(共38张PPT)
温故知新
1.什么是菱形？
2.菱形的性质？
3.菱形的判定方法有哪些？
下面图形，是我们非常熟悉的什么图形？
你还能举出其他的例子吗？
导入新课
18.2.3 正 方 形
人教版八年级数学 下册
第1课时 正方形的性质
学习目标
1.理解正方形的概念。
2.探索并证明正方形的性质，并了解平行四边形、
矩形、菱形之间的联系和区别。
3.会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题。
BY YUSHEN
除了矩形和菱形外，还有什么特殊的平行四边形吗？
正方形
怎样研究这类图形？
我们回忆一下是怎样研究矩形和菱形的。
目标导学：正方形的性质
BY YUSHEN
平行四边形与矩形、菱形有什么联系？
性质
定义
判定
逆向猜想
一个角
是直角
一组邻
边相等
平行四边形
矩形
菱形
思路回顾
矩 形
〃
〃
矩形怎样变化后就成了正方形呢 你有什么发现？
正方形
合作探究
菱形怎样变化后就成了正方形呢 你有什么发现？
正方形
合作探究
邻边相等
矩形
〃
〃
正方形
〃
〃
菱 形
一个角是直角
正方形
∟
正方形定义：
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形.
知识归纳
现在，你对正方形有哪些新的认识？
正方形既是矩形又是菱形．
一个角是直角
一组邻边相等
平行四边形
矩形
菱形
一组邻边相等
一个角是直角
正方形
合作探究
正方形，菱形，矩形，平行四边形，四边形之间的关系集合图解：
平行四边形
菱形
正方形
矩形
四边形
现在，你对正方形有哪些新的认识？
正方形既是矩形又是菱形．
矩形
菱形
正方形
合作探究
正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形。
正方形的性质=
菱形性质
矩形性质
正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形．正方形有哪些性质？
正方形的角有什么性质呢？
能不能证明呢？
A
B
C
D
O
证明：因为 正方形ABCD是特殊的矩形
所以 ∠A=∠B=∠C=∠D=90°
合作探究
正方形角的性质：
正方形的四个角都相等，都是90°
符号语言：
因为 四边形ABCD是正方形
所以 ∠A=∠B=∠C=∠D=90°
A
B
C
D
O
知识归纳
正方形的对角线有什么性质呢？
能不能证明呢？
A
B
C
D
O
证明：因为 正方形ABCD是特殊的菱形
所以 AC⊥BD
∠1=∠2，,∠3=∠4， ∠5=∠6，∠7=∠8
又因为 正方形ABCD是特殊的矩形
所以 AC=BD
合作探究
正方形对角线的性质：
正方形的对角线垂直并且相等，
每条对角线平分每一组对角
符号语言：
因为 四边形ABCD是正方形
所以 AC⊥BD，AC=BD
A
B
C
D
O
知识归纳
性质
边 正方形的四条边都相等.
角 正方形的四个角都是直角.
对角线 正方形的两条对角线相等.并且互相垂直平分.每条对角线平分一组对角.
知识归纳
正方形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请同学们拿出准备好的正方形纸片,折一折,观察并思考。
对称性： .
对称轴： .
轴对称图形
4条
A
B
C
D
例1 求证: 正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
A
D
C
B
O
已知: 如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相
交于点O.
求证: △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO是全等的
等腰直角三角形.
证明: ∵ 四边形ABCD是正方形,
∴ AC=BD,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO.
∴ △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO都
是等腰直角三角形,并且
△ABO≌ △BCO ≌ △CDO ≌ △DAO.
精典例题
例2．如图(3)，正方形ABCD中，AC、BD相交于O，MN∥AB且MN分别交OA、OB于M、N，求证：BM＝CN。
证明：
∵四边形ABCD是正方形
∴OA＝OB ,
∠1＝∠2＝∠3＝45°
又∵MN∥AB
∴∠OMN＝∠1＝∠3＝∠ONM＝45°
∴OM＝ON
∴OA－OM＝OB－ON
即AM＝BN
下面大家自己完成证明
精典例题
四边形ABCD是正方形，以正方形ABCD的一边作等边△ADE，求∠BEC的大小．
解：当等边△ADE在正方形ABCD外部时，如图①，AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°.
∴∠AEB＝15°.
同理可得∠DEC＝15°.
∴∠BEC＝60°－15°－15°＝30°；
变式练习
当等边△ADE在正方形ABCD内部时，如图②，
AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°，
∴∠AEB＝75°.
同理可得∠DEC＝75°.
∴∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°.
综上所述，∠BEC的大小为30°或150°.
注意：因为等边△ADE与正方形ABCD有一条公共边，所以边相等．本题分两种情况：等边△ADE在正方形的外部或在正方形的内部．
变式练习
BY YUSHEN
例3.已知：如图，△ABC中，∠C=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F．
求证：四边形CFDE是正方形．
证明：∵∠C=90°，DE⊥BC于E，
DF⊥AC于F
∴四边形CEDF有三个直角，
它是矩形
又∵CD平分∠ACB
∴矩形CEDF是正方形
精典例题
例4 如图，在正方形ABCD中，P为BD上一点，PE⊥BC于E， PF⊥DC于F.试说明：AP=EF.
A
B
C
D
P
E
F
解:
连接PC，AC.
又∵PE⊥BC ， PF⊥DC,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠FCE=90°, AC垂直平分BD,
∴四边形PECF是矩形,
∴PC=EF.
∴AP=PC.
∴AP=EF.
在正方形的条件下证明两条线段相等：通常连接对角线构造垂直平分的模型，利用垂直平分线性质，角平分线性质，等腰三角形等来说明.
规律
精典例题
1.如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC与BD相交于点O，AO＝2，求正方形的周长与面积．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OA＝OD＝2.
在Rt△AOD中，由勾股定理，得
∴正方形的周长为4AD＝ ，
面积为AD2＝8.
即学即练
2.已知：如图(4)在正方形ABCD中，F为CD延长线上一点，CE⊥AF于E，交AD于M。 求证：∠MFD＝45°
分析：
欲证∠MFD＝45°，由于
△MDF是直角三角形,只须证△MDF是等腰三角形,即只要证 _____=_____
要证MD＝FD，大家只须证得哪两个三角形全等
试一试
看能不能完成证明
△CMD≌△ADF
即学即练
根据图形所具有的性质,在下表相应的空格中打”√”
平行四边形 矩形 菱形 正方形
对边平行且相等
四边都相等
四个角都是直角
对角线互相平分
对角线互相垂直
对角线相等
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
体会正方形的完美
即学即练
1.四个角都是直角
2.四条边都相等
3.对角线相等且互相垂直平分
正方形的性质
性质
定义
有一组邻相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
归纳小结
1.如图，已知正方形纸片ABCD，M，N分别是AD，BC的中点，把BC向上翻折，使点C恰好落在MN上的P点处，BQ为折痕，则∠PBQ的度数是（ ）
A.30 B.45 C.60 D.90
检测目标
A
2.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，则∠AEB的度数为( )
A.15 B. 30 C. 45 D.60
A
检测目标
3.矩形ABCD的顶点A，B，C，D按照顺时针方向排列，若在平面直角坐标系中，B，D两点对应的坐标分别是（2，0），（0，0），且A，C两点关于x轴对称，则C点对应的坐标是（ ）
A.(1,-2) B.(1,1)
C.(1,-1) D.(-2 ,-1)
C
检测目标
4.矩形,菱形,正方形都具有的性质是( )
A.对边相等 B. 邻边相等
C.邻角相等 D. 对角互补
A
检测目标
5.如图，正方形ABCD中，对角线AC，
BD相交于点O，则图中的等腰三角形有（ ）
A. 4 B. 8 C. 12 D. 16
B
检测目标
6.如图，△ABC的外面作正方形ABDE和ACFG，连结BG、CE，交点为N。
求证：∠CEA＝∠ABG
证明：∵四边形ABDE和四边形ACFG是正方形。
∴AE＝AB AG＝AC ∠1＝∠2＝90°
又∵∠EAC＝∠1＋∠BAC＝90°＋∠BAC
∠BAG＝∠2＋∠BAC＝90°＋∠BAC
∴∠EAC＝∠BAG
∴△AEC≌△ABG (SAS)
∴∠CEA＝∠ABG
检测目标
说说这节课你学到了什么
有什么体会
有什么感想
收获园地
作 业 ：
1.完成同步练习题
2.背诵知识点(共33张PPT)
温故知新
1.什么是正方形？
2.正方形有哪些性质？
3.我们是如何判断是矩形、菱形的？
判断是矩形、菱形：
平行四边形
矩形
菱形
四边形
三个角是直角
四条边相等
定义
四个判定定理
定义
对角线相等
定义
对角线垂直
想一想，怎样判定一个四边形是正方形呢？
导入新课
18.2.3 正 方 形
人教版八年级数学 下册
第2课时 正方形的判定
学习目标
1．探索并证明正方形的判定，并了解平行四边形、
矩形、菱形之间的联系和区别。
2．会运用正方形的判定条件进行有关的论证和计算。
准备一张矩形的纸片，按照下图折叠,然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证.
正方形
探究：满足怎样条件的矩形是正方形？
矩形
正方形
一组邻边相等
对角线互相垂直
目标导学：正方形的判定
已知：如图,在矩形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线,
AC⊥DB.
求证：四边形ABCD是正方形.
证明：∵四边形ABCD是矩形,
∴ AO=CO=BO=DO ，∠ADC=90°.
∵AC⊥DB,
∴ AD=AB=BC=CD,
∴四边形ABCD是正方形.
A
B
C
D
O
对角线互相垂直的矩形是正方形.
证明猜想
把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状.量量看是不是正方形.
正方形
菱形
探究：满足怎样条件的菱形是正方形？
正方形
一个角是直角
对角线相等
已知：如图,在菱形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线,
AC=DB.
求证：四边形ABCD是正方形.
证明：∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=AD,AC⊥DB.
∵AC=DB,
∴ AO=BO=CO=DO,
∴△AOD,△AOB,△COD,△BOC是等腰直角三角形，
∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°,
∴四边形ABCD是正方形.
A
B
C
D
O
对角线相等的菱形是正方形.
证明猜想
正方形
2.矩形
有一组邻边相等
3.菱形
有一个角是直角
1.平行四边形
有一组邻边相等
有一个角是直角
常
见
说
明
方
法
类比 菱形的定义也是判定菱形的一种方法，那么正方形的定义也是判定正方形的一种方法.
所
以
：
判定方法1：
判定方法2：
判定方法3：
平行四边形 + 一个角是直角一组邻边相等 = 正方形
矩形 + 一组邻边相等 = 正方形
菱形 + 一个角是直角 = 正方形
性质 判定
边 正方形的四条边都相等. 有一组邻边相等的矩形是正方形.
角 正方形的四个角都是直角. 有一个角是直角的菱形是正方形.
对角线 正方形的两条对角线相等.并且互相垂直平分.每条对角线平分一组对角. ①对角线相等的菱形是正方形.
②对角线互相垂直的矩形是正方形.
知识归纳
在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ）
A．AC=BD，AB∥CD，AB=CD
B．AD∥BC，∠A=∠C
C．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD
D．AO=CO，BO=DO，AB=BC
C
A
B
C
D
O
即学即练
例1.已知:正方形ABCD中,点E、F、G 、H分别在AB 、BC 、CD 、DA上,且AE=BF=CG=DH,试判断四边形EFGH是正方形吗 为什么
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
Ｅ
Ｆ
Ｇ
Ｈ
1
2
3
证明：∵ 四边形ABCD是正方形
∴ ∠A= ∠ B= ∠ C=∠D=90°，AB=AD=DC=BC（正方形的四条边都相等，四个角都是直角）．
又∵ AE=BF=CG=DH
∴AB-AE=AD-DH=DC-CG=BC-BF
即BE=AH=DG=CF
∴ △AEH≌△BFE≌ △CGF ≌ △DHG．
∵ ∠1=∠3．
又 ∠3+∠2=90°
∠ ∠1+∠2=90°
∴ ∠EFH=90 °
∴ 四边形EFGH是正方形（有一个角是直角的菱形是矩形）．
精典例题
证明：∵ DE⊥AC，DF⊥AB ，
∴∠DEC= ∠DFC=90°.
又∵ ∠C=90 °，
∴四边形ADFC是矩形.
过点D作DG⊥AB，垂足为G.
∵AD是∠CAB的平分线
DE⊥AC，DG⊥AB，
∴ DE=DG.
同理得DG=DF，
∴ED=DF，
∴四边形ADFC是正方形.
例2 如图，在直角三角形中，∠C=90°，∠A、∠B的平分线交于点D.DE⊥AC，DF⊥AB.求证:四边形CEDF为正方形.
A
B
C
D
E
F
G
精典例题
例3 如图，EG,FH过正方形ABCD的对角线的交点O,且EG⊥FH.求证：四边形EFGH是正方形.
证明：∵四边形ABCD为正方形,
∴OB=OC,∠ABO=∠BCO =45°,
∠BOC=90°=∠COH+∠BOH.
∵EG⊥FH,
∴∠BOE+∠BOH=90°,
∴∠COH=∠BOE,
∴△CHO ≌△BEO,∴OE=OH.
同理可证：OE=OF=OG,
B
A
C
D
O
E
H
G
F
精典例题
∴OE=OF=OG=OH.
又∵EG⊥FH,
∴四边形EFGH为菱形.
∵EO+GO=FO+HO ,即EG=HF,
∴四边形EFGH为正方形.
B
A
C
B
O
E
H
G
F
精典例题
例4.四边形ABCD是一块正方形场地，小华和小芳在AB边上取定了一点E，经测量EC=50m，EB=30m，这块场地的面积和对角线长分别是多少？
A
D
A
B
C
E
解：
连接AC.
∵ 四边形ABCD是正方形
∴ ∠B=90°，AB=BC
∵ EC=50m，EB=30m
∴ S正方形ABCD=(40 )2=1600(m2)
∴
∴
精典例题
前面学菱形时我们探究了顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形是平行四边形.顺次连接矩形各边中点能得到菱形，那么顺次连接正方形各边中点能得到怎样的特殊平行四边形？
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
矩形
正方形
任意四边形
平行四边形
菱形
正方形
E
F
G
H
E
F
G
H
E
F
G
H
合作探究
A
D
C
B
正方形的对角线的长度为8，求正方形的面积
o
解： 对角线×对角线×
所以 8×8× =32
这公式又是从哪儿冒出来的呢？
合作探究
A
D
C
B
o
正方形的对角线的长度为8，求正方形的面积
解： 因为 ABCD是正方形
所以 OA=OB=OC=OD,AC⊥BD
又因为 AC=BD=8
所以OA=OB=OC=OD=4
在Rt△AOB中
矩形，菱形还有这种求面积公式么？
合作探究
在一块正方形的花坛上，欲修建两条直的小路使得两条直的小路将花坛平均分成面积相等的四部分(不考虑道路的宽度).你有几种方法？
设计花坛
合作探究
合作探究
5种判定方法
三个角是直角
四条边相等
一个角是直角
或对角线相等
一组邻边相等
或对角线垂直
一组邻边相等
或对角线垂直
一个角是直角
或对角线相等
一个角是直角且一组邻边相等
平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结
课堂小结
1.下列正确的是（ ）
Ａ. 四边相等的四边形是正方形
Ｂ．四角相等的四边形是正方形
Ｃ．对角线垂直的平行四边形是正方形
Ｄ．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
检测目标
D
2.已知正方形ABCD中,AC=10,P是AB上一点,
PE⊥AC于E，PF⊥BD于F,则PE+PF的长度为（ ）
A.20 B.10
C.5 D.2
C
检测目标
P
A
B
C
D
E
F
O
3.如图，已知E点在正方形ABCD的BC边的延长线上，且CE=AC，AE与CD相交于点F，则∠AFC的度数是（ ）
A.92.5 °
B.102.5 °
C.112.5 °
D.122.5 °
C
检测目标
4.以正方形ABCD的边DC向外作等边△DCE,
则∠AEB的度数为（ ）
A.15° B.30°
C.45° D.60°
B
检测目标
E
A
B
C
D
5.已知在平行四边形ABCD中，∠A=90°,如果添加一个条件，可使该四边形是正方形，那么这个条件可以是（ ）
A．∠D=90° B.AD=BC
C.BC=CD D. AB=CD
C
检测目标
5.如图，△ABC中，D是BC上任意一点，DE∥AC，DF∥AB．
（1）试说明四边形AEDF的形状，并说明理由．
（2）连接AD，当AD满足什么条件时，四边形AEDF为菱形，为什么？
解：（1）∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF为平行四边形.
（2）∵四边形AEDF为菱形，
∴AD平分∠BAC，
则AD平分∠BAC时，四边形AEDF为菱形.
检测目标
（3）在（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF为正方形，不说明理由．
解：由四边形AEDF为正方形
∴∠BAC=90°，
∴△ABC是以BC为斜边的直角三角形即可．
说说这节课你学到了什么
有什么体会
有什么感想
收获园地
作 业 ：
1.完成同步练习题
2.背诵知识点
