人教版五年级下册数学 探索图形 教案

探索图形
探索由小正方体拼成的大正方体的涂色规律,经历解决图形分类计数问题的思考过程,培养空间想象能力和推理能力。
探索分四个层次展开。第一,提出问题,引导学生从简单图形入手,进行探索,体会化繁为简的思想。第二,引导学生用表格表示问题,通过观察、想象和推理逐步找出①②③号正方体中每种涂色小正方体的数量,概括出其中蕴含的特征和数量规律。第三,完成④⑤号正方体中的涂色问题,对发现的规律进行验证,并进一步进行应用。第四,呈现一组新的小正方体按规律拼出的几何组合体,进一步探索图形的分类计数问题。
1.进一步认识和理解正方体的特征。
2.通过观察、列表、想象等活动,经历发现正方体涂色和位置的规律的全过程,获得化繁为简的解决问题的经验,培养学生的空间想象力。
3.让学生体会分类、数形结合、归纳、推理等数学思想,积累数学思维活动的经验。
4.在解决问题的过程中,感受数学的趣味性,激发主动探索,勇于实践的精神和实事求是的科学态度。在互相交流中,学会倾听他人意见,增强学好数学的信心。
【重点】　学会从简单的情况入手寻找规律,把复杂问题化繁为简。
【难点】　探索规律并进行归纳总结。
【教师准备】　PPT课件,小正方体。
【学生准备】　每个学生准备10个小正方体。
复习正方体的特征。
(1)用PPT出示下面的正方体。
(2)回顾正方体的特征。
师:屏幕上是什么图形
预设 生:是正方体。
师:正方体有哪些特征
预设 生:正方体有6个面,这6个面都相同;有12条棱,棱的长度也都相等;有8个顶点。
师:如果用棱长是1厘米的小正方体拼成一个棱长7厘米的大正方体,需要多少个小正方体
用PPT课件出示这个正方体图。
预设 生:可以用7×7×7算出需要343个。
师:如果把这个大正方体的表面涂上颜色,需要涂几个面
预设 生:需要涂6个面。
师:请同学们想象一下,这些小正方体会有几个面被涂上颜色 如果再把这些小正方体分开,那么三面涂上了颜色的有几个 两面涂上了颜色的有几个 一面涂上了颜色的有几个 没有涂上颜色的小正方体有吗 有几个 如果让你们来分一分,数一数,你们会有什么感觉
预设 生:好复杂,好麻烦。
师:这个问题太复杂了,原因是这个图形比较大,我们数起来也很麻烦。怎样才能解决这个问题呢
老师引导学生先研究简单的图形,发现规律后,再根据规律进行推理,解决复杂的问题。(老师板书课题:探索图形)
通过创设问题情境,让学生感受到用原有经验和方法解决问题有困难,这样就产生了矛盾冲突,促使学生想要学习解决问题的新方法。
师:我们已经掌握了正方体的一些特征,正方体的表面积和体积都需要通过计算才能得到,但这些不是我们今天要探讨的问题。今天来进行一个不需要怎么计算,但是需要发挥你们想象力的小探究,好不好
预设 生:好!
师:我们今天要进行的探究是:探索图形(老师板书课题)。
通过谈话,导入新知的学习,使学生对于探索的内容有了期待,产生了学习的兴趣。
一、探索、发现规律。通过拼摆、填表、观察,初步感知涂色的面的规律。
1.师:你认为什么样的图形比较简单,使我们比较容易找到答案
预设 生:先从最小的正方体开始研究。
2.学生小组合作:用棱长1 cm的小正方体拼成棱长为2 cm的大正方体。
(1)用棱长1 cm的小正方体拼成棱长为2 cm的大正方体后,把它的表面涂上颜色。
PPT课件出示拼成的大正方体,如下图。
(2)议一议:需要多少个小正方体 你觉得这些小正方体涂色的面有什么特点
预设 生:需要8个小正方体,8个小正方体都有三面涂上了颜色。
老师追问:三面都涂色的小正方体在大正方体的什么位置
预设 生:在大正方体8个顶点的位置。
(3)师:为了更清楚地看到探究的结果,我们可以用列表的方法进行记录。
三面涂色 的块数 两面涂色 的块数 一面涂色 的块数 没有涂色 的块数
①
②
③
④
⑤
　　(4)老师用PPT出示表格,并根据学生回答填写第一栏。
三面涂色 的块数 两面涂色 的块数 一面涂色 的块数 没有涂色 的块数
①
　　3.学生小组合作:用棱长1 cm的小正方体拼成棱长为3 cm的大正方体。
(1)用棱长1 cm的小正方体拼成棱长为3 cm的大正方体后,把它们的表面分别涂上颜色。
用PPT课件出示拼成的大正方体,如下图。
(2)议一议:需要多少个小正方体 你觉得这些小正方体涂色的面有什么特点
预设 生:需要27个小正方体,27个小正方体中有8个三面涂上了颜色,有12个两面涂上了颜色,有6个一面涂上了颜色,有1个没有涂色的。
老师追问:这些面都在什么位置呢
预设 生:三面涂色的在大正方体顶点的位置,有8个小正方体,两面涂色的小正方体在大正方体边上(棱的位置):1×12=12(个),一面涂色的小正方体在大正方体面的中间:1×1×6=6(个),没有涂色的有1个,在大正方体的中心位置:1×1×1=1(个)。
有的学生可能是数出来的,老师引导学生学会计算的方法。
(3)老师根据学生的回答配合出示PPT,并填写第二栏。
三面涂色 的块数 两面涂色 的块数 一面涂色 的块数 没有涂色 的块数
① 8 0 0 0
② 1×12=12 1×1×6=6 1×1×1=1
　　4.老师用PPT出示棱长为4 cm的正方体。
(1)学生观察、思考后在小组进行讨论:如果用棱长1 cm的小正方体拼成棱长为4 cm的大正方体。
(2)议一议:需要多少个小正方体 你觉得这些小正方体涂色的面有什么特点
预设 生:需要64个小正方体,这64个小正方体中有8个三面涂上了颜色,有24个两面涂上了颜色,有24个一面涂上了颜色,有8个没有涂色的。
老师追问:这些面都在什么位置呢
预设 生:8个在顶点位置的涂了三面;12×2=24个在棱中间的位置涂了两面,在面的中间位置的涂一面:2×2×6=24(个),大正方体的中心没有涂色的有2×2×2=8(个)。
(3)老师根据学生回答配合出示PPT,并填写第三栏。
三面涂色 的块数 两面涂色 的块数 一面涂色 的块数 没有涂色 的块数
① 8 0 0 0
② 1×12=12 1×1×6=6 1×1×1=1
③ 2×12=24 2×2×6=24 2×2×2=8
二、验证猜想,总结规律,使学生明确这些面所在的位置与涂色的面的规律。
1.按照这样的规律摆下去,你能猜想一下第④个、第⑤个大正方体的结果吗
(1)课件出示棱长5 cm,6 cm的正方体。
(2)学生猜想。
第④个大正方体:三面涂色有8个;两面涂色有3×12=36(个);一面涂色有3×3×6=54(个);没有涂色的有3×3×3=27(个)。
第⑤个大正方体:三面涂色有8个;两面涂色有4×12=48(个);一面涂色有4×4×6=96(个);没有涂色的有4×4×4=64(个)。
2.老师出示课件进行演示,验证学生的猜想,并出示表格。
三面涂色 的块数 两面涂色 的块数 一面涂色 的块数 没有涂色 的块数
① 8 0 0 0
② 1×12=12 1×1×6=6 1×1×1=1
③ 2×12=24 2×2×6=24 2×2×2=8
④ 3×12=36 3×3×6=54 3×3×3=27
⑤ 4×12=48 4×4×6=96 4×4×4=64
　　3.总结归纳:
(1)三面涂色的在正方体顶点的位置,因为正方体有8个顶点,所以三面涂色的都是8个。
(2)两面涂色的在正方体棱上除去两端的位置,因为正方体有12 条棱,所以先用每条棱上小正方体的块数减去2,再乘12。
(3)一面涂色的在正方体每个面除去周边一圈的位置,因为正方体有6个面,所以先用每条棱上小正方体的块数减去2,再用得数的平方乘6。
(4)没有涂色的在正方体里除去表面一层的位置,所以先用每条棱上小正方体的块数减去2,而得数的立方就是没有涂色的块数。或者用小正方体的总块数-三面涂色的块数-两面涂色的块数-一面涂色的块数。
三、应用规律,能根据涂色的面的规律解决问题。
师:现在,同学们可以解决前面提出的问题了吗
(1)问题:棱长是7 cm的正方体中三面涂色的有几块 两面涂色的有几块 一面涂色的有几块 没有涂色的有几块
(2)学生独立解答,老师巡视了解学情并予以指导。
(3)指名回答,全班评讲,自主订正。
预设 生:三面涂色有8个;两面涂色有(7-2)×12=60(个);一面涂色有(7-2)2×6=150(个);没有涂色的有(7-2)3=125(个)或343-8-60-150=125(个)。
引导学生经历发现规律、验证猜想、总结归纳、学习应用的全过程,使学生初步学会探索规律的方法,积累数学活动的经验。
练习1
1.教材第44页下面的(1)。
(1)学生读题,理解题意。
(2)学生独立解答,小组互相检查,老师巡视。
(3)指名回答,全班评讲,自主订正。
预设 生1:第⑦个大正方体中:三面涂色有8个,两面涂色有(8-2)×12=72(个),一面涂色有(8-2)2×6=216(个),没有涂色的有(8-2)3=216(个)或512-8-72-216=216(个)。
生2:第⑧个大正方体中:三面涂色有8个,两面涂色有(9-2)×12=84(个),一面涂色有(9-2)2×6=294(个),没有涂色的有(9-2)3=343(个)或729-8-84-294=343(个)
2.教材第44页下面(2)。
(1)如果请你来数一数,你打算怎样做
(2)学生在小组里进行讨论,尝试用探索规律的方法解决。
预设 生1:根据几何组合体,从上往下看:第一层:1个;第二层:(1+2)个;第三层:(1+2+3)个;第四层:(1+2+3+4)个……
生2:第1个图形中小正方体的个数:1+(1+2)=4;
第2个图形中小正方体的个数:1+(1+2)+(1+2+3)=10;
第3个图形中小正方体的个数:1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)=20。
(3)师:如果按照这样的规律摆下去,第5个图形中小正方体的个数是多少呢
学生思考,再小组交流,然后指名回答。
预设 生:是56个。
在学生初步学会探索规律的方法的基础上,通过引导学生尝试用这种方法解决新的问题,进一步巩固和加深对解决问题的方法和策略的理解,培养学生实际应用的意识。
练习2
完成相关习题。
师:通过今天这节课的学习你有什么收获
预设 生1:我知道了如果有些问题比较复杂时,我们可以从简单的问题入手进行研究,找出规律,再根据规律解决复杂的问题。
生2:我觉得学习数学好有趣。
这是一节综合实践的活动课,这节课就是要让学生的思维充分活跃起来,为了达到这一教学目的,我是这样做的:首先提出较为复杂的问题,使学生感到困惑,继而遵循学生的认知规律,从简单到复杂,从直观到抽象,从个别到一般,引导学生在操作中感知规律。同时在关键的地方老师适时进行指导、点拨。教学中注重学生的操作和小组合作,使学生在操作和小组的讨论中,发现规律、总结规律。小组里的交流会使学生之间的思维发生碰撞,从而完善个人的想法,使学生的思维更加清晰。
在学生的探究活动中,都是学生说出结果,老师用课件出示表格并进行填写,这样使得学生的探究过程缺少了一个环节。
再教这一内容时,要设计好表格,发给学生,使学生自己记录下操作的过程,这样虽然会多花一些教学时间,但对于学生的探究会有更好的帮助。