(共35张PPT)
温故知新
1.勾股定理的内容？
2.勾股定理逆定理的内容？
3.什么是互逆命题？
下面图片中，你能找到我们学过的哪些图形？
导入新课
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
你还记得平行四边形的定义吗？
18.1 平行四边形的性质
人教版八年级数学 下册
第1课时 平行四边形的边、角特征
学习目标
1.理解并掌握平行四边形的概念及掌握平行四边形的定义和对边相等、对角相等的两条性质。
2.根据平行四边形的性质进行简单的计算和证明。
3.经历“实验—猜想—验证—证明”的过程,发展学生的思维水平。
∵ 四边形ABCD是平行四边形（已知），
∴ AB∥CD，AD∥BC（平行四边形的定义）．
反过来 ∵ AB∥CD，AD∥BC（已知），
∴ 四边形ABCD是平行四边形（平行四边形的定义）．
我们用符号“△”与三个顶点字母表示三角形；对
于平行四边形，我们也有类似的表示方法吗？
A
B
C
D
ABCD
目标导学一：平行四边形的定义
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
2.平行四边形用“ ” 表示，如图，平行四边形ABCD
记作 ABCD ( 要注意字母顺序).
1.定义:
A
B
D
C
语言表述：
∵AD∥BC,AB∥DC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
知识归纳
读作：平行四边形ABCD
A
D
B
C
记作： ABCD
注意：平行四边形中对边是指无公共点的边，对角是指不相邻的角，邻边是指有公共端点的边，邻角是指有一条公共边的两个角．而三角形对边是指一个角的对边，对角是指一条边的对角．
知识归纳
A
B
C
D
平行四边形相对的边称为对边, 相对的角称为对角．
对边：AB与CD; BC与DA．
对角: ∠ABC与∠CDA; ∠BAD与∠DCB．
知识探究
例1 如图，DC∥GH ∥ AB，DA∥ EF∥ CB，图中的
平行四边形有多少个？将它们表示出来.
D
A
B
C
H
G
F
E
解：∵DC∥GH ∥ AB，
DA∥ EF∥ CB，
∴根据平行四边形的定义可以判定图中共有9个平行四边形，即
AEKG, ABHG, AEFD, GKFD,
K
BEKH, CHKF, BEFC, CDGH, ABCD.
用定义判定平行四边形，即看四边形两组对边是否分别平行.
规律
精典例题
你能从以下图形中找出平行四边形吗？
两组对边分别平行，是平行四边形的一个主要特征。
2
3
1
4
5
即学即练
对于平行四边形，从定义出发，你能得出它的性质
吗？
你能证明这些结论吗？
给出图形定义→研究图形性质→探索图形判定条件
回忆我们的学习经历，研究几何图形的一般思路是
什么？
猜想：平行四边形对角相等，对边相等．
目标导学二：平行四边形的边、角的特征
证明：如图，连接AC.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC，AB ∥ CD,
∴∠1=∠2，∠3=∠4.
又∵AC是△ABC和△CDA的公共边，
∴ △ABC≌△CDA,
∴AD=BC，AB=CD，∠ABC=∠ADC.
∵∠BAD=∠1+∠4，∠BCD=∠2+∠3，
∴∠BAD=∠BCD.
A
B
C
D
1
4
3
2
例2.已知：四边形ABCD是平行四边形.
求证:AD=BC,AB=CD,∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC.
精典例题
平行四边形的对边相等，对角相等。
已知：四边形ABCD是平行四边形。
求证：AC=BD,AB=CD
∠A= ∠D, ∠B= ∠D.
D
C
B
A
提示：可连接BC，试证⊿______≌ ⊿______
转化思想：
四边形
问题
三角形
问题
转化
想一想 不添加辅助线，你能否直接运用平行四边形的
定义，证明其对角相等？
A
B
C
D
证明：∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC，AB ∥ CD,
∴∠A+∠B=180°，
∠A+∠D=180°，
∴∠B=∠D.
同理可得∠A=∠C.
性质2：平行四边形的对角相等。
性质1：平行四边形的对边平行
且相等。
E
F
G
H
邻角互补。
平行四边形是中心对称图形
思考：平行四边形中相邻的两角有什么关系呢
知识归纳
动手做一做:剪两张对边平行的纸条随意交叉叠放在一起，重合部分构成了一个四边形，转动其中一张纸条，线段AD和BC的长度有什么关系？为什么？
A
B
C
D
解：AD和BC的长度相等.
理由如下：由题意知AB//CD,AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC.
解:
∵四边形ABCD是平行四边形
且∠A=52°（已知)
∴ ∠A=∠C=52°（平行四边形的对角相等）
又∵AD∥BC（平行四边形的对边平行）
∴∠A+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∴∠B=∠D= 180 °－∠A= 180 － 52°=128 °
例3 在 ABCD中,已知∠A=52 ° ，求其余三个角的度数。
A
B
C
D
52°
精典例题
(2)若 ABCD的周长为28cm,AB:BC=3:4,求各边的长度.
解： (2)在平行四边形ABCD中,
∵AB=CD，BC=AD.
又∵AB+BC+CD+AD=28cm,
∴AB+BC= 14cm.
∵AB:BC=3:4,设AB=3ycm,BC=4ycm,
∴3y+4y=14，解得y=2.
∴AB=CD=6cm，BC=AD=8cm.
已知平行四边形的边角的比例关系求其他边角时，常会用到方程思想，结合平行四边形的性质列方程.
规律
A
D
C
B
4
3
解： ∵BD ⊥AD
∴ ∠ADB=90 °
在Rt △ADB中，AD=3，BD=4
∴AB= = 5（勾股定理）
又∵四边形ABCD为平行四边形（已知）
∴ AD=BC=3
AB=DC=5
∴ ABCD的周长=2(AD+AB)
=2(3+5)
=16
（平行四边形对边相等）
例4 如图，已知 ABCD 中，AD=3,BD⊥AD, 且BD=4, 你能求出平行四边形的周长吗
精典例题
1.在 ABCD 中， 已知一个内角的度数是60°，则其余三个内角的度数分别为：
120°
60°、
120°
即学即练
2.如图，在平行四边形ABCD中，若AE平分∠DAB，AB=5cm,AD＝9cm,则EC＝ .
C
4cm
A
B
D
E
即学即练
例5 如图，在 ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别是E，F．求证：AE=CF．
证明： ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ∠A= ∠C，AD=CB.
又∠AED= ∠CFB=90°，
∴ △ADE≌△CBF（AAS）,
∴AE=CF.
想一想 在上述证明中还能得出什么结论？
D
A
B
C
F
E
DE=BF
目标导学三：平行线间的距离
C
B
F
E
A
D
若m // n，作 AB // CD // EF，分别交 m于A、C、E，交 n于B、D、F.
由平行四边形的性质得AB=CD=EF.
两条平行线之间的平行线段相等.
m
n
由平行四边形的定义易知四边形ABCD，CDEF均为平行四边形.
知识归纳
两条平行线之间的距离：
一条直线上任意一点到另一条
直线的距离，叫做两条平行线
之间的距离。
知识归纳
两条平行线间的距离相等.
若m // n，AB、CD、EF垂直于 n，交n于B、D、F，交 m于A、C、E.
B
F
E
A
n
m
C
D
点到直线的距离
同前面易得AB=CD=EF
平行
四边形
定义
两组对边分别平行的四边形
性质
两组对边分别平行，相等
两条平行线间的距离相等,
两条平行线间的平行线段也相等
两组对角分别相等，邻角互补
课堂小结
（1）∠A：∠B ： ∠C ： ∠D的度数可能是( )
A． 1 ： 2 ： 3 ： 4 B．3 ： 2 ： 3 ： 2
C．2 ： 3 ： 3 ： 2 D．2 ： 2 ： 3 ： 3
（2）连接AC， 若∠D=60°， ∠DAC=40°，则 ∠B=____， ∠BAC=____．
B
60°
80°
A
D
B
C
1.如图，在
ABCD中，
检测目标
2.如图： 在 ABCD中，∠A+∠C=200°
则：∠A= ，∠B= .
A
D
B
C
100 °
80 °
解:
∴∠B= 180 °－∠A= 180 － 100°=80°
又∵AD∥BC(平行四边形的对边平行)
∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠A=∠C=100 ° （平行四边形的对角相等）
且A+∠C=200°
检测目标
3．如图，△ABC是等腰三角形，P是底边BC上一动点，且PE//AB，PF//AC．求证：PE+PF=AB．
证明：因为PE//AB，PF//AC，
所以四边形AEPF为平行四边形，∠C=∠FPB．
所以PE=AF．
因为△ABC是等腰三角形，
所以∠B=∠C．所以∠B=∠FPB．
所以PF=BF．所以PE+PF=AF+BF=AB．
检测目标
4.如图，小明用一根36m长的绳子围成了一个平行四边形的场地，其中一条边AB长为8m，其他三条边各长多少？
A
B
C
D
解：
四边形ABCD是平行四边形
检测目标
课堂总结
同学们，本节课你收获了什么？
课后作业
1.整理本节知识点
2.选做题：
同步检测题(共28张PPT)
温故知新
1.什么是平行四边形？
2.平行四边形的边角性质？
3.平行线间的距离有什么特点？
一位饱经沧桑的老人，经过一辈子的辛勤劳动，到晚年的时候，终于拥有了一块平行四边的土地，由于年迈体弱，他决定把这块土地分给他的四个孩子，他是这样分的：
当四个孩子看到时，争论不休，都认为自己分的地少，同学们，你认为老人这样分合理吗 为什么
导入新课
18.1 平行四边形的性质
人教版八年级数学 下册
第2课时 平行四边形的对角线的特征
学习目标
1.掌握平行四边形对角线互相平分的性质；
2.经历对平行四边形性质的猜想与证明的过程，渗透转化思想， 体会图形性质探究的一般思路。
我们知道平行四边形的边角这两个基本要素的性质，那么平行四边形的对角线又具有怎样的性质呢
A
B
C
D
O
如图，在□ABCD中，连接AC,BD,并设它们相交于点O.
OA与OC,OB与OD有什么关系
猜一猜
OA=OC,OB=OD
怎样证明这个猜想呢？
目标导学一：平行四边形的对角线的性质
如图，在 ABCD中，对角线AC，BD 相交于点O．
OA与OC，OB与OD有什么关系？
求证：OA=OC，OB=OD．
证明：∵ 四边形
ABCD是平行四边形，
∴ AB=CD，AB∥CD；
∴ ∠1=∠2，∠3=∠4；
∴ △COD≌△AOB；
∴ OA=OC，OB=OD．
D
A
B
C
O
1
2
3
4
A
C
D
B
O
平行四边形的对角线互相平分.
平行四边形的性质
应用格式：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ OA=OC，OB=OD.
知识归纳
我们证明了平行四边形具有以下性质：
（1）平行四边形的对边相等；
（2）平行四边形的对角相等；
（3）平行四边形的对角线互相平分.
前面问题中，老人分的土地面积相等吗？
知识归纳
例1.如图， ABCD的周长为26 cm，
AC，BD相交于点O，△BOC的周
长比△AOB的周长小3 cm，求AB，
BC的长．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC，AD＝BC，OA＝OC，
OB＝OD，∵△BOC的周长比△AOB的周长小3 cm，
∴(AB＋OB＋OA)－(BC＋OC＋OB)＝3，∴AB－BC＝3，
∵2(AB＋BC)＝26，∴AB＋BC＝13，可求得AB＝8 cm，BC＝5 cm
平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形的周长之差等于邻边边长之差．
精典命题
如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，平行四边形ABCD的周长是100cm，△AOB与△BOC的周长的和是122cm，且AC:DB= 2:1，求AC和BD的长．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，OB=OD，
∴AB+BC=50.
∵△AOB与△BOC的周长的和是122cm，
∴OA+OB+AB+OB+OC+BC=122，
即AC+BD=122-50=72.
又∵AC:DB=2:1，
∴AC=48cm，BD=24cm．
变式练习
例2 如图,平行四边形ABCD中，AC、BD交于O点，点E、F分别是AO、CO的中点，试判断线段BE、DF的关系并证明你的结论．
解：BE＝DF，BE∥DF.
理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD,
∴OE＝OF.
在△OFD和△OEB中，
OE＝OF，∠DOF＝∠BOE，OD＝OB，
∴△OFD≌△OEB，
∴∠OEB＝∠OFD，BE＝DF，
∴BE∥DF.
例3. 在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AB，CD分别相交于点E，F．求证：OE=OF．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，OA=OC,∴∠EAC=∠FCO，
又∵∠AOE=∠COF，∴△AOE≌△COF.
∴OE=OF.
A
B
C
D
O
E
F
A
B
C
D
O
E
F
A
B
C
D
O
E
F
请判断下列图中，OE=OF还成立么？
同例3易证明OE=OF还成立.
过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到线段总相等.
规律
即学即练
例4.如图，四边形ABCD是平行四边形，AB=10，AD=8，AC⊥BC，求BC、CD、AC、OA的长以及 ABCD的面积．
解：
∴△ABC是直角三角形．
又AC⊥BC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=8，CD=AB=10．
∵OA=OC，
∴AC===6
∴OA=AC=3
∴S
ABCD
= BC×AC=8×6=48．
8
10
B
C
D
A
O
●
目标导学二：平行四边形的面积
例5 如图，平行四边形ABCD中，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，若平行四边形ABCD的周长为48，DE=5，DF=10，求平行四边形ABCD的面积.
解：设AB=x，则BC=24-x.
根据平行四边形的面积公式可得5x=10(24-x)，
解得x=16．
则平行四边形ABCD的面积为5×16=80．
已知平行四边形的高DE，DF，根据“等面积法”及平行四边形的性质列方程求解.
规律
A
B
C
D
O
F
E
例6 如图，AC,BD交于点O，EF过点O,平行四边形ABCD被EF所分的两个四边形面积相等吗？
M
N
解：设直线EF交AD,BC于点N,M.
∵AD∥BC,
∴∠NAO=∠MCO,∠ANO=∠CMO.
又∵AO=CO,
∴△NAO≌△MCO，
∴S四边形ANMB=S△NAO+S△AOB+S△MOB=S△MCO+S△AOB+S△MOB
=S△AOB+S△COB= .
∴S四边形ANMB=S四边形CMND,
即平行四边形ABCD被EF所分的两个四边形面积相等.
如图，欢欢看到平行四边形的草地中间有一水井，为了浇水的方便，欢欢建议我们经过水井修小路，一样可以把草地分成面积相等的两部分，同学们，你知道聪明的欢欢是怎么分的吗？
B
M
C
●
D
A
O
解：如图所示．
即学即练
平行四
边形对角线的
性质
平行四边形对角线互相平分
两条对角线分平行四边形为面积相等的四个三角形
过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到线段总相等.
过对角线交点的任一条直线都将平行四边形分成面积相等的两部分.且与对角线围成的三角形相对的两个全等.
课堂小结
1.如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AB=5，△OCD的周长为23，则平行四边形ABCD的两条对角线的和是（ ）
A．16 B．26
C．36 D．46
C
检测目标
2.如图， ABCD中，AC、BD相交于点O，若AD=6，AC+BD=16，则△BOC的周长是（ ）
A．14 B．15
C．16 D．17
A
检测目标
3.如图，在 ABCD中，
全等三角形的对数共有( )
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
B
检测目标
4.如图， ABCD的对角
线AC，BD相交于点O，已知AD＝8，
BD＝12，AC＝6，则△OBC的周长为( )
A．11 B．13 C．15 D．17
D
检测目标
5.如图，已知O是平行四边形ABCD的对角线的交点，AC=24，BD=18，AB=16，求△OCD的周长及AD边的取值范围．
解：由题意得OA=OC=12，OB=OD=9，CD=AB=16,
∴△OCD的周长为12+9+16=37.
在△ACD中，24-16＜AD＜24+16，∴8＜AD＜40；
在△ABD中，18-16＜AD＜18+16，∴2＜AD＜34；
在△AOD中，12-9＜AD＜12+9，∴3＜AD＜21．
综上所述，AD的取值范围应是8＜AD＜21．
与三角形三边关系结合
检测目标
6．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是OA、OC的中点，连接BE、DF．
求证：EB＝DF．
检测目标
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，∴OB＝OD，OA＝OC．
又∵E、F分别是OA、OC的中点，
∴OE＝2(1)OA，OF＝2(1)OC，∴OE＝OF．
∵在△BEO与△DFO中，OB＝OD(∠BOE＝∠DOF)，∴△BEO≌△DFO(SAS)，∴BE＝DF．
检测目标
课堂总结
同学们，本节课你收获了什么？
课后作业
1.整理本节知识点
2.选做题：
同步检测题
