苏教版（2019）高中数学必修第二册9.2平面向量的概念及线性运算 知识点与题型归纳 学案

《平面向量的概念及线性运算》知识点与题型归纳
一、知识点
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)．向量的模.向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小.
(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定；
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
2．向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算 三角形法则：首尾连，连首尾平行四边形法则：起点相同连对角． (1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差 三角形法则 a－b＝a＋(－b)
数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|a|＝|||a|；(2)当时，a的方向与a的方向相同；当时，a的方向与a的方向相反；当时，a＝0 (a)＝() a；()a＝a＋a；(a＋b)＝a＋b
3.共线向量定理
设(a≠0)，如果有一个实数，使向量b＝λa.，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a是共线向量，那么有且一个实数λ，使得b＝λa.
4.常用结论
(1)．首尾相连连首尾，即＋＋＋…＋An－1An＝，特别地，当与重合，图形为封闭图形时，有;
(2)．与非零向量共线的单位向量为;
(3).若三点A,B,C共线共线；
(4)．若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则;
(5).(为实数)O不在直线AB上，若点A，B，C共线，则;
(6).若G为△ABC的重心，则有①；②．
5.向量的三角形不等式
由向量的三角形法则，可以得到
(1)当不共线时，；.
(2)当同向且共线时，同向，则；
(3) 当反向且共线时，若，则同向，；若，则同向，．
6．向量减法的作图方法
(1) 已知向量，，作，则=,即向量等于终点向量（）减去起点向量（）．即：共起点，连终点，指向被减.
(2) 利用相反向量作图，通过向量加法的平行四边形法则作出．作，则，如图．由图可知，一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量．
题型一　平面向量的概念
1.给出下列命题：
①两个具有公共终点的向量一定是共线向量；
②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；
③若a＝0(为实数)，则必为零；
④已知，为实数，若a＝b，则a与b共线．
其中正确命题的个数为(　　)
A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4
2．给出下列命题：
①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；
②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；
③若A，B，C，D是不共线的四点，且，则ABCD为平行四边形；
④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；
其中真命题的序号是 ．
3．下列结论中正确的是（ ）
①若且，则；
②若，则且；
③若与方向相同且，则；
④若，则与方向相反且.
A．①③ B．②③ C．③④ D．②④
题型二　平面向量的线性运算
4.化简下列各式：
①= ； ② ；③= ； ④(－)－(－)= ；
⑤= ；
5.向量e1，e2，a，b在正方形网格中的位置如图所示，则a－b＝(　　)
A．－4e1－2e2 B．－2e1－4e2 C．e1－3e2 D．3e1－e2
6.(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝(　　)
A. B. C. D.
7.在△ABC中，＝，若＝a，＝b，则＝(　　)
A.a＋b B.a＋b C.a－b D．a－b
8.在△ABC中，点M，N满足，.若，则x＝ ；y＝ .
9.已知任意四边形ABCD，E为AD的中点，F为BC的中点，求证：．
10.2009年8月份，南方遭遇暴雨袭击，在某小镇的一次营救中，小汽艇在静水中的速度是12 km / h，水流的速度是6 km / h．如果小汽艇向着垂直河岸的方向行驶，则小汽艇在河水中的实际运动速度是多大？方向怎样？此时，必须到河正对岸去营救一人，要使小汽艇沿垂直方向到达对岸，船头方向该怎样？
题型三　共线向量定理的应用
类型一.证明向量共线
对于向量a，b，若存在实数λ，使a＝λb(b≠0)，则a与b共线
11.在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是(　　)
A．矩形 B．平行四边形 C．梯形 D．以上都不对
12.已知向量e1≠0，，a＝e1＋e2，b＝2e1，若向量a与向量b共线，则(　　)
A．λ＝0 B．e2＝0 C．e1∥e2 D．e1∥e2或
13．（多选）已知，则下列结论正确的是（ ）
A．A，B，C，D四点共线 B．C，B，D三点共线
C． D．
类型二 证明三点共线
若存在实数λ，使＝λ，则A，B，C三点共线
14. 已知为任意两个非零向量，且，，，则（ ）
A. B，C，D三点共线 B. A，B，C三点共线
C. A，B，D三点共线 D. A，C，D三点共线
15．如图所示，在中，，，与相交于点.
（1）用，表示，；
（2）若，证明：B,M, E三点共线.
类型三 求参数的值
利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值（注意三点共线定理的运用）
16.设D为△ABC所在平面内一点，，若()，则λ＝(　　)
A．2 B．3 C．－2 D．－3
17．设与是两个不共线向量，，，，若A，B，D三点共线，则________.
18.已知O为△ABC内一点，且，，若B，O，D三点共线，则t＝(　　)
A. B. C. D.
19.设两个非零向量a与b不共线，若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b).
(1)求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
答案与解析
1.【解析】：①错误．两向量共线要看其方向而不是起点与终点．②正确．因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．③错误．当a＝0时，无论λ为何值，λa＝0.④错误．当λ＝μ＝0时，λa＝μb，此时，a与b可以是任意向量．故选A.
2.【解析】①错误．两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点．
②错误．|a|＝|b|，但a，b方向不确定，所以a，b不一定相等或相反．
③正确．因为，所以且；又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形．
④错误．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．故填③.
3．【解析】由题意，对于①中，由，，则向量与同向或反向，当向量与同向时，可得，当向量与反向时，则，所以不正确的；
对于②中，若，根据相等向量的概念，可得且，所以是正确的；
对于③中，若与方向相同且，根据相等向量的概念，可得，所以是正确的；
对于④中，若，根据向量的概念，则与方向不一定相反且不一定，所以不正确.故选：B.
4．【解析】①
②.
③＝－＝.
④(－)－(－) ＝(＋)－(＋)＝－＝.
⑤；
5.【解析】：选C.结合图形易得，a＝－e1－4e2，b＝－2e1－e2，故a－b＝e1－3e2.
6.【解析】：，故选A.
7.【解析】：＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b，故选A.
8.【解析】：，
所以x＝，y＝－.
9.【证明】:在四边形CDEF中，，
在四边形ABFE中，，
所以．
因为E、F分别是AD、BC的中点，所以，．所以
10.【解析】如图（1）所示，为汽艇在静水中的速度，为水流速度，由平行四边形法则可知，小汽艇在实际速度为，在Rt△ADC中，，，，∠CAD≈63°43′．即小汽艇在河水中的速度大小约为13.4 km / h，方向与水流速度的夹角约为63°43′．
如图（2）所示，欲使小汽艇垂直河岸方向到达对岸码头，设小汽艇实际速度为，则．在Rt△ABC中，，，从而∠BAC=30°，∠BAE=60°，即小汽艇应沿与河岸成60°角的方向逆水行驶，才能沿垂直河岸方向到达对岸．
11.【解析】：由已知，得＝＋＋＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2，故∥.又因为与不平行，所以四边形ABCD是梯形．故选C.
12.【解析】：因为向量e1≠0，，a＝e1＋e2，b＝2e1，又因为向量a和b共线，存在实数k，使得a＝kb，所以e1＋e2＝2ke1，所以e2＝(2k－1)e1，所以e1∥e2或λ＝0.故选D.
13．【解析】：因为，所以，所以，
因为有公共端点，所以C，B，D三点共线，且，所以BD正确，A错误，
由，得，所以，所以C错误，
故选：BD
14.【解析】：由已知得，所以，即A，B，D三点共线.故选C.
15.【解析】:（1）因为BC=4BD，所以 ，
所以.
因为，所以，所以.
（2）因为，所以 .
因为 ，所以，即与共线.
因为与的有公共点，所以B，E，M三点共线.
16.【解析】：由可知，所以，
又，所以解得＝－3，故选D.
17.【解析】:.
因为A，B，D三点共线，所以，所以存在实数，使得，
即.
因为与是两个不共线向量，所以，解得.
18.【解析】：设E是BC边的中点，则，由题意得，
所以，又因为B，O，D三点共线，所以＋＝1，解得t＝，
故选B.
19.【解析】：(1)证明：因为＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，
所以＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5.所以，共线，
又因为它们有公共点B，所以A，B，D三点共线．
(2)因为ka＋b和a＋kb共线，所以存在实数，使ka＋b＝(a＋kb)，
即ka＋b＝λa＋kb，所以(k－)a＝(λk－1)b.
因为a，b是两个不共线的非零向量，所以k－＝k－1＝0，
所以k2－1＝0，所以k＝±1.
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