
S△ABC=84或36
当题中没有给出图形时，应考虑图形的形状是否确定，如果不确定，就需要分类讨论。
即学即练
利用勾股定理
作图或计算
在数轴上表示出无理数的点
利用勾股定理解决网格中的问题
利用勾股定理解决折叠问题及其他图形的计算
通常与网格求线段长或面积结合起来
通常用到方程思想
课堂小结
1.如图，点C表示的数是( )
A．1 B. C．1.5 D.
D
检测目标
2.如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(－2，3)，以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标介于( )
A．－4和－3之间
B．3和4之间
C．－5和－4之间
D．4和5之间
A
检测目标
3.如图，每个小正方形的边长均为1，则△ABC中， 长为无理数的边有( )
A．0条
B．1条
C．2条
D．3条
C
检测目标
4.如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”，只用没有刻度的直尺在这个“田字格”中最多可以作出长度为 的线段条数为（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
检测目标
C
5.如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝ 6 cm，BC＝8 cm，现将△ABC折叠，使点B与点 A重合，折痕为DE，则BE的长为( )
A．4 cm
B．5 cm
C．6 cm
D．10 cm
B
检测目标
6.若△ABC三边的长分别为 (a＞0)，请利用下图的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积．
解：如图,
∴△ABC即为所求，
A
B
C
检测目标
说说这节课你学到了什么
有什么体会
有什么感想
收获园地
作 业 ：
1.完成同步练习题
2.背诵知识点
