6.2.4平面向量的数量积分类练习-2021-2022学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册（Word含答案解析）

6.2.4平面向量的数量积
◎平面向量数量积的定义
1．（2021·广东·深圳市龙岗区德琳学校高一期中）已知，，且与的夹角，则等于（ ）
A． B．6 C． D．
2．（2022·全国·专题练习）（多选）已知向量，满足，，，下列说法中正确的有（ ）
A． B． C．与的夹角为 D．
3．（2021·全国·高一课时练习）已知向量与的夹角为，，，分别求在下列条件下的：
(1)；
(2)；
(3)．
◎平面向量的投影
1．（2021·四川·成都外国语学校高一期中（理））已知，，向量在方向上投影是4，则为（ ）
A．12 B．8 C．-8 D．2
2.（2021·河南·西南大学附中期中（文））已知平面向量，的夹角为则单位向量在上的投影为______．
◎平面向量数量积的运算律
1.（2021·全国·高一课时练习）已知、、不共线的非零向量，则下列等式中不成立的是（ ）．
A． B．
C． D．
2．（2021·重庆市凤鸣山中学阶段练习）已知向量满足与的夹角为，则______．
3．（2021·上海市奉贤区奉城高级中学阶段练习）已知与 的夹角都是，⊥，，，，计算：
(1)；
(2).
巩固提升
一、单选题
1．已知平面向量，满足，与的夹角为，则（ ）
A． B． C．5 D．3
2．若非零平面向量，满足，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量，夹角为，且，，则（ ）
A．5 B． C．4 D．3
4．若，且，则k＝（ ）
A．－6 B．6
C．3 D．－3
5．已知向量，均为非零向量，且在方向上的投影是2，则下列说法正确的是（ ）
A．在方向上的投影是－4 B．在方向上的投影是2
C．在方向上的投影是2 D．在方向上的投影是4
6．已知等边的边长为2，点、分别为、的中点，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．已知是三个向量，在下列命题中，假命题是（ ）
A． B．
C． D．若，则
8．（多选）在中，BD为斜边AC上的高，下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．若平面向量，，两两的夹角相等，且，，，则（ ）
A． B．2 C． D．5
三、填空题
10．已知向量与的夹角为，，则在方向上的投影为______．
11．若非零向量，满足，则，的夹角为______.
12．已知圆的半径为3，，为该圆的两条切线，为切点，则的最小值为___________.
四、解答题
13．已知向量，，与的夹角为.
(1)求；
(2)求.
14．是否存在，，使？请画出图形说明．
15．设向量满足，且 与 具有关系 (k＞0)．
(1) 与 能垂直吗？
(2)若 与夹角为60°，求k的值
参考答案
◎平面向量的数量积的定义
1．A
因为，，且与的夹角，
所以.
故选：A.
2．ACD
对于A，由，得，因为，，所以，得，所以A正确，
对于B，因为，所以不成立，所以B错误，
对于C，因为，所以，因为，，所以，因为，所以，所以C正确，
对于D，因为，，，所以，所以D正确，
故选：ACD
3．(1)
(2)或
(3)
(1)
解：因为，，，所以；
(2)
解：因为，所以或，
当时，；
当时，；
所以的值为或.
(3)
解：因为，所以，
所以.
◎平面向量的投影
1．A
解：设两个向量的夹角为，由题意已知，，
向量在方向上投影是4，则，
所以；
故选：A.
2．
单位向量在上的投影为．
故答案为：．
◎平面向量数量积的运算律
1．B
A：，A正确；
B：设，则，
设，则，
因为与非零不共线，所以一般情况下，故B错误；
C：向量数乘的数量积满足结合律，C正确；
D：数量积满足交换律，D正确；
故选：B
2．
根据题意，，
又，则.
故答案为：．
3．(1)0；
(2).
(1)
.
(2)
∴.
巩固提升
1．D
因为，与的夹角为，
所以，
故选：D
2．C
解：因为
所以
所以，所以，所以
故选：C
3．A
∵向量，夹角为，且，，
∴
即 ，
解得或（舍去）
故选：A.
4．B
解：由题意，得，
由于，故，
又，于是，解得.
故选：B.
5．C
因为向量，均为非零向量，且在方向上的投影是2，
所以，而，，
所以在方向上的投影为，
在方向上的投影是.
故选：C.
6．D
在中，取为基底，则.
因为点、分别为、的中点，
所以.
.
所以.
故选：D
7．CD
向量数量积公式满足交换律和分配率，所以AB正确；
表示与向量共线的向量，表示与向量共线的向量，
两个向量不一定相等，故C不正确；
，
那么或或，故D不正确.
故选：CD.
8．AD
对于A选项，，根据向量的几何意义得到
，故选项正确；
对于B选项，，由向量的几何意义得到
，故选项错误；
对于C选项，，故选项错误；
对于D选项， ，
，故选项正确；
故选：AD
9．BD
，
因为平面向量，，两两的夹角相等，所以夹角有两种情况，
即，，两两的夹角为或，
当夹角为时，
，，，
，
当夹角为时，
，，
，
，
所以或
故选：BD．
10．
在方向上的投影为．
故答案为：
11．##
由得，
因为，所以，
所以， ．
故答案为：．
12．
如图所示，设（），，
则，，，
，
当且仅当即时等号成立，
∴的最小值是.
故答案为：．
13．(1)
(2)
（1）由，结合，即可求解；
（2）由，即可求解.
(1)
解：由题意，向量，，与的夹角为，
可得，
又由.
(2)
解：因为向量，，且，
所以.
14．存在，图形见解析
根据平面向量数量积的运算律及向量夹角的计算公式求出与的夹角，即可得解；
【详解】
解：因为，所以，即，即，即，设与的夹角为，则，因为，所以，即当与的夹角为且与的模相等时，满足，
图形如下所示：
15．(1)不能
(2)k＝1
(1)
∵，
∴，
∵,∴ ,
∴,
∵，∴，即 与不垂直；
(2)
∵ 与夹角为60°，且,
∴,
由（1）知，
∴,∴k=1.