江西省赣州市赣县区三高2021-2022学年高一下学期2月开学考试数学试题（Word版含答案）

赣县区三高2021-2022学年高一下学期2月开学考试
数学试卷
考试时间：120分钟；
一、选择题（1-8为单选题，9-12为多选题）
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（ ）
A．任意一个无理数，它的平方不是有理数 B．任意一个无理数，它的平方是有理数
C．存在一个无理数，它的平方是有理数 D．存在一个无理数，它的平方不是有理数
3．下列说法正确的为（ ）
A．
B．函数的最小值为4
C．若则最大值为1
D．已知时，，当且仅当即时，取得最小值8
4．若关于x的不等式的解集为．则关于x的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
5．设，定义运算和如下：，.若正数，，，满足，，则（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数若（，，，互不相等），则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，则的值为（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．无法计算
8．已知是函数的两个零点，则（ ）
A． B． C． D．
9．（多选）给出以下26个数据：
148.0 149.0 154.0 154.0 155.0 155.0 155.5 157.0 157.0
158.0 158.0 159.0 159.0 161.0 162.0 162.5 162.5 163.0
163.0 163.0 164.0 164.0 165.0 170.0 171.0 172.0
对于以上给出的数据，下列选项正确的为（ ）
A．众数为163.0 B．第25百分位数为155.0
C．中位数为160.0 D．80%位数为164.0
10．（多选）同学们，你们是否注意到；自然下垂的铁链；空旷田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深涧的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线相关理论在工程 航海 光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数表达式可以为（其中a，b是非零常数，无理数e=2.71828…），对于函数，以下结论正确的是（ ）
A．如果a=b，那么为奇函数 B．如果，那么为单调函数
C．如果，那么没有零点 D．如果，那么的最小值为2
11．（多选）若函数在上的最大值为M，最小值为m，则（ ）
A． B． C． D．
12．（多选）先后两次郑一枚质地均匀的骰子，表示事件“两次郑出的点数之和是5”，表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，表示事件“第一次掷出的点数是5”，表示事件“至少出现一个奇数点”，则（ ）
A．与互斥 B． C．与对立 D．与相互独立
二、填空题
13．若，则的最大值是_________.
14．若函数同时满足：（i）为偶函数；（ii）对任意且，总有；（iii）定义域为，值域为，则称函数具有性质，现有个函数：①，②，③，④，其中具有性质的是___________（填上所有满足条件的序号）.
15．已知函数，若，则实数的取值范围是___________.
16．函数的值域为____ __．
四、解答题
17．已知集合，.
（1）若，求；
（2）若，求a的取值集合．
18．已知函数，.
（1）证明：函数在上单调递增；
（2）若，求实数t的取值范围．
19．某大学就业部从该大学2018年已就业的大学本科毕业生中随机抽取了100人进行了问卷调查，其中有一项是他们的月薪情况，经调查统计发现，他们的月薪收入在3000元到10000元之间，根据统计数据得到如下的频率分布直方图：
若月薪落在区间的左侧，则认为该大学本科生属“就业不理想”的学生，学校将联系本人，咨询月薪过低的原因，从而为本科毕业生就业提供更好的指导意见．其中分别为样本平均数和样本标准差，计算可得s≈1500元（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．
（1）现该校2018届大学本科毕业生张茗的月薪为3600元，试判断张茗是否属于“就业不理想”的学生？
（2）为感谢同学们对这项调查工作的支持，该校利用分层抽样的方法从样本的前3组中抽出6人，各赠送一份礼品，并从这6人中再抽取2人，各赠送某款智能手机1部，求获赠智能手机的2人中恰有1人月薪不超过5000元的概率；
（3）位于某省的一高校2018届某专业本科毕业生共200人，现他们决定于2019年元旦期间举办一次同学联谊会，并收取一定的活动费用．假定这200人与所抽取样本中的100人月薪分布情况相同，并用样本频率进行估计，现有两种收费方案：
方案一：按每人一个月薪水的10%收取；
方案二：月薪高于样本平均数的每人收取800元，月薪不低于4000元但低于样本平均数的每人收取400元，月薪低于4000元的不收取任何用．
问：哪一种收费方案最终总费用更少？
20．闽东传承着中国博大精深的茶文化，讲究茶叶茶水的口感，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．如果刚泡好的茶水温度是，空气的温度是，那么分钟后茶水的温度（单位：）可由公式求得，其中是一个物体与空气的接触状况而定的正常数．现有某种刚泡好的红茶水温度是，放在的空气中自然冷却，10分钟以后茶水的温度是．
（1）求k的值；
（2）经验表明，温度为 的该红茶水放在的空气中自然冷却至时饮用，可以产生最佳口感，那么，大约需要多长时间才能达到最佳饮用口感
（结果精确到，附：参考值）
21．已知，函数．
（1）判断函数的奇偶性，请说明理由；
（2）设，求函数在区间上的最小值．
22．设函数是定义域为R的奇函数.
（1）求；
（2）若，求使不等式对一切恒成立的实数k的取值范围；
（3）若函数的图象过点，是否存在正数，使函数在上的最大值为2，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.
赣县区三高2021-2022学年高一下学期2月开学考试
数学参考答案
1．B 2．A 3．C 4．B 5．D 6．D 7．B 8．A
第4题解析：因为不是不等式的解，
所以不等式等价于，
所以或，解得或．
第7题解析：因为是定义在上的奇函数， ．
因为是定义在上的偶函数，所以，
可得
所以，因此
9．ACD 10．BC 11．AC 12．ABD
13． 14．① ③ 15． 16．
由己知得，，，构造函数，则在上单调递增，即可得，因为，，所以，所以
17．（1）当时，.因为，
所以.
（2）因为，所以.
当时，解得，，符合题意；
当，即时，，符合题意；
当，即时，，
则解得.，综上，a的取值集合是或.
18．（1）证明：设，且，
则，
∵，，，，
∴，即，∴函数在上单调递增.
（2）因为，则为奇函数.
由，得.又因为在上单调递增，则，解得，故实数t的取值范围为.
19．（1）=3500×1000×0.00005+4500×1000×0.00010+5500×1000×0.00015+6500×1000×0.00030
+7500×1000×0.00020+8500×1000×0.00015+9500×1000×0.00005=6650，
-2s=6650-3000=3650＞3600，所以张茗属于“就业不理想“的学生．
（2）第一组有1000×0.00005×100=5人，第二组有1000×0.00010×100=10人，第三组有1000×0.00015×100=15人，所以按照分层抽样抽6人时，第一组抽1人，记为A，第二组抽2人，记为B，C，第三组抽3人，记为D，E，F，
从这6人中抽2人共有15种：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F），（B，C），（B，D），（B，E），（B，F），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F）．其中恰有一人月薪不超过5000元的有9种：（A，D），（A，E），（A，F），（B，D），（B，E），（B，F），（C，D），（C，E），（C，F）．
根据古典概型概率公式可得P==．
20．（1）由题意可知，
，其中，
所以，解得
（2）设刚泡好的茶水大约需要放置分钟才能达到最佳饮用口感，
由题意可知，，令，所以，，，所以，
所以刚泡好的茶水大约需要放置分钟才能达到最佳饮用口感.
21．（1）当时，，该函数的定义域为，
则，是上的奇函数，
当时，，，则有，且，即既不是奇函数，也不是偶函数，
所以，当时，是奇函数，当时，是非奇非偶函数；
（2）因，则当时，，当且仅当时取等号，即，
当时且时，，
显然，即在上递增， ；
当时，，对称轴，
①若，即当时，在上单调递增，在上单调递减，
此时，；
②若，即当时，函数在上单调递增，此时.
综上得：.
22．（1）函数是定义域为R的奇函数，
所以，解得，此时，满足；
（2）因为，所以，解得，
所以在R上是减函数，
等价于，
所以，即，
又因为不等式对一切恒成立，
所以对一切恒成立，
所以，解得，所以实数k的取值范围是；
（3）因为函数的图象过点，
所以，解得，
则，
令，则，
当时, 是减函数，，
因为函数在上的最大值为2，所以，即，
解得，不成立；
当时，是增函数，，
因为函数在上的最大值为2，所以，即，
解得或（舍去），
所以存在正数，使函数在上的最大值为2.