2022年人教版八年级数学 下册 17.1 勾股定理 第1课时 勾股定理 课件（共32张）

(共32张PPT)
　　国际数学家大会是最高水平的全球性数学科学学术
会议．我国首都北京曾召开了第24届国际数学家大会．如图就是大会的会徽的图案．
　　请你说说这个图案由哪些基本图形组成？
导入新课
17.1　勾股定理
人教版八年级数学 下册
第1课时 勾股定理
学习目标
1、了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理；
2、介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发爱国热情，勤奋学习.
我们一起穿越回到2500年前，跟随毕达哥拉斯再去他那位老朋友家做客，看到他朋友家用砖铺成的地面（如下图所示）：
毕达哥拉斯
A
B
C
穿越毕达哥拉斯做客现场
问题1 试问A、B、C面积之间有什么样的数量关系？
正方形A的面积
正方形B的面积
正方形C的面积
+
=
目标导学一：勾股定理的认识及验证
A
B
C
问题2 你能发现图中的等腰直角三角形有什么性质吗？
一直角边2
另一直角边2
斜边2
+
=
看似平淡无奇的现象有时却隐藏着深刻的道理
图1-2
问题3 图中每个小方格的面积均为1，请分别计算出图①、②中A、B、C的面积，看看能得出什么结论？
图①
图②
A
B
A
B
C
C
A的 面积 B的 面积 C的
面积
图①
图②
16
9
25
4
9
13
网格中的发现
正方形A的面积
正方形B的面积
正方形C的面积
+
=
问题4 图中的这个直角三角形有三边有什么样的数量关系呢？
一直角边2
另一直角边2
斜边2
+
=
　　这个图案是公元3世纪我国汉代的赵爽在注解《周
髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．赵爽根
据此图指出：四个全等的直角三角形（红色）可以如图
围成一个大正方形，中间的部分是一个小正方形 （黄
色）．勾股定理在数学发展中起
到了重大的作用，其证明方法据
说有400 多种，有兴趣的同学可
以继续研究，或到网上查阅勾股
定理的相关资料．
c
b
a
（
b
-
a
）
2
黄实
朱实
拓展阅读
命题 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边长为c,那么a2+b2=c2.两直角边的平方和等于斜边的平方.
由上面的例子，我们猜想：
a
b
c
BY YUSHEN
b
a
c
a+b
a
b
c
c
c
c
a
b
c
c
证法1 让我们跟着我国汉代数学家赵爽拼图,再用所拼的图形证明命题吧.
a
b
c
∵S大正方形＝c2，
S小正方形＝(b-a)2,
∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，
赵爽弦图
b-a
证明：
赵爽所用的这种方法是我国古代常用的“出入相补法”.在西方，人们称勾股定理为毕达哥拉斯定理.
赵爽弦图
c
b
a
黄
实
朱实
2000多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，不但因为这个定理重要、基本，还因为这个定理贴近人们的生活实际.以至于古往今来，上至帝王总统都愿意探讨、研究它的证明，新的证法不断出现.建议同学们课外认真阅读P30《勾股定理的证明》.
证法2 毕达哥拉斯证法，请先用手中的四个全等的直角三角形按图示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧.
a
a
a
a
b
b
b
b
c
c
c
c
∴a2+b2+2ab=c2+2ab，
∴a2 +b2 =c2.
证明：
∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab,
S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形
=4× ab+c2
=c2+2ab，
BY YUSHEN
毕达哥拉斯是古希腊数学家、哲学家。他出生在爱琴海中的萨摩斯岛(今希腊东部小岛)，自幼聪明好学，曾在名师门下学习几何学、自然科学和哲学。
几何学中，有着无数定理，毕达哥拉斯定理是其中最诱人的一个，是人类科学发现中的一条基本定理，对科技进步起了不可估量的作用。中世纪德国数学家、天文学家开普勒称赞说：“几何学中有两件瑰宝，一是毕达哥拉斯定理，一是黄金分割律。”
a
a
b
b
c
c
∴a2 + b2 = c2.
证法3 美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”.
如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证：a2 + b2 = c2.
在我国又称商高定理，在外国则叫毕达哥拉斯定理，或百牛定理.
a、b、c为正数
如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.
公式变形：
勾股定理
a
b
c
归纳总结
勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
几何语言：
∵在Rt△ABC中 ，∠C=90°，
∴a2+b2=c2（勾股定理）.
a
A
B
C
b
c
∟
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系.
判断题
(1)若a、b、c是三角形的三边，则 . （ ）
(2)直角三角形中，两边的平方和等于第三边 的平方. （ ）
×
×
练一练
在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”.我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.
勾
股
勾2+股2=弦2
小贴士
例1.在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长.
解：本题斜边不确定，需分类讨论：
当AB为斜边时，如图 ，
当BC为斜边时，如图 ，
4
3
A
C
B
4
3
C
A
B
图
图
当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜边，这种情况下一定要进行分类讨论，否则容易丢解.
归纳
目标导学二：利用勾股定理进行计算
例2 已知：Rt△ABC中，AB＝４，AC＝３,则BC= .
5 或
4
3
A
C
B
4
3
C
A
B
温馨提示 当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜边，这种情况下，一定要进行分类讨论，否则容易丢解.
　　1.如图，所有的三角形都是直角三角形，四
边形都是正方形，已知正方形A，B，C，D 的边长分别
是12，16，9，12．求最大正方形E 的面积．
A
B
C
D
E
即学即练
2.求斜边长17 cm、一条直角边长15 cm的直角三角形的面积.
解：设另一条直角边长是x cm.
由勾股定理得152+ x2 =172，
即x2=172-152=289–225=64，
∴ x=±8（负值舍去），
∴另一直角边长为8 cm，
直角三角形的面积是
(cm2).
勾股定理
内容
在Rt△ABC中， ∠C=90°,a,b为直角边，c为斜边，则有a2+b2=c2.
注意
在直角三角形中
看清哪个角是直角
已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论
课堂小结
BY YUSHEN
1．如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，点A、B都是格点（即网格线的交点），则线段AB的长度为（　　）
A．3 B．5 C．6 D．4
检测目标
B
BY YUSHEN
2．在直角坐标系中，已知点P的坐标为（5,12），则点P到原点的距离是（ ）
A．5 B．12 C．13 D．17
检测目标
C
BY YUSHEN
3．在下列四组数中，不是勾股数的一组数是（　　）
A．a=15，b=8，c=17
B．a=9，b=12，c=15
C．a=7，b=24，c=25
D．a=3，b=5，c=7
检测目标
D
BY YUSHEN
4．已知a=3，b=4，若a，b，c能组成直角三角形，则c=（　　）
A．5 B．
C．5或 D．5或6
检测目标
C
5.在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长.
解：本题斜边不确定，需分类讨论：
当AB为斜边时，如图 ，
当BC为斜边时，如图 ，
4
3
A
C
B
4
3
C
A
B
图
图
检测目标
说说这节课你学到了什么
有什么体会
有什么感想
收获园地
作 业 ：
1.完成同步练习题
2.背诵知识点