第5单元 数学广角 “鸽巢问题” 教案
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| 名称 | 第5单元 数学广角 “鸽巢问题” 教案 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 412.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-02-18 20:37:52 | ||
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文档简介
第5单元 数学广角——鸽巢问题
本单元教材向学生渗透一些重要的数学思想方法,通过几个直观例子,借助实际操作,向学生介绍“鸽巢问题”,使学生在理解“鸽巢问题”的基础上,对一些简单的实际问题加以“模型化”,在探索过程中进一步积累基本生活经验。 “鸽巢问题”是与“存在性”有关的问题,只需要确定某个物体(或某个人)的存在就可以了,并不需要指出是哪个物体(或人)。这类问题依据的理论我们称之为“抽屉原理”或“鸽巢原理”。通过本单元学习,使学生会用“鸽巢原理”解决问题,培养学生的逻辑思维能力,为以后学习较严密的数学证明做准备。“鸽巢问题”的理论本身并不复杂,但“鸽巢原理”的应用却是千变万化的,用它可以解决许多有趣的问题,教学时,要引导学生先判断某个问题是否属于“鸽巢原理”可以解决的范畴,能不能将这个问题同“鸽巢原理”结合起来,有意识地让学生理解“鸽巢原理”的“一般化模型”。因此,“鸽巢原理”在数论、集合论、组合论中都得到了广泛的应用。
教材的设计在于借助各种直观演示,动手动脑操作,讲练结合,让学生在实践活动中学会数学方法,还要注意培养学生的“模型”思想,这个过程是将具体问题“数学化”的过程,能从纷繁的现实素材中找出最本质的数学模型,是体现和发展学生数学思维和能力的重要方面。六年级的学生理解能力、学习能力和生活经验已达到能够掌握本章内容的程度。教材选取的是学生熟悉的,易于理解的生活实例,将具体实例与数学原理结合起来,有助于提高学生解决实际问题的能力。
1.引导学生通过观察、猜测、实验、推理等活动,经历探究“抽屉原理”的过程,初步了解“抽屉原理”的含义,会用“抽屉原理”解决实际问题。
2.学会与人合作,并能与人积极交流。
“抽屉原理”的探究过程就是一种数学证明的雏形,有助于提高学生的逻辑思维能力,为以后学习较严密的数学证明做准备。还要注意培养学生的“模型”思想,这个过程是将具体问题“数学化”的过程,能从纷繁的现实素材中找出最本质的数学模型,是体现和发展学生数学思维和能力的重要方面。
结合具体的实际问题以及观察、猜测、实验、推理、分析、归纳等数学活动,让学生通过独立思考与合作交流等活动提高解决实际问题的能力。
在主动参与数学活动的过程中,让学生切实体会到探索的乐趣,以及数学与生活的紧密结合。
【重点】
认识“鸽巢原理”,能够运用“鸽巢原理”解决实际问题。
【难点】
理解“鸽巢原理”,找出“鸽巢问题”解决的窍门,并进行反复推理。
1.应让学生初步经历“数学证明”的过程
在小学阶段,虽然并不需要学生对涉及的“抽屉原理”的相关现象给出严格的、形式化的证明,但仍可引导学生用直观的方式进行“就事论事”式的解释。教学时可以鼓励学生借助学具、实物操作或画草图的方式进行“说理”。通过这样的方式,有助于逐步提高学生的逻辑思维能力,为以后学习较严密的数学证明做准备。
2. 应有意识地培养学生的“模型”思想
“抽屉问题”的变式很多,应用更具灵活性。但能否将这个具体问题和“抽屉问题”联系起来,能否找到问题中的具体情境和“抽屉问题”的“一般化模型”之间的内在关系是能否解决该问题的关键。教学时,要引导学生先判断某个问题是否属于用“抽屉原理”可以解决的范畴,如果可以,再思考如何寻找隐藏在其背后的“抽屉问题”的一般模型。
3.要适当把握教学要求
“抽屉原理”的应用广泛且灵活多变,因此,用“抽屉原理”来解决实际问题时,有时要找到实际问题与“抽屉问题”之间的联系并不容易。因此,教学时,不必过于追求学生“说理”的严密性,只要能结合具体问题把大致意思说出来就可以了,更要允许学生借助实物操作等直观方式进行猜测、验证。
1 鸽巢问题
本节课学习“抽屉原理”,使学生在理解“抽屉原理”这一数学方法的基础上,对一些简单的实际问题加以“模型化”,会用“抽屉原理”加以解决。
教学中注意利用教材中的情境教学,组织学生自主探索,手脑并用,了解数学知识的严谨性及可操作性,培养学生在实践中探求知识的能力。
了解“鸽巢问题”的特点,理解“鸽巢原理”的含义。使学生学会用此原理解决简单的实际问题。激发学生的学习兴趣,使学生感受数学的魅力。
【重点】
引导学生把具体问题转化成“鸽巢问题”。
【难点】
找出“鸽巢问题”解决的窍门并进行推理。
【教师准备】 PPT课件。
1.给甲、乙2个人发4本相同的书有几种可能出现的情况
学生完成后,教师接着问,如果要做到公平,用什么方法分 怎样分 请你表示出来。
预设 生1:4÷2=2(本)
生2:把4本书平均分给两人,每人分得两本书。
【参考答案】 甲分4本,乙分0本;甲分3本,乙分1本;甲分2本,乙分2本;甲分1本,乙分3本;甲分0本,乙分4本。
师: (出示一副扑克牌)今天老师要给大家表演一个“魔术”。一副牌,取出大王和小王,还剩下52张牌,下面请5位同学上来,每人随意抽一张,不管怎么抽,至少有2张牌是同花色的。同学们相信吗
预设 生1:不相信。
生2:我们可以亲自动手试一试。
(5位同学上台,抽牌,亮牌,统计)
师:这类问题在数学上称为鸽巢问题(板书)。因为52张扑克牌数量较大,所以为了方便研究,我们先来研究几个数量较小的同类问题。
以 “魔术”导入,设置悬念,激发学生学习的兴趣和求知欲望,从而提出需要研究的数学问题。
PPT课件出示教材第68页数学游戏。
师:同学们,你们玩过扑克牌吗
预设 生:玩过。
师:下面我们用扑克牌来玩个游戏。大家知道一副扑克牌有54张,如果去掉两张王牌,就是52张,对吗
预设 生:对。
师:如果从这52张牌中任意抽出5张,我敢肯定地说:这5张扑克牌中至少有2张是同一种花色的,你们信吗
预设 生1:相信。
生2:不相信。
师:其实这里面蕴藏着一个非常有趣的数学道理,想不想研究啊
预设 生:想。
揭示课题:这节课我们就来解决这个数学问题。(板书课题)
由生活实际导入新课,学生易于接受,亲切自然。引导学生主动发现知识,提高学生的注意力。激发学生主动探求知识的意愿,使学生积极主动地进入本节课的学习。
一、教学例1,学会简单的“鸽巢原理”的分析方法。
1.操作并发现规律。(PPT课件出示下图)
把4支铅笔放进3个笔筒中,总有一个笔筒里至少放2支铅笔,为什么
师:把4支铅笔放进3个笔筒中,有哪些方法 请同桌二人为一组动手试一试。谁来说一说结果
预设 生1:一个放4支,另两个不放。
生2:两个放2支,另一个不放。
生3:一个放3支,一个放1支,一个不放。
生4:一个放2支,两个放一支。
(教师根据学生回答在黑板上画图表示几种结果)
师:“不管怎么放,总有一个笔筒里至少有2支铅笔”,这句话说得对吗
预设 生:对。
2.理解关键词的含义。
师:这句话里“总有”是什么意思
预设 生:一定有。
师:这句话里“至少有2支”是什么意思
预设 生1:最少有2支,不少于2支。
生2:可能比2支多,也可能与2支相等。
3.探究证明。
师:把4支铅笔放进3个笔筒试一试。
(1)枚举法。
师:谁来说一说结果
预设 生:通过摆放铅笔,发现四支铅笔分配到3个笔筒共有四种情况。
预设 生1:(4,0,0)。
生2:(3,1,0)。
生3:(2,2,0)。
生4:(2,1,1)。
师:谁还想到其他方法了
预设 生:没有了。
师:一共有4种情况,在每种情况中,都一定有一个笔筒中至少有2支铅笔。
(2)数的分解法。
预设 生:把4分解成3个数,使这3个数的和等于4。
师:从分解的四种情况中,你发现了什么
预设 生:四种情况,每种情况的三个数中,至少有一个数是大于或等于2的。
(3)假设法。
师:前面我们是通过动手操作得出这一结论的,想一想,能不能找到一种更为直接的方法得到这个结论呢 小组讨论一下。
预设 生1:如果每个盒子里放1支铅笔,最多放3支,剩下的1支不管放进哪一个盒子里,总有一个盒子里至少有2支铅笔。
生2:首先通过平均分,余下1支,不管放在哪个盒子里,一定会出现“总有一个盒子里至少有2支铅笔”。这就是平均分的方法。
师:通过以上几种方法,都可以发现:把4支铅笔放进3个笔筒中,无论怎么放,总有1个笔筒里至少放进2支铅笔。
4.认识鸽巢问题(一)。
师:把5支铅笔放到4个铅笔盒里呢 把6支铅笔放到5个铅笔盒里呢 把7支铅笔放到6个铅笔盒里呢……你发现了什么
预设 生:只要铅笔数比铅笔盒数多1,总有一个铅笔盒里至少有2支铅笔。
师:上面各个问题,我们都采用了什么方法
预设 生:尽可能平均分物体的方法。
师:像上面的问题就是“鸽巢问题”,也叫“抽屉问题”。
(1)在这里,4支铅笔是要分放的物体,就相当于4只“鸽子”,“3个笔筒”就相当于3个“鸽巢”或“抽屉”,把此问题用“鸽巢问题”的语言描述就是把4只鸽子放进3个笼子,总有1个笼子里至少有2只鸽子。
(2)这里的“总有”指的是“一定有”或“肯定有”的意思;在所有方法中,放的鸽子最多的那个“笼子”里鸽子“最少”的只数即为“至少”数。
小结:只要放的铅笔数比笔筒的数量多,就总有1个笔筒里至少放2支铅笔。
归纳总结:
抽屉(鸽巢)原理(一):如果把m个物体任意放进n个抽屉(鸽巢)里(m>n,且m和n是非零自然数),那么一定有一个抽屉(鸽巢)里至少放进了2个物体。
师:现在我们回过头来揭示本节课开头的魔术的结果,你能来说一说这个魔术的道理吗
预设 生1:如果4人选中了4种不同的花色,剩下的1人不管选哪种花色,总会和其他4人里的一人相同。
生2:总有一种花色至少有2人选。
一步一步引导学生合作交流、自主探索,让学生亲身经历问题解决的全过程,增强学习的积极性和主动性。回到本节课开头提出的问题,揭示悬念,满足学生的好奇心,让学生认识到数学的应用价值。
二、探究学习例2,建立“抽屉问题”模型。
1. 探究方法。(PPT课件出示例2)
师:把7本书放进3个抽屉,不管怎么放,总有一个抽屉里至少放进3本书。为什么
(先小组讨论,再汇报)
(1)数的分解法。
预设 生1:把7分解成3个数的和。把7本书放进3个抽屉里,共有8种情况。
生2:每种情况分得的3个数中,至少有1个数不小于3,也就是每种分法中最大的那个数最小是3,即总有1个抽屉至少放进3本书。
(2)假设法。
生3:把7本书平均分成3份,
7÷3=2……1。(板书)
若每个抽屉放2本,则还剩1本。如果把剩下的这1本书放进任意1个抽屉中,那么这个抽屉里就有3本书。
师:通过以上两种方法都可以发现:7本书放进3个抽屉中,不管怎么放,总有1个抽屉里至少放进3本书。
2.拓展迁移。
师:如果把8本书放进3个抽屉,会出现怎样的结论呢 10本呢 11本呢 16本呢
预设 生1:8÷3=2……2,不管怎么放,总有一个抽屉里至少放进3本。(板书)
生2:10÷3=3……1,不管怎么放,总有一个抽屉里至少放进4本。(板书)
生3:11÷3=3……2,不管怎么放,总有一个抽屉里至少放进4本。(板书)
生4:16÷3=5……1,不管怎么放,总有一个抽屉里至少放进6本。(板书)
师:观察上述算式和结论,你发现了什么
预设 生1:物体数÷抽屉数=商……余数。
生2:至少数=商+1。(板书)
3.建立“鸽巢问题”模型。
抽屉(鸽巢)原理(二):把多于kn个物体任意分别放进n个空抽屉(鸽巢)(k是正整数,n是非0的自然数),那么一定有一个抽屉(鸽巢)中至少放进了(k+1)个物体。
引导学生合作交流、自主探索,建立“鸽巢问题”模型,增强学生学习的积极性和主动性。
练习1
1.教材第68页“做一做”第1题。
2.你理解上面扑克牌魔术的道理了吗
3.教材第69页“做一做”第1题。
4.教材第69页“做一做”第2题。
【参考答案】 1.1.每个鸽笼各飞进一只鸽子,剩下的两只无论飞进哪个鸽笼,都使那个鸽笼中至少有两只鸽子。 2.理解了。 3.1.若每个鸽笼各飞进2只鸽子,则余下3只鸽子,无论它们飞进哪个鸽笼,都使该鸽笼中至少有3只鸽子。 4.每把椅子先坐一个人,剩下的一个人无论坐在哪把椅子上,都会使该椅子上至少坐2人。
练习2
完成相关习题。
师:通过这节课的学习,你有什么收获
预设 生1:我学会了简单的鸽巢问题。
生2:生活中处处都有数学。
生3:我知道怎样解决鸽巢问题。
生4:转化时要弄清“鸽巢”和所分放的物体及它们的个数。
师:这节课我们了解了什么是鸽巢问题,建立了鸽巢问题模型,学会了怎样解决鸽巢问题。在实际生活中随处可见,处处都有数学问题在等待着我们去发现。
作业1
教材第71页练习十三第1题。
作业2
完成相关习题。
鸽巢问题 7÷3=2……1 不管怎么放,总有一个抽屉里至少放进3本; 8÷3=2……2 不管怎么放,总有一个抽屉里至少放进3本; 10÷3=3……1 不管怎么放,总有一个抽屉里至少放进4本; 11÷3=3……2 不管怎么放,总有一个抽屉里至少放进4本; 16÷3=5……1 不管怎么放,总有一个抽屉里至少放进6本。 小结:物体数÷抽屉数=商……余数 至少数=商+1
1.只有学生主动参与到学习活动中,才是有效的教学。在教学过程中,充分利用学具操作,如把4支笔放入3个笔筒中等,都是让学生自己操作,这为学生提供了主动参与的机会,让学生想一想、圈一圈,把抽象的数学知识同具体的实物结合起来,化难为易,化抽象为具体,让学生体验和感悟数学。
通过直观例子,借助实际操作,引导学生探究“鸽巢问题”,初步经历“数学证明”的过程,并有意识地培养学生的“模型思想”。为学生营造宽松自由的学习氛围和学习空间,能让学生自己动脑解决一些实际问题,从而更好地理解鸽巢问题。在教学过程中能够及时地去发现并认可学生思维中的闪光点。
2.及时引入本节课的重点“总有……至少……”这样设计使学生在生动、活泼的数学活动中主动参与、主动实践、主动思考、主动探索、主动创造,使学生的数学知识、数学能力、数学思想、数学情感得到充分的发展,从而达到动智与动情的完美结合,全面提高学生的整体素质。
不足之处在于教学过程中所设置的问题应具有针对性,应更多地关注学生的思维活动,及时给予认可和指导,使教学能够面向全体学生。
再教这个内容时,教师有必要设计有针对性的问题,要多给学生思维的空间,放手把课堂交给学生,要在适当时机进行阶段性总结,有助于学生知识系统的形成。
数学家路易·波沙的故事
“已知(n+1)个正整数,它们全都小于或等于2n,证明当中一定有两个数是互质的。”
这道问题由匈牙利大数学家厄杜斯向当年年仅11岁的波沙提出,而小波沙思考了不足半分钟便能给出正确的答案,而他的解答又是那么巧妙和精彩,令厄杜斯赞叹不已。
在列出波沙的解答前,可先自己想一想解决方法,之后便能更深刻体会小波沙的解答的奥妙之处。
波沙的解法是这样的:
假设有n个盒子,在第1个盒子中放1和2、在第2个盒子中放3和4、在第3个盒子中放5和6……在第n个盒子中放2n-1和2n。
若从这n个盒子中随意抽出(n+1)个数,其中最少有一个盒子中的两个数均会被抽出。由此,可知这(n+1)个数中必定有一对连续数,明显地,连续数是互质的。
这道问题便这样轻易解决了!
用比较浅显的说法来阐明上述的问题,可以这样说:
对于一个高6层,而每层有4个间隔的鸽巢,它共有6×4=24个鸽巢。现把25只鸽子放进鸽巢,必定可以看到其中一个鸽巢会有2只鸽子挤在一起!
文海探知
抽屉原理虽然简单,但在数学中有广泛而深刻的运用。十九世纪德国数学家狄里克雷(1805~1859)首先利用抽屉原理建立有理数理论,以后逐渐应用到数论、集合论、组合论等数学分支中,所以现在抽屉原理也称狄里克雷原理。
在我国古代文献中,有不少成功地运用抽屉原理来分析问题的例子。例如宋代费衮的《梁溪漫志》,就曾运用抽屉原理来批驳“算命”一类迷信活动的谬论。清代阮葵生的《茶余客话》、陈其元的《庸闲斋笔记》中都有类似的文字。然而,令人不无遗憾的是,我国古代学者虽然很早就会利用抽屉原理来分析具体问题,但是古代文献中并未发现关于抽屉原理概括性的文字,没人将它抽象为一条普遍性原理。最后还不得不将这一原理冠以数百年后西方学者狄里克雷的名字。
本单元教材向学生渗透一些重要的数学思想方法,通过几个直观例子,借助实际操作,向学生介绍“鸽巢问题”,使学生在理解“鸽巢问题”的基础上,对一些简单的实际问题加以“模型化”,在探索过程中进一步积累基本生活经验。 “鸽巢问题”是与“存在性”有关的问题,只需要确定某个物体(或某个人)的存在就可以了,并不需要指出是哪个物体(或人)。这类问题依据的理论我们称之为“抽屉原理”或“鸽巢原理”。通过本单元学习,使学生会用“鸽巢原理”解决问题,培养学生的逻辑思维能力,为以后学习较严密的数学证明做准备。“鸽巢问题”的理论本身并不复杂,但“鸽巢原理”的应用却是千变万化的,用它可以解决许多有趣的问题,教学时,要引导学生先判断某个问题是否属于“鸽巢原理”可以解决的范畴,能不能将这个问题同“鸽巢原理”结合起来,有意识地让学生理解“鸽巢原理”的“一般化模型”。因此,“鸽巢原理”在数论、集合论、组合论中都得到了广泛的应用。
教材的设计在于借助各种直观演示,动手动脑操作,讲练结合,让学生在实践活动中学会数学方法,还要注意培养学生的“模型”思想,这个过程是将具体问题“数学化”的过程,能从纷繁的现实素材中找出最本质的数学模型,是体现和发展学生数学思维和能力的重要方面。六年级的学生理解能力、学习能力和生活经验已达到能够掌握本章内容的程度。教材选取的是学生熟悉的,易于理解的生活实例,将具体实例与数学原理结合起来,有助于提高学生解决实际问题的能力。
1.引导学生通过观察、猜测、实验、推理等活动,经历探究“抽屉原理”的过程,初步了解“抽屉原理”的含义,会用“抽屉原理”解决实际问题。
2.学会与人合作,并能与人积极交流。
“抽屉原理”的探究过程就是一种数学证明的雏形,有助于提高学生的逻辑思维能力,为以后学习较严密的数学证明做准备。还要注意培养学生的“模型”思想,这个过程是将具体问题“数学化”的过程,能从纷繁的现实素材中找出最本质的数学模型,是体现和发展学生数学思维和能力的重要方面。
结合具体的实际问题以及观察、猜测、实验、推理、分析、归纳等数学活动,让学生通过独立思考与合作交流等活动提高解决实际问题的能力。
在主动参与数学活动的过程中,让学生切实体会到探索的乐趣,以及数学与生活的紧密结合。
【重点】
认识“鸽巢原理”,能够运用“鸽巢原理”解决实际问题。
【难点】
理解“鸽巢原理”,找出“鸽巢问题”解决的窍门,并进行反复推理。
1.应让学生初步经历“数学证明”的过程
在小学阶段,虽然并不需要学生对涉及的“抽屉原理”的相关现象给出严格的、形式化的证明,但仍可引导学生用直观的方式进行“就事论事”式的解释。教学时可以鼓励学生借助学具、实物操作或画草图的方式进行“说理”。通过这样的方式,有助于逐步提高学生的逻辑思维能力,为以后学习较严密的数学证明做准备。
2. 应有意识地培养学生的“模型”思想
“抽屉问题”的变式很多,应用更具灵活性。但能否将这个具体问题和“抽屉问题”联系起来,能否找到问题中的具体情境和“抽屉问题”的“一般化模型”之间的内在关系是能否解决该问题的关键。教学时,要引导学生先判断某个问题是否属于用“抽屉原理”可以解决的范畴,如果可以,再思考如何寻找隐藏在其背后的“抽屉问题”的一般模型。
3.要适当把握教学要求
“抽屉原理”的应用广泛且灵活多变,因此,用“抽屉原理”来解决实际问题时,有时要找到实际问题与“抽屉问题”之间的联系并不容易。因此,教学时,不必过于追求学生“说理”的严密性,只要能结合具体问题把大致意思说出来就可以了,更要允许学生借助实物操作等直观方式进行猜测、验证。
1 鸽巢问题
本节课学习“抽屉原理”,使学生在理解“抽屉原理”这一数学方法的基础上,对一些简单的实际问题加以“模型化”,会用“抽屉原理”加以解决。
教学中注意利用教材中的情境教学,组织学生自主探索,手脑并用,了解数学知识的严谨性及可操作性,培养学生在实践中探求知识的能力。
了解“鸽巢问题”的特点,理解“鸽巢原理”的含义。使学生学会用此原理解决简单的实际问题。激发学生的学习兴趣,使学生感受数学的魅力。
【重点】
引导学生把具体问题转化成“鸽巢问题”。
【难点】
找出“鸽巢问题”解决的窍门并进行推理。
【教师准备】 PPT课件。
1.给甲、乙2个人发4本相同的书有几种可能出现的情况
学生完成后,教师接着问,如果要做到公平,用什么方法分 怎样分 请你表示出来。
预设 生1:4÷2=2(本)
生2:把4本书平均分给两人,每人分得两本书。
【参考答案】 甲分4本,乙分0本;甲分3本,乙分1本;甲分2本,乙分2本;甲分1本,乙分3本;甲分0本,乙分4本。
师: (出示一副扑克牌)今天老师要给大家表演一个“魔术”。一副牌,取出大王和小王,还剩下52张牌,下面请5位同学上来,每人随意抽一张,不管怎么抽,至少有2张牌是同花色的。同学们相信吗
预设 生1:不相信。
生2:我们可以亲自动手试一试。
(5位同学上台,抽牌,亮牌,统计)
师:这类问题在数学上称为鸽巢问题(板书)。因为52张扑克牌数量较大,所以为了方便研究,我们先来研究几个数量较小的同类问题。
以 “魔术”导入,设置悬念,激发学生学习的兴趣和求知欲望,从而提出需要研究的数学问题。
PPT课件出示教材第68页数学游戏。
师:同学们,你们玩过扑克牌吗
预设 生:玩过。
师:下面我们用扑克牌来玩个游戏。大家知道一副扑克牌有54张,如果去掉两张王牌,就是52张,对吗
预设 生:对。
师:如果从这52张牌中任意抽出5张,我敢肯定地说:这5张扑克牌中至少有2张是同一种花色的,你们信吗
预设 生1:相信。
生2:不相信。
师:其实这里面蕴藏着一个非常有趣的数学道理,想不想研究啊
预设 生:想。
揭示课题:这节课我们就来解决这个数学问题。(板书课题)
由生活实际导入新课,学生易于接受,亲切自然。引导学生主动发现知识,提高学生的注意力。激发学生主动探求知识的意愿,使学生积极主动地进入本节课的学习。
一、教学例1,学会简单的“鸽巢原理”的分析方法。
1.操作并发现规律。(PPT课件出示下图)
把4支铅笔放进3个笔筒中,总有一个笔筒里至少放2支铅笔,为什么
师:把4支铅笔放进3个笔筒中,有哪些方法 请同桌二人为一组动手试一试。谁来说一说结果
预设 生1:一个放4支,另两个不放。
生2:两个放2支,另一个不放。
生3:一个放3支,一个放1支,一个不放。
生4:一个放2支,两个放一支。
(教师根据学生回答在黑板上画图表示几种结果)
师:“不管怎么放,总有一个笔筒里至少有2支铅笔”,这句话说得对吗
预设 生:对。
2.理解关键词的含义。
师:这句话里“总有”是什么意思
预设 生:一定有。
师:这句话里“至少有2支”是什么意思
预设 生1:最少有2支,不少于2支。
生2:可能比2支多,也可能与2支相等。
3.探究证明。
师:把4支铅笔放进3个笔筒试一试。
(1)枚举法。
师:谁来说一说结果
预设 生:通过摆放铅笔,发现四支铅笔分配到3个笔筒共有四种情况。
预设 生1:(4,0,0)。
生2:(3,1,0)。
生3:(2,2,0)。
生4:(2,1,1)。
师:谁还想到其他方法了
预设 生:没有了。
师:一共有4种情况,在每种情况中,都一定有一个笔筒中至少有2支铅笔。
(2)数的分解法。
预设 生:把4分解成3个数,使这3个数的和等于4。
师:从分解的四种情况中,你发现了什么
预设 生:四种情况,每种情况的三个数中,至少有一个数是大于或等于2的。
(3)假设法。
师:前面我们是通过动手操作得出这一结论的,想一想,能不能找到一种更为直接的方法得到这个结论呢 小组讨论一下。
预设 生1:如果每个盒子里放1支铅笔,最多放3支,剩下的1支不管放进哪一个盒子里,总有一个盒子里至少有2支铅笔。
生2:首先通过平均分,余下1支,不管放在哪个盒子里,一定会出现“总有一个盒子里至少有2支铅笔”。这就是平均分的方法。
师:通过以上几种方法,都可以发现:把4支铅笔放进3个笔筒中,无论怎么放,总有1个笔筒里至少放进2支铅笔。
4.认识鸽巢问题(一)。
师:把5支铅笔放到4个铅笔盒里呢 把6支铅笔放到5个铅笔盒里呢 把7支铅笔放到6个铅笔盒里呢……你发现了什么
预设 生:只要铅笔数比铅笔盒数多1,总有一个铅笔盒里至少有2支铅笔。
师:上面各个问题,我们都采用了什么方法
预设 生:尽可能平均分物体的方法。
师:像上面的问题就是“鸽巢问题”,也叫“抽屉问题”。
(1)在这里,4支铅笔是要分放的物体,就相当于4只“鸽子”,“3个笔筒”就相当于3个“鸽巢”或“抽屉”,把此问题用“鸽巢问题”的语言描述就是把4只鸽子放进3个笼子,总有1个笼子里至少有2只鸽子。
(2)这里的“总有”指的是“一定有”或“肯定有”的意思;在所有方法中,放的鸽子最多的那个“笼子”里鸽子“最少”的只数即为“至少”数。
小结:只要放的铅笔数比笔筒的数量多,就总有1个笔筒里至少放2支铅笔。
归纳总结:
抽屉(鸽巢)原理(一):如果把m个物体任意放进n个抽屉(鸽巢)里(m>n,且m和n是非零自然数),那么一定有一个抽屉(鸽巢)里至少放进了2个物体。
师:现在我们回过头来揭示本节课开头的魔术的结果,你能来说一说这个魔术的道理吗
预设 生1:如果4人选中了4种不同的花色,剩下的1人不管选哪种花色,总会和其他4人里的一人相同。
生2:总有一种花色至少有2人选。
一步一步引导学生合作交流、自主探索,让学生亲身经历问题解决的全过程,增强学习的积极性和主动性。回到本节课开头提出的问题,揭示悬念,满足学生的好奇心,让学生认识到数学的应用价值。
二、探究学习例2,建立“抽屉问题”模型。
1. 探究方法。(PPT课件出示例2)
师:把7本书放进3个抽屉,不管怎么放,总有一个抽屉里至少放进3本书。为什么
(先小组讨论,再汇报)
(1)数的分解法。
预设 生1:把7分解成3个数的和。把7本书放进3个抽屉里,共有8种情况。
生2:每种情况分得的3个数中,至少有1个数不小于3,也就是每种分法中最大的那个数最小是3,即总有1个抽屉至少放进3本书。
(2)假设法。
生3:把7本书平均分成3份,
7÷3=2……1。(板书)
若每个抽屉放2本,则还剩1本。如果把剩下的这1本书放进任意1个抽屉中,那么这个抽屉里就有3本书。
师:通过以上两种方法都可以发现:7本书放进3个抽屉中,不管怎么放,总有1个抽屉里至少放进3本书。
2.拓展迁移。
师:如果把8本书放进3个抽屉,会出现怎样的结论呢 10本呢 11本呢 16本呢
预设 生1:8÷3=2……2,不管怎么放,总有一个抽屉里至少放进3本。(板书)
生2:10÷3=3……1,不管怎么放,总有一个抽屉里至少放进4本。(板书)
生3:11÷3=3……2,不管怎么放,总有一个抽屉里至少放进4本。(板书)
生4:16÷3=5……1,不管怎么放,总有一个抽屉里至少放进6本。(板书)
师:观察上述算式和结论,你发现了什么
预设 生1:物体数÷抽屉数=商……余数。
生2:至少数=商+1。(板书)
3.建立“鸽巢问题”模型。
抽屉(鸽巢)原理(二):把多于kn个物体任意分别放进n个空抽屉(鸽巢)(k是正整数,n是非0的自然数),那么一定有一个抽屉(鸽巢)中至少放进了(k+1)个物体。
引导学生合作交流、自主探索,建立“鸽巢问题”模型,增强学生学习的积极性和主动性。
练习1
1.教材第68页“做一做”第1题。
2.你理解上面扑克牌魔术的道理了吗
3.教材第69页“做一做”第1题。
4.教材第69页“做一做”第2题。
【参考答案】 1.1.每个鸽笼各飞进一只鸽子,剩下的两只无论飞进哪个鸽笼,都使那个鸽笼中至少有两只鸽子。 2.理解了。 3.1.若每个鸽笼各飞进2只鸽子,则余下3只鸽子,无论它们飞进哪个鸽笼,都使该鸽笼中至少有3只鸽子。 4.每把椅子先坐一个人,剩下的一个人无论坐在哪把椅子上,都会使该椅子上至少坐2人。
练习2
完成相关习题。
师:通过这节课的学习,你有什么收获
预设 生1:我学会了简单的鸽巢问题。
生2:生活中处处都有数学。
生3:我知道怎样解决鸽巢问题。
生4:转化时要弄清“鸽巢”和所分放的物体及它们的个数。
师:这节课我们了解了什么是鸽巢问题,建立了鸽巢问题模型,学会了怎样解决鸽巢问题。在实际生活中随处可见,处处都有数学问题在等待着我们去发现。
作业1
教材第71页练习十三第1题。
作业2
完成相关习题。
鸽巢问题 7÷3=2……1 不管怎么放,总有一个抽屉里至少放进3本; 8÷3=2……2 不管怎么放,总有一个抽屉里至少放进3本; 10÷3=3……1 不管怎么放,总有一个抽屉里至少放进4本; 11÷3=3……2 不管怎么放,总有一个抽屉里至少放进4本; 16÷3=5……1 不管怎么放,总有一个抽屉里至少放进6本。 小结:物体数÷抽屉数=商……余数 至少数=商+1
1.只有学生主动参与到学习活动中,才是有效的教学。在教学过程中,充分利用学具操作,如把4支笔放入3个笔筒中等,都是让学生自己操作,这为学生提供了主动参与的机会,让学生想一想、圈一圈,把抽象的数学知识同具体的实物结合起来,化难为易,化抽象为具体,让学生体验和感悟数学。
通过直观例子,借助实际操作,引导学生探究“鸽巢问题”,初步经历“数学证明”的过程,并有意识地培养学生的“模型思想”。为学生营造宽松自由的学习氛围和学习空间,能让学生自己动脑解决一些实际问题,从而更好地理解鸽巢问题。在教学过程中能够及时地去发现并认可学生思维中的闪光点。
2.及时引入本节课的重点“总有……至少……”这样设计使学生在生动、活泼的数学活动中主动参与、主动实践、主动思考、主动探索、主动创造,使学生的数学知识、数学能力、数学思想、数学情感得到充分的发展,从而达到动智与动情的完美结合,全面提高学生的整体素质。
不足之处在于教学过程中所设置的问题应具有针对性,应更多地关注学生的思维活动,及时给予认可和指导,使教学能够面向全体学生。
再教这个内容时,教师有必要设计有针对性的问题,要多给学生思维的空间,放手把课堂交给学生,要在适当时机进行阶段性总结,有助于学生知识系统的形成。
数学家路易·波沙的故事
“已知(n+1)个正整数,它们全都小于或等于2n,证明当中一定有两个数是互质的。”
这道问题由匈牙利大数学家厄杜斯向当年年仅11岁的波沙提出,而小波沙思考了不足半分钟便能给出正确的答案,而他的解答又是那么巧妙和精彩,令厄杜斯赞叹不已。
在列出波沙的解答前,可先自己想一想解决方法,之后便能更深刻体会小波沙的解答的奥妙之处。
波沙的解法是这样的:
假设有n个盒子,在第1个盒子中放1和2、在第2个盒子中放3和4、在第3个盒子中放5和6……在第n个盒子中放2n-1和2n。
若从这n个盒子中随意抽出(n+1)个数,其中最少有一个盒子中的两个数均会被抽出。由此,可知这(n+1)个数中必定有一对连续数,明显地,连续数是互质的。
这道问题便这样轻易解决了!
用比较浅显的说法来阐明上述的问题,可以这样说:
对于一个高6层,而每层有4个间隔的鸽巢,它共有6×4=24个鸽巢。现把25只鸽子放进鸽巢,必定可以看到其中一个鸽巢会有2只鸽子挤在一起!
文海探知
抽屉原理虽然简单,但在数学中有广泛而深刻的运用。十九世纪德国数学家狄里克雷(1805~1859)首先利用抽屉原理建立有理数理论,以后逐渐应用到数论、集合论、组合论等数学分支中,所以现在抽屉原理也称狄里克雷原理。
在我国古代文献中,有不少成功地运用抽屉原理来分析问题的例子。例如宋代费衮的《梁溪漫志》,就曾运用抽屉原理来批驳“算命”一类迷信活动的谬论。清代阮葵生的《茶余客话》、陈其元的《庸闲斋笔记》中都有类似的文字。然而,令人不无遗憾的是,我国古代学者虽然很早就会利用抽屉原理来分析具体问题,但是古代文献中并未发现关于抽屉原理概括性的文字,没人将它抽象为一条普遍性原理。最后还不得不将这一原理冠以数百年后西方学者狄里克雷的名字。