2021-2022学年北师大版八年级数学下册1.2直角三角形课后自主提升训练（Word版含答案）

2021-2022学年北师大版八年级数学下册《1-2直角三角形》课后自主提升训练（附答案）
1．在△ABC中，∠ACB为直角，∠A＝30°，CD⊥AB于D，若BD＝1，则AB的长度是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
2．如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加一个条件是（　　）
A．AE＝DF B．∠A＝∠D C．∠B＝∠C D．AB＝DC
3．如图，一根长为a的木棍（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙上，设木棍的中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑动，在滑动的过程中OP的长度（　　）
A．减小 B．增大
C．不变 D．先减小再增大
4．Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝54°，则∠A的度数是（　　）
A．66° B．36° C．56 D．46°
5．如图，△ABC中，CD⊥AB于D，且E是AC的中点．若AD＝6，DE＝5，则CD的长等于（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．等腰三角形一腰上的高与腰之比1：2，则等腰三角形顶角的度数为（　　）
A．30° B．60°或120° C．30°或150° D．150°
7．直角三角形中，两直角边分别是12和5，则斜边上的中线长是（　　）
A．34 B．26 C．8.5 D．6.5
8．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，F为BC的中点，DE＝5，BC＝8，则△DEF的周长是（　　）
A．21 B．18 C．13 D．15
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，若AB＝8，则CD的长是（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
10．如图，一根木棍斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点P到点O的距离（　　）
A．不变 B．变小 C．变大 D．无法判断
11．如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，则下列关系式正确的为（　　）
A．BD＝CD B．BD＝2CD C．BD＝3CD D．BD＝4CD
12．在△ABC中，AB＝AC，若AB边上的高CD与底边BC所成角是30°，且BD＝1，则△ABC的周长是（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
13．如图，CD是△ABC的边AB上的中线，且CD＝AB，则下列结论错误的是（　　）
A．∠B＝30° B．AD＝BD
C．∠ACB＝90° D．△ABC是直角三角形
14．使两个直角三角形全等的条件是（　　）
A．一锐角对应相等 B．一条直角边和一个锐角对应相等
C．一条边对应相等 D．两锐角对应相等
15．如图，△ABC中，∠A＝67.5°，BC＝4，BE⊥CA于E，CF⊥AB于F，D是BC的中点．以F为原点，FD所在直线为x轴构造平面直角坐标系，则点E的横坐标是（　　）
A．2﹣ B．﹣1 C．2﹣ D．
16．已知等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则该等腰三角形的底角为（　　）
A．75°或15° B．30°或60° C．75° D．30°
17．若等腰三角形腰长为8，腰上的高为4，则此三角形的顶角是（　　）
A．30° B．150° C．30°或150° D．30°或120°
18．在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，点E在AC上，且∠EDC＝72°，点F在AB上，满足DE＝DF，则∠CEF的度数为　 　．
19．等腰△ABC中，AC＝BC＝16，∠ACB＝120°，点D是AC中点，E点、F点分别在AB、BC上，且AE＝2BE，连EF，过F作EF的垂线，交AC于G，当点F从C点向B点运动的过程中，若GD＝2，则BF＝　 　．
20．如图，∠C＝90°，D是CA的延长线上一点，∠D＝15°，且AD＝AB，则BC＝　 　AD．
21．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AC中点，DE⊥AC于点D，交BC于E，连接BD．求证：∠ABD＝∠CED．
22．（1）如图1，OB是Rt△ABC斜边上的中线，延长BO到D，使OD＝OB，连接DA．利用图1证明：中线OB等于斜边AC的一半．
（2）上面（1）中的结论是一个很重要的定理，利用此定理证明下题：如图2，点E是Rt△ABC的直角边AC上的点，ED⊥AB于D，F是线段BE的中点，连接FC、FD、CD，则有∠FCD＝∠FDC．
23．如图1，已知∠ABC＝90°，△ABC是等腰三角形，点D为斜边AC的中点，连接DB，过点A作∠BAC的平分线，分别与DB，BC相交于点E，F．
（1）求证：BE＝BF；
（2）如图2，连接CE，在不添加任何辅助线的条件下，直接写出图中所有的等腰三角形．
24．如图（1），已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点．
（1）求证：MN⊥DE．
（2）连接DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并证明猜想．
（3）当∠A变为钝角时，如图（2），上述（1）（2）中的结论是否都成立，若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由．
25．如图（1），Rt△AOB中，∠A＝90°，∠AOB＝60°，OB＝2，∠AOB的平分线OC交AB于C，过O点作与OB垂直的直线ON．动点P从点B出发沿折线BC﹣CO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，运动时间为t秒，同时动点Q从点C出发沿折线CO﹣ON以相同的速度运动，当点P到达点O时P、Q同时停止运动．
（1）求OC、BC的长；
（2）设△CPQ的面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）当P在OC上Q在ON上运动时，如图（2），设PQ与OA交于点M，当t为何值时，△OPM为等腰三角形？求出所有满足条件的t值．
参考答案
1．解：∵∠ACB为直角，∠A＝30°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝60°，
∵CD⊥AB于D，
∴∠DCB＝90°﹣∠B＝30°
∴AB＝2BC，BC＝2BD，
∴AB＝4BD＝4．
故选：A．
2．解：条件是AB＝CD，
理由是：∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠CFD＝∠AEB＝90°，
在Rt△ABE和Rt△DCF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），
故选：D．
3．解：∵AO⊥BO，点P是AB的中点，
∴OP＝AB＝×a＝a，
∴在滑动的过程中OP的长度不变．
故选：C．
4．解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝54°，
∴∠A＝90°﹣∠B＝90°﹣54°＝36°；
故选：B．
5．解：∵△ABC中，CD⊥AB于D，
∴∠ADC＝90°．
∵E是AC的中点，DE＝5，
∴AC＝2DE＝10．
∵AD＝6，
∴CD＝＝＝8．
故选：D．
6．解：当该三角形为锐角三角形时，如图1，
∵sin∠A＝＝，
∴∠A＝30°，即△ABC的顶角为30°；
当该三角形为钝角三角形时，如图2，
在Rt△ABD中，∵sin∠BAD＝＝，
∴∠BAD＝30°，
∴∠BAC＝150°，即△ABC的顶角为150°；
综上可知该三角形的顶角为30°或150°，
故选：C．
7．解：由勾股定理得，斜边＝＝13，
所以，斜边上的中线长＝×13＝6.5．
故选：D．
8．解：∵CD⊥AB，F为BC的中点，
∴DF＝BC＝×8＝4，
∵BE⊥AC，F为BC的中点，
∴EF＝BC＝×8＝4，
∴△DEF的周长＝DE+EF+DF＝5+4+4＝13．
故选：C．
9．解：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，
∴CD＝AB＝×8＝4．
故选：C．
10．解：不变．连接OP，
在Rt△AOB中，OP是斜边AB上的中线，
那么OP＝AB，
由于木棍的长度不变，所以不管木棍如何滑动，OP都是一个定值．
故选：A．
11．解：∵AB＝AC，∠C＝30°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∴∠BAC＝180﹣30°×2＝120°，
又∵BAD＝90°，
∴∠1＝120°﹣90°＝30°，
∴∠1＝∠C＝30°，
∴DC＝AD，
∵在Rt△ABD中，∠B＝30°，
∴AD＝BD，
则CD＝BD．
∴BD＝2CD．
故选：B．
12．解：∵在等腰△ABC中，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵∠DCB＝30°，∠CDB＝90°，
∴∠DBC＝90﹣30＝60°，
∴∠ACB＝∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵BD＝1，
∴BC＝2，
∴△ABC周长是3×2＝6．
故选：B．
13．解：∵CD是△ABC的边AB上的中线，
∴AD＝BD，故B选项正确；
又∵CD＝AB，
∴AD＝CD＝BD，
∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCD，
∴∠ACB＝180°×＝90°，故C选项正确；
∴△ABC是直角三角形，故D选项正确；
故选：A．
14．解：A、错误，全等三角形的判定必须有边的参与；
B、正确，符合判定AAS或ASA；
C、错误，全等的两个直角三角形的判定只有一条边对应相等不行；
D、错误，全等三角形的判定必须有边的参与；
故选：B．
15．解：如图所示，连接DE，过E作EH⊥OD于H，
∵BE⊥CA于E，CF⊥AB于F，D是BC的中点，
∴DE＝DC＝BC＝DO＝DB＝2，
∴∠DCE＝∠DEC，∠DBO＝∠DOB，
∵∠A＝67.5°，
∴∠ACB+∠ABC＝112.5°，
∴∠CDE+∠BDO＝（180°﹣2∠DCE）+（180°﹣2∠DBO）
＝360°﹣2（∠DCE+∠DBO）
＝360°﹣2×112.5°
＝135°，
∴∠EDO＝45°，
∴Rt△DEH中，DH＝，
∴OH＝OD﹣DH＝2﹣，
点E的横坐标是2﹣，
故选：A．
16．解：如图①：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∵CD＝AC
∴∠A＝30°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝＝75°；
如图②：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∵CD＝AC，
∴∠CAD＝30°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB
∴∠DAC＝∠B+∠ACB＝2∠B＝30°，
∴∠B＝∠ACB＝15°．
这个三角形的底角为：75°或15°．
故选：A．
17．解：如图1，∵腰长AB＝8，高线BD＝4，
∴∠A＝30°，即顶角是30°，
如图2，∵腰长AC＝8，高线CD＝4，
∴∠CAD＝30°，
∴顶角∠BAC＝180°﹣30°＝150°，
所以，此三角形的顶角是30°或150°．
故选：C．
18．解：如图，当点F在BD上时，
∵Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，
∴DC＝AB＝DB，
∴∠CDB＝180°﹣2∠B，
∵DE＝DF，
∴△DEF中，∠DFE＝（180°﹣∠EDF）
＝（180°﹣∠EDC﹣∠CDB）
＝（108°﹣∠CDB）
＝54°﹣∠CDB
＝54°﹣（180°﹣2∠B）
＝∠B﹣36°，
∵∠CEF是△AEF的外角，
∴∠CEF＝∠A+∠AFE
＝90°﹣∠B+∠B﹣36°
＝54°，
当点F'在AD上时，由DF＝DE＝DF'，可得∠FEF'＝90°，
∴∠CEF'＝∠CEF+∠FEF'＝54°+90°＝144°，
故答案为：54°或144°．
19．解：分两种情况：
①当G在D的上方时，如图1，连接EG、CE，过点F作HF⊥AC，交AC的延长线于H，
∵∠ACB＝120°，
∴∠FCH＝60°，∠CFH＝30°，
设CH＝x，则CF＝2x，HF＝x，
过C作CM⊥AB于M，
∵AC＝BC＝16，
∴AB＝16，∠A＝∠B＝30°，AM＝AB＝8，
∵AE＝2BE，
∴AE＝，
∴EM＝﹣8＝，
Rt△ACM中，∠A＝30°，
∴CM＝8，
∴CE＝＝2EM，
∴∠ECM＝30°，
∵∠ACM＝60°，
∴∠ACE＝90°，
∴∠BCE＝120°﹣90°＝30°，
∵∠GCE＝∠GFE＝90°，
∴∠EGF＝∠ECF＝30°，
Rt△GCE中，EG＝＝，
∵∠EGF＝30°，
∴EF＝EG＝，
∴FG＝＝＝，
在Rt△GFH中，由勾股定理得：GF2＝GH2+FH2，
，
4x2+12x﹣55＝0，
（2x+11）（2x﹣5）＝0，
x1＝﹣5.5（舍），x2＝2.5，
∴BF＝BC﹣CF＝16﹣2x＝16﹣5＝11，
②当G在D的下方时，如图2，同理，CE＝，
∴EG＝＝，
同理EF＝EG＝，
∴FG＝EF＝，
由勾股定理得：GF2＝GH2+FH2，
，
∴BF＝BC﹣CF＝16﹣2x＝16﹣3＝13，
故答案为：11或13．
20．解：∵AB＝AD，
∴∠D＝∠ABD＝15°，
∴∠BAC＝∠D+∠ABD＝30°，
∴在直角△ABC中，BC＝AB＝AD．
故答案是：．
21．证明：∵在△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AC中点，
∴，．
∴AD＝BD．
∴∠A＝∠ABD，
∵DE⊥AC，
∴∠CED+∠C＝90°．
∵∠A+∠C＝90°，
∴∠A＝∠CED，
∴∠ABD＝∠CED．
22．证明：（1）∵OB是Rt△ABC斜边上的中线，
∴OA＝OC，
在△AOD和△COB中，
，
∴△AOD≌△COB（SAS），
∴AD＝CB，∠DAO＝∠C，
又∵∠BAC+∠C＝90°，
∴∠BAC+∠DAO＝90°，即∠DAB＝90°＝∠ABC，
在△ABC和△BAD中，
，
∴△ABC≌△BAD（SAS），
∴AC＝BD，
又∵BO＝BD，
∴BO＝AC，即Rt△ABC中，中线OB等于斜边AC的一半．
（2）∵ED⊥AB，
∴∠EDB＝90°＝∠BCE，
又∵F是线段BE的中点，
∴Rt△BCE中，CF＝BE，
Rt△BDE中，DF＝BE，
∴CF＝DF，
∴∠FCD＝∠FDC．
23．（1）证明：∠ABC＝90°，BA＝BC，点D为斜边AC的中点，
∴BD⊥AC，∠DBC＝45°，
∵AF是∠BAC的平分线，
∴∠BAF＝22.5°，
∴∠BFE＝67.5°，
∴∠BEF＝180°﹣∠EBF﹣∠EFB＝67.5°，
∴∠BFE＝∠BEF，
∴BE＝BF；
（2）∵∠ABC＝90°，BA＝BC，点D为斜边AC的中点，
∴BD＝AD＝CD，
∴△ABD、△CBD是等腰三角形，
由已知得，△ABC是等腰三角形，
由（1）得，△BEF是等腰三角形，
∵AF是∠BAC的平分线，BD是∠ABC的平分线，
∴点E是△ABC的内心，
∴∠EAC＝∠ECA＝22.5°，
∴△AEC是等腰三角形．
24．（1）证明：如图（1），连接DM，ME，
∵CD、BE分别是AB、AC边上的高，M是BC的中点，
∴DM＝BC，ME＝BC，
∴DM＝ME，
又∵N为DE中点，
∴MN⊥DE；
（2）在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∵DM＝ME＝BM＝MC，
∴∠BMD+∠CME＝（180°﹣2∠ABC）+（180°﹣2∠ACB），
＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB），
＝360°﹣2（180°﹣∠A），
＝2∠A，
∴∠DME＝180°﹣2∠A；
（3）结论（1）成立，结论（2）不成立，
理由如下：连接DM，ME，
在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC，
∵DM＝ME＝BM＝MC，
∴∠BME+∠CMD＝2∠ACB+2∠ABC，
＝2（180°﹣∠BAC），
＝360°﹣2∠BAC，
∴∠DME＝180°﹣（360°﹣2∠BAC），
＝2∠BAC﹣180°．
25．（1）解：∵∠A＝90°，∠AOB＝60°，OB＝2，
∴∠B＝30°，
∴OA＝OB＝，
由勾股定理得：AB＝3，
∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝∠BOC＝30°＝∠B，
∴OC＝BC，
在△AOC中，AO2+AC2＝CO2，
∴+（3﹣OC）2＝OC2，
∴OC＝2＝BC，
答：OC＝2，BC＝2．
（2）解：①当P在BC上，Q在OC上时，0＜t＜2，
则CP＝2﹣t，CQ＝t，
过P作PH⊥OC于H，
∠HCP＝60°，
∠HPC＝30°，
∴CH＝CP＝（2﹣t），HP＝（2﹣t），
∴S△CPQ＝CQ×PH＝×t×（2﹣t），
即S＝﹣t2+t；
②当t＝2时，P和C重合，Q和O重合，此时△CPQ不存在；
③当P在OC上，Q在ON上时2＜t＜4，
过P作PG⊥ON于G，过C作CZ⊥ON于Z，
∵CO＝2，∠NOC＝60°，
∴CZ＝，
CP＝t﹣2，OQ＝t﹣2，
∠NOC＝60°，
∴∠GPO＝30°，
∴OG＝OP＝（4﹣t），PG＝（4﹣t），
∴S△CPQ＝S△COQ﹣S△OPQ＝×（t﹣2）×﹣×（t﹣2）×（4﹣t），
即S＝t2﹣t+；
④当t＝4时，P在O点，Q在ON上，如图（3）
过C作CM⊥OB于M，CK⊥ON于K，
∵∠B＝30°，由（1）知BC＝2，
∴CM＝BC＝1，
有勾股定理得：BM＝，
∵OB＝2，
∴OM＝2﹣＝＝CK，
∴S＝PQ×CK＝×2×＝；
综合上述：S与t的函数关系式是：S＝；
．
（3）解：如图（2），∵ON⊥OB，
∴∠NOB＝90°，
∵∠B＝30°，∠A＝90°，
∴∠AOB＝60°，
∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝∠BOC＝30°，
∴∠NOC＝90°﹣30°＝60°，
①OM＝PM时，
∠MOP＝∠MPO＝30°，
∴∠PQO＝180°﹣∠QOP﹣∠MPO＝90°，
∴OP＝2OQ，
∴2（t﹣2）＝4﹣t，
解得：t＝，
②PM＝OP时，
此时∠PMO＝∠MOP＝30°，
∴∠MPO＝120°，
∵∠QOP＝60°，
∴此时不存在；
③OM＝OP时，
过P作PG⊥ON于G，
OP＝4﹣t，∠QOP＝60°，
∴∠OPG＝30°，
∴GO＝（4﹣t），PG＝（4﹣t），
∵∠AOC＝30°，OM＝OP，
∴∠OPM＝∠OMP＝75°，
∴∠PQO＝180°﹣∠QOP﹣∠QPO＝45°，
∴PG＝QG＝（4﹣t），
∵OG+QG＝OQ，
∴（4﹣t）+（4﹣t）＝t﹣2，
解得：t＝
综合上述：当t为或时，△OPM是等腰三角形．