高二数学试卷（文科）-普通用卷（PDF版含答案）
文档属性
| 名称 | 高二数学试卷（文科）-普通用卷（PDF版含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 312.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-02-20 17:25:02 | ||
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文档简介
高二下开学收心考试数学试卷（文科）
命题人：张通炜 审题人：卢恩良
一、单项选择题（本大题共 12 小题，共 60 分）
1. 集合 1 ， 1 ， ，则 等于
A. 1 B. 1 C. D. 1
. 设 1，则下列不等式成立的是
A. B. 1 1 C.
1 D. lg
. 平面内有两个定点 1， 和一动点 ，设命题甲， 1 是定值，命题乙：点 的
轨迹是双曲线，则命题甲是命题乙的
A. 充分但不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
. 下表格所示五个散点，已知求得的线性回归直线方程为 . 1 ，则实数 的值为
19 19
1
A. B. . C. . D. .
. 甲乙两名同学在班级演讲比赛中，得分情况如茎叶图所示，则甲乙
两人得分的中位数之和为
A. 1 B. 1 C. 1 D. 1
. 在等差数列 中， 9 1 ， 1，则 1 的值是
A. 1 B. 1 C. 1 D. 1
. 执行如图所示的程序框图，若输出 的值为 ，则判断框内可填入
的条件是
A. 1 B.
C.
D. 1
. 设变量 ， 满足约束条件 ，则目标函数
的最小值为
A. B. C. 1 D.
9. 已知函数 sin cos ，下列结论中错误的是
A. 的图像关于 1 中心对称 B. 11 在 上单调递减1 1 1
C. 的图像关于 对称 D. 的最大值为 1
1 . 如图，三角形 中， 1， ，以 为直角顶点向外
作等腰直角三角形 ，当 变化时，线段 的长度最大
值为
A. 1 B. C. 1 D.
第 1页，共 9页
11.
已知椭圆 ： 1 的左右焦点分别是 1， ，椭圆上任意一点到 1， 的
距离之和为 ，过焦点 且垂直于 轴的直线交椭圆 于 ，
两点，若线段 的长为 ，
则椭圆 的方程为
A. 1 B. 1 C. 1 D. 1
1 1
1 . 1已知曲线 1 ln
1
和
1在交点 1 1 处具有相同
的切线方程，则 的值为
A. 1 B. C. D.
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20 分）
1 . 写出命题“若 ，则 ， ， 不成等比数列”的逆否命题：______．
1 . 已知向量 、 ，满足 1 ， ，且 ，则 在 上的投影为______
1 . 在 中， ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ，则 ______．
1 . 定义在 1上的函数 满足 ， 1 ，则下列说法正确的是_____．
1 1在 处取得极小值，极小值为 只有一个零点
t
1若
在 上恒成立，则 1
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分）
17. 某学校为了解其下属后勤处的服务情况，随机访问了 名教职工，根据这 名教职工对后
勤处的评分情况，绘制频率分布直方图如图所示，其中样本数据分组区间为 ，
， ， 9 ， 9 1 ．
1 估计该学校的教职工对后勤处评分的中位数 结果
保留到小数点后一位 ；
从评分在 的受访教职工中，随机抽取 人，
求此 人中至少有 1人对后勤处评分在 内的概
率．
第 页，共 9页
18. 如图，在三棱柱 1 1 1中， 1 底面 ， ， ，
1 ， 是棱 1上一点．
1 求证： ；
若 ， 分别是 1， 的中点，求证： 平面 1 ；
19. 已知等差数列 的前 项和为 ，等比数列 的前 项和为 ，满足 1 1， ，
1 ， ．
Ⅰ 求数列 、 通项公式；
Ⅱ 设 ，求数列 的前 项和为 ．
20. 在 中，角 、 、 所对边分别为 、 、 ，且 ．
1 求角 的大小：
若 ， ，求 的面积．
第 页，共 9页
21. 已知抛物线 ： ，过抛物线 的焦点的直线 与抛物线 相交于 ， 两
点，线段 的长度为 ，且 的中点到 轴的距离为 ．
1 求抛物线 的方程；
1已知抛物线 与直线 ： 交于 ， 两点，判断坐标原点 是否在以 为直
径的圆上，并说明理由．
22. 设函数 t cos ，其中 ．
1 若 1，证明：当 时， ；
若 在区间 内有两个不同的零点，求 的取值范围．
第 页，共 9页
答案和解析
1. 2. 3. 4. . . . .
9.【答案】
解： sin cos 1 1 ，
A.当
时，sin ，则 的图象关于 1 1 1 中心对称，故 A 正确，
B.函数的增区间为 ，减区间为 ， ，故函数在
11 单调递减，在 单调递增，故 B 错误，
1 1
C.当 时，
，则 的图象关于 对称，故 C 正确，
D.当 sin 1 时，函数取得最大值为 1 1，故 D 正确．
10.【答案】
解：设 ， ，则 ，由正弦定理可得 ，
cos 9
sin ， 1 时， 取得最大值 1．
11.【答案】
解：根据椭圆定义可知 ，则 1 ，
因为过焦点 且垂直于 轴的直线被椭圆截得的线段 ，解得 ，
所以椭圆 的方程为 1，
1
12.【答案】
解： 1 1， ，又因为 与 在交点 1 1 处具有相同的切线
1 1 1
方程，所以 ，即 1 1 1
解得 ，所以 ．
13.【答案】若 ， ， 成等比数列，则
14.【答案】 1
15.【答案】 1
16.【答案】
第 页，共 9页
解：对于 1 ， 1 ，且 ，可得
1
，可得 1，
故 ln 为常数 ． 1 ，可得1 1 ln1 ，求得： .故： ln ，
1
整理可得： ln ln ， ， ln 1 ln 1 ln ，
当 1 ln
1
，即 ln lnt ，解得： t， ，即 单调递增，
当 1 ln
1
，即 ln lnt ，解得 t ，
当 1 ln
1
，即 ln lnt ，解得： t， ，即 单调递减， t 取
得极大值， t ln t 1，故 1 错误．
t t
对于 ， t t 1 ，画出 草图：如图
t
根据图象可知： 中有一个零点，故 说法正确；
1
对于 ，要保证 在 上恒成立，即：保证
1 ln ln 1 在 上恒成立， ，可得 在
ln 1 1 ln 上恒成立，故只需
max，令
1 ln 1 1 ln 1 1 ln 1
，当 t
时， ，当 t 时， ，当 t
，
1
1
1 ln .
1 lnt tmax t 1 ，故 说法正确． t
对于 ，根据 t， 单调递增，
t， 单调递减， 1 t，可得 1 ，又 ln ln ，
ln ln ln ln ，
根据 ， ，故 1
，故 说法正确．
故答案为： ．
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17.解： 1 因为 . . 1 . . 1 1，解得 . ；
估计该企业的职工对该部门评分的平均值：
. . . . . .1 9 . ．
受访职工中评分在 的有： . 1 人 ，记为 1， ， ；
受访职工评分在 的有： . 1 人 ，记为 1， ．
从这 名受访职工中随机抽取 人，所有可能的结果共有 1 种，
分别是 1 ， 1 ， 1 1 ， 1 ， ， 1 ， ， 1 ， ， 1 ，
又因为所抽取 人的评分都在 的结果有 1种，即 1 ，
故所求的概率为 1．
1
18. 1 证明： 1 平面 ， 平面 ， 1 ．
在 中， ， ， ，则 ，
1 ， 平面 1 1，
平面 1 1， ；
证明：连接 1 交 1 于 ，
四边形 1 1 是平行四边形， 是 1 的中点，
又 ， 分别是 1， 的中点， ，且 ，
四边形 是平行四边形，则 ．
又 平面 1 ， 平面 1 ， 平面 1 ；
19.解： Ⅰ 设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，
1 1 1
1 1
则 1 1 1
，解得
1 1 1 1
，故 1 ；
1 1
1
Ⅱ 由 Ⅰ 得： 1，
1 1 1
1 1 1，
1
1 1 1 ．
1
1 1 1 1
1 1
两式相减得： 1 1 1 1
1
1 1
1 1 1 1 1 1 ．
1 1
1 ．
1
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20.解： 1 ，
由正弦定理可得： ，
， 1 ．
， ，
， 角 的大小为 ．
， 1 ，
， ，
1 ，
， 1，或 ，
t当 1时， ， 1 ．
当 时， ， 1 ，
的面积为 或 ．
21. 解： 1 由题意得，直线 的斜率不为零，设直线 的方程为： ，设 ，
，
联立与椭圆的方程整理得： ， ， ，
， ，
，由题意知： ，即
，解得： ，
所以抛物线的方程： ；
设 ， 1， ，即 ，
联立与椭圆的方程整理得： 1 ， ， 1 ，
1 1 ，
1 1 ， ，
坐标原点 在以 为直径的圆上．
22.解： 1 t sin ，
由 ，得t 1，sin 1 1 ，
则 t sin ，即 在 上为增函数．
故 ，即 .
由 t cos cos ，得 .t
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设函数 cos sin cos ， ，则 .t t
令 ，得 ，
则 时， ， 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减．
又因为 1， t ， t ，
cos
所以当 时，方程 t ， 在区间内有两个不同解，
即所求实数 的取值范围为 ．
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命题人：张通炜 审题人：卢恩良
一、单项选择题（本大题共 12 小题，共 60 分）
1. 集合 1 ， 1 ， ，则 等于
A. 1 B. 1 C. D. 1
. 设 1，则下列不等式成立的是
A. B. 1 1 C.
1 D. lg
. 平面内有两个定点 1， 和一动点 ，设命题甲， 1 是定值，命题乙：点 的
轨迹是双曲线，则命题甲是命题乙的
A. 充分但不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
. 下表格所示五个散点，已知求得的线性回归直线方程为 . 1 ，则实数 的值为
19 19
1
A. B. . C. . D. .
. 甲乙两名同学在班级演讲比赛中，得分情况如茎叶图所示，则甲乙
两人得分的中位数之和为
A. 1 B. 1 C. 1 D. 1
. 在等差数列 中， 9 1 ， 1，则 1 的值是
A. 1 B. 1 C. 1 D. 1
. 执行如图所示的程序框图，若输出 的值为 ，则判断框内可填入
的条件是
A. 1 B.
C.
D. 1
. 设变量 ， 满足约束条件 ，则目标函数
的最小值为
A. B. C. 1 D.
9. 已知函数 sin cos ，下列结论中错误的是
A. 的图像关于 1 中心对称 B. 11 在 上单调递减1 1 1
C. 的图像关于 对称 D. 的最大值为 1
1 . 如图，三角形 中， 1， ，以 为直角顶点向外
作等腰直角三角形 ，当 变化时，线段 的长度最大
值为
A. 1 B. C. 1 D.
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11.
已知椭圆 ： 1 的左右焦点分别是 1， ，椭圆上任意一点到 1， 的
距离之和为 ，过焦点 且垂直于 轴的直线交椭圆 于 ，
两点，若线段 的长为 ，
则椭圆 的方程为
A. 1 B. 1 C. 1 D. 1
1 1
1 . 1已知曲线 1 ln
1
和
1在交点 1 1 处具有相同
的切线方程，则 的值为
A. 1 B. C. D.
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20 分）
1 . 写出命题“若 ，则 ， ， 不成等比数列”的逆否命题：______．
1 . 已知向量 、 ，满足 1 ， ，且 ，则 在 上的投影为______
1 . 在 中， ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ，则 ______．
1 . 定义在 1上的函数 满足 ， 1 ，则下列说法正确的是_____．
1 1在 处取得极小值，极小值为 只有一个零点
t
1若
在 上恒成立，则 1
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分）
17. 某学校为了解其下属后勤处的服务情况，随机访问了 名教职工，根据这 名教职工对后
勤处的评分情况，绘制频率分布直方图如图所示，其中样本数据分组区间为 ，
， ， 9 ， 9 1 ．
1 估计该学校的教职工对后勤处评分的中位数 结果
保留到小数点后一位 ；
从评分在 的受访教职工中，随机抽取 人，
求此 人中至少有 1人对后勤处评分在 内的概
率．
第 页，共 9页
18. 如图，在三棱柱 1 1 1中， 1 底面 ， ， ，
1 ， 是棱 1上一点．
1 求证： ；
若 ， 分别是 1， 的中点，求证： 平面 1 ；
19. 已知等差数列 的前 项和为 ，等比数列 的前 项和为 ，满足 1 1， ，
1 ， ．
Ⅰ 求数列 、 通项公式；
Ⅱ 设 ，求数列 的前 项和为 ．
20. 在 中，角 、 、 所对边分别为 、 、 ，且 ．
1 求角 的大小：
若 ， ，求 的面积．
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21. 已知抛物线 ： ，过抛物线 的焦点的直线 与抛物线 相交于 ， 两
点，线段 的长度为 ，且 的中点到 轴的距离为 ．
1 求抛物线 的方程；
1已知抛物线 与直线 ： 交于 ， 两点，判断坐标原点 是否在以 为直
径的圆上，并说明理由．
22. 设函数 t cos ，其中 ．
1 若 1，证明：当 时， ；
若 在区间 内有两个不同的零点，求 的取值范围．
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答案和解析
1. 2. 3. 4. . . . .
9.【答案】
解： sin cos 1 1 ，
A.当
时，sin ，则 的图象关于 1 1 1 中心对称，故 A 正确，
B.函数的增区间为 ，减区间为 ， ，故函数在
11 单调递减，在 单调递增，故 B 错误，
1 1
C.当 时，
，则 的图象关于 对称，故 C 正确，
D.当 sin 1 时，函数取得最大值为 1 1，故 D 正确．
10.【答案】
解：设 ， ，则 ，由正弦定理可得 ，
cos 9
sin ， 1 时， 取得最大值 1．
11.【答案】
解：根据椭圆定义可知 ，则 1 ，
因为过焦点 且垂直于 轴的直线被椭圆截得的线段 ，解得 ，
所以椭圆 的方程为 1，
1
12.【答案】
解： 1 1， ，又因为 与 在交点 1 1 处具有相同的切线
1 1 1
方程，所以 ，即 1 1 1
解得 ，所以 ．
13.【答案】若 ， ， 成等比数列，则
14.【答案】 1
15.【答案】 1
16.【答案】
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解：对于 1 ， 1 ，且 ，可得
1
，可得 1，
故 ln 为常数 ． 1 ，可得1 1 ln1 ，求得： .故： ln ，
1
整理可得： ln ln ， ， ln 1 ln 1 ln ，
当 1 ln
1
，即 ln lnt ，解得： t， ，即 单调递增，
当 1 ln
1
，即 ln lnt ，解得 t ，
当 1 ln
1
，即 ln lnt ，解得： t， ，即 单调递减， t 取
得极大值， t ln t 1，故 1 错误．
t t
对于 ， t t 1 ，画出 草图：如图
t
根据图象可知： 中有一个零点，故 说法正确；
1
对于 ，要保证 在 上恒成立，即：保证
1 ln ln 1 在 上恒成立， ，可得 在
ln 1 1 ln 上恒成立，故只需
max，令
1 ln 1 1 ln 1 1 ln 1
，当 t
时， ，当 t 时， ，当 t
，
1
1
1 ln .
1 lnt tmax t 1 ，故 说法正确． t
对于 ，根据 t， 单调递增，
t， 单调递减， 1 t，可得 1 ，又 ln ln ，
ln ln ln ln ，
根据 ， ，故 1
，故 说法正确．
故答案为： ．
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17.解： 1 因为 . . 1 . . 1 1，解得 . ；
估计该企业的职工对该部门评分的平均值：
. . . . . .1 9 . ．
受访职工中评分在 的有： . 1 人 ，记为 1， ， ；
受访职工评分在 的有： . 1 人 ，记为 1， ．
从这 名受访职工中随机抽取 人，所有可能的结果共有 1 种，
分别是 1 ， 1 ， 1 1 ， 1 ， ， 1 ， ， 1 ， ， 1 ，
又因为所抽取 人的评分都在 的结果有 1种，即 1 ，
故所求的概率为 1．
1
18. 1 证明： 1 平面 ， 平面 ， 1 ．
在 中， ， ， ，则 ，
1 ， 平面 1 1，
平面 1 1， ；
证明：连接 1 交 1 于 ，
四边形 1 1 是平行四边形， 是 1 的中点，
又 ， 分别是 1， 的中点， ，且 ，
四边形 是平行四边形，则 ．
又 平面 1 ， 平面 1 ， 平面 1 ；
19.解： Ⅰ 设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，
1 1 1
1 1
则 1 1 1
，解得
1 1 1 1
，故 1 ；
1 1
1
Ⅱ 由 Ⅰ 得： 1，
1 1 1
1 1 1，
1
1 1 1 ．
1
1 1 1 1
1 1
两式相减得： 1 1 1 1
1
1 1
1 1 1 1 1 1 ．
1 1
1 ．
1
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20.解： 1 ，
由正弦定理可得： ，
， 1 ．
， ，
， 角 的大小为 ．
， 1 ，
， ，
1 ，
， 1，或 ，
t当 1时， ， 1 ．
当 时， ， 1 ，
的面积为 或 ．
21. 解： 1 由题意得，直线 的斜率不为零，设直线 的方程为： ，设 ，
，
联立与椭圆的方程整理得： ， ， ，
， ，
，由题意知： ，即
，解得： ，
所以抛物线的方程： ；
设 ， 1， ，即 ，
联立与椭圆的方程整理得： 1 ， ， 1 ，
1 1 ，
1 1 ， ，
坐标原点 在以 为直径的圆上．
22.解： 1 t sin ，
由 ，得t 1，sin 1 1 ，
则 t sin ，即 在 上为增函数．
故 ，即 .
由 t cos cos ，得 .t
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设函数 cos sin cos ， ，则 .t t
令 ，得 ，
则 时， ， 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减．
又因为 1， t ， t ，
cos
所以当 时，方程 t ， 在区间内有两个不同解，
即所求实数 的取值范围为 ．
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