(共35张PPT)
温故知新
1.什么是平行四边形？
2.平行四边形的性质有哪些？
3.平行四边形的性质的逆命题分别是什么？
平行四边形性质：
平行四边形的对边相等.
平行四边形的对角相等.
平行四边形的对角线互相平分.
边：
角：
对角线：
想一想 这些逆命题是否都成立呢？
平行四边形上面的三条性质的逆命题：
两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
导入新课
18.1.2 平等四边形的判定
人教版八年级数学 下册
第1课时 平行四边形的判定（1）
学习目标
1.经历平行四边形判定定理的猜想与证明过程，体会
类比思想及探究图形判定的一般思路；
2.掌握平行四边形的三个判定定理，能根据不同条件
灵活选取适当的判定定理进行推理论证。
平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫
做平行四边形．
平行四边形的性质：对边相等，对角相等，邻角互补，对角线互相平分．
？
判定
性质
定义
D
A
B
C
目标导学一：两组对边分别相等的四边形是平行四边形
判定
性质
定义
D
A
B
C
问题 如何寻找平行四边形的判定方法？
两组对边分别相等的
四边形是平行四边形
平行四边形的性质
猜想
对边相等
对角相等
对角线互相平分
两组对角分别相等的
四边形是平行四边形
对角线互相平分的四
边形是平行四边形
思考：这些猜想正确吗？
证明：连接BD．
∵ AB=CD，AD=BC，
BD= BD ，
∴ △ABD≌△CDB (sss)．
∴ ∠1=∠2，∠3=∠4．
∴ AB∥DC，AD∥BC．
∴ 四边形ABCD是平行四边形．
如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
猜想1
D
A
B
C
1
2
3
4
证明猜想
平行四边形的判定定理：
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
几何语言描述：
在四边形ABCD中，∵AB=CD,AD=BC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
B
D
A
C
知识归纳
证明：∵ AB=DC，AD=BC，
∴ 四边形ABCD是平行四边形．
∴ AB∥DC．
又∵ DC=EF，DE=CF，
∴ 四边形DCFE也是平行四边形．
∴ DC∥EF．
∴ AB∥EF．
例1 如图，AB=DC=EF，AD=BC，DE=CF．求证：
AB∥EF．
A
B
C
D
E
F
精典例题
例2 如图，在Rt△MON中，∠MON＝90°.求证：
四边形PONM是平行四边形．
证明：Rt△MON中，
由勾股定理得(x－5)2＋42＝(x－3)2，
解得x＝8.
∴PM＝11－x＝3，ON＝x－5＝3，MN＝x－3＝5.
∴PM＝ON，OP＝MN，
∴四边形PONM是平行四边形．
精典例题
BY YUSHEN
如图，在平行四边形ABCD中，AE＝CF，求证：四边形BFDE是平行四边形．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，且AB＝CD，
又∵AE＝CF，
∴BE＝DF，
∴BE∥DF且BE＝DF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
即学即练
证明：∵ 多边形ABCD是四边形，
∴ ∠A+∠B+∠C+∠D=360°．
又∵ ∠A=∠C，∠B=∠D，
∴ ∠A+∠B=180°，
∠B+∠C=180°．
∴ AD∥BC，AB∥DC．
∴ 四边形ABCD是平行四边形．
如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
猜想2
D
A
B
C
目标导学二：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
平行四边形的判定定理：
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
几何语言描述：
在四边形ABCD中，∵∠A=∠C，∠B=∠D,
∴四边形ABCD是平行四边形.
B
D
A
C
知识归纳
例3.如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，DE平分∠ADC，交CB的延长线于点E，BF平分∠ABC，交AD的延长线于点F.
求证：四边形BFDE是平行四边形．
精典例题
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC＝∠ABC，AD∥CB. ∴DF∥BE.
∵DE平分∠ADC，BF平分∠ABC，
∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4.
∵AD∥BC，∴∠1＝∠E. ∴∠E＝∠3.
∴DE∥FB.
∴四边形BFDE是平行四边形．(两组对边分别
平行的四边形是平行四边形)
证明：
精典例题
1.判断下列四边形是否为平行四边形：
A
D
C
B
110°
70°
110°
A
B
C
D
120°
60°
是
不是
2.能判定四边形ABCD是平行四边形的条件：
∠A:∠B:∠C:∠D的值为 （ ）
A. 1:2:3:4
B. 1:4:2:3
C. 1:2:2:1
D. 3:2:3:2
D
即学即练
如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，且
OA=OC，OB=OD．求证：四边形ABCD是平行四边形．
对角线互相平分的四边形是平行四边形．
D
A
B
C
O
猜想3
证明：∵ OA=OC，OB=OD，∠AOD=∠COB，
∴ △AOD≌△COB（SAS)．
∴ ∠OAD=∠OCB．
∴ AD∥BC．
同理 AB∥DC．
∴ 四边形ABCD是平行四边形．
目标导学三：对角线互相平分的四边形是平行四边形
平行四边形的判定定理：
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
几何语言描述：
在四边形ABCD中，∵AO=CO,DO=BO,
∴四边形ABCD是平行四边形.
B
O
D
A
C
知识归纳
BY YUSHEN
例4．如图，在平行四边形 ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF.
(1)求证：AE＝CF；
(2)求证：四边形AECF是平行四边形．
【详解】
（2）∵△ABE≌△CDF，
∴∠AEB=∠CFD，
∴∠AEF=∠CFE，
∴AE∥CF，
∵AE=CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
精典例题
如图，AC是平行四边形ABCD的一条对角线，BM⊥AC于M，DN⊥AC于N，四边形BMDN是平行四边形吗？说说你的理由．
解：四边形BMDN是平行四边形．
理由如下：连接BD交AC于O．
∵BM⊥AC于M，DN⊥AC于N，
∴∠AND=∠CMB=90°．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，AO=CO，AD=BC，AD∥BC，
∴∠DAN=∠BCM,
∴△ADN≌△CBM，∴AN=CM，
∴OA-AN=OC-CM，即ON=OM,
∴四边形BMDN是平行四边形．
O
变式练习
昨天李明同学在生物实验室做实验时，不小心碰碎了实验室的一块平行四边形的实验用的玻璃片,只剩下如图所示部分,他想回家去割一块赔给学校，带上玻璃剩下部分去玻璃店不安全，于是他想把原来的平行四边形重新在纸上画出来 然后带上图纸去就行了，可原来的平行四边形怎么给它画出来呢(A,B,C为三顶点,即找出第四个顶点D)？
A
B
C
拓展探究
D
A
B
C
方法依据：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
方法一：
拓展探究
D
A
B
C
方法依据：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
方法二：
拓展探究
D
O
A
B
C
方法依据：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
方法三：
拓展探究
BY YUSHEN
文字语言 图形语言 几何语言
定义法 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ∵AB//CD, AD//BC,
∴四边形ABCD是平行四边形
判定方法1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ∵AB=CD,AD=BC,
∴四边形ABCD是平行四边形
判定方法2 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ∵∠A= ∠C, ∠B= ∠D,
∴四边形ABCD是平行四边形
判定方法3 对角线互相平分的四边形是平行四边形 ∵AO=CO,BO=DO,
∴四边形ABCD是平行四边形
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
O
A
B
C
D
知识归纳
2.研究图形的一般思路：
1.平行四边形的判定方法：
①边：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
②边：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
③角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
④对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
课堂小结
1.下列条件中，不能判定一个四边形是平行四边形的是( )
A．两组对边分别平行
B．两组对边分别相等
C．两组对角分别相等
D．一组对边平行且另一组对边相等
检测目标
D
2.小玲的爸爸在钉制平行四边形框架时,采用了一种方法:如图所示,将两根木条AC、BD的中点重叠,并用钉子固定,则四边形ABCD就是平行四边形,这种方法的依据是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．两组对角分别相等的四边形是平行四边形
C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
A
检测目标
3.若∠A，∠B，∠C，∠D为四边形ABCD的四个内角，下列给出的是这四个内角的比值，其中能使四边形ABCD是平行四边形的是( )
A．2∶3∶2∶3 B．2∶3∶3∶2
C．1∶2∶3∶4 D．2∶2∶3∶3
A
检测目标
4.如图，E是 ABCD边AD延长线上一点，连接BE，CE，BD，BE交CD于点F.添加以下条件，不能判定四边形BCED为平行四边形的是( )
A．∠ABD＝∠DCE B．DF＝CF
C．∠AEB＝∠BCD D．∠AEC＝∠CBD
C
检测目标
5.如图，AB、CD相交于点O，AC∥DB，AO＝BO，E、F分别是OC、OD的中点．求证：
(1)△AOC≌△BOD；
(2)四边形AFBE是平行四边形．
证明：(1)∵AC∥BD，
∴∠C＝∠D.
又∵∠COA=∠DOB，AO＝BO ，
∴△AOC≌△BOD(AAS)；
(2)∵△AOC≌△BOD，
∴CO＝DO.
∵E、F分别是OC、OD的中点，
∴EO＝FO.
又∵AO＝BO，
∴四边形AFBE是平行四边形．
检测目标
说说这节课你学到了什么
有什么体会
有什么感想
收获园地
作 业 ：
1.完成同步练习题
2.背诵知识点(共29张PPT)
温故知新
1.什么是平行四边形？
2.平行四边形的性质有哪些？
3.我们已经学行四边形判定方法有哪些？
如图，在下列各题中，再添上一个条件使结论成立：
（1）∵ AB∥CD， ，
∴ 四边形ABCD是平行四边形．
（2）∵ AB=CD， ，
∴ 四边形ABCD是平行四边形．
如果只考虑一组对边，
它们满足什么条件时，这
个四边形能成为平行四边
形？
AD∥BC
AD=BC
A
B
C
D
导入新课
18.1.2 平等四边形的判定
人教版八年级数学 下册
第2课时 平行四边形的判定（2）
学习目标
1.掌握“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”
的判定方法.（重点）
2.会进行平行四边形的性质与判定的综合运用.（难点）
B
A
探究 如图，将线段AB向右平移BC长度后得到线段 CD，连接AD，BC，由此你能猜想四边形ABCD的形状吗？
D
C
四边形ABCD是平行四边形
猜想：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
你能证明吗？
目标导学一：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
A
B
C
D
证明思路
作对角线构造全等三角形
一组对应边相等
两组对边分别相等
四边形ABCD是平行四边形
如图，在四边形ABCD中，AB=CD且AB∥CD，
求证：四边形ABCD是平行四边形.
验证猜想
A
B
C
D
1
2
从上面的问题中我们可以抽取出如下题目:
已知 AB∥CD,AB=CD,试说明四边形ABCD是平行四边形.
解：方法1：连接AC，
∵ AB∥CD, ∴ ∠1=∠2.
又∵ AB=CD, AC=CA,
∴ △ABC≌△CDA,
∴ BC=AD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
验证猜想
∵AB //CD ，
∴∠1=∠2 ．
又 ∵AB =CD ，
AC =CA ，
∴△ABC≌△CDA ．
∴∠BCA=∠DAC ．
∴AD //BC ．
∴四边形ABCD是平行四边形．
方法2：如图，连接 AC．
验证猜想
平行四边形的判定定理：
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
几何语言描述：
在四边形ABCD中，∵AB∥CD,AB=CD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
B
D
A
C
知识归纳
两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
从角考虑 两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
从对角线考虑 对角线互相平分的四边形是平行四边形．
从边
考虑
判定一个四边形是平行四边形可从哪些角度思考？
具体有哪些方法？
知识归纳
文字语言 图形语言 几何语言
判定
方法1
定义法
判定方法2
判定方法3
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
O
A
B
C
D
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
∵AB//CD, AD//BC,
∴四边形ABCD是
平行四边形
∵AB=CD,AD=BC,
∴四边形ABCD是
平行四边形
∵ ∠ A= ∠ C,
∠ B= ∠ D,
∴四边形ABCD是
平行四边形
∵AO=CO,BO=DO,
∴四边形ABCD是
平行四边形
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
对角线互相平分的四边形是平行四边形
判定方法4
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
A
B
C
D
∵AB//CD, AB=CD,
∴四边形ABCD是
平行四边形
平行四边形的判定方法
例1.如图， ABCD中，线段EF、GH分别在AB、CD上运动，在运动过程中总是保持EF=GH.
（1）试猜想四边形EFGH的形状，并说明理由.
解：四边形EFGH为平行四边形.
由平行四边形的性质,得AB∥CD，即EF∥GH.又∵EF=GH，
∴四边形EFGH为平行四边形.
（2）若EF= AB，且S ABCD=24，
则S四边形EFGH=____.
8
精典例题
例2 如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，AE=DF，∠A=∠D，AB=DC．求证：四边形BFCE是平行四边形．
证明：∵AB=CD，
∴AB+BC=CD+BC，即AC=BD，
在△ACE和△DBF中，
AC＝BD ,∠A＝∠D, AE＝DF ,
∴△ACE≌△DBF(SAS)，
∴CE=BF，∠ACE=∠DBF，
∴CE∥BF，
∴四边形BFCE是平行四边形．
精典例题
如图，点C是AB的中点，AD=CE，CD=BE．
（1）求证：△ACD≌△CBE；
（2）求证：四边形CBED是平行四边形．
证明：（1）∵点C是AB的中点，∴AC=BC.
在△ADC与△CEB中，
AD＝CE , CD＝BE , AC＝BC ,
∴△ADC≌△CEB（SSS），
（2）∵△ADC≌△CEB，
∴∠ACD=∠CBE，
∴CD∥BE.
又∵CD=BE，
∴四边形CBED是平行四边形．
变式练习
例3 平行四边形ABCD中，AE＝CF，M，N分别是DE，BF的中点.
求证：四边形MFNE是平行四边形.
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD.
又∵AE＝CF，∴BE＝DF，BE∥DF.
∴四边形EDFB是平行四边形，∴DE＝BF，DE∥BF.
精典例题
∵M，N分别是DE，BF的中点，
∴EM＝FN，EM∥FN.
∴四边形MFNE是平行四边形.
精典例题
例4.如图，在 ABCD中，BD是它的一条对角线，过A，C两点分别作AE⊥BD，CF⊥BD，E，F为垂足.求证：四边形AFCE是平行四边形.
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，∴∠ADE=∠CBF，
又∠AED=∠CFB=90°，∴△AED≌△CFB，
∴AE=CF.
又∵ ∠AEF=∠CFE=90°，
∴ AE∥CF，
∴四边形AFCE是平行四边形.
目标导学二：平行四边形的性质与判定的综合运用
例5 如图，将 ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕l交CD边于点E，连接BE．求证：四边形BCED′是平行四边形.
证明：由题意得∠DAE=∠D′AE，∠DEA=∠D′EA，∠D=∠AD′E，
∵DE∥AD′，
∴∠DEA=∠EAD′，
∴∠DAE=∠EAD′=∠DEA=∠D′EA，
∴∠DAD′=∠DED′，
∴四边形DAD′E是平行四边形，
∴DE=AD′.
精典例题
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB=DC，
∴CE∥D′B，CE=D′B，
∴四边形BCED′是平行四边形.
此题利用翻折变换的性质以及平行线的性质得出∠DAE=∠EAD′=∠DEA=∠D′EA，再结合平行四边形的判定及性质进行解题.
规律
精典例题
在下列条件中,不能判定四边形是平行四边形的是( )
AB∥CD,AD∥BC
AB=CD,AD=BC
(C)AB∥CD,AB=CD
(D) AB∥CD,AD=BC
(E) AB∥CD, ∠A=∠C
D
B
D
A
C
（两组对边分别平行）
（两组对边分别相等）
（一组对边平行且相等）
（两组对角分别相等）
A
B
D
C
即学即练
平行四边形的判定(2)
平行四边形的性质与判定的综合运用
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
课堂小结
（1）有两组对边分别相等的四边形是平行四边形
（2）两条对角线相等的四边形是平行四边形
（3）任意相邻两个角都互补的四边形是平行四边形
（4）一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形
（5）有两条边相等，并且另外的两条边也相等的四边形一定是平行四边形
( √ )
( ╳ )
( √ )
(╳ )
(╳ )
检测目标
1.判 断
2.下列说法错误的是( )
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
检测目标
C
3.如图，在 ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，若要使四边形AFCE是平行四边形，可以添加的条件是 ( )
①AF＝CF；②AE＝CE；③BF＝DE；④AF∥CE.
A．③或④
B．②或③
C．①或②
D．①或③
A
检测目标
4.已知：如图，E,F分别是 的边AD,BC的中点。
求证：BE=DF.
D
F
E
C
B
A
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD (平行四边形的定义)
AD=BC(平行四边形的对边分别相等)，
∵E,F分别是AD,BC的中点，
∴ED=BF,即ED BF.
∥
﹦
∴四边形EBFD是平行四边形（一组对边 平行并且相等的四边形是平行四边形）。
∴BE=DF(平行四边形的对边分别相等)。
检测目标
5.如图，△ABC中，AB=AC=10，D是BC边上的任意一点，分别作DF∥AB交AC于F，DE∥AC交AB于E，求DE+DF的值．
解：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴DE=AF.
又∵AB=AC=10，
∴∠B=∠C.
∵DF∥AB，
∴∠CDF=∠B，
∴∠CDF=∠C，
∴DF=CF，
∴DE+DF=AF+FC=AC=10．
检测目标
说说这节课你学到了什么
有什么体会
有什么感想
收获园地
作 业 ：
1.完成同步练习题
2.背诵知识点(共37张PPT)
温故知新
1.什么是平行四边形？
2.平行四边形的性质有哪些？
3.平等四边形的判定方法有哪些？
平行四边形的性质和判定
边：
角：
对角线：
B
O
D
A
C
AB∥CD, AD∥BC
AB=CD, AD=BC
AB∥CD, AD=BC
∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC
AO=CO,DO=BO
判定
性质
温故知新
我们探索平行四边形时，常常转化为三角形，利用三角形的全等性质进行研究，今天我们一起来利用平行四边形来探索三角形的某些问题吧.
想一想 一块三角形蛋糕，准备平分给四个小朋友，要求四人所分的形状大小相同，你会分吗？
18.1.2 平等四边形的判定
人教版八年级数学 下册
第3课时 三角形的中位线
学习目标
1.理解三角形中位线的概念，掌握三角形的中位线定理。
2.能利用三角形的中位线定理解决有关证明和计算问题。
定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
A
B
C
D
E
如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE.则线段DE就称为△ABC的中位线.
目标导学一：三角形的中位线定理
问题1：
一个三角形有几条中位线？
D
E
F
三条
问题2：
三角形中位线与三角形中线有什么区别？
D
E
D
端点不同
合作探究
三角形的中位线与三角形的中线的区别？
合作探究
中位线是两条边中点的连线，而中线是一个顶点和对边中点的连线。
三角形的中位线具有怎样的性质呢？
即DE与BC有什么样的
位置关系和数量关系？
D
E
两条线段的关系
位置关系
数量关系
分析：
DE与BC的关系
猜想：
DE∥BC
？
平行
角
平行四边形
或
线段相等
一条线段是另一条线段的一半
倍长短线
分析1：
D
E
如何证明你的猜想？
分析2：
D
E
互相平分
构造
平行四边形
倍长DE
A
B
C
D
E
F
∵DE=EF 、∠AED=∠CEF 、AE=EC∴△ADE ≌ △CFE
证明：如 图，延 长DE 到 F，使EF=DE ，连 结CF.
∴AD=FC 、∠A=∠ECF
∴AB∥FC
又AD=DB ∴BD∥ CF且 BD =CF
所以 ，四边形BCFD是平行四边形
还有另外的证法吗？
∴DF∥BC，DF＝BC
又∵
即DE∥BC
已知在△ABC 中，DE是△ABC 的中位线
求证：DE ∥ BC，且DE= BC 。
证法1
证明：
D
E
延长DE到F，使EF=DE．
连接AF、CF、DC ．
∵AE=EC，DE=EF ，
∴四边形ADCF是平行四边形．
F
∴四边形BCFD是平行四边形，
∴CF AD ,
∴CF BD ,
又∵ ，
∴DF BC ．
∴ DE∥BC， ．
如图，在△ABC中，点D,E分别是AB,AC边的中点，
求证：
证法1
中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.
数学表达式：如图，∵AD＝BD，AE＝EC，
∴DE∥BC，且DE＝ BC.
知识归纳
A
B
C
D
E
F
①中位线DE、EF、DF把△ABC
分成四个全等的三角形；有三
组共边的平行四边形，它们是
四边形ADFE和BDEF，四边形
BFED和CFDE，四边形ADFE
和DFCE.
②顶点是中点的三角形，我们称之为中点三角形；中点三角形的周长是原三角形的周长的一半.面积等于原三角形面积的四分之一.
由此你知道怎样分蛋糕了吗
深入探究
例1 如图，在△ABC中，D、E分别为AC、BC的中点，AF平分∠CAB，交DE于点F.若DF＝3，求AC的长
解：∵D、E分别为AC、BC的中点，
∴DE∥AB，
∴∠2＝∠3.
又∵AF平分∠CAB，
∴∠1＝∠3，
∴∠1＝∠2，
∴AD＝DF＝3，
∴AC＝2AD＝2DF＝6.
1
2
3
精典例题
例2 如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∠ABD=20°，∠BDC=70°，求∠PMN的度数．
解：∵M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，
∴PN，PM分别是△CDB与△DAB的中位线，
∴PM= AB，PN= DC，PM∥AB，PN∥DC，
∵AB=CD，
∴PM=PN，
∴△PMN是等腰三角形，
∵PM∥AB，PN∥DC，
∴∠MPD=∠ABD=20°，∠BPN=∠BDC=70°，
∴∠MPN=∠MPD+(180° ∠NPB)=130°，
∴∠PMN=(180° 130°)÷ 2 =25°．
例3 如图，在△ABC中，AB＝AC，E为AB的中点，在AB的延长线上取一点D，使BD＝AB，求证：CD＝2CE.
证明：取AC的中点F，连接BF.
∵BD＝AB，
∴BF为△ADC的中位线，∴DC＝2BF.
∵E为AB的中点，AB＝AC，
∴BE＝CF，∠ABC＝∠ACB.
∵BC＝CB，∴△EBC≌△FCB,
∴CE＝BF，
∴CD＝2CE.
F
恰当地构造三角形中位线是解决线段倍分关系的关键．
规律
1.三角形的周长为18cm，它的三条中位线围成
的三角形的周长是多少 为什么
A
B
C
D
E
F
9cm;
三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半．
即学即练
2. 如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点
C，连接AC和BC，怎样量出A、B两点间的距离？
根据是什么？
解:分别找出AC、BC中点M、N，
量出M、N两点间距离，则AB=2MN.
N
M
根据是三角形中位线定理．
即学即练
例4.已知：如图，在四边形ABCD中，E、F、
G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．
求证：四边形EFGH是平行四边形．
A
E
B
F
H
D
C
G
目标导学二：三角形的中位线的与平行四边形的综合运用
证明：连结AC，△DAG中，
∵ AH=HD，CG=GD，
∴ HG∥AC，HG=AC
（三角形中位线性质）．
同理EF∥AC，EF=AC．
∴ HG∥EF，且HG=EF．
∴ 四边形EFGH是平行四边形．
结论：顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形．
A
E
B
F
H
D
C
G
如图，E、F、G、H分别为四边形ABCD四边之中点．求证：四边形EFGH为平行四边形.
证明：如图，连接BD.
∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四边之中点，
∴EH是△ABD的中位线，
FG是△BCD的中位线，
∴EH∥BD且EH= BD，
FG∥BD且FG= BD，
∴EH∥FG且EH=FG，
∴四边形EFGH为平行四边形.
变式练习
例5 如图，O是△ABC内一点，连接OB，OC，并将AB，OB，OC，AC的中点D，E，F，G依次连接，得到四边形DEFG.
求证：四边形DEFG是平行四边形．
证明：连接OA在△AOB中，D、E为AB、BO上的中点，
∴DE为△AOB的中位线，∴DE= AO，DE∥AO.
同理可证，GF= AO，GF∥AO.
∴GF∥DE，GF=DE.
∴四边形DEFG是平行四边形.
精典例题
例6 如图，已知E为平行四边形ABCD中DC边延长线上一点，且CE＝DC，连接AE，分别交BC，BD于点F，G，连接AC交BD于点O，连接OF.
求证：AB＝2OF.
精典例题
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD.
∵E为平行四边形ABCD中DC边延长线上一点，
且CE＝DC，
∴AB∥CE，AB＝CE，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∴点F是BC的中点．
又∵点O是AC的中点，
∴OF是△ABC的中位线，∴AB＝2OF.
即学即练
证明线段倍分关系的方法：由于三角形的中位线等于三角形第三边的一半，因此当需要证明某一线段是另一线段的一半或两倍，且题中出现中点时，常考虑三角形中位线定理．
知识归纳
三角形的中位线
三角形中位线平行于第三边，并且等于它的一半
三角形的中位线定理
三角形的中位线定理的应用
课堂小结
1.如图，△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点，BC=10cm，则DE长（ ）
A.9cm B.10cm
C.13cm D.15cm
检测目标
B
2.如图所示，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是( )
A.9 B.10 C.11 D.12
C
检测目标
3.如图， △ABC中,D、E分别是AB、AC的中点，∠A=50°, ∠B=70°,则∠AED的度数为（ ）
A. 50 B.60 C.70 D.90
B
检测目标
4.在Rt△ABC中，∠B＝90°，D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，AB＝6，BC＝8，则四边形AEDF的周长是( )
A．10 B．12
C．14 D．16
D
检测目标
5.如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，BD=12，AC=16，E，F分别为AB，CD的中点，求EF的长．
解：取BC边的中点G，连接EG、FG．
∵E，F分别为AB，CD的中点，
∴EG是△ABC的中位线，FG是△BCD的中位线，
又BD=12，AC=16，AC⊥BD，
∴EG=8，FG=6，EG⊥FG，
∴
∴EG∥AC,
FG∥BD,
G
检测目标
说说这节课你学到了什么
有什么体会
有什么感想
收获园地
作 业 ：
1.完成同步练习题
2.背诵知识点
