2022年人教版八年级数学 下册 17.2 勾股定理逆定理 第1课时 勾股定理的逆定理 课件（共29张）

(共29张PPT)
求以线段a、b为直角边的直角三角形的斜边c的长：
① a＝3，b＝4；
② a＝2.5，b＝6；
③ a＝4，b＝7.5.
c=5
c=6.5
c=8.5
想一想：以前我们已经学过了通过角的关系来确定直角三角形，可不可以通过边来确定直角三角形呢？
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17.2　勾股定理逆定理
人教版八年级数学 下册
第1课时 勾股定理的逆定理
学习目标
1.掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆命题、定理的概念、关系及勾股数。
2.能证明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是直角三角形。
下面有三组数分别是一个三角形的三边长a, b, c:
①5,12,13; ②7,24,25; ③8,15,17.
问题 分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？
是
目标导学一：勾股定理的逆定理
下面有三组数分别是一个三角形的三边长a, b, c:
①5,12,13; ②7,24,25; ③8,15,17.
问题2 这三组数在数量关系上有什么相同点？
① 5,12,13满足52+122=132,
② 7,24,25满足72+242=252,
③ 8,15,17满足82+152=172.
问题3 古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗？
∵32+42=52，∴满足.
a2+b2=c2
我觉得这个猜想不准确，因为测量结果可能有误差.
我也觉得猜想不严谨，前面我们只取了几组数据，不能由部分代表整体.
问题3 据此你有什么猜想呢
由上面几个例子，我们猜想：
命题2 如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
验证猜想:
　已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，
满足a2+b2=c2
　求证：△ABC是直角三角形。
A　
B　
C　
a
b
c
证明：作Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，
A′C′=b，B′C′=a，
则 A′B′ 2=B′C′ 2+A′C′ 2=a2 + b 2
∴△ABC≌ △A′B′C′(SSS)，
∴∠C= ∠C′=90° ， 即△ABC是直角三角形.
A
C
a
B
b
c
∵ a2 + b 2 = c 2 ，
∴A′B′ 2 = c 2 ，∴A′B′= c
在△ABC和△A′B′C′中
A′C′=AC，
B′C′=BC，
A′B′=AB，
{
验证猜想:
如果三角形的三边长a 、b 、c满足
a2+b2=c2
那么这个三角形是直角三角形。
A
C
B
a
b
c
作用：判断三角形是否为直角三角形
注意：不要拘泥于a2+b2=c2的形式
核心：只要满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形 ，最长边所对应的角为直角。
勾股定理的逆定理:
知识归纳
例1 如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E为BC上一点，且CE＝ CB，试判断AF与EF的位置关系，并说明理由．
解：AF⊥EF.理由如下：
设正方形的边长为4a,
则EC＝a，BE＝3a，CF＝DF＝2a.
在Rt△ABE中，得AE2＝AB2＋BE2＝16a2＋9a2＝25a2.
在Rt△CEF中，得EF2＝CE2＋CF2＝a2＋4a2＝5a2.
在Rt△ADF中，得AF2＝AD2＋DF2＝16a2＋4a2＝20a2.
在△AEF中，AE2＝EF2＋AF2，
∴△AEF为直角三角形，且AE为斜边．
∴∠AFE＝90°，即AF⊥EF.
例2 古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2－1，c＝m2＋1，那么a，b，c为勾股数．你认为对吗？如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗？
【解答】　对．
因为a2＋b2＝(2m)2＋(m2－1)2＝4m2＋m4－2m2＋1＝m4＋2m2＋1＝(m2＋1)2，
而c2＝(m2＋1)2，所以a2＋b2＝c2，即a，b，c是勾股数．
m＝2时，勾股数为4，3，5；m＝3时，勾股数为6，8，10；m＝4时，勾股数为8，15，17.
精典例题
BY YUSHEN
运用勾股定理的逆定理判断直角三角形的一般步骤：
1.找：确定三角形的最长边。
2.算：分别计算出最长边的平方与另两边的平方和。
3.比：通过比较来判断最长边的平方与另两边的平方和是否相等。
4.判：作出结论，若相等，则说明这个三角形是直角三角形，否则不是直角三角形。
判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：
（1）a=15，b=8，c=17；
（2）a=m2-n2，b=m2+n2，c=2mn（m＞n，m、n是正整数）
解；（1)∵a2 = 225，
b2 = 64， c2 = 289
又∵ 225 + 64 = 289
∴ a2 + b2 = c2
即: 三角形是直角三角形
(2)∵a2 = (m2 - n2 )2 = m4 - 2m2n2 + n4, b2 = (m2 + n2 )2 = m4 + 2m2n2 + n4,
c2 = (2mn )2 = 4m2n2
又∵m4 - 2m2n2 + n4 + 4m2n2
= m4 + 2m2n2 + n4
∴ a2 + c2 = b2
即: 三角形是直角三角形
即学即练
判定一个三角形是直角三角形的方法
角：
有一个角是直角的三角形是直角三角形.
边：
如果三角形的三边长a，b，c满足 a2+b2=c2，
那么这个三角形是直角三角形
如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2
那么这个三角形是直角三角形.
满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.
概念学习
目标导学二：勾股数
常见勾股数：
3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41；10，24，26等等.
勾股数拓展性质：
一组勾股数，都扩大相同倍数k(k为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数.
下列各组数是勾股数的是 ( )
A.6，8，10 B.7，8，9
C.0.3，0.4，0.5 D.52，122，132
A
规律总结：根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数，先排除小数，再计算最长边的平方是否等于其他两边的平方和即可.
即学即练
勾股定理的逆定理：
　　定理：如果三角形的三边长a，b，c 满足a2+b2=c2，
那么这个三角形是直角三角形．
两个命题的题设与结论正好相反，像这样的两个命
题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那
么另一个命题叫做它的逆命题．
勾股定理的逆命题：
　　勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，
斜边为c，那么a2+b2=c2．
目标导学三：互逆命题与互逆定理
(1)两条直线平行，内错角相等．
(2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等．
(3)全等三角形的对应角相等．
(4)角的内部到角的两边距离相等的点在角平分线上．
说出下列命题的逆命题．这些命题的逆命题成立吗
逆命题: 内错角相等，两条直线平行. 成立
逆命题:角平分线上的点到角的两边距离相等．成立
逆命题:如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等. 不成立
逆命题:对应角相等的两个三角形是全等三角形. 不成立
感悟: 原命题成立时, 逆命题有时成立, 有时不成立
一个命题是真命题,它逆命题却不一定是真命题
即学即练
探索
猜想
归纳
验证
应用
拓展
知识源于探索
逻辑思维
勾股定理
的逆定理
内容
作用
从三边数量关系判定一个三角形是
否是直角形三角形.
如果三角形的三边长a 、b 、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
注意
最长边不一定是c， ∠C也不一定是直角.
勾股数一定是正整数
课堂小结
BY YUSHEN
1．已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（　　）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
B．a：b：c＝7：24：25
C．a2＝b2﹣c2
D．∠A＝∠C﹣∠B
检测目标
A
BY YUSHEN
2．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长,其中能构成直角三角形的是(　)
A． B．1,
C．6,7,8 D．2,3,4
检测目标
B
BY YUSHEN
3．下列由线段a、b、c组成的三角形是直角三角形的是（ ）
A．a＝1， b＝2， c＝3；
B．a＝4， b＝5， c＝6；
C．a＝9， b＝12，c＝15；
D．a＝13，b＝14，c＝15
检测目标
C
BY YUSHEN
4．满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是（ ）
A．BC＝1，AC＝2，AB＝
B．BC＝1，AC＝2，AB＝
C．BC：AC：AB＝3：4：5
D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
检测目标
D
BY YUSHEN
5．已知△ABC的三边分别长为a,b,c，且满足，则△ABC是（ ）.
A．以a为斜边的直角三角形
B．以b为斜边的直角三角形
C．以c为斜边的直角三角形
D．不是直角三角形
检测目标
A
说说这节课你学到了什么
有什么体会
有什么感想
收获园地
作 业 ：
1.完成同步练习题
2.背诵知识点