广东省梅州市某重点中学2012-2013学年高二上学期期中数学理试题

2012年下期高二级期中考试
理科数学
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．利用斜二测画法得到的
①三角形的直观图一定是三角形；21世纪教育网
②正方形的直观图一定是菱形；
③等腰梯形的直观图可以是平行四边形；
④菱形的直观图一定是菱形.
以上结论正确的是
A．①②　　 B． ①　　　 C．③④　　 D． ①②③④
2..平面α上有不共线三点到平面β的距离相等，则α与β的位置关系为　
（A）平行 （B）相交 （C）平行或相交 （D）垂直
3..给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.
其中，为真命题的是
A．①和② B．②和③ C．③和④ D．②和④
4．三棱锥P—ABC中，若PA⊥平面ABC，∠ACB＝90°，那么在三棱锥的侧面和底面中，直角三角形的个数为
A．4个 B． 3个 C． 2个 D． 1个
5.若l、m、n是互不相同的空间直线，，是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是
A．若，则
B．若，则
C. 若，则
D．若，则⊥
6．已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积是
A． B．
C． D．6
7．在棱长为2的正方体中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是、AD的中点，那么异面直线OE和所成的角的余弦值等于[来源:21世纪教育网]
A． B． C． D．
8．设E，F是正方体AC1的棱AB和D1C1的中点，在正方体的12条面对角线中，与截面A1ECF成60°角的对角线的数目是
A．0 B．2 C．4 D．6
二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 21世纪教育网
9．E，F，G分别是四面体ABCD的棱BC，CD，DA的中点，则此四面体中与过E，F，G的截面平行的棱的条数是 条
10.圆柱的侧面展开图是边长为4的正方形，则圆柱的体积是
11. 如下图则该几何体的侧面积为

12. 已知是两个不同的平面，m、n是平面之外的两条不同的直线，给出四个论断：
①m⊥n，②，③，④。
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题______________。
13．已知边长为的正三角形ABC中，E、F分别为BC和AC的中点，PA⊥面ABC，且PA=2，设平面过PF且与AE平行，则AE与平面间的距离为 ．
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14．棱长都为2的直平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，∠BAD=60°，则对角线A1C与侧面DCC1D1所成角的余弦值为________.
三、解答题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
15．（12分）如图，正三棱柱的底面边长是2，侧棱长是，D是AC的中点.求证：平面.
16. （12分）一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个正三棱锥的表面积。
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17．（14分）如图，四棱锥中，底面是正方形，是正方形的中心，底面，是的中点．
求证：（Ⅰ）∥平面；
（Ⅱ）平面平面.
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18. (14分)如图4，是圆柱的母线，是圆柱底面圆的直径，是底面圆周上异于的任意一点， ．（1）求证：⊥平面；（2）求三棱锥的体积的最大值．
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19．（14分）一个几何体是由圆柱和三棱锥组合而成，点、、在圆的圆周上，其正（主）视图、侧（左）视图的面积分别为10和12，如图2所示，其中，，，． （1）求证：；（2）求三棱锥的体积．
[来源:21世纪教育网]
20.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BAD=60°，AB=4，
AD=2，侧棱PB=，PD=。21世纪教育网[来源:21世纪教育网]
（1）求证：BD⊥平面PAD；
（2）若PD与底面ABCD成60°的角，试求二面角P—BC—A的正切值。
理科数学参考答案[来源:21世纪教育网]
一、选择题。
1-4BCDA 5-8DCDC
二、填空题.
9.2 10. 11.80 12.
13． 14.
三．解答题
15．证明：设与相交于点P，连接PD，则P为中点，
D为AC中点，PD//.21世纪教育网
又PD平面D，//平面D 21世纪教育网
16.解：由三视图知正三棱锥的高为2mm
由左视图知正三棱锥的底面三角形的高为
设底面边长为a，则
∴正三棱柱的表面积

17.证明：（Ⅰ）连结．
∵是的中点，是的中点，
∴∥，
又∵平面，平面，
∴∥平面．
（Ⅱ）∵底面，
∴，
又∵，且=，
∴平面．[来源:21世纪教育网]
而平面，
∴平面平面.
18.（1）证明：∵是圆周上异于、的一点，且为直径，∴． ∵⊥面，面，∴.∵面,面,∴面．
（2）解法1:设,在Rt△ 中，（0＜x＜2，
故（0＜x＜2,
即．
∵,∴当，即时，三棱锥的体积的最大值为．
19.（1）证明：因为，，所以，即．
又因为，，所以面．因为，所以．
（2）解：因为点、、在圆的圆周上，且，所以为圆的直径．
设圆的半径为，圆柱高为，根据正（主）视图、侧（左）视图的面积可得，
解得 所以，．
由（1）知，面，所以． 因为，，
所以，即．其中，因为，，
所以． 所以．21世纪教育网
20.解 （1）由已知AB=4，AD=2，∠BAD=60°，
得BD2=AD2+AB2-2AD·ABcos60° =4+16-2×2×4×=12。
∴AB2=AD2+BD2，
∴△ABD是直角三角形，∠ADB=90°，
即AD⊥BD。
在△PDB中，PD=，PB=，BD=，
∴PB2=PD2+BD2，故得PD⊥BD。
又PD∩AD=D，∴BD⊥平面PAD。
（2）∵BD⊥平面PAD，BD平面ABCD，
∴平面PAD⊥平面ABCD。
作PE⊥AD于E，又PE平面PAD，∴PE⊥平面ABCD，
∴∠PDE是PD与底面BCD所成的角，∴∠PDE=60°，
∴PE=PDsin60°=·=。
作EF⊥BC于F，连PF，则PF⊥BC，∴∠PFE是二面角P—BC—A的平面角。
又EF=BD=，∴在Rt△PEF中，21世纪教育网
tan∠PFE===。