数学思想在方程组中的应用
教学目标:1、复习二元一次方程组的两种解法;
2、注意数学思想在方程组中的应用。
重点和难点:数学思想在方程组中的应用。
教学过程:
一、创设情景,导入新课
思想方法是解题的钥匙,在解题过程这抓住了数学思想,也就打开解题的思路源泉.下面一起走近方程组中的解题思想.
师生共探
1、整体思想
在解决二元一次方程组问题时,有时可根据方程组的特征,采用整体操作的方法进行变形,如整体代入、整体加减等.
例1 解方程组
分析:观察方程组中的第二个方程中的x+y=1正好可以代入第一个方程,就可以直接求出x的值。
例2 解方程组
分析:观察方程组中的两个方程第一项未知数的系数相同,相加后都含有x+y,可采用用整体消元法进行消元.
解:①+②,得12(x+y)=72,故x+y=6,
将x+y=6代入②,得3y+24=36,解得y=4;
将x+y=6代入①,得3x+30=36,解得x=2,
所以方程组的解为
同步练习1:已知,求的值。
同步练习2:已知关于的二元一次方程组的与的和等于3,求的值。
2、方程(组)思想
有的数学问题,可根据题目的已知条件,构造出二元一次方程,借助于方程组解决问题,这种数学思想就是方程思想.
例3、 若3a+2b=4,且2a-b=5,则(a+b)2009的值是______.
分析:由于a、b的值能使3a+2b=4和2a-b=5同时成立,所以只要将关于a、b的两个方程联立成方程组,解之即可.
解:由题意,得解得所以(a+b)2009=(2-1)2009=1.
例4、已知3xa-by3与2xy3a+b是同类项,求a,b的值.
分析:同类项要求相同字母的指数相同,由此可得到关于a、b的方程组,解方程组即可得到a,b的值.
解:根据题意,得解这个方程组
同步练习3:已知,若当
同步练习4:若,则2x+4y的值是____.
分析:本题表面看只有一个方程,不能求出x,y的值,但注意到(5x+2y-12)2与都是非负数,而两个非负数的和等于0,则每一个非负数均为0,由此可得关于x,y的二元一次方程组.
解:由题意,得解得
所以2x+4y=2×3+4×()=0.
若关于的二元一次方程,求的值。
3、数形结合思想
根据图形反映的数量关系建立方程组来解决问题,这种解题方法就体现了数与形的结合.
例5:商店里把塑料凳整齐地叠放在一起,如图所示,当有10张塑料凳整齐地叠放在一起时的高度是 .
分析:从图示观察可知:三个塑料凳的叠放在一起的高度是29cm,五个塑料凳叠放在一起的高度为35cm,构造方程组求到一个塑料凳的凳面厚度和凳腿高度即可求到10个塑料凳叠放在一起的高度.
解:设一个塑料凳的凳面的厚度为xcm,一个凳腿的高度为ycm,根据图示可得
解得
所以10个塑料凳叠放在一起的高度为3×10+20=50(cm).
例6:一副三角板按如图1方式摆放,且∠1比∠2大500, 设∠1,∠2的度数分别为x,y,则可得方程组为 .
解析:观察图形可知,∠1、∠2连同三角板的一个直角构成平角,所以∠1与∠2互为余,可得x+y=90°;再由∠1比∠2大500,可得x-y=50°,即 .
同步练5:图2,图3是由8个一样大小的小长方形拼成的,且图3中的小正方形(阴影部分)的面积为1cm2,求小长方形的长和宽.
解析:此题条件比较隐蔽,没有直接给出小长方形的长与宽,但通过观察图形不难发现它们之间的关系.由图2知,小长方形的长的3倍正好等于宽的5倍,由图3知,小长方形宽的两倍正好比长多1,由这两个等量关系即可列出方程组进行求解.
设小长形的长为xcm,宽为ycm,据题意列方程组,得
解得
所以小长形的长为5cm,宽为3cm.
当然,用二元一次方程组还能解决很多与图形有关的问题,对于这类问题解决的关键是,从图形中找到隐含的条件,找好等量关系,设置未知数,列出二元一次方程组进行求解.
小结:
数学思想方法在方程组中的应用:
1、整体思想
(1)整体代入, (2)整体加减
方程(组)思想
数形结合思想