北师大版八年级数学下册 第1章 三角形的证明 单元练习题（原卷版+解析版）

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八年级数学下册单元练习题（原卷版）
第一章 三角形的证明
一、单选题
1．（2022·湖南南县·八年级期末）下列命题：①等腰三角形是轴对称图形；②到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；③两点之间线段最短；④两边分别相等且其中一边的对角也相等的两个三角形全等．其中假命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2022·四川朝天·八年级期末）如图，在等边三角形中，为边上的高，与的平分线交于点.已知的面积为2，则的面积为（ ）
A．18 B．12 C．9 D．6
3．（2022·四川朝天·八年级期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE与边AB，AC分别交于点D，E.已知△ABC与△BCE的周长分别为16cm和10cm，则AD的长为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·贵州松桃·八年级期末）如图，△ABC是等边三角形，点E是AC的中点，过点E作EF⊥AB于点F，延长BC交EF的反向延长线于点D，若EF=1，则DF的长为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
5．（2021·福建石狮·八年级期末）已知点O在直线AB上，点P在直线AB外，以OP为一边作等腰三角形POM，使第三个顶点M在直线AB上，则点M的个数为（　　）
A．2 B．2或4 C．3或4 D．2或3或4
6．（2022·浙江缙云·八年级期末）如图，点P，D分别是∠ABC边BA，BC上的点，且，．连结PD，以PD为边，在PD的右侧作等边△DPE，连结BE，则△BDE的面积为（ ）
A． B．2 C．4 D．
7．（2022·黑龙江讷河·八年级期末）如图，，点在的内部，点，分别是点关于、的对称点，连接交、分别于点、；若的周长的为10，则线段（ ）．
A．8 B．9 C．10 D．11
8．（2022·重庆忠县·八年级期末）如图，已知，，点为的中点，于点，于点，连接、．张宇同学根据已知条件给出了以下几个结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．（2022·浙江余姚·八年级期末）若等腰三角形的一个内角为，则其顶角的度数为__________．
10．（2022·贵州松桃·八年级期末）如图，在等边三角形ABC中，的平分线与的平分线相交于D，过点D作交AB于E，交AC于F，，则BC的长为______．
11．（2022·江苏溧阳·八年级期末）已知△ABC中，AB=5， BC=8， BC边上的中线AD=3，则AC=__________________．
12．（2021·天津市武清区杨村第五中学八年级期中）如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，则PD=___．
13．（2021·天津市武清区杨村第五中学八年级期中）已知等边△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点B'处，DB'、EB'分别交边AC于点F、G，若∠ADF＝76°，则∠GEC的度数为 ______．
14．（广东省中山市2021-2022学年八年级上学期期末数学试题）如图，，，AD是∠BAC内的一条射线，且，P为AD上一动点，则的最大值是______．
15．（2022·浙江余杭·八年级期末）如图，在中，，D为BC的中点，连接AD，E是AB上的一点，P是AD上一点，连接EP、BP，，，则的最小值是______．
16．（2022·河南淇县·八年级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E，在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，当△ADE是等腰三角形时，∠BDA的度数是__．
17．（2022·四川省成都市七中育才学校八年级期末）如图，已知等边三角形中，，等腰Rt中，，延长、交于点，连接，则________．
18．（2022·江苏崇川·八年级期末）如图，在中，，D，E是内的两点，AE平分，，若BD=6cm，DE=4cm，则BC的长是______cm．
三、解答题
19．（2022·贵州松桃·八年级期末）如图，在中，，AB边的垂直平分线分别交AB于点E，交AC于点F，点D在EF上，且，G是AC的中点，连接DG．
(1)求证：；
(2)判断是否是等边三角形，并说明理由．
21．（2022·山东·海曲中学八年级期末）如图，点C在线段AB上，ADEB，AC＝BE，AD＝BC，CF⊥DE于点F．
(1)求证：△ACD≌△BEC；
(2)若∠DCE＝120°，求∠CDE的度数，
(3)求证：CF平分∠DCE．
22．（2022·江苏·无锡市江南中学八年级期末）（1）问题情境：如图1，，平分，把三角尺的直角顶点落在的任意一点上，并使三角尺的两条直角边分别与、相交于点、，与相等吗？请你给出证明；
（2）变式拓展：如图2，已知，平分，是上一点，，边与边相交于点，边与射线的反向延长线相交于点．试解决下列问题：
①与还相等吗？为什么？
②试判断、、三条线段之间的数量关系，并说明理由．
23．（2022·浙江余杭·八年级期末）如图，在中，，BE平分，AD为BC边上的高，且．
(1)求证：
(2)试判断线段AB与BD，DH之间有何数量关系，并说明理由．
24．（2022·贵州松桃·八年级期末）在等边三角形ABC中，点D是BC的中点，，的两边分别交直线AB，AC于点E，F．
(1)问题发现：如图①，当点E，F分别在线段AB，AC上，且，时，请直接写出线段DE与DF的数量关系：______；
(2)类比探究：如图②，当点E落在线段AB上，点F落在射线AC上时，（1）中的结论是否仍然成立？请结合图②说明理由：
(3)拓展应用：如图③，当点E落在射线BA上，点F落在射线AC上时，若，，请求出AB．
25．（2022·江苏锡山·八年级期末）已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点．
(1)求∠DOE的度数；
(2)试判断△MNC的形状，并说明理由；
(3)连接OC，求证：OC是∠AOE的平分线．
26．（2021·北京广渠门中学教育集团七年级期中）如图，直线CD与直线AB相交于C．根据下列语句画图并测量和计算．
(1)过点P作PM⊥AB，垂足为M，PN⊥CD，垂足为N，并测量点P到CD的距离（精确到0.1cm）为　　；
(2)过点N作NQ∥AB；
(3)若∠ACD＝50°，计算∠MPN的度数为　　°．
八年级数学下册单元练习题（解析版）
一、单选题
1．（2022·湖南南县·八年级期末）下列命题：①等腰三角形是轴对称图形；②到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；③两点之间线段最短；④两边分别相等且其中一边的对角也相等的两个三角形全等．其中假命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解析】
【分析】
根据轴对称的定义和等腰三角形的性质，可判断①；根据线段垂直平分线的性质，可判断②；根据两点之间线段最短是一个公理，可判断③；根据三角形全等的判定条件，可判断④，由此即可选择．
【详解】
等腰三角形是轴对称图形，故①是真命题；
到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，故②是真命题；
两点之间线段最短，故③是真命题；
两边分别相等且其中一边的对角也相等的两个三角形不一定全等，故④为假命题．
故选A．
【点睛】
本题考查判断命题真假．掌握正确的命题就是真命题，错误的命题就是假命题是解答本题的关键．
2．（2022·四川朝天·八年级期末）如图，在等边三角形中，为边上的高，与的平分线交于点.已知的面积为2，则的面积为（ ）
A．18 B．12 C．9 D．6
【答案】B
【解析】
【分析】
在等边三角形中，为边上的高，可知，EC为的角平分线，可知，可知为等腰三角形，可知．在中，，所以，在和中，高相等，所以，所以．
【详解】
∵等边三角形中，是边上的高，
∴．
∵EC为的角平分线，
∴．
∴
∴为等腰三角形，
∴．
在中，，
∴，
在和中，高相等，
∴，
在等边三角形中，是边上的高，
∴是的垂直平分线（三线合一）
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】
本题考查了等边三角形三线合一的性质， 还需要记住角所对的直角边是斜边的一半，灵活的运用三角形面积公式，通过高和底的比确定面积的比例，最终轻松求解．
3．（2022·四川朝天·八年级期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE与边AB，AC分别交于点D，E.已知△ABC与△BCE的周长分别为16cm和10cm，则AD的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EB，根据三角形的周长公式计算即可．
【详解】
解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA=EB，AD=BD=AB，
∵△BCE的周长是10，
∴BC+BE+EC=10，即AC+BC=10，
∵△ABC的周长是16，
∴AB+AC+BC=16，
∴AB=16-10=6，
∴AD=AB=×6=3（cm）．
故选：A．
【点睛】
本题考查的是等腰三角形的定义，线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
4．（2022·贵州松桃·八年级期末）如图，△ABC是等边三角形，点E是AC的中点，过点E作EF⊥AB于点F，延长BC交EF的反向延长线于点D，若EF=1，则DF的长为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
【答案】C
【解析】
【分析】
由△ABC是等边三角形，点E是AC的中点，得∠ABC=60°，∠ABE=30°，根据EF⊥AB，得∠D=30°，得到BE=DE，在Rt△BEF中，求得BE=2EF=2，即可得答案．
【详解】
解：连接BE，
∵△ABC是等边三角形，点E是AC的中点，
∴∠ABC=60°，∠ABE=∠CBE=30°，
∵EF⊥AB，
∴∠D=90°-∠ABC=30°，即∠D=∠CBE=30°，
∴BE=DE，
在Rt△BEF中，EF=1，
∴BE=2EF=2，
∴BE=DE=2，
∴DF=EF+DE=3，
故选：C．
【点睛】
本题考查等边三角形的性质及应用，解题的关键是证明BE=DE，从而用含30度角的直角三角形的性质解决问题．
5．（2021·福建石狮·八年级期末）已知点O在直线AB上，点P在直线AB外，以OP为一边作等腰三角形POM，使第三个顶点M在直线AB上，则点M的个数为（　　）
A．2 B．2或4 C．3或4 D．2或3或4
【答案】B
【解析】
【分析】
利用图象法分三种情形：当且时；当时；当时；根据等腰三角形的判定及性质作出相应图形求解即可．
【详解】
解：如图1中，当且时，满足条件的点M有4个；
如图2中，当时，满足条件的点M有2个，此时点，，三个点重合；
如图3中，当时，满足条件的点M有2个．
故选：B．
【点睛】
题目主要考查等腰三角形的判定和性质及分类讨论思想，熟练掌握等腰三角形的判定和性质及分类讨论思想是解题关键．
6．（2022·浙江缙云·八年级期末）如图，点P，D分别是∠ABC边BA，BC上的点，且，．连结PD，以PD为边，在PD的右侧作等边△DPE，连结BE，则△BDE的面积为（ ）
A． B．2 C．4 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
要求的面积，想到过点作，垂足为，因为题目已知，想到把放在直角三角形中，所以过点作，垂足为，利用勾股定理求出的长，最后证明即可解答．
【详解】
解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，
在中，，，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
的面积，
，
，
故选：A．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，全等三角形、勾股定理，解题的关键是根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线．
7．（2022·黑龙江讷河·八年级期末）如图，，点在的内部，点，分别是点关于、的对称点，连接交、分别于点、；若的周长的为10，则线段（ ）．
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】C
【解析】
【分析】
连接，，根据对称性质得出是等边三角形，进而得出答案．
【详解】
解：连接，，
∵、分别是点关于直线、的对称点，
,,，，，
，
是等边三角形，
∵CD=CE+EF+DF=PE+EF+PF=10，
．
故选择：C．
【点睛】
本题依据轴对称的性质，等边三角形判定与性质，角的和差，线段和差，根据轴对称性质得出是等边三角形是解题关键．
8．（2022·重庆忠县·八年级期末）如图，已知，，点为的中点，于点，于点，连接、．张宇同学根据已知条件给出了以下几个结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】
【分析】
延长BG与CD的延长线相交于E点，证明△ABG≌△DEG，得AB=DE，由AB+CD=BC，得CE=BC，点G为BE的中点，得∠BCG=∠ECG，∠BGC=90°∠CBE=∠CEB，故③①④正确；由GM⊥CD于点M，GN⊥BC于点N，CG=CG，∠BCG=∠ECG，证△GMC≌△GNC，故②正确．
【详解】
解：如下图：延长BG与CD的延长线相交于E点，
∵AB∥CD，
∴∠ABE=∠BEC，
∵点G为AD的中点，
∴AG=GD，
在△ABG和△DEG中，
，
∴△ABG≌△DEG，
∴AB=DE，BG=GE，
∵AB+CD=BC，
∴DE+CD=BC，
∴CE=BC，
∴∠CBE=∠CEB，
又∵∠ABE=∠BEC，
∴∠CBE=∠ABE，
∴BG平分∠ABC，
∴③正确；
∵CE=BC，点G为BE的中点，
∴∠BCG=∠ECG，∠BGC=90°，
∴CG平分∠BCD，
∴①④正确；
∵GM⊥CD于点M，GN⊥BC于点N，
∴∠GMC=∠GNC=90°，
∵CG=CG，∠BCG=∠ECG，
∴△GMC≌△GNC，
∴GM=GN，
∴②正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形全等的判定与性质，做题的关键是证明△ABG≌△DEG．
二、填空题
9．（2022·浙江余姚·八年级期末）若等腰三角形的一个内角为，则其顶角的度数为__________．
【答案】或
【解析】
【分析】
根据题意，分的角为顶角和底角两种情况讨论，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和求解即可
【详解】
解：当的角为顶角时，其顶角的度数为；
当的角为底角时，其顶角的度数为
故答案为：或
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质以及三角形内角的性质，分情况讨论是解题的关键．
10．（2022·贵州松桃·八年级期末）如图，在等边三角形ABC中，的平分线与的平分线相交于D，过点D作交AB于E，交AC于F，，则BC的长为______．
【答案】6
【解析】
【分析】
先证明△AEF也是等边三角形，再求得EB=ED=DF=FC=2，即可求解．
【详解】
解：∵等边三角形ABC中，EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC=∠AFE=∠ACB=60°，
∴△AEF也是等边三角形，
∴AE=EF=FA，AB=AC=BC，
∴EB=FC，
∵∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于D，且EF∥BC，
∴∠EBD=∠DBC=∠EDB=∠FCD=∠FDC=∠DCB=30°，
∴EB=ED=DF=FC，
∵EF=4，
∴EB=ED=DF=FC=2，AE=EF=FA=4，
∴AB=AC=BC=AE+EB=6，
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质，进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．
11．（2022·江苏溧阳·八年级期末）已知△ABC中，AB=5， BC=8， BC边上的中线AD=3，则AC=__________________．
【答案】
【解析】
【分析】
先利用勾股定理的逆定理证明 再利用线段的垂直平分线的定义与性质可得答案.
【详解】
解：如图，BC=8， BC边上的中线AD=3，
故答案为：5
【点睛】
本题考查的是勾股定理分逆定理的应用，三角形的中线的定义，线段的垂直平分线的定义与性质，证明是解题的关键.
12．（2021·天津市武清区杨村第五中学八年级期中）如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，则PD=___．
【答案】2
【解析】
【分析】
过P点作PE⊥OB于E，如图，根据角平分线的性质得到PE=PD，再利用平行线的性质得到∠PCE=∠AOB=30°，接着根据含30度的直角三角形三边的关系得到PE=PC=2，从而得到PD的长．
【详解】
解：过P点作PE⊥OB于E，如图，
∵∠AOP=∠BOP=15°，
∴OP平分∠AOB，∠AOB=30°，
而PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PE=PD，
∵PC∥OA，
∴∠PCE=∠AOB=30°，
∴PE=PC=×4=2，
∴PD=2．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了含30度的直角三角形的性质和平行线的性质．
13．（2021·天津市武清区杨村第五中学八年级期中）已知等边△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点B'处，DB'、EB'分别交边AC于点F、G，若∠ADF＝76°，则∠GEC的度数为 ______．
【答案】44°##44度
【解析】
【分析】
由折叠的性质可得，∠BDE=∠B'DE，∠BED=∠DEB'，再由已知可求∠B=60°，∠BDB'=180°-76°=104°，则∠BDE=52°，∠DEB=∠DEB'=68°，则可求∠GEC=180°-68°-68°=44°．
【详解】
解：由折叠的性质可得，∠BDE=∠B'DE，∠BED=∠DEB'，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∵∠ADF=76°，
∴∠BDB'=180°-76°=104°，
∴∠BDE=52°，
∴∠DEB=180°-60°-52°=68°，
∴∠DEB'=68°，
∴∠GEC=180°-68°-68°=44°，
故答案为：44°．
【点睛】
本题考查了折叠的性质，熟练掌握折叠的性质、等边三角形的性质、三角形内角和定理是解题的关键．
14．（广东省中山市2021-2022学年八年级上学期期末数学试题）如图，，，AD是∠BAC内的一条射线，且，P为AD上一动点，则的最大值是______．
【答案】5
【解析】
【分析】
作点关于射线的对称点，连接、、B'P．则，，是等边三角形，在中，，当、、在同一直线上时，取最大值，即为5．所以的最大值是5．
【详解】
解：如图，
作点关于射线的对称点，连接、，B'P．
则，，，．
∵ ，
∴，
∴ 是等边三角形，
∴，
在中，，
当、、在同一直线上时，取最大值，即为5．
∴的最大值是5．
故答案为：5．
【点睛】
本题考查了线段之差的最小值问题，正确作出点B的对称点是解题的关键．
15．（2022·浙江余杭·八年级期末）如图，在中，，D为BC的中点，连接AD，E是AB上的一点，P是AD上一点，连接EP、BP，，，则的最小值是______．
【答案】
【解析】
【分析】
要求BP+EP的最小值，需考虑通过作辅助线转化EP，BP的值，从而找出其最小值求解．
【详解】
解：∵△ABC是等腰三角形，AD是BC边的中线，
∴AD垂直平分BC，
∴点D与点C关于AD对称，
连接CE交AD于P，则此时，BP+EP的值最小，且等于CE的长，
∵D为BC的中点，BC=12，
∴CD=×12＝6，
∴AD==8，
∵∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC=10，
∴CE=，
∴BP+EP的最小值为，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了轴对称-最短路线问题，等腰三角形的性质，利用等面积法建立等量关系是解题的关键．
16．（2022·河南淇县·八年级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E，在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，当△ADE是等腰三角形时，∠BDA的度数是__．
【答案】110°或80°##80°或110°
【解析】
【分析】
分为三种情况：①当AD＝AE时，∠ADE＝∠AED＝40°，根据∠AED＞∠C，得出此时不符合；②当DA＝DE时，求出∠DAE＝∠DEA＝70°，求出∠BAC，根据三角形的内角和定理求出∠BAD，根据三角形的内角和定理求出∠BDA即可；③当EA＝ED时，求出∠DAC，求出∠BAD，根据三角形的内角和定理求出∠ADB．
【详解】
解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝40°，
①当AD＝AE时，∠ADE＝∠AED＝40°，
∵∠AED＞∠C，
∴此时不符合；
②当DA＝DE时，即∠DAE＝∠DEA＝ （180°﹣40°）＝70°，
∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠BAD＝100°﹣70°＝30°；
∴∠BDA＝180°﹣30°﹣40°＝110°；
③当EA＝ED时，∠ADE＝∠DAE＝40°，
∴∠BAD＝100°﹣40°＝60°，
∴∠BDA＝180°﹣60°﹣40°＝80°；
∴当△ADE是等腰三角形时，∠BDA的度数是110°或80°，
故答案为：110°或80°．
【点睛】
此题主要考查了等腰三角形的性质，全三角形外角的性质等知识点的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，综合性较强，但难度不大，属于基础题．
17．（2022·四川省成都市七中育才学校八年级期末）如图，已知等边三角形中，，等腰Rt中，，延长、交于点，连接，则________．
【答案】##
【解析】
【分析】
作CH⊥BE，根据已知条件求出CH，DH，利用勾股定理即可求出CD的长．
【详解】
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=BC=2，∠BAC=60°
∵是等腰Rt△
∴AB=BD=2
∵，
∴∠E=30°，
∴AE=2AB=4，BE=
∴C点AE的中点
∴CE=2
如图，作CH⊥BE
∴CH=，
∵BC=CE=2
∴BH=
∴DH=BD-BH=2-
∴CD=
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查三角形内长度求解，解题的关键是熟知等边三角形的性质、等腰直角三角形、勾股定理及二次根式的运算．
18．（2022·江苏崇川·八年级期末）如图，在中，，D，E是内的两点，AE平分，，若BD=6cm，DE=4cm，则BC的长是______cm．
【答案】10
【解析】
【分析】
作出辅助线后根据等边三角形的判定得出△BDM为等边三角形，△EFD为等边三角形，从而得出BN的长，进而求出答案．
【详解】
解：延长DE交BC于M，延长AE交BC于N，
∵AB=AC，AE平分∠BAC，
∴AN⊥BC，BN=CN，
∵∠DBC=∠D=60°，
∴△BDM为等边三角形，
∴BD=DM=BM=6，
∵DE=4，
∴EM=6-4=2，
∵△BDM为等边三角形，
∴∠DMB=60°，
∵AN⊥BC，
∴∠ENM=90°，
∴∠NEM=30°，
∴NM==1，
∴BN=6-1=5，
∴BC=2BN=10（cm），
故答案为10．
【点睛】
此题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，以及含30°角的直角三角形的性质，能求出MN的长是解决问题的关键．
三、解答题
19．（2022·贵州松桃·八年级期末）如图，在中，，AB边的垂直平分线分别交AB于点E，交AC于点F，点D在EF上，且，G是AC的中点，连接DG．
(1)求证：；
(2)判断是否是等边三角形，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)是等边三角形，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）连接AD，先证明是等腰三角形，再根据三线合一即可证明；
（2）先求得，再得到，故可得到，即可证明．
(1)
解：连接AD，
∵EF是AB的垂直平分线，点D在EF上，
∴．
又∵，
∴，
∴是等腰三角形．
∵G是AC的中点，
∴．
(2)
是等边三角形，理由如下：
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形．
【点睛】
此题主要考查等腰三角形与等边三角形的判定与性质，解题的关键是熟知垂直平分线的性质、等腰三角形的性质定理．
20．（2022·吉林市第五中学八年级期末）如图，在△ABC中，∠B=75°，∠C=35°．AE⊥BC于点E，AD平分∠BAC．
(1)求证：AD＝CD；
(2)求∠EAD的度数．
【答案】(1)见解析
(2)∠EAD=20°．
【解析】
【分析】
（1）由三角形内角和定理求出∠BAC=70°，证出∠C=∠DAC，则可得出结论；
（2）由三角形外角的性质求出∠ADE，则可求出答案．
(1)
证明：∵∠B=75°，∠C=35°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=70°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC=∠BAC=35°，
∴∠C=∠DAC，
∴AD=CD；
(2)
解：∵∠DAC=∠C=35°，
∴∠ADE=∠DAC+∠C=70°，
∵AE⊥BC，
∴∠AED=90°，
∴∠EAD=90°-∠AED=20°．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．
21．（2022·山东·海曲中学八年级期末）如图，点C在线段AB上，ADEB，AC＝BE，AD＝BC，CF⊥DE于点F．
(1)求证：△ACD≌△BEC；
(2)若∠DCE＝120°，求∠CDE的度数，
(3)求证：CF平分∠DCE．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)见解析
【解析】
【分析】
（1）根据平行线性质求出∠A＝∠B，根据SAS推出△ACD≌△BEC；
（2）根据全等三角形性质推出，根据等腰三角形性质即可证明CF平分∠DCE，进而根据直角三角形两个锐角互余即可求得的度数；
（3）根据全等三角形性质推出CD＝CE，根据等腰三角形性质即可证明CF平分∠DCE．
(1)
∵ADBE，
∴∠A＝∠B，
在△ACD和△BEC中，
∵，
∴△ACD≌△BEC（SAS），
(2)
如图，
△ACD≌△BEC
,
(3)
∵△ACD≌△BEC，
∴CD＝CE，
又∵CF⊥DE，
∴CF平分∠DCE．
【点睛】
本题主要考查三角形的判定定理和性质定理以及等腰三角形的性质定理，掌握SAS判定三角形全等是解题的关键．
22．（2022·江苏·无锡市江南中学八年级期末）（1）问题情境：如图1，，平分，把三角尺的直角顶点落在的任意一点上，并使三角尺的两条直角边分别与、相交于点、，与相等吗？请你给出证明；
（2）变式拓展：如图2，已知，平分，是上一点，，边与边相交于点，边与射线的反向延长线相交于点．试解决下列问题：
①与还相等吗？为什么？
②试判断、、三条线段之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）相等，见解析；（2）①，见解析；②，见解析
【解析】
【分析】
（1）过点作于，于．根据角平分线的性质定理可得，，从而证得，即可求证；
（2）①过点作于，于．根据角平分线的性质定理可得，，从而证得，即可求解；
②先证得，可得，再由，可得，从而得到，再由直角三角形的性质，即可求解．
【详解】
（1）证明：如图1，过点作于，于．
∵平分，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①结论：．理由如下：
如图2，过点作于，于．
∵平分，，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②结论：．理由如下：
∵， ，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，角平分线的性质，熟练掌握角平分上的点到角两边的距离相等；直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
23．（2022·浙江余杭·八年级期末）如图，在中，，BE平分，AD为BC边上的高，且．
(1)求证：
(2)试判断线段AB与BD，DH之间有何数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)AB=BD+CD，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）由等腰三角形的性质可得∠ABE=∠CBE，AE=EC，BE⊥AC，由余角的性质可得结论；
（2）由“AAS”可证△ADC≌△BDH，可得DH=DC，即可得结论．
【小题1】
解：证明：∵AB=BC，BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，AE=EC，BE⊥AC，
∴∠BEC=∠ADC=90°，
∴∠C+∠DAC=∠C+∠EBC=90°，
∴∠EBC=∠DAC，
∴∠ABE=∠DAC；
【小题2】
AB=BD+CD，理由如下：
在△ADC和△BDH中，
，
∴△ADC≌△BDH（AAS），
∴DH=DC，
∴BD+DH=DB+DC=BC=AB．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明三角形的全等是解题的关键．
24．（2022·贵州松桃·八年级期末）在等边三角形ABC中，点D是BC的中点，，的两边分别交直线AB，AC于点E，F．
(1)问题发现：如图①，当点E，F分别在线段AB，AC上，且，时，请直接写出线段DE与DF的数量关系：______；
(2)类比探究：如图②，当点E落在线段AB上，点F落在射线AC上时，（1）中的结论是否仍然成立？请结合图②说明理由：
(3)拓展应用：如图③，当点E落在射线BA上，点F落在射线AC上时，若，，请求出AB．
【答案】(1)
(2)结论成立，理由见解析
(3)
【解析】
【分析】
（1）如图所示：连接AD，根据等边三角形三线合一的性质及角平分线的性质即可得；
（2）过点D分别作于G点，于H点，根据等边三角形的性质及中点的性质，利用全等三角形的判定及性质得出，，再由各角之间的数量关系得出，利用全等三角形的判定和性质即可证明；
（3）过D作交AB于M点，根据平行线及等边三角形的性质可得，结合图形，利用各角之间的数量关系可得，根据全等三角形的判定和性质得出，，设，则，结合图形，利用线段间的数量关系即可得出结果．
(1)
（1）；
如图所示：连接AD，
∵为等边三角形，且点D是BC的中点，
∴AD平分，
∵，，
∴，
故答案为：；
(2)
结论成立．．
理由：如图所示，过点D分别作于G点，于H点，
∵是等边三角形，
∴，
∵于G点，于H，
∴，，
∵点D是BC的中点，
∴，
在与中，
，
∴
∴，
∴，，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴；
(3)
如图，过D作交AB于M点，
∵，是等边三角形，
∴，
∴，，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
设，则，
∵，，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
题目主要考查等边三角形三线合一的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
25．（2022·江苏锡山·八年级期末）已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点．
(1)求∠DOE的度数；
(2)试判断△MNC的形状，并说明理由；
(3)连接OC，求证：OC是∠AOE的平分线．
【答案】(1)∠DOE的度数是60°
(2)△MNC是等边三角形，理由见解析
(3)见解析
【解析】
【分析】
（1）根据等边三角形的性质及角的和差关系可得∠ACD＝∠BCE，利用SAS可证明△ACD≌△BCE，可得AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，利用角的和差关系及外角性质可得∠AOE=120°，根据平角定义即可得答案；
（2）根据全等三角形的性质可得∠CAD＝∠CBE，AD＝BE，AC＝BC，根据中点的定义可得AM＝BN，利用SAS可证明△ACM≌△BCN，可得CM＝CN，∠ACM＝∠BCN，利用角的和差关系可得∠MCN＝60°，即可证明△MNC是等边三角形；
（3）连接OC，过C作CG⊥AD，垂足为G；过C作CH⊥BE ，垂足为H，根据全等三角形的性质可得AD＝BE，S△ACD=S△BCE，即可得出CG＝CH，根据角平分线的判定定理即可得出结论．
(1)
∵△ABC、△CDE都是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB＋∠BCD＝∠DCE＋∠BCD，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，
∵等边三角形DCE，
∴∠CED＝∠CDE＝60°，
∴∠ADE＋∠BED＝∠ADC＋∠CDE＋∠BED，
＝∠BEC＋60°＋∠BED，
＝∠CED＋60°，
＝60°＋60°，
＝120°，
∴∠AOE=120°，
∴∠DOE＝180°-∠AOE=60°．
(2)
△MNC是等边三角形，理由如下：
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，AD＝BE，AC＝BC
∵点M、N分别是线段AD、BE的中点，
∴AM＝AD，BN＝BE，
∴AM＝BN，
在△ACM和△BCN中，，
∴△ACM≌△BCN，
∴CM＝CN，∠ACM＝∠BCN，
∵∠ACB＝60°，
∴∠ACM＋∠MCB＝∠BCN+∠MCB=∠ACB=60°，
∴∠MCN＝60°，
∴△MNC是等边三角形．
(3)
连接OC，过C作CG⊥AD，垂足为G；过C作CH⊥BE ，垂足为H．
∵△ACD≌△BCE，
∴AD＝BE，S△ACD=S△BCE，
∴，
∴CG＝CH，
∵CG⊥AD，CH⊥BE，
∴OC是∠AOE的平分线．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定、三角形外角性质及角平分线的判定定理，能够熟练掌握等边三角形的性质与判定条件是解题关键．
26．（2021·北京广渠门中学教育集团七年级期中）如图，直线CD与直线AB相交于C．根据下列语句画图并测量和计算．
(1)过点P作PM⊥AB，垂足为M，PN⊥CD，垂足为N，并测量点P到CD的距离（精确到0.1cm）为　　；
(2)过点N作NQ∥AB；
(3)若∠ACD＝50°，计算∠MPN的度数为　　°．
【答案】(1)图见解析，垂线段PM，PN即为所求，1.5cm；
(2)图见解析，直线NQ即为所求；
(3)50
【解析】
【分析】
（1）根据垂线段的定义画出图形即可；
（2）根据平行线的定义画出图形即可；
（3）利用对顶角相等和直角三角形的两锐角互余求解即可．
(1)
解：如图，垂线段PM，PN即为所求．
通过测量得点P到CD的距离为1.5cm；
故答案为：1.5cm；
(2)
解：如图，直线NQ即为所求；
(3)
解：∵PM⊥AB，垂足为M，PN⊥CD，
∴∠CNE＝∠PME＝90°
∵∠ACD＝∠ECN＝50°，
∴∠CEN＝∠PEM＝90°﹣50°＝40°，
∴∠MPN＝90°﹣40°＝50°．
故答案为：50．
【点睛】
本题考查垂线段、平行线、对顶角相等、直角三角形的两锐角互余，熟练掌握直角三角形的两锐角互余是解答的关键．
八年级数学下册单元练习题（原卷版）
第一章 三角形的证明
一、单选题
1．（2022·湖南南县·八年级期末）下列命题：①等腰三角形是轴对称图形；②到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；③两点之间线段最短；④两边分别相等且其中一边的对角也相等的两个三角形全等．其中假命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2022·四川朝天·八年级期末）如图，在等边三角形中，为边上的高，与的平分线交于点.已知的面积为2，则的面积为（ ）
A．18 B．12 C．9 D．6
3．（2022·四川朝天·八年级期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE与边AB，AC分别交于点D，E.已知△ABC与△BCE的周长分别为16cm和10cm，则AD的长为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·贵州松桃·八年级期末）如图，△ABC是等边三角形，点E是AC的中点，过点E作EF⊥AB于点F，延长BC交EF的反向延长线于点D，若EF=1，则DF的长为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
5．（2021·福建石狮·八年级期末）已知点O在直线AB上，点P在直线AB外，以OP为一边作等腰三角形POM，使第三个顶点M在直线AB上，则点M的个数为（　　）
A．2 B．2或4 C．3或4 D．2或3或4
6．（2022·浙江缙云·八年级期末）如图，点P，D分别是∠ABC边BA，BC上的点，且，．连结PD，以PD为边，在PD的右侧作等边△DPE，连结BE，则△BDE的面积为（ ）
A． B．2 C．4 D．
7．（2022·黑龙江讷河·八年级期末）如图，，点在的内部，点，分别是点关于、的对称点，连接交、分别于点、；若的周长的为10，则线段（ ）．
A．8 B．9 C．10 D．11
8．（2022·重庆忠县·八年级期末）如图，已知，，点为的中点，于点，于点，连接、．张宇同学根据已知条件给出了以下几个结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．（2022·浙江余姚·八年级期末）若等腰三角形的一个内角为，则其顶角的度数为__________．
10．（2022·贵州松桃·八年级期末）如图，在等边三角形ABC中，的平分线与的平分线相交于D，过点D作交AB于E，交AC于F，，则BC的长为______．
11．（2022·江苏溧阳·八年级期末）已知△ABC中，AB=5， BC=8， BC边上的中线AD=3，则AC=__________________．
12．（2021·天津市武清区杨村第五中学八年级期中）如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，则PD=___．
13．（2021·天津市武清区杨村第五中学八年级期中）已知等边△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点B'处，DB'、EB'分别交边AC于点F、G，若∠ADF＝76°，则∠GEC的度数为 ______．
14．（广东省中山市2021-2022学年八年级上学期期末数学试题）如图，，，AD是∠BAC内的一条射线，且，P为AD上一动点，则的最大值是______．
15．（2022·浙江余杭·八年级期末）如图，在中，，D为BC的中点，连接AD，E是AB上的一点，P是AD上一点，连接EP、BP，，，则的最小值是______．
16．（2022·河南淇县·八年级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E，在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，当△ADE是等腰三角形时，∠BDA的度数是__．
17．（2022·四川省成都市七中育才学校八年级期末）如图，已知等边三角形中，，等腰Rt中，，延长、交于点，连接，则________．
18．（2022·江苏崇川·八年级期末）如图，在中，，D，E是内的两点，AE平分，，若BD=6cm，DE=4cm，则BC的长是______cm．
三、解答题
19．（2022·贵州松桃·八年级期末）如图，在中，，AB边的垂直平分线分别交AB于点E，交AC于点F，点D在EF上，且，G是AC的中点，连接DG．
(1)求证：；
(2)判断是否是等边三角形，并说明理由．
21．（2022·山东·海曲中学八年级期末）如图，点C在线段AB上，ADEB，AC＝BE，AD＝BC，CF⊥DE于点F．
(1)求证：△ACD≌△BEC；
(2)若∠DCE＝120°，求∠CDE的度数，
(3)求证：CF平分∠DCE．
22．（2022·江苏·无锡市江南中学八年级期末）（1）问题情境：如图1，，平分，把三角尺的直角顶点落在的任意一点上，并使三角尺的两条直角边分别与、相交于点、，与相等吗？请你给出证明；
（2）变式拓展：如图2，已知，平分，是上一点，，边与边相交于点，边与射线的反向延长线相交于点．试解决下列问题：
①与还相等吗？为什么？
②试判断、、三条线段之间的数量关系，并说明理由．
23．（2022·浙江余杭·八年级期末）如图，在中，，BE平分，AD为BC边上的高，且．
(1)求证：
(2)试判断线段AB与BD，DH之间有何数量关系，并说明理由．
24．（2022·贵州松桃·八年级期末）在等边三角形ABC中，点D是BC的中点，，的两边分别交直线AB，AC于点E，F．
(1)问题发现：如图①，当点E，F分别在线段AB，AC上，且，时，请直接写出线段DE与DF的数量关系：______；
(2)类比探究：如图②，当点E落在线段AB上，点F落在射线AC上时，（1）中的结论是否仍然成立？请结合图②说明理由：
(3)拓展应用：如图③，当点E落在射线BA上，点F落在射线AC上时，若，，请求出AB．
25．（2022·江苏锡山·八年级期末）已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点．
(1)求∠DOE的度数；
(2)试判断△MNC的形状，并说明理由；
(3)连接OC，求证：OC是∠AOE的平分线．
26．（2021·北京广渠门中学教育集团七年级期中）如图，直线CD与直线AB相交于C．根据下列语句画图并测量和计算．
(1)过点P作PM⊥AB，垂足为M，PN⊥CD，垂足为N，并测量点P到CD的距离（精确到0.1cm）为　　；
(2)过点N作NQ∥AB；
(3)若∠ACD＝50°，计算∠MPN的度数为　　°．
八年级数学下册单元练习题（解析版）
一、单选题
1．（2022·湖南南县·八年级期末）下列命题：①等腰三角形是轴对称图形；②到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；③两点之间线段最短；④两边分别相等且其中一边的对角也相等的两个三角形全等．其中假命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解析】
【分析】
根据轴对称的定义和等腰三角形的性质，可判断①；根据线段垂直平分线的性质，可判断②；根据两点之间线段最短是一个公理，可判断③；根据三角形全等的判定条件，可判断④，由此即可选择．
【详解】
等腰三角形是轴对称图形，故①是真命题；
到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，故②是真命题；
两点之间线段最短，故③是真命题；
两边分别相等且其中一边的对角也相等的两个三角形不一定全等，故④为假命题．
故选A．
【点睛】
本题考查判断命题真假．掌握正确的命题就是真命题，错误的命题就是假命题是解答本题的关键．
2．（2022·四川朝天·八年级期末）如图，在等边三角形中，为边上的高，与的平分线交于点.已知的面积为2，则的面积为（ ）
A．18 B．12 C．9 D．6
【答案】B
【解析】
【分析】
在等边三角形中，为边上的高，可知，EC为的角平分线，可知，可知为等腰三角形，可知．在中，，所以，在和中，高相等，所以，所以．
【详解】
∵等边三角形中，是边上的高，
∴．
∵EC为的角平分线，
∴．
∴
∴为等腰三角形，
∴．
在中，，
∴，
在和中，高相等，
∴，
在等边三角形中，是边上的高，
∴是的垂直平分线（三线合一）
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】
本题考查了等边三角形三线合一的性质， 还需要记住角所对的直角边是斜边的一半，灵活的运用三角形面积公式，通过高和底的比确定面积的比例，最终轻松求解．
3．（2022·四川朝天·八年级期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE与边AB，AC分别交于点D，E.已知△ABC与△BCE的周长分别为16cm和10cm，则AD的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EB，根据三角形的周长公式计算即可．
【详解】
解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA=EB，AD=BD=AB，
∵△BCE的周长是10，
∴BC+BE+EC=10，即AC+BC=10，
∵△ABC的周长是16，
∴AB+AC+BC=16，
∴AB=16-10=6，
∴AD=AB=×6=3（cm）．
故选：A．
【点睛】
本题考查的是等腰三角形的定义，线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
4．（2022·贵州松桃·八年级期末）如图，△ABC是等边三角形，点E是AC的中点，过点E作EF⊥AB于点F，延长BC交EF的反向延长线于点D，若EF=1，则DF的长为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
【答案】C
【解析】
【分析】
由△ABC是等边三角形，点E是AC的中点，得∠ABC=60°，∠ABE=30°，根据EF⊥AB，得∠D=30°，得到BE=DE，在Rt△BEF中，求得BE=2EF=2，即可得答案．
【详解】
解：连接BE，
∵△ABC是等边三角形，点E是AC的中点，
∴∠ABC=60°，∠ABE=∠CBE=30°，
∵EF⊥AB，
∴∠D=90°-∠ABC=30°，即∠D=∠CBE=30°，
∴BE=DE，
在Rt△BEF中，EF=1，
∴BE=2EF=2，
∴BE=DE=2，
∴DF=EF+DE=3，
故选：C．
【点睛】
本题考查等边三角形的性质及应用，解题的关键是证明BE=DE，从而用含30度角的直角三角形的性质解决问题．
5．（2021·福建石狮·八年级期末）已知点O在直线AB上，点P在直线AB外，以OP为一边作等腰三角形POM，使第三个顶点M在直线AB上，则点M的个数为（　　）
A．2 B．2或4 C．3或4 D．2或3或4
【答案】B
【解析】
【分析】
利用图象法分三种情形：当且时；当时；当时；根据等腰三角形的判定及性质作出相应图形求解即可．
【详解】
解：如图1中，当且时，满足条件的点M有4个；
如图2中，当时，满足条件的点M有2个，此时点，，三个点重合；
如图3中，当时，满足条件的点M有2个．
故选：B．
【点睛】
题目主要考查等腰三角形的判定和性质及分类讨论思想，熟练掌握等腰三角形的判定和性质及分类讨论思想是解题关键．
6．（2022·浙江缙云·八年级期末）如图，点P，D分别是∠ABC边BA，BC上的点，且，．连结PD，以PD为边，在PD的右侧作等边△DPE，连结BE，则△BDE的面积为（ ）
A． B．2 C．4 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
要求的面积，想到过点作，垂足为，因为题目已知，想到把放在直角三角形中，所以过点作，垂足为，利用勾股定理求出的长，最后证明即可解答．
【详解】
解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，
在中，，，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
的面积，
，
，
故选：A．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，全等三角形、勾股定理，解题的关键是根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线．
7．（2022·黑龙江讷河·八年级期末）如图，，点在的内部，点，分别是点关于、的对称点，连接交、分别于点、；若的周长的为10，则线段（ ）．
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】C
【解析】
【分析】
连接，，根据对称性质得出是等边三角形，进而得出答案．
【详解】
解：连接，，
∵、分别是点关于直线、的对称点，
,,，，，
，
是等边三角形，
∵CD=CE+EF+DF=PE+EF+PF=10，
．
故选择：C．
【点睛】
本题依据轴对称的性质，等边三角形判定与性质，角的和差，线段和差，根据轴对称性质得出是等边三角形是解题关键．
8．（2022·重庆忠县·八年级期末）如图，已知，，点为的中点，于点，于点，连接、．张宇同学根据已知条件给出了以下几个结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】
【分析】
延长BG与CD的延长线相交于E点，证明△ABG≌△DEG，得AB=DE，由AB+CD=BC，得CE=BC，点G为BE的中点，得∠BCG=∠ECG，∠BGC=90°∠CBE=∠CEB，故③①④正确；由GM⊥CD于点M，GN⊥BC于点N，CG=CG，∠BCG=∠ECG，证△GMC≌△GNC，故②正确．
【详解】
解：如下图：延长BG与CD的延长线相交于E点，
∵AB∥CD，
∴∠ABE=∠BEC，
∵点G为AD的中点，
∴AG=GD，
在△ABG和△DEG中，
，
∴△ABG≌△DEG，
∴AB=DE，BG=GE，
∵AB+CD=BC，
∴DE+CD=BC，
∴CE=BC，
∴∠CBE=∠CEB，
又∵∠ABE=∠BEC，
∴∠CBE=∠ABE，
∴BG平分∠ABC，
∴③正确；
∵CE=BC，点G为BE的中点，
∴∠BCG=∠ECG，∠BGC=90°，
∴CG平分∠BCD，
∴①④正确；
∵GM⊥CD于点M，GN⊥BC于点N，
∴∠GMC=∠GNC=90°，
∵CG=CG，∠BCG=∠ECG，
∴△GMC≌△GNC，
∴GM=GN，
∴②正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形全等的判定与性质，做题的关键是证明△ABG≌△DEG．
二、填空题
9．（2022·浙江余姚·八年级期末）若等腰三角形的一个内角为，则其顶角的度数为__________．
【答案】或
【解析】
【分析】
根据题意，分的角为顶角和底角两种情况讨论，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和求解即可
【详解】
解：当的角为顶角时，其顶角的度数为；
当的角为底角时，其顶角的度数为
故答案为：或
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质以及三角形内角的性质，分情况讨论是解题的关键．
10．（2022·贵州松桃·八年级期末）如图，在等边三角形ABC中，的平分线与的平分线相交于D，过点D作交AB于E，交AC于F，，则BC的长为______．
【答案】6
【解析】
【分析】
先证明△AEF也是等边三角形，再求得EB=ED=DF=FC=2，即可求解．
【详解】
解：∵等边三角形ABC中，EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC=∠AFE=∠ACB=60°，
∴△AEF也是等边三角形，
∴AE=EF=FA，AB=AC=BC，
∴EB=FC，
∵∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于D，且EF∥BC，
∴∠EBD=∠DBC=∠EDB=∠FCD=∠FDC=∠DCB=30°，
∴EB=ED=DF=FC，
∵EF=4，
∴EB=ED=DF=FC=2，AE=EF=FA=4，
∴AB=AC=BC=AE+EB=6，
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质，进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．
11．（2022·江苏溧阳·八年级期末）已知△ABC中，AB=5， BC=8， BC边上的中线AD=3，则AC=__________________．
【答案】
【解析】
【分析】
先利用勾股定理的逆定理证明 再利用线段的垂直平分线的定义与性质可得答案.
【详解】
解：如图，BC=8， BC边上的中线AD=3，
故答案为：5
【点睛】
本题考查的是勾股定理分逆定理的应用，三角形的中线的定义，线段的垂直平分线的定义与性质，证明是解题的关键.
12．（2021·天津市武清区杨村第五中学八年级期中）如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，则PD=___．
【答案】2
【解析】
【分析】
过P点作PE⊥OB于E，如图，根据角平分线的性质得到PE=PD，再利用平行线的性质得到∠PCE=∠AOB=30°，接着根据含30度的直角三角形三边的关系得到PE=PC=2，从而得到PD的长．
【详解】
解：过P点作PE⊥OB于E，如图，
∵∠AOP=∠BOP=15°，
∴OP平分∠AOB，∠AOB=30°，
而PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PE=PD，
∵PC∥OA，
∴∠PCE=∠AOB=30°，
∴PE=PC=×4=2，
∴PD=2．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了含30度的直角三角形的性质和平行线的性质．
13．（2021·天津市武清区杨村第五中学八年级期中）已知等边△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点B'处，DB'、EB'分别交边AC于点F、G，若∠ADF＝76°，则∠GEC的度数为 ______．
【答案】44°##44度
【解析】
【分析】
由折叠的性质可得，∠BDE=∠B'DE，∠BED=∠DEB'，再由已知可求∠B=60°，∠BDB'=180°-76°=104°，则∠BDE=52°，∠DEB=∠DEB'=68°，则可求∠GEC=180°-68°-68°=44°．
【详解】
解：由折叠的性质可得，∠BDE=∠B'DE，∠BED=∠DEB'，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∵∠ADF=76°，
∴∠BDB'=180°-76°=104°，
∴∠BDE=52°，
∴∠DEB=180°-60°-52°=68°，
∴∠DEB'=68°，
∴∠GEC=180°-68°-68°=44°，
故答案为：44°．
【点睛】
本题考查了折叠的性质，熟练掌握折叠的性质、等边三角形的性质、三角形内角和定理是解题的关键．
14．（广东省中山市2021-2022学年八年级上学期期末数学试题）如图，，，AD是∠BAC内的一条射线，且，P为AD上一动点，则的最大值是______．
【答案】5
【解析】
【分析】
作点关于射线的对称点，连接、、B'P．则，，是等边三角形，在中，，当、、在同一直线上时，取最大值，即为5．所以的最大值是5．
【详解】
解：如图，
作点关于射线的对称点，连接、，B'P．
则，，，．
∵ ，
∴，
∴ 是等边三角形，
∴，
在中，，
当、、在同一直线上时，取最大值，即为5．
∴的最大值是5．
故答案为：5．
【点睛】
本题考查了线段之差的最小值问题，正确作出点B的对称点是解题的关键．
15．（2022·浙江余杭·八年级期末）如图，在中，，D为BC的中点，连接AD，E是AB上的一点，P是AD上一点，连接EP、BP，，，则的最小值是______．
【答案】
【解析】
【分析】
要求BP+EP的最小值，需考虑通过作辅助线转化EP，BP的值，从而找出其最小值求解．
【详解】
解：∵△ABC是等腰三角形，AD是BC边的中线，
∴AD垂直平分BC，
∴点D与点C关于AD对称，
连接CE交AD于P，则此时，BP+EP的值最小，且等于CE的长，
∵D为BC的中点，BC=12，
∴CD=×12＝6，
∴AD==8，
∵∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC=10，
∴CE=，
∴BP+EP的最小值为，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了轴对称-最短路线问题，等腰三角形的性质，利用等面积法建立等量关系是解题的关键．
16．（2022·河南淇县·八年级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E，在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，当△ADE是等腰三角形时，∠BDA的度数是__．
【答案】110°或80°##80°或110°
【解析】
【分析】
分为三种情况：①当AD＝AE时，∠ADE＝∠AED＝40°，根据∠AED＞∠C，得出此时不符合；②当DA＝DE时，求出∠DAE＝∠DEA＝70°，求出∠BAC，根据三角形的内角和定理求出∠BAD，根据三角形的内角和定理求出∠BDA即可；③当EA＝ED时，求出∠DAC，求出∠BAD，根据三角形的内角和定理求出∠ADB．
【详解】
解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝40°，
①当AD＝AE时，∠ADE＝∠AED＝40°，
∵∠AED＞∠C，
∴此时不符合；
②当DA＝DE时，即∠DAE＝∠DEA＝ （180°﹣40°）＝70°，
∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠BAD＝100°﹣70°＝30°；
∴∠BDA＝180°﹣30°﹣40°＝110°；
③当EA＝ED时，∠ADE＝∠DAE＝40°，
∴∠BAD＝100°﹣40°＝60°，
∴∠BDA＝180°﹣60°﹣40°＝80°；
∴当△ADE是等腰三角形时，∠BDA的度数是110°或80°，
故答案为：110°或80°．
【点睛】
此题主要考查了等腰三角形的性质，全三角形外角的性质等知识点的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，综合性较强，但难度不大，属于基础题．
17．（2022·四川省成都市七中育才学校八年级期末）如图，已知等边三角形中，，等腰Rt中，，延长、交于点，连接，则________．
【答案】##
【解析】
【分析】
作CH⊥BE，根据已知条件求出CH，DH，利用勾股定理即可求出CD的长．
【详解】
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=BC=2，∠BAC=60°
∵是等腰Rt△
∴AB=BD=2
∵，
∴∠E=30°，
∴AE=2AB=4，BE=
∴C点AE的中点
∴CE=2
如图，作CH⊥BE
∴CH=，
∵BC=CE=2
∴BH=
∴DH=BD-BH=2-
∴CD=
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查三角形内长度求解，解题的关键是熟知等边三角形的性质、等腰直角三角形、勾股定理及二次根式的运算．
18．（2022·江苏崇川·八年级期末）如图，在中，，D，E是内的两点，AE平分，，若BD=6cm，DE=4cm，则BC的长是______cm．
【答案】10
【解析】
【分析】
作出辅助线后根据等边三角形的判定得出△BDM为等边三角形，△EFD为等边三角形，从而得出BN的长，进而求出答案．
【详解】
解：延长DE交BC于M，延长AE交BC于N，
∵AB=AC，AE平分∠BAC，
∴AN⊥BC，BN=CN，
∵∠DBC=∠D=60°，
∴△BDM为等边三角形，
∴BD=DM=BM=6，
∵DE=4，
∴EM=6-4=2，
∵△BDM为等边三角形，
∴∠DMB=60°，
∵AN⊥BC，
∴∠ENM=90°，
∴∠NEM=30°，
∴NM==1，
∴BN=6-1=5，
∴BC=2BN=10（cm），
故答案为10．
【点睛】
此题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，以及含30°角的直角三角形的性质，能求出MN的长是解决问题的关键．
三、解答题
19．（2022·贵州松桃·八年级期末）如图，在中，，AB边的垂直平分线分别交AB于点E，交AC于点F，点D在EF上，且，G是AC的中点，连接DG．
(1)求证：；
(2)判断是否是等边三角形，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)是等边三角形，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）连接AD，先证明是等腰三角形，再根据三线合一即可证明；
（2）先求得，再得到，故可得到，即可证明．
(1)
解：连接AD，
∵EF是AB的垂直平分线，点D在EF上，
∴．
又∵，
∴，
∴是等腰三角形．
∵G是AC的中点，
∴．
(2)
是等边三角形，理由如下：
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形．
【点睛】
此题主要考查等腰三角形与等边三角形的判定与性质，解题的关键是熟知垂直平分线的性质、等腰三角形的性质定理．
20．（2022·吉林市第五中学八年级期末）如图，在△ABC中，∠B=75°，∠C=35°．AE⊥BC于点E，AD平分∠BAC．
(1)求证：AD＝CD；
(2)求∠EAD的度数．
【答案】(1)见解析
(2)∠EAD=20°．
【解析】
【分析】
（1）由三角形内角和定理求出∠BAC=70°，证出∠C=∠DAC，则可得出结论；
（2）由三角形外角的性质求出∠ADE，则可求出答案．
(1)
证明：∵∠B=75°，∠C=35°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=70°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC=∠BAC=35°，
∴∠C=∠DAC，
∴AD=CD；
(2)
解：∵∠DAC=∠C=35°，
∴∠ADE=∠DAC+∠C=70°，
∵AE⊥BC，
∴∠AED=90°，
∴∠EAD=90°-∠AED=20°．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．
21．（2022·山东·海曲中学八年级期末）如图，点C在线段AB上，ADEB，AC＝BE，AD＝BC，CF⊥DE于点F．
(1)求证：△ACD≌△BEC；
(2)若∠DCE＝120°，求∠CDE的度数，
(3)求证：CF平分∠DCE．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)见解析
【解析】
【分析】
（1）根据平行线性质求出∠A＝∠B，根据SAS推出△ACD≌△BEC；
（2）根据全等三角形性质推出，根据等腰三角形性质即可证明CF平分∠DCE，进而根据直角三角形两个锐角互余即可求得的度数；
（3）根据全等三角形性质推出CD＝CE，根据等腰三角形性质即可证明CF平分∠DCE．
(1)
∵ADBE，
∴∠A＝∠B，
在△ACD和△BEC中，
∵，
∴△ACD≌△BEC（SAS），
(2)
如图，
△ACD≌△BEC
,
(3)
∵△ACD≌△BEC，
∴CD＝CE，
又∵CF⊥DE，
∴CF平分∠DCE．
【点睛】
本题主要考查三角形的判定定理和性质定理以及等腰三角形的性质定理，掌握SAS判定三角形全等是解题的关键．
22．（2022·江苏·无锡市江南中学八年级期末）（1）问题情境：如图1，，平分，把三角尺的直角顶点落在的任意一点上，并使三角尺的两条直角边分别与、相交于点、，与相等吗？请你给出证明；
（2）变式拓展：如图2，已知，平分，是上一点，，边与边相交于点，边与射线的反向延长线相交于点．试解决下列问题：
①与还相等吗？为什么？
②试判断、、三条线段之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）相等，见解析；（2）①，见解析；②，见解析
【解析】
【分析】
（1）过点作于，于．根据角平分线的性质定理可得，，从而证得，即可求证；
（2）①过点作于，于．根据角平分线的性质定理可得，，从而证得，即可求解；
②先证得，可得，再由，可得，从而得到，再由直角三角形的性质，即可求解．
【详解】
（1）证明：如图1，过点作于，于．
∵平分，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①结论：．理由如下：
如图2，过点作于，于．
∵平分，，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②结论：．理由如下：
∵， ，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，角平分线的性质，熟练掌握角平分上的点到角两边的距离相等；直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
23．（2022·浙江余杭·八年级期末）如图，在中，，BE平分，AD为BC边上的高，且．
(1)求证：
(2)试判断线段AB与BD，DH之间有何数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)AB=BD+CD，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）由等腰三角形的性质可得∠ABE=∠CBE，AE=EC，BE⊥AC，由余角的性质可得结论；
（2）由“AAS”可证△ADC≌△BDH，可得DH=DC，即可得结论．
【小题1】
解：证明：∵AB=BC，BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，AE=EC，BE⊥AC，
∴∠BEC=∠ADC=90°，
∴∠C+∠DAC=∠C+∠EBC=90°，
∴∠EBC=∠DAC，
∴∠ABE=∠DAC；
【小题2】
AB=BD+CD，理由如下：
在△ADC和△BDH中，
，
∴△ADC≌△BDH（AAS），
∴DH=DC，
∴BD+DH=DB+DC=BC=AB．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明三角形的全等是解题的关键．
24．（2022·贵州松桃·八年级期末）在等边三角形ABC中，点D是BC的中点，，的两边分别交直线AB，AC于点E，F．
(1)问题发现：如图①，当点E，F分别在线段AB，AC上，且，时，请直接写出线段DE与DF的数量关系：______；
(2)类比探究：如图②，当点E落在线段AB上，点F落在射线AC上时，（1）中的结论是否仍然成立？请结合图②说明理由：
(3)拓展应用：如图③，当点E落在射线BA上，点F落在射线AC上时，若，，请求出AB．
【答案】(1)
(2)结论成立，理由见解析
(3)
【解析】
【分析】
（1）如图所示：连接AD，根据等边三角形三线合一的性质及角平分线的性质即可得；
（2）过点D分别作于G点，于H点，根据等边三角形的性质及中点的性质，利用全等三角形的判定及性质得出，，再由各角之间的数量关系得出，利用全等三角形的判定和性质即可证明；
（3）过D作交AB于M点，根据平行线及等边三角形的性质可得，结合图形，利用各角之间的数量关系可得，根据全等三角形的判定和性质得出，，设，则，结合图形，利用线段间的数量关系即可得出结果．
(1)
（1）；
如图所示：连接AD，
∵为等边三角形，且点D是BC的中点，
∴AD平分，
∵，，
∴，
故答案为：；
(2)
结论成立．．
理由：如图所示，过点D分别作于G点，于H点，
∵是等边三角形，
∴，
∵于G点，于H，
∴，，
∵点D是BC的中点，
∴，
在与中，
，
∴
∴，
∴，，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴；
(3)
如图，过D作交AB于M点，
∵，是等边三角形，
∴，
∴，，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
设，则，
∵，，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
题目主要考查等边三角形三线合一的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
25．（2022·江苏锡山·八年级期末）已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点．
(1)求∠DOE的度数；
(2)试判断△MNC的形状，并说明理由；
(3)连接OC，求证：OC是∠AOE的平分线．
【答案】(1)∠DOE的度数是60°
(2)△MNC是等边三角形，理由见解析
(3)见解析
【解析】
【分析】
（1）根据等边三角形的性质及角的和差关系可得∠ACD＝∠BCE，利用SAS可证明△ACD≌△BCE，可得AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，利用角的和差关系及外角性质可得∠AOE=120°，根据平角定义即可得答案；
（2）根据全等三角形的性质可得∠CAD＝∠CBE，AD＝BE，AC＝BC，根据中点的定义可得AM＝BN，利用SAS可证明△ACM≌△BCN，可得CM＝CN，∠ACM＝∠BCN，利用角的和差关系可得∠MCN＝60°，即可证明△MNC是等边三角形；
（3）连接OC，过C作CG⊥AD，垂足为G；过C作CH⊥BE ，垂足为H，根据全等三角形的性质可得AD＝BE，S△ACD=S△BCE，即可得出CG＝CH，根据角平分线的判定定理即可得出结论．
(1)
∵△ABC、△CDE都是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB＋∠BCD＝∠DCE＋∠BCD，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，
∵等边三角形DCE，
∴∠CED＝∠CDE＝60°，
∴∠ADE＋∠BED＝∠ADC＋∠CDE＋∠BED，
＝∠BEC＋60°＋∠BED，
＝∠CED＋60°，
＝60°＋60°，
＝120°，
∴∠AOE=120°，
∴∠DOE＝180°-∠AOE=60°．
(2)
△MNC是等边三角形，理由如下：
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，AD＝BE，AC＝BC
∵点M、N分别是线段AD、BE的中点，
∴AM＝AD，BN＝BE，
∴AM＝BN，
在△ACM和△BCN中，，
∴△ACM≌△BCN，
∴CM＝CN，∠ACM＝∠BCN，
∵∠ACB＝60°，
∴∠ACM＋∠MCB＝∠BCN+∠MCB=∠ACB=60°，
∴∠MCN＝60°，
∴△MNC是等边三角形．
(3)
连接OC，过C作CG⊥AD，垂足为G；过C作CH⊥BE ，垂足为H．
∵△ACD≌△BCE，
∴AD＝BE，S△ACD=S△BCE，
∴，
∴CG＝CH，
∵CG⊥AD，CH⊥BE，
∴OC是∠AOE的平分线．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定、三角形外角性质及角平分线的判定定理，能够熟练掌握等边三角形的性质与判定条件是解题关键．
26．（2021·北京广渠门中学教育集团七年级期中）如图，直线CD与直线AB相交于C．根据下列语句画图并测量和计算．
(1)过点P作PM⊥AB，垂足为M，PN⊥CD，垂足为N，并测量点P到CD的距离（精确到0.1cm）为　　；
(2)过点N作NQ∥AB；
(3)若∠ACD＝50°，计算∠MPN的度数为　　°．
【答案】(1)图见解析，垂线段PM，PN即为所求，1.5cm；
(2)图见解析，直线NQ即为所求；
(3)50
【解析】
【分析】
（1）根据垂线段的定义画出图形即可；
（2）根据平行线的定义画出图形即可；
（3）利用对顶角相等和直角三角形的两锐角互余求解即可．
(1)
解：如图，垂线段PM，PN即为所求．
通过测量得点P到CD的距离为1.5cm；
故答案为：1.5cm；
(2)
解：如图，直线NQ即为所求；
(3)
解：∵PM⊥AB，垂足为M，PN⊥CD，
∴∠CNE＝∠PME＝90°
∵∠ACD＝∠ECN＝50°，
∴∠CEN＝∠PEM＝90°﹣50°＝40°，
∴∠MPN＝90°﹣40°＝50°．
故答案为：50．
【点睛】
本题考查垂线段、平行线、对顶角相等、直角三角形的两锐角互余，熟练掌握直角三角形的两锐角互余是解答的关键．
八年级数学下册单元练习题（原卷版）
第一章 三角形的证明
一、单选题
1．（2022·湖南南县·八年级期末）下列命题：①等腰三角形是轴对称图形；②到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；③两点之间线段最短；④两边分别相等且其中一边的对角也相等的两个三角形全等．其中假命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2022·四川朝天·八年级期末）如图，在等边三角形中，为边上的高，与的平分线交于点.已知的面积为2，则的面积为（ ）
A．18 B．12 C．9 D．6
3．（2022·四川朝天·八年级期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE与边AB，AC分别交于点D，E.已知△ABC与△BCE的周长分别为16cm和10cm，则AD的长为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·贵州松桃·八年级期末）如图，△ABC是等边三角形，点E是AC的中点，过点E作EF⊥AB于点F，延长BC交EF的反向延长线于点D，若EF=1，则DF的长为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
5．（2021·福建石狮·八年级期末）已知点O在直线AB上，点P在直线AB外，以OP为一边作等腰三角形POM，使第三个顶点M在直线AB上，则点M的个数为（　　）
A．2 B．2或4 C．3或4 D．2或3或4
6．（2022·浙江缙云·八年级期末）如图，点P，D分别是∠ABC边BA，BC上的点，且，．连结PD，以PD为边，在PD的右侧作等边△DPE，连结BE，则△BDE的面积为（ ）
A． B．2 C．4 D．
7．（2022·黑龙江讷河·八年级期末）如图，，点在的内部，点，分别是点关于、的对称点，连接交、分别于点、；若的周长的为10，则线段（ ）．
A．8 B．9 C．10 D．11
8．（2022·重庆忠县·八年级期末）如图，已知，，点为的中点，于点，于点，连接、．张宇同学根据已知条件给出了以下几个结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．（2022·浙江余姚·八年级期末）若等腰三角形的一个内角为，则其顶角的度数为__________．
10．（2022·贵州松桃·八年级期末）如图，在等边三角形ABC中，的平分线与的平分线相交于D，过点D作交AB于E，交AC于F，，则BC的长为______．
11．（2022·江苏溧阳·八年级期末）已知△ABC中，AB=5， BC=8， BC边上的中线AD=3，则AC=__________________．
12．（2021·天津市武清区杨村第五中学八年级期中）如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，则PD=___．
13．（2021·天津市武清区杨村第五中学八年级期中）已知等边△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点B'处，DB'、EB'分别交边AC于点F、G，若∠ADF＝76°，则∠GEC的度数为 ______．
14．（广东省中山市2021-2022学年八年级上学期期末数学试题）如图，，，AD是∠BAC内的一条射线，且，P为AD上一动点，则的最大值是______．
15．（2022·浙江余杭·八年级期末）如图，在中，，D为BC的中点，连接AD，E是AB上的一点，P是AD上一点，连接EP、BP，，，则的最小值是______．
16．（2022·河南淇县·八年级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E，在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，当△ADE是等腰三角形时，∠BDA的度数是__．
17．（2022·四川省成都市七中育才学校八年级期末）如图，已知等边三角形中，，等腰Rt中，，延长、交于点，连接，则________．
18．（2022·江苏崇川·八年级期末）如图，在中，，D，E是内的两点，AE平分，，若BD=6cm，DE=4cm，则BC的长是______cm．
三、解答题
19．（2022·贵州松桃·八年级期末）如图，在中，，AB边的垂直平分线分别交AB于点E，交AC于点F，点D在EF上，且，G是AC的中点，连接DG．
(1)求证：；
(2)判断是否是等边三角形，并说明理由．
21．（2022·山东·海曲中学八年级期末）如图，点C在线段AB上，ADEB，AC＝BE，AD＝BC，CF⊥DE于点F．
(1)求证：△ACD≌△BEC；
(2)若∠DCE＝120°，求∠CDE的度数，
(3)求证：CF平分∠DCE．
22．（2022·江苏·无锡市江南中学八年级期末）（1）问题情境：如图1，，平分，把三角尺的直角顶点落在的任意一点上，并使三角尺的两条直角边分别与、相交于点、，与相等吗？请你给出证明；
（2）变式拓展：如图2，已知，平分，是上一点，，边与边相交于点，边与射线的反向延长线相交于点．试解决下列问题：
①与还相等吗？为什么？
②试判断、、三条线段之间的数量关系，并说明理由．
23．（2022·浙江余杭·八年级期末）如图，在中，，BE平分，AD为BC边上的高，且．
(1)求证：
(2)试判断线段AB与BD，DH之间有何数量关系，并说明理由．
24．（2022·贵州松桃·八年级期末）在等边三角形ABC中，点D是BC的中点，，的两边分别交直线AB，AC于点E，F．
(1)问题发现：如图①，当点E，F分别在线段AB，AC上，且，时，请直接写出线段DE与DF的数量关系：______；
(2)类比探究：如图②，当点E落在线段AB上，点F落在射线AC上时，（1）中的结论是否仍然成立？请结合图②说明理由：
(3)拓展应用：如图③，当点E落在射线BA上，点F落在射线AC上时，若，，请求出AB．
25．（2022·江苏锡山·八年级期末）已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点．
(1)求∠DOE的度数；
(2)试判断△MNC的形状，并说明理由；
(3)连接OC，求证：OC是∠AOE的平分线．
26．（2021·北京广渠门中学教育集团七年级期中）如图，直线CD与直线AB相交于C．根据下列语句画图并测量和计算．
(1)过点P作PM⊥AB，垂足为M，PN⊥CD，垂足为N，并测量点P到CD的距离（精确到0.1cm）为　　；
(2)过点N作NQ∥AB；
(3)若∠ACD＝50°，计算∠MPN的度数为　　°．
八年级数学下册单元练习题（解析版）
一、单选题
1．（2022·湖南南县·八年级期末）下列命题：①等腰三角形是轴对称图形；②到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；③两点之间线段最短；④两边分别相等且其中一边的对角也相等的两个三角形全等．其中假命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解析】
【分析】
根据轴对称的定义和等腰三角形的性质，可判断①；根据线段垂直平分线的性质，可判断②；根据两点之间线段最短是一个公理，可判断③；根据三角形全等的判定条件，可判断④，由此即可选择．
【详解】
等腰三角形是轴对称图形，故①是真命题；
到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，故②是真命题；
两点之间线段最短，故③是真命题；
两边分别相等且其中一边的对角也相等的两个三角形不一定全等，故④为假命题．
故选A．
【点睛】
本题考查判断命题真假．掌握正确的命题就是真命题，错误的命题就是假命题是解答本题的关键．
2．（2022·四川朝天·八年级期末）如图，在等边三角形中，为边上的高，与的平分线交于点.已知的面积为2，则的面积为（ ）
A．18 B．12 C．9 D．6
【答案】B
【解析】
【分析】
在等边三角形中，为边上的高，可知，EC为的角平分线，可知，可知为等腰三角形，可知．在中，，所以，在和中，高相等，所以，所以．
【详解】
∵等边三角形中，是边上的高，
∴．
∵EC为的角平分线，
∴．
∴
∴为等腰三角形，
∴．
在中，，
∴，
在和中，高相等，
∴，
在等边三角形中，是边上的高，
∴是的垂直平分线（三线合一）
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】
本题考查了等边三角形三线合一的性质， 还需要记住角所对的直角边是斜边的一半，灵活的运用三角形面积公式，通过高和底的比确定面积的比例，最终轻松求解．
3．（2022·四川朝天·八年级期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE与边AB，AC分别交于点D，E.已知△ABC与△BCE的周长分别为16cm和10cm，则AD的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EB，根据三角形的周长公式计算即可．
【详解】
解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA=EB，AD=BD=AB，
∵△BCE的周长是10，
∴BC+BE+EC=10，即AC+BC=10，
∵△ABC的周长是16，
∴AB+AC+BC=16，
∴AB=16-10=6，
∴AD=AB=×6=3（cm）．
故选：A．
【点睛】
本题考查的是等腰三角形的定义，线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
4．（2022·贵州松桃·八年级期末）如图，△ABC是等边三角形，点E是AC的中点，过点E作EF⊥AB于点F，延长BC交EF的反向延长线于点D，若EF=1，则DF的长为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
【答案】C
【解析】
【分析】
由△ABC是等边三角形，点E是AC的中点，得∠ABC=60°，∠ABE=30°，根据EF⊥AB，得∠D=30°，得到BE=DE，在Rt△BEF中，求得BE=2EF=2，即可得答案．
【详解】
解：连接BE，
∵△ABC是等边三角形，点E是AC的中点，
∴∠ABC=60°，∠ABE=∠CBE=30°，
∵EF⊥AB，
∴∠D=90°-∠ABC=30°，即∠D=∠CBE=30°，
∴BE=DE，
在Rt△BEF中，EF=1，
∴BE=2EF=2，
∴BE=DE=2，
∴DF=EF+DE=3，
故选：C．
【点睛】
本题考查等边三角形的性质及应用，解题的关键是证明BE=DE，从而用含30度角的直角三角形的性质解决问题．
5．（2021·福建石狮·八年级期末）已知点O在直线AB上，点P在直线AB外，以OP为一边作等腰三角形POM，使第三个顶点M在直线AB上，则点M的个数为（　　）
A．2 B．2或4 C．3或4 D．2或3或4
【答案】B
【解析】
【分析】
利用图象法分三种情形：当且时；当时；当时；根据等腰三角形的判定及性质作出相应图形求解即可．
【详解】
解：如图1中，当且时，满足条件的点M有4个；
如图2中，当时，满足条件的点M有2个，此时点，，三个点重合；
如图3中，当时，满足条件的点M有2个．
故选：B．
【点睛】
题目主要考查等腰三角形的判定和性质及分类讨论思想，熟练掌握等腰三角形的判定和性质及分类讨论思想是解题关键．
6．（2022·浙江缙云·八年级期末）如图，点P，D分别是∠ABC边BA，BC上的点，且，．连结PD，以PD为边，在PD的右侧作等边△DPE，连结BE，则△BDE的面积为（ ）
A． B．2 C．4 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
要求的面积，想到过点作，垂足为，因为题目已知，想到把放在直角三角形中，所以过点作，垂足为，利用勾股定理求出的长，最后证明即可解答．
【详解】
解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，
在中，，，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
的面积，
，
，
故选：A．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，全等三角形、勾股定理，解题的关键是根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线．
7．（2022·黑龙江讷河·八年级期末）如图，，点在的内部，点，分别是点关于、的对称点，连接交、分别于点、；若的周长的为10，则线段（ ）．
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】C
【解析】
【分析】
连接，，根据对称性质得出是等边三角形，进而得出答案．
【详解】
解：连接，，
∵、分别是点关于直线、的对称点，
,,，，，
，
是等边三角形，
∵CD=CE+EF+DF=PE+EF+PF=10，
．
故选择：C．
【点睛】
本题依据轴对称的性质，等边三角形判定与性质，角的和差，线段和差，根据轴对称性质得出是等边三角形是解题关键．
8．（2022·重庆忠县·八年级期末）如图，已知，，点为的中点，于点，于点，连接、．张宇同学根据已知条件给出了以下几个结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】
【分析】
延长BG与CD的延长线相交于E点，证明△ABG≌△DEG，得AB=DE，由AB+CD=BC，得CE=BC，点G为BE的中点，得∠BCG=∠ECG，∠BGC=90°∠CBE=∠CEB，故③①④正确；由GM⊥CD于点M，GN⊥BC于点N，CG=CG，∠BCG=∠ECG，证△GMC≌△GNC，故②正确．
【详解】
解：如下图：延长BG与CD的延长线相交于E点，
∵AB∥CD，
∴∠ABE=∠BEC，
∵点G为AD的中点，
∴AG=GD，
在△ABG和△DEG中，
，
∴△ABG≌△DEG，
∴AB=DE，BG=GE，
∵AB+CD=BC，
∴DE+CD=BC，
∴CE=BC，
∴∠CBE=∠CEB，
又∵∠ABE=∠BEC，
∴∠CBE=∠ABE，
∴BG平分∠ABC，
∴③正确；
∵CE=BC，点G为BE的中点，
∴∠BCG=∠ECG，∠BGC=90°，
∴CG平分∠BCD，
∴①④正确；
∵GM⊥CD于点M，GN⊥BC于点N，
∴∠GMC=∠GNC=90°，
∵CG=CG，∠BCG=∠ECG，
∴△GMC≌△GNC，
∴GM=GN，
∴②正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形全等的判定与性质，做题的关键是证明△ABG≌△DEG．
二、填空题
9．（2022·浙江余姚·八年级期末）若等腰三角形的一个内角为，则其顶角的度数为__________．
【答案】或
【解析】
【分析】
根据题意，分的角为顶角和底角两种情况讨论，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和求解即可
【详解】
解：当的角为顶角时，其顶角的度数为；
当的角为底角时，其顶角的度数为
故答案为：或
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质以及三角形内角的性质，分情况讨论是解题的关键．
10．（2022·贵州松桃·八年级期末）如图，在等边三角形ABC中，的平分线与的平分线相交于D，过点D作交AB于E，交AC于F，，则BC的长为______．
【答案】6
【解析】
【分析】
先证明△AEF也是等边三角形，再求得EB=ED=DF=FC=2，即可求解．
【详解】
解：∵等边三角形ABC中，EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC=∠AFE=∠ACB=60°，
∴△AEF也是等边三角形，
∴AE=EF=FA，AB=AC=BC，
∴EB=FC，
∵∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于D，且EF∥BC，
∴∠EBD=∠DBC=∠EDB=∠FCD=∠FDC=∠DCB=30°，
∴EB=ED=DF=FC，
∵EF=4，
∴EB=ED=DF=FC=2，AE=EF=FA=4，
∴AB=AC=BC=AE+EB=6，
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质，进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．
11．（2022·江苏溧阳·八年级期末）已知△ABC中，AB=5， BC=8， BC边上的中线AD=3，则AC=__________________．
【答案】
【解析】
【分析】
先利用勾股定理的逆定理证明 再利用线段的垂直平分线的定义与性质可得答案.
【详解】
解：如图，BC=8， BC边上的中线AD=3，
故答案为：5
【点睛】
本题考查的是勾股定理分逆定理的应用，三角形的中线的定义，线段的垂直平分线的定义与性质，证明是解题的关键.
12．（2021·天津市武清区杨村第五中学八年级期中）如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，则PD=___．
【答案】2
【解析】
【分析】
过P点作PE⊥OB于E，如图，根据角平分线的性质得到PE=PD，再利用平行线的性质得到∠PCE=∠AOB=30°，接着根据含30度的直角三角形三边的关系得到PE=PC=2，从而得到PD的长．
【详解】
解：过P点作PE⊥OB于E，如图，
∵∠AOP=∠BOP=15°，
∴OP平分∠AOB，∠AOB=30°，
而PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PE=PD，
∵PC∥OA，
∴∠PCE=∠AOB=30°，
∴PE=PC=×4=2，
∴PD=2．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了含30度的直角三角形的性质和平行线的性质．
13．（2021·天津市武清区杨村第五中学八年级期中）已知等边△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点B'处，DB'、EB'分别交边AC于点F、G，若∠ADF＝76°，则∠GEC的度数为 ______．
【答案】44°##44度
【解析】
【分析】
由折叠的性质可得，∠BDE=∠B'DE，∠BED=∠DEB'，再由已知可求∠B=60°，∠BDB'=180°-76°=104°，则∠BDE=52°，∠DEB=∠DEB'=68°，则可求∠GEC=180°-68°-68°=44°．
【详解】
解：由折叠的性质可得，∠BDE=∠B'DE，∠BED=∠DEB'，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∵∠ADF=76°，
∴∠BDB'=180°-76°=104°，
∴∠BDE=52°，
∴∠DEB=180°-60°-52°=68°，
∴∠DEB'=68°，
∴∠GEC=180°-68°-68°=44°，
故答案为：44°．
【点睛】
本题考查了折叠的性质，熟练掌握折叠的性质、等边三角形的性质、三角形内角和定理是解题的关键．
14．（广东省中山市2021-2022学年八年级上学期期末数学试题）如图，，，AD是∠BAC内的一条射线，且，P为AD上一动点，则的最大值是______．
【答案】5
【解析】
【分析】
作点关于射线的对称点，连接、、B'P．则，，是等边三角形，在中，，当、、在同一直线上时，取最大值，即为5．所以的最大值是5．
【详解】
解：如图，
作点关于射线的对称点，连接、，B'P．
则，，，．
∵ ，
∴，
∴ 是等边三角形，
∴，
在中，，
当、、在同一直线上时，取最大值，即为5．
∴的最大值是5．
故答案为：5．
【点睛】
本题考查了线段之差的最小值问题，正确作出点B的对称点是解题的关键．
15．（2022·浙江余杭·八年级期末）如图，在中，，D为BC的中点，连接AD，E是AB上的一点，P是AD上一点，连接EP、BP，，，则的最小值是______．
【答案】
【解析】
【分析】
要求BP+EP的最小值，需考虑通过作辅助线转化EP，BP的值，从而找出其最小值求解．
【详解】
解：∵△ABC是等腰三角形，AD是BC边的中线，
∴AD垂直平分BC，
∴点D与点C关于AD对称，
连接CE交AD于P，则此时，BP+EP的值最小，且等于CE的长，
∵D为BC的中点，BC=12，
∴CD=×12＝6，
∴AD==8，
∵∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC=10，
∴CE=，
∴BP+EP的最小值为，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了轴对称-最短路线问题，等腰三角形的性质，利用等面积法建立等量关系是解题的关键．
16．（2022·河南淇县·八年级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E，在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，当△ADE是等腰三角形时，∠BDA的度数是__．
【答案】110°或80°##80°或110°
【解析】
【分析】
分为三种情况：①当AD＝AE时，∠ADE＝∠AED＝40°，根据∠AED＞∠C，得出此时不符合；②当DA＝DE时，求出∠DAE＝∠DEA＝70°，求出∠BAC，根据三角形的内角和定理求出∠BAD，根据三角形的内角和定理求出∠BDA即可；③当EA＝ED时，求出∠DAC，求出∠BAD，根据三角形的内角和定理求出∠ADB．
【详解】
解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝40°，
①当AD＝AE时，∠ADE＝∠AED＝40°，
∵∠AED＞∠C，
∴此时不符合；
②当DA＝DE时，即∠DAE＝∠DEA＝ （180°﹣40°）＝70°，
∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠BAD＝100°﹣70°＝30°；
∴∠BDA＝180°﹣30°﹣40°＝110°；
③当EA＝ED时，∠ADE＝∠DAE＝40°，
∴∠BAD＝100°﹣40°＝60°，
∴∠BDA＝180°﹣60°﹣40°＝80°；
∴当△ADE是等腰三角形时，∠BDA的度数是110°或80°，
故答案为：110°或80°．
【点睛】
此题主要考查了等腰三角形的性质，全三角形外角的性质等知识点的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，综合性较强，但难度不大，属于基础题．
17．（2022·四川省成都市七中育才学校八年级期末）如图，已知等边三角形中，，等腰Rt中，，延长、交于点，连接，则________．
【答案】##
【解析】
【分析】
作CH⊥BE，根据已知条件求出CH，DH，利用勾股定理即可求出CD的长．
【详解】
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=BC=2，∠BAC=60°
∵是等腰Rt△
∴AB=BD=2
∵，
∴∠E=30°，
∴AE=2AB=4，BE=
∴C点AE的中点
∴CE=2
如图，作CH⊥BE
∴CH=，
∵BC=CE=2
∴BH=
∴DH=BD-BH=2-
∴CD=
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查三角形内长度求解，解题的关键是熟知等边三角形的性质、等腰直角三角形、勾股定理及二次根式的运算．
18．（2022·江苏崇川·八年级期末）如图，在中，，D，E是内的两点，AE平分，，若BD=6cm，DE=4cm，则BC的长是______cm．
【答案】10
【解析】
【分析】
作出辅助线后根据等边三角形的判定得出△BDM为等边三角形，△EFD为等边三角形，从而得出BN的长，进而求出答案．
【详解】
解：延长DE交BC于M，延长AE交BC于N，
∵AB=AC，AE平分∠BAC，
∴AN⊥BC，BN=CN，
∵∠DBC=∠D=60°，
∴△BDM为等边三角形，
∴BD=DM=BM=6，
∵DE=4，
∴EM=6-4=2，
∵△BDM为等边三角形，
∴∠DMB=60°，
∵AN⊥BC，
∴∠ENM=90°，
∴∠NEM=30°，
∴NM==1，
∴BN=6-1=5，
∴BC=2BN=10（cm），
故答案为10．
【点睛】
此题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，以及含30°角的直角三角形的性质，能求出MN的长是解决问题的关键．
三、解答题
19．（2022·贵州松桃·八年级期末）如图，在中，，AB边的垂直平分线分别交AB于点E，交AC于点F，点D在EF上，且，G是AC的中点，连接DG．
(1)求证：；
(2)判断是否是等边三角形，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)是等边三角形，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）连接AD，先证明是等腰三角形，再根据三线合一即可证明；
（2）先求得，再得到，故可得到，即可证明．
(1)
解：连接AD，
∵EF是AB的垂直平分线，点D在EF上，
∴．
又∵，
∴，
∴是等腰三角形．
∵G是AC的中点，
∴．
(2)
是等边三角形，理由如下：
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形．
【点睛】
此题主要考查等腰三角形与等边三角形的判定与性质，解题的关键是熟知垂直平分线的性质、等腰三角形的性质定理．
20．（2022·吉林市第五中学八年级期末）如图，在△ABC中，∠B=75°，∠C=35°．AE⊥BC于点E，AD平分∠BAC．
(1)求证：AD＝CD；
(2)求∠EAD的度数．
【答案】(1)见解析
(2)∠EAD=20°．
【解析】
【分析】
（1）由三角形内角和定理求出∠BAC=70°，证出∠C=∠DAC，则可得出结论；
（2）由三角形外角的性质求出∠ADE，则可求出答案．
(1)
证明：∵∠B=75°，∠C=35°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=70°，
∵AD平