江西省赣州市赣县区三高2021-2022学年高二下学期2月开学考试数学（理）试题（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 江西省赣州市赣县区三高2021-2022学年高二下学期2月开学考试数学（理）试题（Word版含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-02-19 20:08:15 | ||
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文档简介
赣县区三高2021-2022学年高二下学期2月开学考试
理数试卷
一、单选题
1．已知动圆⊙经过定点，且和直线相切，则点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
2．下图是一个边长为4的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷400个点，其中落入黑色部分的有225个点，据此可估计黑色部分的面积为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
3．以双曲线的右焦点为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019年9月份共12个月的中国制造业采购经理指数(PMI)如下图所示.则下列结论中错误的是（ ）
A．12个月的PMI值不低于50%的频率为
B．12个月的PMI值的平均值低于50%
C．12个月的PMI值的众数为49.4%
D．12个月的PMI值的中位数为50.3%
5.某同学为了求，设计了如图所示的程序框图，在该程序框图中，①和②两处应分别填入（ ）
A． B．
C． D．
6.某学校对高三年级500名学生进行系统抽样，编号分别为001，002，…，500，若样本相邻的两个编号为031，056，则样本中编号最大的为（ ）
A．479 B．480 C．481 D．482
7．已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．设，分别为双曲线的左，右焦点，点为双曲线上的一点.若，则点到轴的距离为（ ）
A． B． C． D．
9.如图，直三棱柱ABC一中，侧棱长为2，，，D是的中点，F是上的动点，，DF交于点E，要使平面，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
10．是椭圆上的一点，为左顶点，为右焦点，轴，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
11．有一凸透镜其剖面图（如图）是由椭圆和双曲线的实线部分组成，已知两曲线有共同焦点、；、分别在左右两部分实线上运动，则周长的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
12．下列命题中，结论为真命题的组合是（ ）
①“”是“直线与直线相互垂直”的充分而不必要条件
②若命题“”为假命题，则命题一定是假命题
③是的必要不充分条件
④双曲线被点平分的弦所在的直线方程为
⑤已知过点的直线与圆的交点个数有2个.
A．①③④ B．②③④ C．①③⑤ D．①②⑤
二、填空题
13.设直线的方向向量分别为，，若，则实数______.
14．将一块正方形纸片先按如图1所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形，然后将剩余部分沿虚线折叠并拼成一个体积为的四棱锥模型，该四棱锥底面是正方形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面中心.将该四棱锥如图2放置，若其正视图为正三角形，则正方形纸片的边长为__ ____.
15．给出如下四个命题：
①“抛物线的焦点坐标是”为真命题；
②若：，则：；
③“，”的否定是“，”；
④“任意，”为真命题的一个充分不必要条件是.
其中不正确的命题的是 ___________.
16．已知椭圆，若此椭圆上存在不同的两点，关于直线对称，则实数的取值范围是___________.
三、解答题
17．已知命题：方程表示焦点在轴上的椭圆，命题：,不等式恒成立.
（1）若“”是真命题，求实数的取值范围；
（2）若“”为假命题，“”为真命题，求实数的取值范围.
18．新冠肺炎疫情发生以来，我国某科研机构开展应急科研攻关，研制了一种新型冠状病毒疫苗，并已进入二期临床试验.根据普遍规律，志愿者接种疫苗后体内会产生抗体，人体中检测到抗体，说明有抵御病毒的能力.通过检测，用表示注射疫苗后的天数，表示人体中抗体含量水平（单位：，即：百万国际单位/毫升），现测得某志愿者的相关数据如下表所示：
天数 1 2 3 4 5 6
抗体含量水平 5 10 26 50 96 195
根据以上数据，绘制了散点图.
(1)根据散点图判断，与（a，b，c，d均为大于0的实数）哪一个更适宜作为描述y与x关系的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
(2)根据（1）的判断结果求出y关于x的回归方程，并预测该志愿者在注射疫苗后的第10天的抗体含量水平值；
(3)从这位志愿者的前6天的检测数据中随机抽取4天的数据作进一步的分析，求其中的y值大于50的天数为1的概率.
参考数据：
3.50 63.67 3.49 17.50 9.49 12.95 519.01 4023.87
其中.参考公式：用最小二乘法求经过点，，，，的线性回归方程的系数公式，；.
19．如图，三棱锥的底面是边长为2的正三角形，侧面底面，且侧面为菱形，，是的中点，是与的交点．
（1）求证：底面；
（2）求与平面所成角的正弦值．
20．已知椭圆 的离心率为，长轴长为，直线与椭圆交于、两点且为直角，为坐标原点.
（1）求椭圆的方程；
（2）求的长度.
21．如图，已知在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，，，点在底面的投影恰好为与的交点，.
（1）证明：；
（2）若为的中点，求二面角的余弦值.
22．已知直线l1，l2分别于抛物线y2＝x相切于A，B两点．
（1）若点A的坐标为（1，﹣1），求直线l1的方程；
（2）若直线l1与l2的交点为P，且点P在圆（x+2）2+y2＝1上，设直线l1，l2与y轴分别交于点M，N，求的取值范围．
赣县区三高2021-2022学年高二下学期2月开学考试
理数答案
1-12 BBCDCC BCCDBC
13. 14.6 15.①②③④ 16.
17.【详解】
（1）因为,不等式恒成立，
所以，解得，又“”是真命题等价于“”是假命题．
所以所求实数的取值范围是
（2）方程表示焦点在轴上的椭圆，
“”为假命题，“”为真命题，
一个为真命题，一个为假命题，
当真假时， 则，此时无解．
当假真时，则，此时或
综上所述，实数的取值范围是
；.
18.(1)根据散点图可知这些点分布在一条曲线的附近，所以更适合作为描述y与x关系的回归方程类型.
(2)设，变换后可得，设，建立w关于x的回归方程，
，所以
所以w关于x的回归方程为，所以，
当时，，
即该志愿者在注射疫苗后的第10天的抗体含量水平值约为4023.87miu/mL.
(3)由表格数据可知，第5，6天的y值大于50，
19【详解】（1）取的中点，连接，
∵是与的交点，且侧面为菱形
∴是的中点∴
∵底面，底面
∴底面
∵，，为中点
∴，
∴四边形为平行四边形
∴
又底面，底面，
∴底面
∵，平面，平面
∴平面底面
∵平面
∴底面
（2）解：连接，∵侧面为菱形，
∴为正三角形∴
∵侧面底面，侧面底面，侧面
∴底面
∵底面为正三角形，为的中点
∴
以为坐标原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
∵底面是边长为2的正三角形
∴，，，
∴，，
设平面的一个法向量为
由得，令，得
∴
∴．
方法二：（向量法），其中是直线的方向向量，是平面的法向量，是直线和平面所成的角.
20【详解】（1）由题意， ，
所以.椭圆方程为
（2）设，，把代人，得.
因为为直角，所以，
得，，所以，
，
.
∴的长度为
21【详解】（1）证明：如图，在平面图形中，过点作的垂线交于点，
易得，故，
在中，由余弦定理知，
，
故.
由相似可知，，
又，∴，
故，∴.
又点在底面的投影为，∴平面，∴，
又，∴平面，∴.
（2）解：如图，以为原点，，，分别为，，轴
建立空间直角坐标系，由（1）知，
故，，，
，，，
故，，.
设平面的一个法向量为，
则，即，
令，解得，故.
同理，可求得平面的一个法向量为，
设二面角为，
则.
22.【详解】（1）由题意知直线l1，l2的斜率一定存在，设直线l1：y+1＝k（x﹣1），与抛物线方程联立，得ky2﹣y﹣k﹣1＝0．
由△＝1+4k（k+1）＝0，得，则l1的方程为．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线l1： ，与抛物线方程y2＝x联立，得．
由 ，解得，所以直线，同理得直线，则，．
设点P（x0，y0），代入可得，则直线AB方程为．
与抛物线方程联立，得y2﹣2y0y+x0＝0，则有y1+y2＝2y0，y1y2＝x0．
则，，所以．
又点P在圆（x+2）2+y2＝1上，所以，即，所以.
所以的取值范围为.
理数试卷
一、单选题
1．已知动圆⊙经过定点，且和直线相切，则点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
2．下图是一个边长为4的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷400个点，其中落入黑色部分的有225个点，据此可估计黑色部分的面积为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
3．以双曲线的右焦点为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019年9月份共12个月的中国制造业采购经理指数(PMI)如下图所示.则下列结论中错误的是（ ）
A．12个月的PMI值不低于50%的频率为
B．12个月的PMI值的平均值低于50%
C．12个月的PMI值的众数为49.4%
D．12个月的PMI值的中位数为50.3%
5.某同学为了求，设计了如图所示的程序框图，在该程序框图中，①和②两处应分别填入（ ）
A． B．
C． D．
6.某学校对高三年级500名学生进行系统抽样，编号分别为001，002，…，500，若样本相邻的两个编号为031，056，则样本中编号最大的为（ ）
A．479 B．480 C．481 D．482
7．已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．设，分别为双曲线的左，右焦点，点为双曲线上的一点.若，则点到轴的距离为（ ）
A． B． C． D．
9.如图，直三棱柱ABC一中，侧棱长为2，，，D是的中点，F是上的动点，，DF交于点E，要使平面，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
10．是椭圆上的一点，为左顶点，为右焦点，轴，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
11．有一凸透镜其剖面图（如图）是由椭圆和双曲线的实线部分组成，已知两曲线有共同焦点、；、分别在左右两部分实线上运动，则周长的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
12．下列命题中，结论为真命题的组合是（ ）
①“”是“直线与直线相互垂直”的充分而不必要条件
②若命题“”为假命题，则命题一定是假命题
③是的必要不充分条件
④双曲线被点平分的弦所在的直线方程为
⑤已知过点的直线与圆的交点个数有2个.
A．①③④ B．②③④ C．①③⑤ D．①②⑤
二、填空题
13.设直线的方向向量分别为，，若，则实数______.
14．将一块正方形纸片先按如图1所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形，然后将剩余部分沿虚线折叠并拼成一个体积为的四棱锥模型，该四棱锥底面是正方形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面中心.将该四棱锥如图2放置，若其正视图为正三角形，则正方形纸片的边长为__ ____.
15．给出如下四个命题：
①“抛物线的焦点坐标是”为真命题；
②若：，则：；
③“，”的否定是“，”；
④“任意，”为真命题的一个充分不必要条件是.
其中不正确的命题的是 ___________.
16．已知椭圆，若此椭圆上存在不同的两点，关于直线对称，则实数的取值范围是___________.
三、解答题
17．已知命题：方程表示焦点在轴上的椭圆，命题：,不等式恒成立.
（1）若“”是真命题，求实数的取值范围；
（2）若“”为假命题，“”为真命题，求实数的取值范围.
18．新冠肺炎疫情发生以来，我国某科研机构开展应急科研攻关，研制了一种新型冠状病毒疫苗，并已进入二期临床试验.根据普遍规律，志愿者接种疫苗后体内会产生抗体，人体中检测到抗体，说明有抵御病毒的能力.通过检测，用表示注射疫苗后的天数，表示人体中抗体含量水平（单位：，即：百万国际单位/毫升），现测得某志愿者的相关数据如下表所示：
天数 1 2 3 4 5 6
抗体含量水平 5 10 26 50 96 195
根据以上数据，绘制了散点图.
(1)根据散点图判断，与（a，b，c，d均为大于0的实数）哪一个更适宜作为描述y与x关系的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
(2)根据（1）的判断结果求出y关于x的回归方程，并预测该志愿者在注射疫苗后的第10天的抗体含量水平值；
(3)从这位志愿者的前6天的检测数据中随机抽取4天的数据作进一步的分析，求其中的y值大于50的天数为1的概率.
参考数据：
3.50 63.67 3.49 17.50 9.49 12.95 519.01 4023.87
其中.参考公式：用最小二乘法求经过点，，，，的线性回归方程的系数公式，；.
19．如图，三棱锥的底面是边长为2的正三角形，侧面底面，且侧面为菱形，，是的中点，是与的交点．
（1）求证：底面；
（2）求与平面所成角的正弦值．
20．已知椭圆 的离心率为，长轴长为，直线与椭圆交于、两点且为直角，为坐标原点.
（1）求椭圆的方程；
（2）求的长度.
21．如图，已知在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，，，点在底面的投影恰好为与的交点，.
（1）证明：；
（2）若为的中点，求二面角的余弦值.
22．已知直线l1，l2分别于抛物线y2＝x相切于A，B两点．
（1）若点A的坐标为（1，﹣1），求直线l1的方程；
（2）若直线l1与l2的交点为P，且点P在圆（x+2）2+y2＝1上，设直线l1，l2与y轴分别交于点M，N，求的取值范围．
赣县区三高2021-2022学年高二下学期2月开学考试
理数答案
1-12 BBCDCC BCCDBC
13. 14.6 15.①②③④ 16.
17.【详解】
（1）因为,不等式恒成立，
所以，解得，又“”是真命题等价于“”是假命题．
所以所求实数的取值范围是
（2）方程表示焦点在轴上的椭圆，
“”为假命题，“”为真命题，
一个为真命题，一个为假命题，
当真假时， 则，此时无解．
当假真时，则，此时或
综上所述，实数的取值范围是
；.
18.(1)根据散点图可知这些点分布在一条曲线的附近，所以更适合作为描述y与x关系的回归方程类型.
(2)设，变换后可得，设，建立w关于x的回归方程，
，所以
所以w关于x的回归方程为，所以，
当时，，
即该志愿者在注射疫苗后的第10天的抗体含量水平值约为4023.87miu/mL.
(3)由表格数据可知，第5，6天的y值大于50，
19【详解】（1）取的中点，连接，
∵是与的交点，且侧面为菱形
∴是的中点∴
∵底面，底面
∴底面
∵，，为中点
∴，
∴四边形为平行四边形
∴
又底面，底面，
∴底面
∵，平面，平面
∴平面底面
∵平面
∴底面
（2）解：连接，∵侧面为菱形，
∴为正三角形∴
∵侧面底面，侧面底面，侧面
∴底面
∵底面为正三角形，为的中点
∴
以为坐标原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
∵底面是边长为2的正三角形
∴，，，
∴，，
设平面的一个法向量为
由得，令，得
∴
∴．
方法二：（向量法），其中是直线的方向向量，是平面的法向量，是直线和平面所成的角.
20【详解】（1）由题意， ，
所以.椭圆方程为
（2）设，，把代人，得.
因为为直角，所以，
得，，所以，
，
.
∴的长度为
21【详解】（1）证明：如图，在平面图形中，过点作的垂线交于点，
易得，故，
在中，由余弦定理知，
，
故.
由相似可知，，
又，∴，
故，∴.
又点在底面的投影为，∴平面，∴，
又，∴平面，∴.
（2）解：如图，以为原点，，，分别为，，轴
建立空间直角坐标系，由（1）知，
故，，，
，，，
故，，.
设平面的一个法向量为，
则，即，
令，解得，故.
同理，可求得平面的一个法向量为，
设二面角为，
则.
22.【详解】（1）由题意知直线l1，l2的斜率一定存在，设直线l1：y+1＝k（x﹣1），与抛物线方程联立，得ky2﹣y﹣k﹣1＝0．
由△＝1+4k（k+1）＝0，得，则l1的方程为．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线l1： ，与抛物线方程y2＝x联立，得．
由 ，解得，所以直线，同理得直线，则，．
设点P（x0，y0），代入可得，则直线AB方程为．
与抛物线方程联立，得y2﹣2y0y+x0＝0，则有y1+y2＝2y0，y1y2＝x0．
则，，所以．
又点P在圆（x+2）2+y2＝1上，所以，即，所以.
所以的取值范围为.
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