(共38张PPT)
温故知新
1.什么是平行四边形？
2.平行四边形的性质有哪些？
3.平行四边形的判定方法有哪些？
下面图形,是我们学过的什么图形？
导入新课
想一想：长方形跟我们前面学行四边形有什么关系？
你还能举出其他的例子吗？
导入新课
18.2.1 矩形
人教版八年级数学 下册
第1课时 矩形的性质
学习目标
1.理解矩形的概念，知道矩形与平行四边形的区别与
联系。
2.会证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简单的问
题。
3.掌握直角三角形斜边中线的性质，并会简单的运用。
独木桥
当独木桥静止时，平行四边形ABCD中有一个
角成直角，此时平行四边形ABCD是什么图形？
有一个角是直角
的平行四边形叫做矩
形．
小学中学习过的
长方形是矩形吗？正
方形是矩形吗？
A
B
C
D
目标导学一：矩形的性质
BY YUSHEN
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也叫做长方形.
【注意】
1、矩形是一种特殊的平行四边形。
2、平行四边形不一定是矩形。
【矩形的条件】①平行四边形；②其中有一个角是直角。
A
B
Ｄ
Ｃ
几何语言描述：
在矩形ABCD中，对角线AC与DB相交于点O.
∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB =90°，AC=DB.
知识归纳
因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质，由于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？
可以从边，角，对角线等方面来考虑.
合作探究
BY YUSHEN
A
B
Ｄ
Ｃ
A
B
Ｄ
Ｃ
O
猜想1：任意画一矩形，通过测量你发现∠A,∠B,∠C,∠D之间有什么关系？
猜想2：任意画一矩形，通过测量你发现两条对角线之间有什么关系？
∠A=∠B=∠C=∠D=90°
AO=OC, BO=OD
AC=BD
合作探究
证明猜想1：矩形的四个角都是直角．
已知：如图，四边形ABCD是矩形.
求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
A
B
C
D
证明： ∵四边形ABCD是矩形,
∴ ∠A=90°.
又矩形ABCD是平行四边形,
∴ ∠A=∠C , ∠B = ∠D,
∠A +∠B = 180°,
∴ ∠A=∠B=∠C=∠D=90°,
即矩形的四个角都是直角.
合作探究
已知：如图,四边形ABCD是矩形.
求证：AC = BD.
A
B
C
D
证明：在矩形ABCD中,
∵∠ABC = ∠DCB = 90°.
又∵AB = DC ， BC = CB,
∴△ABC≌△DCB,
∴AC = BD ,即矩形的对角线相等.
证明猜想2:矩形的对角线相等.
合作探究
例1 如图,在矩形ABCD中,两条对角线AC,BD相交于点O,∠AOB=60°,AB=4 ,求矩形对角线的长.
解：∵四边形ABCD是矩形.
∴AC = BD，
OA= OC= AC,OB = OD = BD ,
∴OA = OB.
又∵∠AOB=60°,
∴△OAB是等边三角形，
∴OA=AB=4，
∴AC=BD=2OA=8.
A
B
C
D
O
矩形的对角线相等且互相平分
精典例题
例2 如图,在矩形ABCD中,E是BC上一点,AE=AD,DF⊥AE ,垂足为F.求证：DF=DC.
A
B
C
D
E
F
证明：连接DE.
∵AD =AE,∴∠AED =∠ADE.
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,∠C=90°.
∴∠ADE=∠DEC,
∴∠DEC=∠AED.
又∵DF⊥AE, ∴∠DFE=∠C=90°.
又∵DE=DE,
∴△DFE≌△DCE,
∴DF=DC.
精典例题
例3 如图，将矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，AD＝8，AB＝4，求△BED的面积．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A＝90°，
∴∠2＝∠3.
又由折叠知∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，∴BE＝DE.
设BE＝DE＝x，则AE＝8－x.
∵在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2，
∴42＋(8－x)2＝x2，
解得x＝5，即DE＝5.
∴S△BED＝ DE·AB＝ ×5×4＝10.
矩形的折叠问题常与勾股定理结合考查
精典例题
矩形是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴，
并用轴对称性质解析矩形的性质．
B
C
D
A
O
O
B
C
D
A
合作交流
请同学们拿出准备好的矩形纸片,折一折,观察并思考. 矩形是不是轴对称图形 如果是,那么对称轴有几条
矩形的性质：
对称性： .
对称轴： .
轴对称图形
2条
合作交流
矩形的 两条对角线互相平分
矩形的两组对边分别相等
矩形的两组对边分别平行
矩形的四个角都是直角
矩形 的两条对角线相等
边
对角线
角
矩形的性质
知识归纳
1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，以下说法错误的是( )
A．∠ABC＝90° B．AC＝BD
C．OA＝OB D．OA＝AD
D
即学即练
2. 已知矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线所夹锐角的度数为（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
3. 矩形ABCD中，AB=2BC，E在CD上，AE=AB，则∠BAE等于 （ ）
A．30° B．45° C．60° D．120°
D
A
即学即练
4.如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，∠DAE：∠BAE＝3：1，求∠BAE和∠EAO的度数．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝90°，
AO＝ AC，BO＝ BD，AC＝BD，
∴∠BAE＋∠DAE＝90°，AO＝BO.
又∵∠DAE：∠BAE＝3：1，
∴∠BAE＝22.5°，∠DAE＝67.5°.
∵AE⊥BD，
∴∠ABE＝90°－∠BAE＝90°－22.5°＝67.5°，
∴∠OAB＝∠ABE＝67.5°
∴∠EAO＝67.5°－22.5°＝45°.
即学即练
A
B
C
D
O
如图，一张矩形纸片，沿着对角线剪去一半，你能
得到什么结论？
B
C
O
A
Rt△ABC中，BO是一条怎样的线段？它的长度与斜
边AC有什么关系？一般地，这个结论对所有直角三角形
都成立吗？
目标导学二：直角三角形斜边上的中线的性质
O
C
B
A
D
证明: 延长BO至D, 使OD=BO,
连接AD、DC.
∵AO=OC, BO=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵∠ABC=90°,
∴平行四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，
如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是AC上的中线.求证: BO = AC
∴BO= BD= AC.
1. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
性质
合作探究
例4 已知矩形ABCD的两条对角线相交于点0，∠AOD=120°，AB = 4cm，
（1）求矩形对角线的长。（2）求BC边的长。
O
D
C
B
A
解: (1) ∵ AC 、BD为矩形ABCD的对角线
（矩形的对角线相等且相互平分）
∵OA= OB
又∵ ∠AOD=120°
∴∠AOB = 60°
∴ △AOB 是等边三角形
∴AC =BD= 2OA=8cm.
∴AB=OA=OB=4cm
即矩形对角线的长度是8cm。
（有一个角是 60度的等腰三角形是等边三角形）
精典例题
例5：如图所示，在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，∠DAE∶∠BAE＝3∶1，求∠BAO和∠EAO 的度数．
精典例题
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝90°，AO＝ AC，BO＝ BD，AC＝BD.
∴∠BAE＋∠DAE＝90°，AO＝BO.
又∵∠DAE∶∠BAE＝3∶1，
∴∠BAE＝22.5°，∠DAE＝67.5°.
∵AE⊥BD，
∴∠ABE＝90°－∠BAE＝90°－22.5°＝67.5°.
∵AO＝BO，∴∠BAO＝∠ABE＝67.5°.
∴∠EAO＝∠BAO－∠BAE＝67.5°－22.5°＝45°.
精典例题
例6 如图，已知BD，CE是△ABC不同边上的高，点G，F分别是BC，DE的中点，试说明GF⊥DE.
解：连接EG，DG.
∵BD，CE是△ABC的高，
∴∠BDC＝∠BEC＝90°.
∵点G是BC的中点，
∴EG＝ BC，DG＝ BC.
∴EG＝DG.
又∵点F是DE的中点，
∴GF⊥DE.
在直角三角形中，遇到斜边中点常作斜边中线，进而可将问题转化为等腰三角形的问题，然后利用等腰三角形“三线合一”的性质解题．
规律
1、矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A.对角相等 B.对边相等
C.对角线相等 D.对角线互相平分
C
2. 已知矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线所夹锐角的度数为 ( )
A．50° B．60° C．70° D．80°
D
即学即练
三位学生正在做投圈游戏，他们分别站在一个直角
三角形的三个顶点处，目标物放在斜边的中点处．三个
人的位置对每个人公平吗？请说明理由．
A
B
C
O
精典例题
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
矩形是轴对称图形，连接对边中点的直线是它的两
条对称轴．
矩形
矩形的对边平行且相等；
矩形的四个角都是直角；
矩形的对角线相等且互相平分．
矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．
课堂小结
1.如图，矩形ABCD的对角线交于点O，若∠BAO=55°，则∠AOD等于( )
A.100° B．110°
C．125° D．135°
检测目标
B
2.三角形的两直角边长分别为6和8，则斜边上的中线长是（ ）
A．2.5 B．5
C．10 D．20
B
检测目标
3.若O是四边形ABCD对角线的交点且OA=OB=OC=OD，则四边形ABCD是（ ）
A．正方形 B．菱形
C．矩形 D．平行四边形
C
检测目标
4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边上的中线，若CD＝BC，则∠A的度数为( )
A.15° B.30° C.45° D.60°
B
检测目标
5.如图，矩形的对角线AC和BD相交于O，∠BOC＝120°，AB＝3，则BD的长是( )
A.5 B.6 C.7 D.8
B
检测目标
6.如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P是AD上的动点，PE⊥AC，PF⊥BD于F，求PE+PF的值.
解：连接OP.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=90°，OA=OD=OC=OB，
∴S△AOD=S△DOC=S△AOB=S△BOC
= S矩形ABCD= ×6×8=12.
在Rt△BAD中，由勾股定理得BD=10，
∴AO=OD=5，
∵S△APO+S△DPO=S△AOD，
∴ AO·PE+ DO·PF=12，即5PE+5PF=24，
∴PE+PF= .
检测目标
说说这节课你学到了什么
有什么体会
有什么感想
收获园地
作 业 ：
1.完成同步练习题
2.背诵知识点(共36张PPT)
温故知新
1.什么是矩形？
2.矩形的性质有哪些？
3.三角形的中位线性质？
矩形的定义：
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
矩形性质：
矩形
边：
角：
对角线：
对边平行且相等
四个角都是直角
对角线互相平分且相等
温故知新
工人师傅在做门窗或矩形零件时，如何确保图形是矩形呢？现在师傅带了两种工具（卷尺和量角器），他说用这两种工具的任意一种就可以解决问题，这是为什么呢？
导入新课
18.2.1 矩形
人教版八年级数学 下册
第2课时 矩形的判定
1.经历矩形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌握矩形的判定定理。
2.能应用矩形的判定解决简单的证明题和计算题。
学习目标
目标导学一：对角线相等的平行四边形是矩形
回顾平行四边形判定定理的探究过程，想想我们是如何由性质定理猜想出判定定理的？
你知道如何判定一个平行四边形是矩形吗？
定义判定：
有一个角是直角的平行四边形是矩形。（方法一）
你还有其它的判定方法吗？
ABCD
∠A=900
四边形ABCD是矩形
∵
∴
（已知）
（矩形的定义）
几何语言：
情境：工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形，一种方法是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长相等，则窗框一定是矩形，你知道为什么吗？
猜想：
对角线相等的平行四边形是矩形 。
已知：如图,在□ABCD中,AC , DB是它的两条对角线, AC=DB.求证：□ABCD是矩形.
证明：∵AB = DC,BC = CB,AC = DB,
∴ △ABC≌△DCB ,
∴∠ABC = ∠DCB.
∵AB∥CD,
∴∠ABC + ∠DCB = 180°,
∴ ∠ABC = 90°,
∴ □ ABCD是矩形（矩形的定义）.
A
B
C
D
请明猜想
矩形的判定定理：
对角线相等的平行四边形是矩形.
几何语言描述：
在平行四边形ABCD中，∵AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形.
A
B
C
D
知识归纳
你会怎样检查一个四边形门框是不是矩形吗？
方法2：⑴、先测量两组对边相等，则可判定 它是平行四边形，
⑵、若再测得两条对角线也相等，则可 判定它是矩形。
方法1: 若量得有三个角是直角则可判定它是矩形.
合作交流
例1 如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OD，∠OAD=50°．求∠OAB的度数．
A
B
C
D
O
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC= AC，
OB=OD= BD.
又∵OA=OD，
∴AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°.
又∵∠OAD=50°，
∴∠OAB=40°.
精典例题
A
B
C
D
E
F
G
H
O
例2：已知：矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO上的一点，AE=BF=CG=DH.
求证：四边形EFGH是矩形.
证明： ∵四边形ABCD是矩形,
∴ AO=BO=CO=DO.
又∵ AE=BF=CG=DH,
∴OE=OF=OG=OH,
∴四边形EFGH是平行四边形.
又∵EO+OG=FO+OH,
即EG=FH,
∴四边形EFGH是矩形.
精典例题
1.能够判断一个四边形是矩形的条件是（ ）
A 、对角线相等
B 、对角线垂直
C、对角线互相平分且相等
D、对角线垂直且相等
C
即学即练
2.如图 ABCD中, ∠1= ∠2中.此时四边形ABCD是矩形吗？为什么？
A
B
C
D
O
1
2
解：四边形ABCD是矩形.
理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴ AO=CO,DO=BO.
又∵ ∠1= ∠2，
∴AO=BO，
∴AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形.
即学即练
情境：李芳同学用四步画出了一个四边形，她的画法是“边——直角、边——直角、边——直角、边”这样，她说这就是一个矩形，她的判断对吗？为什么？
猜想：
你能证明上述结论吗？
有三个角是直角的四边形是矩形 。
目标导学二：有三个角是直角的四边形是矩形
已知：如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.
求证：四边形ABCD是矩形.
证明:∵ ∠A=∠B=∠C=90°,
∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°，
∴AD∥BC,AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形.
A
B
C
D
证明猜想
矩形的判定方法：
有三个角是直角的四边形是矩形
A
B
C
D
∵ ∠A=∠B=∠C=90°（已知）
∴四边形ABCD是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形 ）
几何语言：
一个木匠要制作矩形的踏板．他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次，就能得到矩形踏板．为什么？
有三个角是直角的四边形是矩形.
合作交流
例3 如图， □ ABCD的四个内角的平分线分别相交于E、F、G、H，求证：四边形 EFGH为矩形．
证明：在□ ABCD中，AD∥BC,
∴∠DAB+∠ABC=180°.
∵AE与BG分别为∠DAB、
∠ABC的平分线,
A
B
D
C
H
E
F
G
∴四边形EFGH是矩形．
同理可证∠AED=∠EHG=90°,
∴∠AFB=90°，
∴∠GFE=90°.
∴ ∠BAE+ ∠ABF= ∠DAB+ ∠ABC=90°.
精典例题
例4 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E，求证：四边形ADCE为矩形．
证明：在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠DAC，即∠DAC＝ ∠BAC.
又∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，
∴∠MAE＝∠CAE＝ ∠CAM,
∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE
＝ (∠BAC＋∠CAM)＝90°.
又∵AD⊥BC，CE⊥AN，
∴∠ADC＝∠CEA＝90°,
∴四边形ADCE为矩形．
1.判断题：
1、内角都相等的四边形是矩形。（ ）
2、对角线相等的四边形是矩形。 （ ）
3、对角线相等的平行四边形是矩形。 （ ）
4、对角线互相平分且相等的四边形是矩形（ ）
5、邻角相等的平行四边形是矩形。 （ ）
6、对角互补的平行四边形是矩形。 （ ）
7、 ABCD中，AB=6，BC=8，AC=10， 则四边形ABCD是矩形 。 （ ）
√
╳
√
√
√
√
√
即学即练
2.八年级（3）班同学要在广场上布置一个矩形的花坛，计划用红花摆成两条对角线.如果一条对角线用了38盆红花，还需要从花房运来多少盆红花？为什么？如果一条对角线用了49盆呢？
即学即练
解：还需要从花房运来38盆“红花”.
因为，矩形的对角线相等，所以另一条对角线也需38盆“红花”.且不应除去两条对角线的交点，这是因为38盆是偶数，因此对较线的交点没有摆花盆.
如果一条对角线用了49盆，那么应从花房运来48盆“红花”.因为矩形的对角线相等，但由于49盆是奇数，因此对角线交点应已摆放花盆，所以，另一条对角线上的花盆数应少1盆.
你能归纳矩形的几种判定方法吗？
有一个角是直角的平行四边形是矩形。
对角线相等的平行四边形是矩形 。
有三个角是直角的四边形是矩形 。
方法1：
方法2：
方法3：
矩形的判定口诀：
任意一个四边形，
三个直角定矩形。
对于平行四边形，
一个直角即可定，
对线相等也矩形。
有一个角是直角的平行四边形是矩形.
对角线相等的平行四边形是矩形.
有三个角是直角的四边形是矩形.
运用定理进行计算和证明
矩形的判定
定义
判定定理
课堂小结
1.下列四边形中不是矩形的是（ ）
A、一组对边平行且对角相等的四边形
B、四个角都相等的四边形
C、有三个角是直角的四边形是矩形
D、对角线相等且互相平分的四边形
检测目标
A
2.矩形的一组邻边长分别是3cm和4cm，则它的对角线长是（ ）
A.12cm B.10cm
C.5cm D.2cm
C
检测目标
3.如果E、F、G、H是四边形ABCD四条边的中点，要使四边形EFGH是矩形，那么四边形ABCD应具备的条件是（ ）
A、一组对边平行而另一组对边不平行
B、对角线相等
C、对角线相等互相平分
D、对角线互相垂直
D
检测目标
4.如图,直线EF∥MN,PQ交EF、MN于A、C两点,AB、CB、CD、AD分别是∠ EAC、 ∠ MCA、 ∠ ACN、∠ CAF的角平分线，则四边形ABCD是（ ）
A 、一般四边形
B、平行四边形
C 、矩形
D 、不能确定
C
检测目标
5.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝24cm，BC＝26cm，动点P从点A出发沿AD方向向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿着CB方向向点B以3cm/s的速度运动．点P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．
(1)经过多长时间，四边形PQCD是平行四边形？
解：设经过xs，四边形PQCD为平行四边形，
即PD＝CQ，
所以24－x＝3x，
解得x＝6.
即经过6s，四边形PQCD
是平行四边形；
检测目标
(2)经过多长时间，四边形PQBA是矩形？
解：设经过ys，四边形PQBA为矩形，
即AP＝BQ，
∴y＝26－3y，
解得y＝6.5，
即经过6.5s，四边形PQBA是矩形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC.∴∠DAB＋∠ABC＝180°.
又∵AE平分∠DAB，BG平分∠ABC，
∴∠EAB＋∠ABG＝ ×180°＝90°
∴∠AHB＝90°.
同理可证∠AED＝∠BGC＝∠CFD＝90°.
∴四边形EFGH是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形).
检测目标
6.已知：如图，□ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H.求证：四边形EFGH是矩形.
说说这节课你学到了什么
有什么体会
有什么感想
收获园地
作 业 ：
1.完成同步练习题
2.背诵知识点
