(共35张PPT)
课题：整式的乘除 回顾与思考
第一章 整式的乘除
章节复习
知识框架
归纳整合
素养提升
中考链接
课堂小结
知识框架
幂的运算
整式的乘除
整式的乘法
整式的除法
乘法公式
幂的乘方
积的乘方
同底数幂的除法
同底数幂的乘法
幂的运算
(am)n=amn (m, n都是正整数)
(ab)m=am bm (m是正整数)
am÷an=am-n (a≠0, m, n都是正整数)；a0 =1(a≠0)；a-p= (a≠0,
p是正整数)；小于1的正数用科学记数法可表示为a×10n , 其中1≤a<10, n是负整数
am ·an=am+n (m, n都是正整数)
知识框架
知识框架
单项式乘单项式
单项式乘多项式
多项式乘多项式
整式的乘法
单项式乘以单项式法则：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式.
单项式乘以多项式法则：就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
多项式乘以多项式法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
知识框架
知识框架
乘法公式
平方差公式：
两项和与这两项差的积,
等于它们的平方差.
(a+b)·(a-b)=a2-b2
完全平方公式：
两项的和与差的平方,等于这两项的平方和加上或者减去它们乘积的两倍.
(a±b)2=a2 ±2ab+b2
知识框架
整式的除法
单项式除以单项式
多项式除以单项式
单项式除以单项式法则：把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.
多项式除以单项式法则：先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.
归纳整合
【要点指导】幂的运算包括同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法以及零指数幂、负整数指数幂的运算, 计算时, 要熟练掌握各自的运算法则, 并能灵活运用这些运算法则进行计算. 幂的运算法则还可以逆用.
专题一 幂的运算
例1 下列运算正确的是( ).
A．2x2+3x2=5x4 B．2x2·3x3=6x5
C．(2x3)2=4x5 D．3x2÷4x2 =x2
1．幂的运算法则的正用
归纳整合
分析
B
1．幂的运算法则的正用
归纳整合
相关题1-1 下列运算正确的是( ).
A．x5·x2=x10
B．(-x5)2=x25
C．x5+x2=x7
D．x5÷x2=x3
D
1．幂的运算法则的正用
归纳整合
相关题1-2 计算：
(1) -3ab·(-4b2)
(2)(9x3y2)÷(-3x3y)
解：原式=-3·(-4)a(b·b2)
=12ab3
解：原式=9÷(-3)(x3÷x3)(y2÷y)
=-3y
1．幂的运算法则的正用
归纳整合
相关题1-2 计算：
(3)(-ab2)3·(2a2b3)
(4)12a5b4c4÷(-3a2b2c)÷(2a3b2c3)
(5)(-2a2b3)4+(-a)8·(2b4)3
解：原式=-a3b6·(2a2b3)
=-2a5b9
解：原式=-4a3b2c3÷(2a3b2c3)
=-2
解：原式=16a8b12+a8·8b12
=16a8b12+8a8b12
=24a8b12
2．幂的运算法则的逆用
归纳整合
例2 已知am=4, an=6, 求a3m-2n的值.
分析 指数如果是减法，对于幂来说就是同底数幂的除法，然后逆用幂的乘方法则可解.
解：a3m-2n=a3m÷a2n=(am)3÷(an)2=43÷62 = .
2．幂的运算法则的逆用
归纳整合
相关题2-1 已知|a-3|+(3b-1)2=0,
求a2020·b2019的值.
[解析] 根据绝对值、平方的非负性，求得a,b的值，然后逆用积的乘方法则求值．
归纳整合
【要点指导】整式的运算包括整式的加、减、乘、除、乘方五种运算, 其中整式的加减实际上是合并同类项, 而整式的乘除则以幂的运算为基础. 如果遇到整式的混合运算, 那么计算时应先算乘方, 再算乘除, 最后算加减, 如果有括号, 就先算括号里面的.
专题二 整式的运算
归纳整合
例3 计算：(36x4y3-24x3y2+3x2y2)÷(-2xy)2
总结 先计算积的乘方, 再按多项式除以单项式的运算法则逐一运算.
解：(36x4y3-24x3y2+3x2y2)÷(-2xy)2
=(36x4y3-24x3y2+3x2y2) ÷(4x2y2)
=36x4y3÷(4x2y2)-24x3y2÷(4x2y2)+3x2y2÷(4x2y2)
=9x2y-6x+
归纳整合
相关题3-1 计算：(-a)2(-a)3-2[(a3)3÷(-a2)2]
[解析] 综合运用幂的运算法则进行计算．
解： (-a)2(-a)3-2[(a3)3÷(-a2)2]
＝(-a)5-2(a9÷a4)
＝(-a)5-2a5
＝-a5-2a5
＝-3a5
归纳整合
相关题3-2 计算：(2x+5y)(3x-2y)-2x(x-3y)
解： 原式＝6x2+11xy-10y2-2x2+6xy
＝4x2+17xy-10y2
归纳整合
相关题3-3 计算：
(2)(3x2y-xy2-0.5xy)÷(-0.5xy)
(3)2a(a-b)-b(2a-b)+2ab,其中a=2,b=-3
(1)(-12xy2-10x2y+21y3)(-6xy3)
解：原式=-12xy2·(-6xy3)-10x2y(-6xy3)+21y3(-6xy3)
=72x2y5+60x3y4-126xy6
解：原式=-3x2y÷(-0.5xy)-xy2÷(-0.5xy)-0.5xy÷(-0.5xy)
=6x+2y+1
解：原式=2a2-2ab-2ab+b2+2ab
=2a2-2ab+b2
当a=2,b=-3时, 原式=2×22-2×2×(-3)+(-3)2=29
归纳整合
【要点指导】学习乘法公式的关键在于理解公式的结构特征, 善于正向运用、逆向运用、变形运用, 把握公式的内在联系. 整式的化简是幂的运算和整式的运算的综合运用, 一定要先化简, 再代入求值, 否则计算量太大, 容易发生错误. 整体思想是解决这种题型的重要思想方法.
专题三 乘法公式的灵活应用
归纳整合
例4 如图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）你认为图2中的阴影部分的正方形的边长
等于 ．
（2）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积．
方法1： ．
方法2： ．
m-n
(m+n)2﹣4mn
(m-n)2
归纳整合
例4 如图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（3）观察图2你能写出下列三个代数式(m+n)2，(m-n)2，mn之间的等量关系 ．
（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b＝7，ab＝5，则(a-b)2＝ ．
总结 类比探究出“完全平方公式的常见变形”可求得x2+y2 ,(x+y)2，(x-y)2，xy的值.
(m-n)2=(m+n)2-4mn
29
素养提升
【要点指导】通过图形面积的两种计算方式验证乘法公式是初中数学阶段的一个重要手段, 其思想内涵就是数形结合, 将数转化为图形的边长或者与图形有关的量, 最后根据几何图形间的关系建立等式进行验证.解此类问题的关键在于图形变换前后一定存在等量关系, 进而才能推导出相应的乘法公式.
专题一 数形结合思想
例5 【方法介绍】整式a2可以用边长为a的正方形的面积来直观地表示，如图1所示,在学习平方差公式时，图2中阴影部分面积可以表示为a2-b2，拼接后的图3是一个长方形面积可以表示为(a+b)(a-b)，前后面积相等，这样就形象直观地解释了平方差公式(a+b)(a-b)＝a2-b2．请用图形解释公式(a+b)2＝a2+2ab+b2．
素养提升
例5 【方法介绍】整式a2可以用边长为a的正方形的面积来直观地表示，如图1所示,在学习平方差公式时，图2中阴影部分面积可以表示为a2-b2，拼接后的图3是一个长方形面积可以表示为(a+b)(a-b)，前后面积相等，这样就形象直观地解释了平方差公式(a+b)(a-b)＝a2-b2．请用图形解释公式(a+b)2＝a2+2ab+b2．
素养提升
解：
例5【方法应用】
（1）请用图形说明(a+3)2≠a2+9，(a＞0)．
（2）写出图4所表示的代数恒等式．
素养提升
（1）解：
（2）解：
(a+2b)(2a+b)＝2a2+5ab+2b2
例5【应用拓展】拼图游戏：如图所示，现有正方形纸片3张，长方形纸片3张，请将它们拼成一个长方形．请画出图形并将多项式2a2+3ab+b2写成两个整式乘积的形式．
素养提升
解：
2a2+3ab+b2＝(a+b)(2a+b)
素养提升
【要点指导】在求某个式子的值时, 若由已知条件无法直接求出其所含字母的值, 可将所求的式子进行适当的变形后, 将已知条件作为一个整体代入求值, 进而使解题过程变得简捷、快速.此外, 整体思想在乘法公式的应用中体现得较为明显.
专题二 整体思想
素养提升
例6 计算：(1)(x+y+1)(x+y-1)；(2)(x-2y-3)2
解：(1)原式=[(x+y)+1][(x+y)-1]
=(x+y)2-12
=x2+2xy+y2-1
(2)原式=[(x-2y)-3]2=x2-4xy+4y2-6(x-2y)+9
=x2-4xy+4y2-6x+12y+9
[总结]整体思想在乘法公式中的应用可以简化解题过程.
素养提升
相关题6-1 计算：(a2-ab+b2)(a2+ab+b2).
解：原式＝[(a2+b2)-ab][(a2+b2)+ab]
＝(a2+b2)2-(ab)2
＝a4+2a2b2+b4-a2b2
＝a4+a2b2+b4
中考链接
链接1 下列运算正确的是( ).
A．a2·a3=a6 B．a3+a2=a5 C．(a2)4=a8 D．a3-a2=a
链接2 下列运算正确的是( ).
A．(-x2)3=-x5 B．x2+x3=x5 C．x3·x4=x7 D．2x3-x3=1
链接3 下列计算正确的是( ).
A．x2+x3=x5 B．x2·x3=x5
C．(-x2)3=x8 D．x6÷x2=x3
C
C
B
中考链接
链接4 计算(a-2)(a+3)的结果是( ).
A．a2-6 B．a2+a-6 C．a2+6 D．a2-a-6
链接5 计算：x(x-2y)-(x+y)2
B
解：原式=x2-2xy-(x2+2xy+y2)
=x2-2xy-x2-2xy-y2
=-4xy-y2
链接6 化简：(a2b-2ab2-b3)÷b-(a-b)2 .
解：原式=a2-2ab-b2-a2+2ab-b2
=-2b2
课堂小结
幂的运算
乘法公式
积的乘方
平方差公式
多项式与单项式相乘、
相除
完全平方公式
整式的乘除法
单项式与单项式相乘、
相除
多项式与多项式相乘
同底数幂相乘
幂的乘方
同底数幂相除
整式的乘除
谢 谢 观 看！“整式的乘除 回顾与思考”教学设计
教学目标
1．通过思维导图梳理全章内容，建立知识框架；熟练运用幂的运算法则、整式乘除法则及乘法公式进行运算。
2．经历观察、操作、推理、归纳等探索过程，发展学生的数感与符号意识，提高应用代数意识及方法与分析问题、解决问题的能力。
3．在数学活动中发展学生合作交流的能力和数学表达能力，感受数学与现实生活的密切联系，增强学生的数学应用意识及数学思维能力。
二、学情分析
学生在七年级上册已经学习了整式的加减，积累了经验并具备了一定的思维条理性和符号表达能力。再来学习整式的乘除，让学生的数学素养有了一个梯度和螺旋上升的空间。学生对算理的有一定理解，在这一章中了解了整数指数幂的意义和正整数指数幂的运算性质，经历了探索整式乘除法法则的过程，理解了整式乘除的算理，运用这些知识解决了一些相关的实际问题。但这一章的运算法则较多，公式也容易混淆，而且学生对这些知识的理解缺乏整体认知，还没形成体系。需要在观察、分析、归纳中发展有条理的思考及语言表达能力。
三、教学重难点
1．掌握幂的相关运算、整式的乘法、除法法则及两个乘法公式的运用
2．运用整体思想、模型思想进行分析问题、熟练运用乘法公式解决问题
四、教学过程
本节课按知识点分类设计了六个教学环节：学生展示、知识框架、归纳整合、素养提升、中考链接、课堂小结。
1.学生展示
活动内容： 让学生展示自己的思维导图作业：本章知识框架图，并进行说明.
活动目的：让学生亲自经历知识梳理的过程，感受幂的运算与整式的乘除法之间的关系，更好地形成自己的知识体系.
活动注意事项：不同学生的知识结构图可能在各个知识点间的联系、书写详略程度上存在差异，教学时教师可以在课前选取有代表性的框架图进行全班展示，注
意让学生说说自己的框架建立的过程.在学生展示的基础上，教师可以呈现一个比较简单明了的知识框架图：
2.知识框架
活动内容：将本章学过的所有法则及公式快速加以复习，同时让学生回答出法则及公式中的注意事项。
活动目的：让学生进一步明确各种运算法则，类比纠正学生在认识上模糊的地方，为下面的练习做好准备。
活动注意事项：在学生串联知识的过程中，教师应注意学生是否存在法则的混淆，是否能较好的区别法则，是否理解法则的文字叙述和符号表示等，对学生存在的困惑可以适当的举例讲解。
3.归纳整合
活动内容：将知识点进行分类模块化学习
专题一 幂的运算
例1 下列运算正确的是（ ）.
A． B． C． D．
相关题1-1 下列运算正确的是（ ）.
A．x5 ·x2=x10 B．(-x5 )2=x25 C．x 5+x2=x7 D．x5÷x2=x3
相关题1-2 计算：
例2
相关题2-1
例3 计算：
相关题3-1 计算：
相关题3-2
相关题3-3
例4 如图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于 .
（2）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积．
方法1：
方法2：
观察图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？代数式：
（m+n）2，（m﹣n）2，mn． ．
根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b＝7，ab＝5，则
（a﹣b）2＝ ．
活动目的：设计例题1-2是通过习题，评价学生准确的辨析幂的运算公式中易混淆的知识点的能力，同时巩固学生对幂的运算公式正用和逆用的理解，例题3是为了进一步熟练各种乘除计算,例题4通过图形探究的方式发现并归纳出三个代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的的关系并巩固乘法公式的运用。
活动注意事项：本环节的内容大部分较为基础，课堂实施可采取灵活多样的形式，如师生问答、学生抢答、小组竞赛等方式，并且在学生做出解答后及时给与评价，提高学生学习积极性。
4.素养提升
活动内容： 对具体的数学知识进行深入分析，挖掘这部分内容蕴含的数形结合思想和整体思想。只有对数学内容深入思考，才能逐步感悟数学思想
例5 整式a2可以用边长为a的正方形的面积来直观地表示，如图1所示
在学习平方差公式时，图2中阴影部分面积可以表示为a2﹣b2，拼接后的图3是一个长方形面积可以表示为（a+b）（a﹣b），前后面积相等，这样就形象直观地解释了平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
请在右面空白处用图形解释公式（a+b）2＝a2+2ab+b2．
【方法应用】
（1）请用图形说明（a+3）2≠a2+9，（a＞0）．
（2）写出图4所表示的代数恒等式．
【应用拓展】拼图游戏：如图所示，现有正方形纸片3张，长方形纸片3张，请将它们拼成一个长方形．请画出图形并将多项式2a2+3ab+b2写成两个整式乘积的形式．
例6 (1)(x+y+1)(x+y-1)；(2) (x-2y-3)2
相关题6-1计算：
活动目的:这些问题比较有挑战性、趣味性，目的是让学生综合、灵活的运用知识解决问题，是掌握基础知识后的巩固和提高.
活动注意事项： 本环节题目难度有所提高，可分层次作答。在教学时，要关注学生是否灵活运用法则解决问题，是否能有条理地表达自己的解题思路，同时注意点拨，引导学生积累解决问题的方法和技巧.
中考链接
活动内容：整式的乘除的相关中考题
链接1 下列运算正确的是（ ）.
A．a2 a3＝a6 B．a3+a2＝a5 C． D．
链接2 下列运算正确的是（ ）.
A．(-x2)3＝-x5 B．x2+x3＝x5 C．x3 x4＝x7 D．2x3-x3＝1
链接3 下列计算正确的是（ ）.
A．x2+x3＝x5 B．x2 x3＝x5 C．(-x2)3＝x8 D．x6÷x2＝x3
链接4 计算(a﹣2)(a+3)的结果是（ ）.
A．a2-6 B．a2+a-6 C．a2+6 D．a2-a+6
链接5 计算：x(x-2y)-(x+y)2
链接6 化简：(a2b+2ab2-b3)÷b-(a-b)2
活动目的：让学生通过中考题型，内化知识，灵活运用法则公式，体验成功的喜悦，从而增强自信心
活动注意事项：中考题的考点和知识点之间的迁移与运用
课堂小结
活动内容：畅谈这节课的收获和体会
活动目的：让学生通过畅谈自己的收获的体会，巩固所学知识，感受数学思想、方法.
活动注意事项：本节课是复习课，在形成知识体系和解答综合性题目的过程中学生肯定有不少收获和感想，在小结时让学生互相交流，加深对全章知识的理解和把握，还可以让学生说说困惑，结合相关习题进行点拨.
五、教学设计反思
1．课前让学生独立完成全章知识结构图，使他们亲自经历知识梳理的过程，课上再交流、点拨，这样的教学过程使学生更好地感受幂的运算与整式的乘除法之间的关系，形成自己的知识体系.
2．本节课是复习课，整体上以基础题目为主，在此基础上提供了少量综合性、灵活性较强的题目，这样就可以让每一个学生都能融入到课堂，都能感受到成功的快乐，找到学习的自信.
3．实际教学时可以根据学生的特点将复习课的上课形式设计得更加灵活多样，除了传统的师生问答，还可以采用分组竞赛、必答抢答等方式，让学生在活泼又不失紧张的学习氛围中快乐的学习.
