第5单元 数学广角 “鸽巢问题”的应用 教案

2　“鸽巢问题”的应用
“鸽巢原理”的变式很多,在生活中运用广泛,学生在生活中常常遇到此类问题。教学时,要引导学生先判断某个问题是否属于“鸽巢原理”可以解决的范畴。能不能将这个问题同“鸽巢原理”结合起来是本次教学能否成功的关键。所以在教学中,应有意识地让学生理解“鸽巢原理”的“一般化模型”。六年级的学生理解能力、学习能力和生活经验已达到能够掌握本章内容的程度。教材选取的是学生熟悉的,易于理解的生活实例,将具体实例与数学原理结合起来,有助于提高学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
1.在了解简单的“鸽巢原理”的基础上,使学生学会用此原理解决简单的实际问题。
2.经历探究“鸽巢原理”的学习过程,体验观察、猜测、实验、推理等活动的学习方法,渗透数形结合的思想。
3.通过用“鸽巢原理”解决简单的实际问题,激发学生的学习兴趣,使学生感受数学的魅力。
【重点】
引导学生把具体问题转化成“鸽巢问题”。
【难点】
找出“鸽巢问题”中的“鸽巢”是什么,“鸽巢”有几个,再利用“鸽巢原理”进行反向推理。
【教师准备】　PPT课件。
【学生准备】　操作学具。
1.复习“鸽巢问题”解决模型。
师:我们上节课学习了鸽巢问题,你能说说鸽巢问题解决模型是怎样的吗
预设 生:物体数÷抽屉数=商……余数
至少数=商+1
师:同学们,谁能说一说你的生日是在哪一天
预设 生1:3月27日。
生2:5月8日。
生3:4月5日。
师:任意13人中至少有两人在同一月生日,你们相信吗
预设 生1:不相信。
生2:不可能。
生3:相信。
师:下面我们一起来验证一下。
一年有十二个月,12位同学假如每月都有1人出生,那么剩下一人就和其中1人同月出生。
揭示课题:这节课我们继续来研究、来学习鸽巢问题。(板书课题)
由询问同学的生日导入新课,学生易于接受,亲切自然。引导学生主动发现知识,提高学生的注意力。激发学生主动探求知识的意愿,使学生积极主动地进入本节课的学习。
师:盒子里有同样大小的红球和蓝球各4个,要想摸出的球一定有2个同色的,至少要摸出几个球
预设 生1:摸出5个。
生2:摸出2个。
生3:摸出3个。
师:今天我们一起来研究这个问题吧。
引出课题。(板书课题:鸽巢问题的应用)
以本课要探讨的问题直接导入,激发学生强烈的兴趣,使学生主体意识得到调动,主动参与教学,引发主动探求知识的欲望。
师:今天老师和同学们一起继续学习用抽屉原理解决实际问题。(PPT课件出示)
直接语言导入,开门见山,直入主题,更快地进入新知识的学习。
一、教学例3,合作交流,探究新知。
1.(PPT课件出示下图)提出猜想。
师:盒子里有同样大小的红球和蓝球各4个,要想摸出的球一定有2个同色的,至少要摸出几个球
预设 生1:猜测1:只摸2个球就能保证这2个球同色。
生2:猜测2:摸出5个球肯定有两个球是同色的。
生3:猜测3:摸出3个球,至少有2个球是同色的。
2.验证猜测。
师:谁能举例验证猜测是否正确
(1)验证猜测1:
预设 生1:两个红球满足条件。
生2:两个蓝球满足条件。
生3:1红1蓝不满足条件。
师:举反例推翻验证,如这两个球正好是一红一蓝,不满足条件。(板书验证1)
结论:只摸2个球不能保证是同色的。
(2)验证猜测2:
a.枚举法。
师:如果摸出5个球,有几种情况
预设 生1:
　　　　　　　
　　　　　　　　　满足条件
生2:
　　　　　　　
　　　　　　　　　满足条件
生3:
　　　　　　　
　　　　　　　　　满足条件
生4:
　　　　　　　
　　　　　　　　　满足条件
　　b.假设法。
预设 生:把红蓝两种颜色看成两个抽屉,因为5÷2=2……1,所以摸出5个球时,至少有3个球是同色的。
师:把红蓝两种颜色看成2个鸽巢,因为5÷2=2……1,所以摸出5个球时,至少有3个球是同色的,因此摸出5个球没必要。(板书验证2)
小结:摸出5个球能保证有2个球是同色的,但不是最少的。
(3)验证猜测3:
师:你能验证猜测3吗
预设 生:把红蓝两种颜色看成2个鸽巢,因为3÷2=1……1,所以摸出3个球时,至少有2个是同色的。(板书验证3)
师:综上所述,摸出3个球,至少有2个球是同色的。(板书)
二、“抽屉原理”的应用。
把此问题转化成抽屉问题。
a.转化方式:把红蓝两种颜色看成两个抽屉,同色就意味着是同一抽屉,把摸出的球看成被分物,这样把摸球问题转化成抽屉问题。
b.解答:根据抽屉原理,假设最少摸出m个球,则有m÷2=1……n,当n=1时,m是最小的,此时m=3,即至少要摸出3个球,才能保证有2个球是同色的。
归纳总结:要保证摸出2个同色球,至少摸出球的数量要比颜色种数多1。
经历探究“鸽巢原理”的学习过程,体验观察、猜测、实验、推理等活动的学习方法,渗透数形结合的思想。
练习1
1.教材第70页“做一做”第1题。
2.教材第70页“做一做”第2题。
【参考答案】　1.他们的说法都正确,六年级共有367名学生,而一年有365(或366)天,如果每天有一名学生过生日,则余下的2(或1)人无论哪天过生日,都使这天过生日的人数至少有2人。六(2)班有49名学生,49÷12=4……1,假定每4名学生在同一个月出生,则余下的1人无论在哪个月出生,都使这个月出生的人数至少有5人。　2.5个。
练习2
完成相关习题。
师:通过这节课的学习,你有什么收获
预设 生1:我知道把实际问题转化成“鸽巢问题”,弄清“鸽巢”和要被分放的“鸽子”。
生2:生活中处处都有数学。
生3:我学会了根据“鸽巢原理”推理并解决问题。
作业1
教材第71页练习十三第2题。
作业2
完成相关习题。
“鸽巢问题”的应用 验证1:举反例推翻验证,如这两个球正好是一红一蓝,不满足条件。 验证2:把红蓝两种颜色看成2个鸽巢,因为5÷2=2……1,所以摸出5个球时,至少有3个球是同色的,因此摸出5个球没必要。 验证3:把红蓝两种颜色看成2个鸽巢,因为3÷2=1……1,所以摸出3个球时,至少有2个是同色的。 综上所述,摸出3个球,至少有2个球是同色的。
课前谈话由了解学生的生日谈起,很自然地将学生带入了“抽屉原理”的学习。大部分学生用假设法验证鸽巢问题,但自己却不知道这是验证的方法;只有少数学生尝试用枚举法分情况验证,但也不知道要验证什么。假设法的实质是用极端法做最坏的打算,也就是考虑最不利的情况。所以在课前谈话,验证“任意13个人中,至少有两个人的生日在同一个月”时,我采用了一个一个询问的方式,让学生体会“最不利”,为后面理解“平均分”是一种“最不利”情况做一个铺垫。在理解了假设法验证后,后面的推理和总结规律也就顺理成章、水到渠成了。在学生得出结论后,让学生闭上眼睛在脑子里分一分,是渗透给学生一种思考的方式。练习设计由直接运用原理的鸽巢问题到解决实际生活中的生日问题,让学生逐步体会到“抽屉原理”的应用价值, 进而激发学生的研究兴趣。
本堂课教师对学生的情况考虑较少,当学生发言较少时,教师没能及时进行调整,个别知识点没有调动起学生自主学习的积极性,由此也暴露出教师对课堂的调控,对学生积极性的调动的能力有待进一步的提高。
再教这个内容时,教师有必要收放,但是要多给学生思维的空间,放手把课堂交给学生,当学生发言较少时及时调整,激发学生学习的积极性,使学生乐于主动参与到学习活动中来。
　盒子里有同样大小的红球和绿球各5个,要想摸出的球一定有两个是同色的,最少要摸出几个球
[名师点拨]　盒子里有两种颜色的球,如果任意摸出两个,不一定是同一颜色的,而任意摸出3个,一定有两个球是同一颜色的。
[解答]　最少要摸出3个球。
【知识拓展】　盒子中有n种不同颜色的球各若干,至少摸出(n+1)个球,一定能有两个同一颜色的球。
抽屉原理
日常生活中,人们只要稍加留意,就不难发现某些带有规律性的事物。比如,将10个苹果放进9个抽屉,那么肯定有一个抽屉里放进了两个或更多的苹果。这是大家都能理解的一个简单道理,该道理即被称为抽屉原理或鸽笼原理(以鸽子比作苹果,以笼子比作抽屉)。抽屉原理的一般形式为:将(n+1)个苹果放进n个抽屉里,则至少有一个抽屉里放进了两个或两个以上的苹果。千万别小看这个既平常又简单的原理,许多有趣的抽屉原理,许多有趣的问题,都可以用抽屉原理来解决。比如,任意13个人中,必然有2个人是在同一个月份出生的。只需要将13个人看成苹果,12个月份看成抽屉,于是由抽屉原理就得到了结论。再比如,在边长为1的正方形内,任意给定5个点,则其中必有2个点,它们之间的距离不大于(以后会学)。证明这个问题只需要将正方形分为面积相等的4个小正方形,则4个小正方形的边长都是,每个小正方形内任意两点之间的距离均不会大于大正方形的对角线长的。将5个点看成苹果,4个小正方形看成抽屉,由抽屉原理,必然有一个小正方形中有2个点,于是这两个点之间的距离不大于。