北师大版八下数学第四章因式分解综合测试题（word解析版）

因式分解综合测试题
一、单选题(共10题；共20分)
1．下列式子由左到右的变形中，属于因式分解的是（　　）
A．（x+2y）2=x2+4xy+4y2 B．x2﹣2y+4=（x﹣1）2+3
C．3x2﹣2x﹣1=（3x+1）（x﹣1） D．m（a+b+c）=ma+mb+mc
2．下列多项式能用平方差公式分解因式的是(　　)
A．4x2+y2 B．-4x2-y2 C．-4x2+y2 D．-4x+y2
3．因式分解： （　　）
A． B．
C． D．
4．已知a+b＝2，ab＝3，则a2b+ab2的值是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
5．若一个等腰三角形的两边m,n满足9m2-n2=-13，3m+n=13，则该等腰三角形的周长为(　　)
A．11 B．13 C．16 D．11或16
6．若一个三角形的三边长为a,b,c,且满足a2-2ab+b2+ac-bc =0,则这个三角形是(　　)
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
7．下列各组多项式中，没有公因式的是（　　）
A．ax﹣by和by2﹣axy B．3x﹣9xy和6y2﹣2y
C．x2﹣y2和x﹣y D．a+b和a2﹣2ab+b2
8．已知n是正整数，则下列数中一定能整除 的是
A．6 B．3 C．4 D．5
9．若 有一个因式为 ，则k的值为（　　）
A．17 B．51 C．－51 D．－57
10．已知a，b，c为△ABC三边，且满足a2c2-b2c2=a4-b4，则它的形状为 （　　）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形
二、填空题(共8题；共16分)
11．分解因式 　 　.
12．若 ，则 　 　.
13．甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则多项式x2+ax+b分解因式的正确结果为　 　．
14．当x＝　 　时，x2﹣2x+1取得最小值．
15．若 ，则 的值是　 　.
16．已知a+b=2，则 a2+ab+ b2=　 　。
17．如果 可以因式分解为 （其中 ， 均为整数），则 的值是　 　．
18．已知 为实数，若 均为多项式 的因式，则 　 　.
三、解答题(共5题；共64分)
20．（24分）把下列各式分解因式：
（1）6ab3－24a3b；
（2）
（3）a2（x＋y）－b2（y＋x）
（4）4m2n2－（m2＋n2）2
（5）（a2﹣a）2＋2（a2﹣a）﹣8
（6）（x2+3x+2）（4x2+8x+3）-90
21．（6分）如图，在一块半径为R的圆形板材上，冲去半径为r的四个小圆，小刚测得R=6.8cm，r=1.6cm，请利用因式分解求出剩余阴影部分的面积（结果保留π）
22．（6分）两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成 ，另一位同学因看错了常数项而分解成 ，请将原多项式分解因式.
23．（6分）已知在△ABC中，三边长 ， ， 满足等式 ，试判断该三角形是什么三角形，并加以证明.
24．（10分）先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．
拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：
x2＋2x﹣3＝x2＋2x＋1﹣4＝（x＋1）2﹣22＝（x＋1＋2）（x＋1﹣2）＝（x＋3）（x﹣1）
请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：
（1）分解因式：x2﹣6x﹣7；
（2）分解因式：a2＋4ab﹣5b2
25．（12分）下面是某同学对多项式因式分解的过程．
解：设，
则原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
解答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的方法是（　　）
A．提取公因式 B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？（填“彻底”或“不彻底”）．若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：A、是整式的乘法，故A不符合题意；
B、没把多项式转化成几个整式积的形式，故B不符合题意；
C、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C符合题意；
D、是整式乘法，故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据因式分解的定义判断各个选项即可。
2．【答案】C
【解析】【解答】解：A、多项式4x2+y2，不符合平方差公式的结构特征，故A不符合题意；
B、多项式-4x2-y2，不符合平方差公式的结构特征，故B不符合题意；
C：-4x2+y2=（y-2x）（y+2x）， 能用平方差公式分解因式，故C符合题意；
D、-4x+y2，不符合平方差公式的结构特征，故D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据平方差公式的结构特征，逐项进行判断，即可得出答案.
3．【答案】C
【解析】【解答】解：
故答案为：C.
【分析】观察可知：多项式中的各项含有公因式x，提公因式后的多项式符合平方差公式特征，然后再根据平方差公式分解即可.
4．【答案】D
【解析】【解答】解：∵a+b＝2，ab＝3，
∴原式；
故答案为：D．
【分析】根据a+b＝2，ab＝3，计算求解即可。
5．【答案】C
【解析】【解答】解：∵9m2-n2=-13，
∴（ 3m+n ）（ 3m-n ）=-13，
∵3m+n=13，
∴3m-n=-1，
∴m=2，n=7，
∴当n为腰，m为底时，三角形的周长为16，
当m为腰，n为底时，不能构成三角形，
∴该等腰三角形的周长为16.
故答案为：C.
【分析】利用因式分解把原式变形为（ 3m+n ）（ 3m-n ）=-13，由3m+n=13得出3m-n=-1，从而得出m=2，n=7，分两种情况讨论：当n为腰，m为底时，三角形的周长为16，当m为腰，n为底时，不能构成三角形，即可得出答案.
6．【答案】C
【解析】【解答】解：∵ a2-2ab+b2+ac-bc=0，
∴（a-b）2+c（a-b）=0，
∴（a-b）（a-b+c）=0，
∵a-b+c≠0，
∴a=b，
∴ 这个三角形是等腰三角形.
故答案为：C.
【分析】利用因式分解把原式变形为（a-b）（a-b+c）=0，根据三角形三边关系得出a-b+c≠0，得出a=b，即可得出这个三角形是等腰三角形.
7．【答案】D
【解析】【解答】解：A、by2 axy＝ y（ax by），故两多项式的公因式为：ax by，故此选项不合题意；
B、3x 9xy＝3x（1 3y）和6y2 2y＝ 2y（1 3y），故两多项式的公因式为：1 3y，故此选项不合题意；
C、x2 y2＝（x y）（x＋y）和x y，故两多项式的公因式为：x y，故此选项不合题意；
D、a＋b和a2 2ab＋b2＝（a b）2，故两多项式没有公因式，故此选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据公因式的定义逐项求解即可。
8．【答案】C
【解析】【解答】解：（2n+3）2-25
=[（2n+3）+5][（2n+3）-5]
=（2n+8）（2n-2）
=4（n+4）（n-1），
∴（2n+3）2-25一定能被4整除，
故答案为：C.
【分析】先化简代数式求出（2n+3）2-25=4（n+4）（n-1），再求解即可。
9．【答案】C
【解析】【解答】解：设另一个因式为（4x-n），
则（4x-n）（x-3）=4x2+（-12-n）x+3n，
即4x2+5x+k=4x2+（-12-n）x+3n，
∴ ，
解得： ，
故k的值为-51．
故答案为：C．
【分析】先求出（4x-n）（x-3）=4x2+（-12-n）x+3n，再求出，最后计算求解即可。
10．【答案】D
【解析】【解答】∵a2c2-b2c2=a4-b4，
∴（a2c2-b2c2)-（a4-b4)=0，
∴c2（a+b)（a-b)-（a+b)（a-b)（a2+b2)=0，
∴（a+b)（a-b)（c2-a2-b2)=0，
∵a+b≠0，
∴a-b=0或c2-a2-b2=0，所以a=b或c2=a2+b2即它是等腰三角形或直角三角形．
故选D．
【分析】把式子a2c2-b2c2=a4-b4变形化简后判定则可．如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形．
11．【答案】a（a+1）（a-1）
【解析】【解答】解：a3-a，
=a（a2-1），
=a（a+1）（a-1）.
故答案为：a（a+1）（a-1）.
【分析】观察多项式可知含有公因式a，括号内的因式符合平方差公式，再根据平方差公式可求解.
12．【答案】35
【解析】【解答】
故答案为：35.
【分析】先提取公因式mn，再分别代值计算即可.
13．【答案】
【解析】【解答】解：∵分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为 ，
∴在 ＝x2+6x+8中，a＝6是正确的，
∵分解因式x2+ax+b时，乙看错了a，分解结果为 ，
∴在 ＝x2+10x+9中，b＝9是正确的，
∴x2+ax+b＝x2+6x+9＝ ．
故答案为：
【分析】根据题意，可知a、b是相互独立的，在因式分解中b决定常数项，a决定一次项系数，利用多项式相乘法则计算，再根据对应系数相等即可求出a、b的值，带入多项式进行因式分解即可。
14．【答案】1
【解析】【解答】解：∵ ，
∴当x＝1时，x2﹣2x+1取得最小值．
故答案为：1．
【分析】由于，据此即得结论.
15．【答案】0
【解析】【解答】解：∵,
∴m-1=
∵m5-2m4-2021m3=m3（m2-2m-2021）
=m3[（m-1）2-2022]
=m3（2022-2022）=0
故答案为：0.
【分析】 利用已知条件可求出m-1的值；再将代数式转化为m3[（m-1）2-2022]，整体代入求值.
16．【答案】2
【解析】【解答】解：a2+ab+b2=（a2+2ab+b2）=（a+b）2=×22=2.
【分析】利用提公因式法和完全平方公式法进行因式分解，把原式变形为（a+b）2，再把a+b=2代入进行计算，即可得出答案.
17．【答案】2或4
【解析】【解答】∵ 可以因式分解为 ，
∴ ，
∴x2+(a+3)x+3a-2=x2+(m+n)x+mn，
∴ ，
∴a=m+n-3，
∴ ，
整理得： ，
∵其中 ， 均为整数，
∴ 或 ，
当m-3=1时，m=4，n=1，a=2，
当m-3=-1时，m=2，n=5，a=4，
当m-3=2时，m=5，n=2，a=4，
当m-3=-2时，m=1，n=4，a=2，
∴ 的值是 或 ，
故答案为 或
【分析】将原式展开得：a+3=m+n、3a-2=mn，消去a得到mn=3m+3n-11，进一步整理得（m-3）（3-n）=2，进而求得m-3=±1，±2，据此可以分别求得m、n的值，然后可以求得a的值即可．
18．【答案】100
【解析】【解答】解： 均为多项式 的因式，且三次项系数为1
设另一个因式为
则
整理得：
由此可得：
故答案为：100.
【分析】根据三次项系数为1，可设另一个因式为 ，然后建立等式，分别用k表示m，n，p的值，再代入求解即可.
20．【答案】（1）解：原式＝6ab（b2－4a2）＝6ab（b＋2a）（b－2a）．
（2）解：
（3）解：原式＝（x＋y）（a2－b2）＝（x＋y）（a＋b）（a－b）．
（4）解：原式＝（2mn＋m2＋n2）（2mn－m2－n2）＝－（m＋n）2（m－n）2.
（5）解：（a2﹣a）2＋2（a2﹣a）﹣8
（6）解：原式
令
则原式
再将t换成 得：原式
.
21．【答案】解：阴影部分面积=πR2-4πr2
=π（R2-4r2）
=π（R-2r）（R+2r）
=π×﹙6.8+2×1.6﹚×﹙6.8-2×1.6﹚
=36π（cm2）.
【解析】【分析】由大圆的面积减去4个小圆的面积即可得到剩余阴影部分的面积，列出代数式，先提出各项的公因式，再利用平方差公式分解因式，然后把R和r的值代入计算出对应的代数式的值.
22．【答案】解：设该二次三项式为 ， ，因为该同学看错了一次项系数，所以二次项及常数项正确，即 ；
，因为这位同学看错了常数项，所以一次项正确，即 ，所以原二次三项式为 ，因式分解得到
【解析】【分析】设二次三项式为ax2+bx+c，利用多项式乘以多项式的法则将2（x-1）（x-9），可得到a，c的值；再利用多项式乘以多项式的法则将2（x-2）（x-4），可得到b的值，然后可得到这个二次三项式，再分解因式。
23．【答案】解：△ABC是等边三角形.
理由：∵
∴a2+b2+c2+b2-2ab-2bc=0，
∴（a-b）2+（b-c）2=0，
∴a-b=0，，b-c=0，
∴a=b=c，
∴△ABC是等边三角形.
【解析】【分析】先将原式变形为：a2+b2+c2+b2-2ab-2bc=0得出（a-b）2+（b-c）2=0，可以得出a=b=c，从而得出结论判断出△ABC的形状.
24．【答案】（1）解：x2﹣6x﹣7
= x2﹣6x+9－16
=（x－3）2－42
=（x－3+4）（x－3－4）
=（x+1）（x－7）；
（2）解：a2＋4ab﹣5b2
= a2＋4ab+4b2﹣9b2
=（a+2b）2－（3b）2
=（a+2b +3b）（a+2b－3b）
=（a+5b）（ a－b）．
【解析】【分析】利用公式法分解因式即可。
25．【答案】（1）C
（2）解：∵，∴因式分解不彻底．
（3）解：设，则原式
．
【解析】【解答】（1）∵，∴运用了两数和的完全平方公式．
故答案为：C．
【分析】（1）根据完全平方公式的特征即可得到答案；
（2）根据因式分解的定义及计算要求求解即可；
（3）参照题干中的计算方法求解即可