河南省平顶山市郏县2021-2022学年高二下学期2月开学考试数学（理）试题（Word版含答案）

郏县2021-2022学年高二下学期2月开学考试
理科数学试题卷
考试时长：120分钟　满分：150分
一、选择题（共12小题，每题只有1个正确选项，每题5分，共60分）
1．在△ABC中，AB＝2，AC＝3，，则BC＝（　　）
A． B． C． D．
2．等差数列中，，，则数列的公差为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．设是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为X，Y，Z，则下列等式中恒成立的是（　　）
A．X＋Z＝2Y B．
C． D．
4．2009年北京国庆阅兵式上举行升旗仪式，如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，且第一排和最后一排的距离为米，则旗杆的高度为（　　）米．
A． B．30 C． D．35
5．已知数列满足，，则数列的前10项和为（　　）
A． B． C． D．
6．若实数x，y满足，则的最大值是（　　）
A．0 B． C．2 D．3
7．已知点和在直线3x－2y＋a＝0的两侧，则a的取值范围是（　　）
A．－724 D．a<－24或a>7
8．正实数ab满足，则的最小值为（　　）
A．16 B．24 C．32 D．40
9．如图，圆O的半径为定长r，A是圆O外一定点，P是圆上任意一点．线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是（　　）
A．椭圆 B．圆 C．双曲线 D．直线
10．实系数一元二次方程的一个根在上，另一个根在上，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
11．已知抛物线，其准线与x轴的交点为C，过焦点F的弦交抛物线于A，B两点，且∠AFC＝150°，则tan∠ACB＝（　　）
A．3 B．2 C． D．
12．已知抛物线的焦点为F，过点F的直线分别交抛物线于A，B两点，若，，则p＝（　　）
A． B．2 C． D．1
二、填空题（共4小题）
13．若对任意x>0，恒成立，则a的取值范围是______．
14．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与C的两条渐近线分别交于A、B两点，若，，则双曲线C的渐近线方程为______．
15．如图，已知二面角的大小为60°，其棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知AB＝2，AC＝3，BD＝4，则线段CD的长为______．
16．数列满足，则前40项的和______．
三、解答题（共6小题，请写出必要的文字说明与步骤，共70分）
17．（10分）
已知命题时，恒成立；命题q：关于x的方程无实根．若命题是真命题，求实数a的取值范围．
18．（12分）
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求C；
（2）若，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
19．（12分）
已知等差数列的前n项和为，，．
（1）求的通项公式；
（2）求，并求当n取何值时有最小值．
20．（12分）
已知数列满足，数列满足，且，，．
（1）求及；
（2）令，，求数列的前n项和．
21．（12分）
如图所示，在多面体BC－ADE中，△ADE为正三角形，平面平面ADE，且，∠BAD＝60°，∠CDA＝30°，AB＝BC＝2．
（1）求证：AD⊥CE；
（2）求直线CD与平面BCE所成角的正弦值．
22．（12分）
已知椭圆C的焦点在x轴上，左、右焦点分别为，，焦距等于8，并且经过点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的左、右顶点分别为，，点M在椭圆上，且异于椭圆的顶点，点Q为直线与y轴的交点，若，求直线的方程．
郏县2021-2022学年高二下学期2月开学考试参考答案
一、选择题（共12小题）
1－6　ADDBAD． 7－12　ACCACC．
二、填空题（共4小题）
13．． 14．． 15．． 16．440．
三、解答题（共6小题）
17．【解答】解：命题p：命题时，恒成立；
若p真，则．
因为，所以，当且仅当x＝2或时等号成立，所以；
命题q：关于x的方程无实根．
若q真，则，即0因为命题是真命题，所以p，q都是真命题，所以．
实数a的取值范围为．
18．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0已知等式利用正弦定理化简得：，
整理得：，即
∴，∴；
（Ⅱ）由余弦定理得，
∴，∵，
∴ab＝6，∴，∴a＋b＝5，∴△ABC的周长为．
19．【解答】解：（1）设的公差为d，由题意得，
得，d＝2．∴的通项公式为．
（2）由（1）得，
∴当n＝4时，取得最小值，最小值为－16．
20．【解答】解：（1）由数列满足，
可得等差数列，设公差为d，数列满足，即等比数列，
由题有　可得，即有；
由，而，可得；
（2），
则前n项和，
，
两式相减，得
，
化简可得．
21．【解答】（Ⅰ）证明：如图，过B作BF⊥AD于F，过C作CG⊥AD于G，连接GE．
可得，又因为，
在Rt△ABF中，因为∠BAD＝60°，AB＝2，所以AF＝1，，
所以，FG＝BC＝2，
在Rt△CDG中，∠CDG＝30°，．所以AG＝GD，
因为△ADE为正三角形，所以GE⊥AD，
因为，平面CGE，平面CGE，
所以AD⊥平面CGE，平面CGE，所以AD⊥CE．
（2）解：由（Ⅰ）可知GE，GD，GC两两互相垂直，
以G为坐标原点，GE，GD，GC所在直线为x，y，z轴建立空间坐标系，如图所示．
则，，，，
所以，，，
设平面BCE的法向量为，所以，
取x＝1，可得，
所以，
所以直线CD与平面BCE所成角的正弦值为．
22．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知2c＝8，则c＝4，则焦点，，
则，所以2a＝10，a＝5，
所以b＝3，所以椭圆的方程；
（2）设直线的方程为x＝my－5，所以点，
联立方程组，消去y，整理得，
所以，，
所以，，
因为，所以，解得，
所以直线的方程．