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2.1.1两条直线的位置关系（1） 教案
课题 2.1.1两条直线的位置关系（1） 单元 第2单元 学科 数学 年级 七年级（下）
学习目标 1.理解相交线、平行线的概念，了解两条直线的位置关系；2.理解对顶角、补角、余角的概念；3.掌握对顶角、补角、余角的性质，并能运用它们的性质进行角的运算及解决一些实际问题.
重点 对顶角、余角、补角的定义及其性质；
难点 性质的应用。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一、创设情景，引出课题生活中好多事物给我们线的感觉，那么下列这些事物给我们什么印象呢？追问：它们所在的直线会相交吗？建筑物、道路、桥梁、山川等。在大自然的杰作和人类的创造物中，蕴含着无数的相交线和平行线。提出问题并引出平面内两条直线有相交和平行两种位置关系.【思考】同一平面内，两条直线的位置关系有哪几种？若两条直线只有一个公共点，称这两条直线为相交线.在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线.在同一平面内，不重合的两直线的位置关系只有平行与相交两种.练一练：下列说法中，正确的个数有（ ）（1）在同一平面内不相交的两条线段必平行（2）在同一平面内不相交的两条直线必平行（3）在同一平面内不平行的两条线段必相交 （4）在同一平面内不平行的两条直线必相交 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个B对顶角的概念及性质【画一画】请动手画出两条直线，直线AB和直线CD，交于点O.【思考】观察你所画图形,其中∠1和∠2的位置有什么关系？师：直线AB与CD相交于点O，∠1与∠2有公共顶点O，它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角.【想一想】图中还有其它的角构成对顶角吗？【思考】观察你所画图形,其中∠1和∠2的大小有什么关系？为什么？师：我们也可以用推理法因为∠AOB和∠COD都是平角，所以∠2+ ∠3=180°，∠1+∠3=180°，所以∠2=180- ∠3，∠1=180- ∠3，所以∠2= ∠1。师：对顶角有什么性质？练一练：下列各组角中，∠1与∠2是对顶角的为 ( )D【总结归纳】判断对顶角方法：1.有公共的顶点. 2.角的两边互为反向延长线.理解对顶角需要注意的三点：【思考】观察你所画图形,其中∠1和∠3的大小有什么关系？师：如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角.图中还有其他的角也构成互为补角的关系吗？【思考】如果两个角的和是90°，那么这两角有什么关系？如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角。注意：互余与互补是指两个角之间的数量关系，与它们的位置无关。 思考自议在具体情境中了解相交线、平行线、补角、余角、对顶角的定义； 数学来源于生活，通过引导学生从身边熟悉的图形出发，体会数学与生活的联系，总结出同一平面内两条直线的基本位置关系，体会本章内容的重要性和在生活中的广泛应用，为引入新课做好准备.
讲授新课 提炼概念有公共顶点O，它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角.如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角.如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角。三、典例精讲【做一做】如图，打台球时，选择适当的方向用白球击打红球，反弹后的红球会直接入袋，此时∠1=∠2。将上图简化成下图，ON与DC交于点O，∠DON=∠CON=900，∠1=∠2.小组合作交流，解决下列问题：问题1：哪些角互为补角？哪些角互为余角？∠NOD与∠NOC互为补角，∠1与∠AOC互为补角，∠2与∠BOD互为补角，∠2与∠AOC互为补角，∠3与∠1互为余角，∠4与∠2互为余角，∠3与∠2互为余角，∠4与∠1互为余角，问题2：∠3与∠4有什么关系？为什么？问题3：∠AOC与∠BOD有什么关系？为什么？∠AOC=∠BOD因为∠1= ∠2， ∠1+∠AOC=180°, ∠ 2+∠BOD=180°，所以∠AOC=∠BOD.你能得到什么结论？同角(等角)的补角相等【总结归纳】文字语言：同角或等角的余角相等几何语言：∵ ∠1+∠3=90 ∠2+∠4=90 且∠1=∠2 ∴ ∠3= ∠4文字语言：同角或等角的补角相等几何语言：∵ ∠1+∠AOC=180 ∠2+∠DOB=180 ∠1=∠2∴ ∠AOC= ∠DOB由实景图抽象出几何图形，并设计了三个问题，环环相扣，层层递进，目的是引导学生探索出“同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等.”的结论. 能运用该法则准确进行有理数的加法运算.经历操作、观察、猜想、交流、推理等获取信息的过程，进一步发展空间观念、推理能力和有条理表达的能力； 掌握对顶角、补角、余角的性质，并能运用它们的性质进行角的运算及解决一些实际问题.
课堂检测 四、巩固训练 1．如图，下列各组角中，互为对顶角的是（ ）A．∠1和∠2 B．∠1和∠3C．∠2和∠4 D．∠2和∠5A2.下列说法中，正确的有（ ）
①对顶角相等
②相等的角是对顶角
③不是对顶角的两个角就不相等
④不相等的角不是对顶角
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个B3.如图已知：直线AB与CD交于点O, ∠EOD=90°, 回答下列问题： （1）∠AOE的余角是______ ；补角是____ ； （2）∠AOC的余角是______；补角是______；对顶角是______. 答案：（1）∠AOC，∠BOE ∠AOE,∠BOC,∠BOD如图,∠COD=∠EOD=90°, C、O、E在一条直线上, 且∠2= ∠4, 请说出∠1与∠3之间的关系 并试着说明理由 ∠1与∠3相等(等角的余角相等).5.若一个角的补角等于它的余角的4倍，求这个角的度数.解：设这个角是x°，则它的补角是（180－x°）, 余角是（90°－x°） ,根据题意得： 180－x = 4（90－x） 解得： x = 60 答：这个角的度数是60°.
课堂小结
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北师大版 七年级下
2.1.1两条直线的位置关系（1）
情境引入
火车道：
线条平行
合作学习
导入新课
生活中处处可见建筑物、道路、桥梁、山川等。在大自然的杰作和人类的创造物中，蕴含着无数的相交线和平行线。
提炼概念
若两条直线只有一个公共点，称这两条直线为相交线
相交
a
b
在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线.
a
b
平行
不相交的两条直线一定是平行线吗？
同一平面内两直线的位置关系：
平行
相交
a
b
b
a
在同一平面内，不重合的两直线的位置关系只有平行与相交两种.
注意：平行线的定义包含三层意思：
（1）“在同一平面内”是前提条件；
（2）“不相交”就是说两条直线没有交点；
（3）平行线指的是“两条直线”而不是两条射线或两条线段．
练一练：下列说法中，正确的个数有（ ）
（1）在同一平面内不相交的两条线段必平行
（2）在同一平面内不相交的两条直线必平行
（3）在同一平面内不平行的两条线段必相交
（4）在同一平面内不平行的两条直线必相交
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
B
√
×
×
√
如图，把两根木条用钉子钉在一起，转动其中一根木条，观察两根木条所形成的角的位置及大小关系.
你能动手画出两条相交直线吗
∠1，∠2，∠3，∠4
两条直线相交，形成的小于平角的角有哪几个？
1
2
3
4
B
A
C
D
o
将这些角两两相配能得到几对角？
分类
两直线相交
∠1 和∠3
位置关系
你能根据这几对角的位置关系，对它们进行分类吗？
B
A
C
D
2
4
1
3
∠2 和∠4
1.有公共顶点
3.两边互为反向延长线
2.没有公共边
2
1
A
B
C
D
O
3
4
对顶角的概念：两个角的两边互为反向延长线，则这两个角叫做对顶角．
特别关注：
（1）对顶角只有在两条直线相交时才出现．
（2）对顶角是指两个角的位置关系．
练一练：下列各组角中，∠1与∠2是对顶角的为 ( )
D
C
O
A
B
D
4
3
2
1
探究：∠1 与∠3在数量上又有什么关系呢？
讨论：你能利用有关知识来验证∠1与∠3的数量关系吗？
猜想：对顶角相等
O
A
B
C
D
4
3
2
1
已知：直线AB与CD相交于O点(如图),
求证:∠1=∠3， ∠2=∠4.
证明：因为直线AB与CD相交于O点,
所以∠1+∠2=180°
∠2+∠3=180°，
所以∠1=∠3.
同理可得∠2=∠4.
符号语言：因为直线AB与CD相交于O点，
所以∠1=∠3，∠2=∠4.
互为余角、互为补角的概念：
如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角（如图）．
如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角（如图）．
在图1中，∠1与∠3有什么数量关系？
注意：互余与互补是指两个角
之间的数量关系，与它们的位置无关.
∠1和∠3有一条公共边DC，它们的另一边互为反向延长线（∠1和∠3互补），具有这种关系的两个角，互为邻补角。
3
2
1
4
A
B
C
D
图1
N
2
D
C
O
1
3
4
A
B
图2
打台球时，选择适当的方向，用白球击打红球，反弹后的红球会直接入袋，此时∠1=∠2，将图1抽象成图2，ON与DC交于点O，∠DON=∠CON=900，∠1=∠2.
典例精讲
观察思考，在图2中，解决下列问题：
1.哪些角互为补角？哪些角互为余角？
2.∠3与∠4有什么关系？为什么？
3.∠AOC与∠BOD有什么关系？为什么？
N
图2
解：
(1)∠1与∠ AOC, ∠2与∠ BOD互补;
∠1与∠ 3, ∠2与∠ 4互余；
2
D
C
O
1
3
4
A
B
（2）因为∠1= ∠2，
∠ 1+∠3=90° ,
∠ 2+∠4=90°，
所以 ∠ 3=∠4.
同角(等角)的余角相等
归纳总结：同角(等角)的补角相等，同角(等角)的余角相等.
N
2
D
C
O
1
3
4
A
B
图2
（3）因为∠1= ∠2，
∠1+∠AOC=180°,
∠ 2+∠BOD=180°，
所以∠AOC=∠BOD.
同角(等角)的补角相等
归纳概念
互余 互补
两角间的数量关系
对应图形
性质
同角或等角的
余角相等
同角或等角的
补角相等
互余与
互补只与
角的数值
有关，与位
置无关。
而对顶角是
根据角的
位置来
判断的
课堂练习
1．如图，下列各组角中，互为对顶角的是（ ）
A．∠1和∠2 B．∠1和∠3
C．∠2和∠4 D．∠2和∠5
A
2.下列说法中，正确的有（ ） ①对顶角相等 ②相等的角是对顶角 ③不是对顶角的两个角就不相等 ④不相等的角不是对顶角 A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
B
√
√
3.如图已知：直线AB与CD交于点O, ∠EOD=900,
回答下列问题：
（1）∠AOE的余角是 ；补角是 ；
（2）∠AOC的余角是 ；补角是 ；
对顶角是 ；
C
A
B
D
O
E
∠AOC
∠BOE
∠AOE
∠BOC
∠BOD
4.如图,∠COD=∠EOD=90°, C、O、E在一条直线上, 且∠2= ∠4, 请说出∠1与∠3之间的关系 并试着说明理由
O
∠1与∠3相等
(等角的余角相等).
5.若一个角的补角等于它的余角的4倍，求这个角的度数.
解：设这个角是x°，则它的补角是（180－x°）,
余角是（90°－x°） ,根据题意得：
180－x = 4（90－x）
解得： x = 60
答：这个角的度数是60°.
课堂总结
两直线的位置关系
平行
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.
相交
在同一平面内，若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线.
对顶角
补角
余角
有公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这样的两个角，互为对顶角．
对顶角相等.
如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角.
同角或等角的余角相等
如果两个角的和是180°，
那么称这两个角互为补角.
同角或等角的补角相等
作业布置
教材课后配套作业题。
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2.1.1两条直线的位置关系（1） 学案
课题 2.1.1两条直线的位置关系（1） 单元 第2单元 学科 数学 年级 七年级下册
学习目标 1.理解相交线、平行线的概念，了解两条直线的位置关系；2.理解对顶角、补角、余角的概念；3.掌握对顶角、补角、余角的性质，并能运用它们的性质进行角的运算及解决一些实际问题.
重点 对顶角、余角、补角的定义及其性质；
难点 性质的应用。
教学过程
导入新课 【引入思考】 生活中好多事物给我们线的感觉，那么下列这些事物给我们什么印象呢？追问：它们所在的直线会相交吗？【思考】同一平面内，两条直线的位置关系有哪几种？练一练：下列说法中，正确的个数有（ ）（1）在同一平面内不相交的两条线段必平行（2）在同一平面内不相交的两条直线必平行（3）在同一平面内不平行的两条线段必相交 （4）在同一平面内不平行的两条直线必相交 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【画一画】请动手画出两条直线，直线AB和直线CD，交于点O.【思考】观察你所画图形,其中∠1和∠2的位置有什么关系？【思考】观察你所画图形,其中∠1和∠2的大小有什么关系？为什么？练一练：下列各组角中，∠1与∠2是对顶角的为 ( )【思考】观察你所画图形,其中∠1和∠3的大小有什么关系？【思考】如果两个角的和是90°，那么这两角有什么关系？
新知讲解 提炼概念 有公共顶点O，它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角.如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角.如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角。典例精讲 【做一做】如图，打台球时，选择适当的方向用白球击打红球，反弹后的红球会直接入袋，此时∠1=∠2。将上图简化成下图，ON与DC交于点O，∠DON=∠CON=900，∠1=∠2.小组合作交流，解决下列问题：问题1：哪些角互为补角？哪些角互为余角？问题2：∠3与∠4有什么关系？为什么？问题3：∠AOC与∠BOD有什么关系？为什么？你能得到什么结论？
课堂练习 巩固训练 1．如图，下列各组角中，互为对顶角的是（ ）A．∠1和∠2 B．∠1和∠3C．∠2和∠4 D．∠2和∠52.下列说法中，正确的有（ ）
①对顶角相等
②相等的角是对顶角
③不是对顶角的两个角就不相等
④不相等的角不是对顶角
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个3.如图已知：直线AB与CD交于点O, ∠EOD=90°, 回答下列问题： （1）∠AOE的余角是______ ；补角是____ ； （2）∠AOC的余角是______；补角是______；对顶角是______. 4.如图,∠COD=∠EOD=90°, C、O、E在一条直线上, 且∠2= ∠4, 请说出∠1与∠3之间的关系 并试着说明理由 5.若一个角的补角等于它的余角的4倍，求这个角的度数.答案引入思考若两条直线只有一个公共点，称这两条直线为相交线.在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线.练一练 B直线AB与CD相交于点O，∠1与∠2有公共顶点O，它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角.练一练 D如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角.如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角。提炼概念典例精讲 问题1 ：∠NOD与∠NOC互为补角，∠1与∠AOC互为补角，∠2与∠BOD互为补角，∠2与∠AOC互为补角，∠3与∠1互为余角，∠4与∠2互为余角，∠3与∠2互为余角，∠4与∠1互为余角，问题3 ∠AOC=∠BOD因为∠1= ∠2， ∠1+∠AOC=180°, ∠ 2+∠BOD=180°，所以∠AOC=∠BOD.同角(等角)的补角相等巩固训练 1.A2.B3.答案：（1）∠AOC，∠BOE ∠AOE,∠BOC,∠BOD4.∠1与∠3相等(等角的余角相等).5.解：设这个角是x°，则它的补角是（180－x°）, 余角是（90°－x°） ,根据题意得： 180－x = 4（90－x） 解得： x = 60 答：这个角的度数是60°.
课堂小结
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