2021-2022学年北师大版八年级数学下册1.4角平分线自主提升训练（Word版含答案）

2021-2022学年北师大版八年级数学下册《1-4角平分线》自主提升训练（附答案）
1．如图，已知△ABC的周长是16，MB和MC分别平分∠ABC和∠ACB，过点M作BC的垂线交BC于点D，且MD＝4，则△ABC的面积是（　　）
A．64 B．48 C．32 D．42
2．如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路AB，AC，BC两两相交围成的一块平地内修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应该修在何处？可供选择的位置有（　　）处．
A．一 B．二 C．三 D．四
3．如图，在Rt△ABC中∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，若CD＝4，AB＝14，则S△ABD＝（　　）
A．56 B．28 C．14 D．12
4．在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD＝3，则DE的长为（　　）
A．3 B． C．2 D．6
5．如图，点P是∠AOB的角平分线上一点，过点P作PC⊥OA于点C，且PC＝3，则点P到OB的距离为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC等于（　　）
A．110° B．115° C．125° D．130°
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，CD＝2，Q为AB上一动点，则DQ的最小值为（　　）
A．2 B．2 C． D．
8．如图，△ABC中，AB＝5，AC＝4，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、AC于D和E，再分别以点D、E为圆心，大于二分之一DE为半径作弧，两弧交于点F，连接AF并延长交BC于点G，GH⊥AC于H，GH＝2，则△ABG的面积为（　　）
A．4 B．5 C．9 D．10
9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，若AC＝6，BC＝8，则S△ABD：S△ACD为（　　）
A．5：3 B．5：4 C．4：3 D．3：5
10．如图，直线a、b、c表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（　　）
A．一处 B．两处 C．三处 D．四处
11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于D，若CD＝3，则点D到AB的距离是（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
12．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，S△ABD＝15，则CD的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
13．如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E．已知PE＝5，则点P到AB的距离是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
14．如图，三条公路把A、B、C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（　　）
A．在AC、BC两边高线的交点处
B．在AC、BC两边中线的交点处
C．在∠A、∠B两内角平分线的交点处
D．在AC、BC两边垂直平分线的交点处
15．如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：①∠AED＝90°；②∠ADE＝∠CDE；③DE＝BE；④AD＝AB+CD，四个结论中成立的是（　　）
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③
16．如图，点P是∠BAC的平分线AD上的一点，PE⊥AC，垂足为点E．已知PE＝4，则点P到AB的距离是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BE＝FC．求证：BD＝DF．
18．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AD，CE是角平分线，AD与CE相交于点F，FM⊥AB，FN⊥BC，垂足分别为M，N．求证：FE＝FD．
19．如图，点P是∠MON中一点，PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B，连接AB，∠PAB＝∠PBA．求证：OP平分∠MON．
20．如图：已知OA和OB两条公路，以及C、D两个村庄，建立一个车站P，使车站到两个村庄距离相等即PC＝PD，且P到OA，OB两条公路的距离相等．
21．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB交AB于点E，DF⊥AC交AC于点F．若S△ABC＝9，DE＝2，AB＝5，求AC的长．
22．如图，点B，C分别在∠A的两边上，点D是∠A内一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且AB＝AC，DE＝DF．求证：BD＝CD．
参考答案
1．解：连接AM，过M作ME⊥AB于E，MF⊥AC于F，
∵MB和MC分别平分∠ABC和∠ACB，MD⊥BC，MD＝4，
∴ME＝MD＝4，MF＝MD＝4，
∵△ABC的周长是16，
∴AB+BC+AC＝16，
∴△ABC的面积S＝S△AMC+S△BCM+S△ABM
＝
＝×AC×4++
＝2（AC+BC+AB）
＝2×16＝32，
故选：C．
2．解：∵度假村到三条公路的距离相等，
∴度假村在三条公路AB，AC，BC所组成的角的平分线上，
∵△ABC的三条角平分线相交于一点，
∴度假村可供选择的位置有一处，
故选：A．R）＝5：3，
故选：B．
3．解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵BD是∠ABC的平分线，∠C＝90°，
∴DE＝CD＝4，
∴△ABD的面积＝AB DE＝×14×4＝28．
故选：B．
4．解：∵∠B＝90°，
∴DB⊥AB，
又∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，
∴DE＝BD＝3，
故选：A．
5．解：如图，过点P作PD⊥OB于D，
∵点P是∠AOB的角平分线上一点，PC⊥OA，
∴PC＝PD＝3，
即点P到OB的距离等于3．
故选：A．
6．解：∵O到三角形三边距离相等，
∴O是△ABC的内心，即三条角平分线交点，
∴AO，BO，CO都是角平分线，
∴∠CBO＝∠ABO＝∠ABC，∠BCO＝∠ACO＝∠ACB，
∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°，
∴∠OBC+∠OCB＝70°，
∴∠BOC＝180°﹣70°＝110°，
故选：A．
7．解：作DH⊥AB于H，如图，
∵AD平分∠BAC，DH⊥AB，DC⊥AC，
∴DH＝DC＝2，
∵Q为AB上一动点，
∴DQ的最小值为DH的长，即DQ的最小值为2．
故选：A．
8．解：作GM⊥AB于M，如图，
由作法得AG平分∠BAC，
而GH⊥AC，GM⊥AB，
∴GM＝GH＝2，
∴S△ABG＝×5×2＝5．
故选：B．
9．解：作DE⊥AB于点E，
由勾股定理得，AB＝＝10
∵AD是∠BAC的平分线，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝DC，
∴S△ABD＝×AB×DE，S△ACD＝×AC×DC，
∴S△ABD：S△ACD＝AB：AC＝10：6＝5：3，
故选：A．
10．解：∵△ABC内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，
∴△ABC内角平分线的交点满足条件；
如图：点P是△ABC两条外角平分线的交点，
过点P作PE⊥AB，PD⊥BC，PF⊥AC，
∴PE＝PF，PF＝PD，
∴PE＝PF＝PD，
∴点P到△ABC的三边的距离相等，
∴△ABC两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个；
综上，到三条公路的距离相等的点有4个，
∴可供选择的地址有4个．
故选：D．
11．解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵BD是∠ABC的平分线，∠C＝90°，
∴DE＝CD＝3，
即点D到直线AB的距离是3．
故选：C．
12．解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，
∴DE＝CD，
∴S△ABD＝AB DE＝×10 DE＝15，
解得DE＝3，
∴CD＝3．
故选：A．
13．解：如图，过点P作PF⊥AB于F，
∵AD是∠BAC的平分线，PE⊥AC，
∴PF＝PE＝5，
即点P到AB的距离是5．
故选：C．
14．解：根据角平分线的性质，集贸市场应建在∠A、∠B两内角平分线的交点处．
故选：C．
15．解：过E作EF⊥AD于F，如图，
∵AB⊥BC，AE平分∠BAD，
∴Rt△AEF≌Rt△AEB
∴BE＝EF，AB＝AF，∠AEF＝∠AEB；
而点E是BC的中点，
∴EC＝EF＝BE，所以③错误；
∴Rt△EFD≌Rt△ECD，
∴DC＝DF，∠FDE＝∠CDE，所以②正确；
∴AD＝AF+FD＝AB+DC，所以④正确；
∴∠AED＝∠AEF+∠FED＝∠BEC＝90°，所以①正确．
故选：A．
16．解：∵P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E，PE＝4，
∴点P到AB的距离＝PE＝4．
故选：B．
17．证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DC＝DE，
在△DCF和△DEB中，，
∴△DCF≌△DEB，（SAS），
∴BD＝DF．
18．证明：连接BF，
∵F是△ABC的角平分线交点，
∴BF也是角平分线，
∵FM⊥AB，FN⊥BC，
∴MF＝FN，∠DNF＝∠EMF＝90°，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠BAC＝30°，
∴∠DAC＝∠BAC＝15°，
∴∠CDA＝75°，
∵∠NFC＝45°，∠MFN＝120°，
∴∠MFE＝15°，
∴∠MEF＝75°＝∠NDF，
在△DNF和△EMF中，
，
∴△DNF≌△EMF（AAS），
∴FE＝FD．
19．证明：∵∠PAB＝∠PBA，
∴PA＝PB，
∵PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B，
∴P点在∠MON的平分线上，
∴OP平分∠MON．
20．解：如图，点P为所作．
21．解：∵AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC于点F，
∴DF＝DE＝2．
又∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD，AB＝5，
∴9＝×5×2+×AC×2，
∴AC＝4．
22．证明：连接AD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，DE＝DF，
∴∠BAD＝∠CAD，
在△ABD和△ACD中
，
∴△ABD≌△ACD，（SAS），
∴BD＝CD．