(共35张PPT)
万物皆动
导入新课
y
x
s
如图，小球在斜坡上滚动，请观察这一运动变化过
程，你注意到了什么变化？
万物皆变
关注其中数量的变化，用数量变化描述变化规律
从数学角度 研究变化过程
导入新课
19.1.1 变量与函数
人教版八年级数学 下册
第1课时 常量与变量
1.了解变量与常量的意义。
2.在实际问题中，会区分常量与变量，能够建立变量之间的关系式。
学习目标
变化的量：
小球在斜坡上滚动的路程s，小球离起点的水平距离
x；小球离水平面的高度y．
不变的量：
斜坡高度，斜坡长度，斜坡水平长度等．
如图，小球在斜坡上滚动，请观察这一运动变化过
程，你注意到了什么变化？
y
x
s
目标导学一：常量与变量
汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶里程
为 s 千米，行驶时间为 t 小时，填下面的表:
请说明你的道理：
60
120
180
240
300
速度×时间
路程 =____________
合作探究
1．在以上这个过程中，变化的量是_______
_________．不变化的量是_____________．
2．试用含t的式子表示s．s=_______
时间t、
速度60千米/时
60 t
s
t
这个问题反映了匀速行驶的汽车所行驶的路程____随行驶时间___的变化过程.
路程s
合作探究
每张电影票的售价为10元，如果早场售出票150张，日场售出205张，晚场售出310张，三场电影票的票房收入各多少元？若设一场电影售出票 x 张，票房收入为 y 元，怎样用含 x 的式子表示 y ？
1.早场票房收入 =
日场票房收入 =
晚场票房收入 =
请说明道理：
票房收入 =
10×205 = 2050 （元）
10×150 = 1500（元）
10×310 = 3100 （元）
售价×售票张数
合作探究
10x
2．在以上这个过程中，变化的量是________________________．不变化的量是_________．
3．试用含x的式子表示y．y=_________
售票张数x、票房收入y
售价10元
y
x
这个问题反映了票房收入____随售票张数_____的变化过程．
合作探究
S= πR2
圆面积S与圆的半径R之间的
关系式是————————；
其中变化的量是—————；
不变化的量是————————.
π
S， R
如图所示，圆形水波慢慢地扩大，在这一过程中，当圆的半径R 分别为10 cm，20cm，30 cm 时，圆的面积S 分别为多少？怎样用半径r来表示面积S
圆的面积S
半径R
这个问题反映了 _________
随________的变化过程．
注意：此处的2是一种运算
合作探究
BY YUSHEN
x
y
A
B
C
D
合作探究
用10 m长的绳子围一个矩形，当矩形的一边长x 分别为3 m，3.5 m，4 m，4.5 m 时，它的邻边长y 分别为多少？
BY YUSHEN
研究对象 变化的量 固定不变的量 存在的关系
路程，时间，速度
路程，时间
速度
S=60 t
单价，张数，票房收入
张数，收入
单价
Y=10x
面积，半径，圆周率π
面积，半径
圆周率π
S= πr2
周长，边长，邻边长
边长，邻边长
周长
Y=5-x
上述运动变化过程中出现的数量，你认为可以怎样分类？
合作探究
数值发生
变化的量
变量
数值始终
不变的量
常量
上述运动变化过程中出现的数量，你认为可以怎样分类？
知识归纳
S = 60t
y = 10x
变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量.
常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量为常量.
y=5–x
S=πr2
知识归纳
例1 指出下列事件过程中的常量与变量
(1)某水果店橘子的单价为5元／千克，买a千橘子的总价为m元，其中常量是 ，变量是 ；
(2)周长C与圆的半径r之间的关系式是C＝2πr，其中常量是 ，变量是 ；
(3)三角形的一边长5cm，它的面积S(cm2)与这边上的高h(cm)的关系式 中，其中常量是 ，变量是 ；
5
a，m
2，π
C， r
注意：π是一个确定的数，是常量
S， h
精典例题
判断一个量是常量还是变量，需这两个方面：
（1）看它是否在同一个变化过程中；
（2）看它在这个变化过程中的取值是否改变.
方法总结
在一个变化过程中，理解变量、常量的关键词是什么？
发生了变化
始终不变．
方法总结
指出下列变化过程中的变量和常量：
（1）汽油的价格是7.4元/升，加油 x L，车主加油
付油费为 y 元；
（2）小明看一本200 页的小说，看完这本小说需要
t 天，平均每天所看的页数为 n；
（3）用长为40 cm 的绳子围矩形，围成的矩形一边
长为 x cm，其面积为 S cm2．
（4）若直角三角形中的一个锐角的度数为α，则另一个锐角β(度)与α间的关系式是β=90－α.
即学即练
例2 阅读并完成下面一段叙述：
⒈某人持续以a米／分的速度用t分钟时间跑了s米，其中常量是 ,变量是 .
⒉s米的路程不同的人以不同的速度a米／分各需跑的时间为t分，其中常量是 ,变量是 .
3.根据上面的叙述，写出一句关于常量与变量的论述： .
在不同的条件下，常量与变量是相对的
a
t，s
s
a，t
区分常量与变量，就是看在某个变化过程中，该量的值是否可以改变，即是否可以取不同的值.
方法
精典例题
指出下列关系式中的变量。
（1）收音机刻度盘上的波长
(m)与频率 f (kHz)之间的关系：
（2）三角形的一边长5cm，它的面积S（ ）与这边上的高h（cm）的关系式：
是变量。
是变量。
（3）圆的周长C与半径r之间的关系：
是变量。
问题1中的T、t，问题2 中的y、x都是变量。
即学即练
下面的例子中有一些始终不变的量，你能找出来吗？
收音机刻度盘上的波长
(m)与频率 f (kHz)之间的关系：
三角形的一边长5cm，它的面积S（ ）与这边上的高h（cm）的关系式：
圆的周长C与半径r之间的关系：
300000
2、
即学即练
怎样用含重物质量m（kg）的式子表示受力后的弹簧长度 L(cm)
例3 弹簧的长度与所挂重物有关．如果弹簧原长为10cm，每1kg重物使弹簧伸长0.5cm，试填下表：
解：由题意可知m每增加1，L增加0.5，所以L=10+0.5m.
重物的质量(kg) 1 2 3 4 5
弹簧长度(cm)
10.5
11
11.5
12
12.5
目标导学二：确定两个变量之间的关系
例4.收音机刻度盘的波长和频率分别是用米(m)和千赫兹(kHz)为单位标刻的．下面是一些对应的数值，请写出常量与变量的关系式。
波长 （m） 300 500 600 1000 1500
频率 f (khz) 1000 600 500 300 200
精典例题
则用含重物质量m（kg）的式子表示受力后的弹簧长度 L(cm)为 .
1.如果弹簧原长为12cm，每1kg重物使弹簧压缩0.5cm，
L=12-0.5m
即学即练
2.如果用r表示圆的半径，S表示圆的面积，则S与r之间满足下列关系：
S=
半径r（cm) 1 1.5 2 2.6 3.2 …
圆面积S（ ） …
即学即练
常量与变量
常量与变量的概念
列出变量之间的关系式
常量：数值始终不变的量
变量：数值发生变化的量
课堂小结
1.半径是r的圆的周长为C=2πr，下列说法正确的是( )
A．C，r是变量，2π 是常量
B．C是变量，2，r是常量
C．C，r是变量，2 是常量
D．C，π是变量，2是常量
检测目标
A
如果一辆汽车从甲地驶向相距120千米的乙地，那么它行驶的时间（t）与速度（v）之间有什么样的关系呢？
一辆汽车以60千米/小时的速度行驶，行驶里程为 s 千米；行驶时间为 t 小时，试用含t的式子表示 s
变量为：时间、速度
常量为：路程
变量为：时间、路程
常量为：速度
tv=120
s=60t
检测目标
2.学校购买某种型号的钢笔作为学生的奖品，钢笔的单价是4元/支，则总金额y（元）与购买支数x(支)的关系式是
，
其中变量是 ， 常量是 .
y = 4x
x ， y
4
检测目标
3.计划购买50元的乒乓球，所能购买的总数n（个）与单价 a（元）的关系式是 ，
其中变量是 ，常量是 .
a ，n
50
检测目标
4.指出下列变化过程中的变量和常量：
（1）汽油的价格是7.4元/升，加油x升，车主加油付油费y元；
（2）小明看一本200页的小说，看完这本小说需要t天，平均每天所看的页数为n；
（3）用长为30 cm的绳子围矩形，围成的矩形一边长为x cm，其面积 为S ．
变量x，y；常量7.4．
变量t，n；常量200．
变量x，S；常量30．
检测目标
5.瓶子或罐头盒等物体常如下图那样堆放，试确定瓶子总数y与层数x之间的关系式.
1 2 3 … n
y …
1
1+2
1+2+3
1+2+3+ …+n
完成上表，并写出瓶子总数y 与层数x之间的关系式
x
检测目标
说说这节课你学到了什么
有什么体会
有什么感想
收获园地
作 业 ：
1.完成同步练习题
2.背诵知识点(共40张PPT)
温故知新
1.什么是常量？
2.什么是变量？
3.如果一辆汽车从甲地驶向相距120千米的乙地，那么它行驶的时间（t）与速度（v）之间有什么样的关系呢？？
19.1.1 变量与函数
人教版八年级数学 下册
第2课时 函数
学习目标
1.了解函数的相关概念，会判断两个变量是否具有函数关系。
2.能根据简单的实际问题写出函数解析式，并确定自变量的取值范围。
3.会根据函数解析式求函数值。
想一想，如果你坐在摩天轮上，随着时间的变化，你离开地面的高度是如何变化的？
问题1
目标导学一：函数的相关概念
下图反映了摩天轮上的一点的高度h (m)与旋转时间t(min) 之间的关系.
t/min 0 1 2 3 4 5 …
h/m …
(1)根据左图填表：
(2)对于给定的时间t ，相应的高度h能确定吗？
11
37
45
37
3
10
瓶子或罐头盒等圆柱形的物体，常常如下图那样
堆放.随着层数的增加，物体的总数是如何变化的？
填写下表：
1 2 3 4 5 …
…
1
3
6
10
15
对于给定任一层数n，相应的物体总数y确定吗？有几个y值和它对应？
层数 n
物体总数y
唯一一个y值
问题2
据此可以算出x分别为3m,3.5m,4m,4.5m时，y分别为2m,1.5m,1m,0.5m.
x
y
矩形的邻边长y与x的关系式为：y=5-x.
当 取定一个值时， 就有唯一确定的值与其对应.
发现:
问题3
上面的三个问题中，各变量之间有什么共同特点？
①时间 t 、相应的高度 h ；
②层数n、物体总数y；
③邻边长y 、x.
共同特点：都有两个变量，给定其中某一个变量的值，相应地就确定了另一个变量的值.
合作探究
某个变化过程中，两个变量相互联系，当其中一个变量确定一个值时，另一个变量就有唯一确定的值与其对应.
知识归纳
函数
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.
如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值.
知识归纳
一般地，在某个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.
如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值.
知识归纳
函数一语，起用于公元1692 年，最早见自德国数
学家莱布尼兹的著作. 他
是德国最重要的自然科学
家、数学家、物理学家、
历史学家和哲学家，一个
举世罕见的科学天才，和
牛顿同为微积分的创建人
他博览群书，涉猎百科，对丰富人类的科学知识宝库做出了不可磨灭的贡献。
拓展阅读
填表并回答问题：
（1）对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应吗？答： .
（2）y是x的函数吗？为什么？
x 1 4 9 16
y=+2x
2和－2
8和－8
18和－18
32和－32
不是
答：不是，因为y的值不是唯一的.
关键词：两个变量，给一个x，得一个y.
易错点：
顺序不要反.
即学即练
例1：判断下列变量关系是不是函数？
判断是不是函数，我们可以看它的数学式子中的变量之间是否满足函数的定义
注意：函数与自变量之间是一种对应关系，并且要求对于x的每一个值、y都有唯一的值与之相对应。
精典例题
例2.下图是一只蚂蚁在竖直的墙面上的爬行图，请问：蚂蚁离地高度h是离起点的水平距离t的函数吗？为什么？
蚂蚁离起点的水平距离t是离地高度h的函数吗？为什么？
水平距离 t/cm
离地高度 h/cm
1 2 3 4 5 6
6
5
4
3
2
1
当t取定一个值时，h有多个值与其对应．
不是
是
当h取定一个值时，t有唯一确定的值与其对应．
精典例题
例3 已知函数
(1)求当x=2，3，-3时，函数的值；
(2)求当x取什么值时，函数的值为0.
把自变量x的值带入关系式中，即可求出函数的值.
解：（1）当x=2时，y= ;
当x=3时，y= ;
当x=-3时，y=7.
（2）令 解得x=
即当x= 时，y=0.
精典例题
例4.一水管以均匀的速度向容积为100立方米的空水池中注水，注水的时间t与注入的水量Q如下表：
请从表中找出t与Q之间的函数关系式，且求当t＝5分15秒时，
水池中的水量Q的值．
t(分钟) 2 4 6 8 ……
Q（立方米） 4 8 12 16 ……
精典例题
即当t为5分15秒时，水量为
立方米．
解：∵水管是匀速流出水于池中，速度是(4÷2)＝2，
即每分钟2立方米，
∴函数解析式为Q＝2t，自变量t为非负数．
又∵水池容积为100立方米，时间不能超过
100÷2＝50(分钟)，
∴0≤t≤50．
当t＝5分15秒时，Q＝2×
＝
精典例题
思考：请用含自变量的式子表示下列问题中的函数关系：
（1）汽车以60 km/h 的速度匀速行驶，行驶的时间为 t（单位：h），行驶的路程为 s（单位：km）；
（2）多边形的边数为 n，内角和的度数为 y．
问题（1）中，t 取-2 有实际意义吗？
问题（2）中，n 取2 有意义吗？
目标导学二：确定自变量的取值范围
根据刚才问题的思考，你认为函数的自变量可以取任意值吗？
在实际问题中，函数的自变量取值范围往往是有限制的，在限制的范围内，函数才有实际意义；超出这个范围，函数没有实际意义，我们把这种自变量可以取的数值范围叫函数的自变量取值范围．
知识归纳
（1）y=2x+3
即学即练
函数自变量的取值范围规律
(1)有分母,分母不能为零
(4)是实际问题,要使实际问题有意义
(3)零次幂,底数不能为零
(2)开偶数次方,被开方数是非负数
方法归纳
例5 汽车的油箱中有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶里程x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km.
（1）写出表示y与x的函数关系的式子.
解:(1) 函数关系式为: y = 50－0.1x
0.1x表示的意义是什么？
叫做函数的解析式
精典例题
像y＝50－0.1x这样，用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系的式子，叫做函数的解析式，它是描述函数的常用方法．
知识归纳
函数的关系式是等式
那么函数解析式的书写有没有要求呢？
通常等式的右边是含有自变量的代数式，
左边的一个字母表示函数
如何书写函数呢？
方法归纳
1、先认真审题，根据题意找出相等关系
2、按相等关系，写出含有两个变量的等式
3、将等式变形为用含有自变量的代数式
表示函数的式子
如何书写函数呢？
方法归纳
（2）指出自变量x的取值范围；
(2) 由x≥0及50－0.1x ≥0
得 0 ≤ x ≤ 500
∴自变量的取值范围是
0 ≤ x ≤ 500
确定自变量的取值范围时，不仅要考虑使函数解析式有意义，而且还要注意各变量所代表的实际意义.
规律
汽车行驶里程，油箱中的油量均不能为负数！
精典例题
（3）汽车行驶200 km时，油箱中还有多少油？
(3)当 x = 200时,函数 y 的值为y=50－0.1×200=30.
因此,当汽车行驶200 km时,油箱中还有油30L.
精典例题
甲乙两地相距520km ，一辆汽车以80km/h的速度从甲地开往乙地，行驶t(h)后停车加油.
（1）写出汽车距乙地的路程s(km)与行驶时间t(h)之间的函数关系式；
（2）求出自变量t的取值范围.
解：(1)S=520-80t (2)0≤t≤6.5
即学即练
函数
概念：函数在某个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么x是自变量，y是x的函数.
函数值
自变量的取值范围
1.使函数解析式有意义
2.符合实际意义
课堂小结
(1) xy=2;
(3) x+y=5;
(5) y=x2-4x+5
(2) x2+y2=10;
(4) |y|=x;
(6) y= |x|
1.指出下列变化关系中，哪些y是x的函数，哪些不是？说出你的理由。
是
否
是
是
否
是
检测目标
2.下列关系中，y不是x函数的是（ ）
D
检测目标
3.下列说法中，不正确的是（ ）
A、函数不是数，而是一种关系
B、多边形的内角和是边数的函数
C、一天中时间是温度的函数
D、一天中温度是时间的函数
检测目标
4.下列各式中，y不是x的函数的是（ ）
A y+x=2 B =2x
C y= D y= +3
检测目标
5．求下列函数中自变量x的取值范围．
（1）y=3x-1；
（2） ；
（3）
（4）
x取任意实数
x取任意实数
x≠-2
x≥2
；
.
检测目标
6.我市白天乘坐出租车收费标准如下：乘坐里程不超过3公里，一律收费8元；超过3公里时，超过3公里的部分，每公里加收1.8元；设乘坐出租车的里程为x（公里）（x为整数），相对应的收费为y（元）.
（1）请分别写出当0＜x≤3和x＞3时，表示y与x的关系式，并直接写出当x=2和x=6时对应的y值；
解：（1）当0＜x≤3时，y=8；
当x＞3时，y=8＋1.8（x－3）=1.8x＋2.6.
当x=2时，y=8；x=6时，y=1.8×6＋2.6=13.4.
检测目标
（2）当0＜x≤3和x＞3时，y都是x的函数吗？为什么？
解：当0＜x≤3和x＞3时，y都是x的函数，因为对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应.
检测目标
说说这节课你学到了什么
有什么体会
有什么感想
收获园地
作 业 ：
1.完成同步练习题
2.背诵知识点
