人教A版（2019）必修第一册第二章2.2基本不等式（Word含答案）

人教A版（2019） 必修第一册 第二章 2.2 基本不等式
一、解答题
1．已知，、、为的三个内角，，
（1）求角；
（2）求面积的最大值.
2．某种汽车，购车费用是10万元，第一年维修费是0.2万元，以后逐年递增0.2万元，且每年的保险费、养路费、汽油费等约为0.9万元。则这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最小？
3．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨）之间的函数关系式可以近视地表示为,已知此生产线的年产量最大为210吨.
(Ⅰ) 求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；
(Ⅱ)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润 最大利润是多少
4．某地开发一片荒地，如图，荒地的边界是以C为圆心，半径为1千米的圆周．已有两条互相垂直的道路OE，OF，分别与荒地的边界有且仅有一个接触点A，B．现规划修建一条新路（由线段MP，，线段QN三段组成），其中点M，N分别在OE，OF上，且使得MP，QN所在直线分别与荒地的边界有且仅有一个接触点P，Q，所对的圆心角为．记∠PCA＝（道路宽度均忽略不计）．
（1）若，求QN的长度；
（2）求新路总长度的最小值．
5．（1）解不等式；
（2）已知，其中，求的最小值.
6．重庆市杨家坪中学彩云湖校区于2014年11月正式动工.彩云湖校区将修建标准的400m跑道运动场.运动场总面积15000平方米，运动场是由一个矩形和分别以、为直径的两个半圆组成，塑胶跑道宽8米（运动场平面图如图），已知塑胶跑道每平方米造价为150元，其它部分造价每平方米80元.
（1）设半圆的半径（米），写出塑胶跑道面积与的函数关系式；
（2）由于受运动场两侧看台限制，的范围为，问当为何值时，运动场造价最低（第2问取3近似计算）.
7．国家级江北新区规划要修建一地下停车场，停车场横截面是如图所示半椭圆形AMB，其中AP为2百米，BP为4百米，，M为半椭圆上异于A，B的一动点，且面积最大值为平方百米，如图建系．
求出半椭圆弧的方程；
若要将修建地下停车场挖出的土运到指定位置P处运土的点N可看作是半椭圆内任意一点，只有两条路线、可供选择，要使运土最省工，工程部需要指定一条分界线即N到P的路程相等，请求出分界线所在的曲线方程；
若在半椭圆形停车场的上方修建矩形商场，矩形的一边CD与AB平行，设百米，试确定t的值，使商场地面的面积最大．
8．设函数，其中，，．
(1)若当时，有最小值，求的最小值；
(2)若，求证：．
9．某天数学课上，你突然惊醒，发现黑板上有如下内容：
例：求的最小值.
解：利用基本不等式，得到， 于是，当且仅当时，取到最小值.
（1）老师请你模仿例题，研究上的最小值；
（提示：）
（2）研究上的最小值；
（3）求出当时，的最小值.
10．已知都是正数，求证：
(1)；
(2)若，则.
11．我们知道，，因此，当且仅当时等号成立.即，的算术平均数的平方不大于，平方的算术平均数.请运用这个结论解答下列两题.
（1）求函数的最大值；
（2）已知，，若不等式恒成立，求实数的取值范围.
12．某工厂有旧墙一面，长14米，现在准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形 面积为126平方米的厂房，工程条件是：①建1米新墙的费用为元；②修1米旧墙的费用为元；③拆去1米旧墙，用所得的材料建1米新墙的费用为元，经讨论有两种方案：
（1）利用旧墙的一段米为矩形厂房一面的边长；
（2）矩形厂房利用旧墙的一面边长.
问如何利用旧墙，即为多少米时，建造费用最省？（1） （2）两种方案哪个更好？
13．在平面直角坐标系中，点是曲线上的一个动点．
(1)求点的纵坐标的最小值；
(2)求点到直线的距离的最小值．
14．已知的最小值为m．
(1)求m．
(2)若a＋b＋c＝3，证明：．
15．已知为正实数.
（1）求证：；
（2）求的最小值.
16．已知在中，，，分别为角，，所对的边长，且．
（1）求角的值；
（2）若，求的取值范围．
17．在平面直角坐标系中，已知圆过坐标原点且圆心在曲线上.
（1）求圆面积的最小值；
（2）设直线与圆交于不同的两点、，且，求圆的方程；
（3）设直线与（2）中所求圆交于点、，为直线上的动点，直线，与圆的另一个交点分别为，，求证：直线过定点.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）化简f（x），根据f（A）＝0．即可求A角；
（2）利用余弦定理建立关系，结合基本不等式的性质即可求解△ABC面积的最大值．
【详解】
（1）由f（x）＝sinxcosx＝2sin（x﹣60°），
∵f（A）＝0．即2sin（A﹣60°）＝0，
∵0＜A＜180°，
可得：A＝60°；
（2）由（1）可得A＝60°，BC＝a＝2，
根据余弦定理cosA，
可得bc＝b2+c2﹣4，
∵b2+c2≥2bc（当且仅当b＝c时取等号），
∴bc+4≥2bc，
可得bc≤4．
那么△ABC面积SbcsinA，
故得△ABC面积的最大值为．
【点睛】
本题考查了三角函数的化简，考查了余弦定理与不等式的结合求解最值问题．属于基础题．
2．10年
【解析】
设使用年平均费用最小，由题意知汽车使用年总维修费用为，设汽车的年平均费用为元，则有，再利用基本不等式求解即可.
【详解】
解：设使用年平均费用最小，
由题意知汽车使用年总维修费用为（万元）.
设汽车的年平均费用为元，则有，
当且仅当，即时，取得最小值.
故汽车使用年年平均费用最小.
【点睛】
本题考查基本不等式的应用，属于基础题.
3．（1）年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元．（2）年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元．
【解析】
【详解】
本题考查将实际问题的最值问题转化为函数的最值问题、考查利用基本不等式求函数的最值需满足：一正、二定、三相等、考查求二次函数的最值关键看对称轴
（1）利用总成本除以年产量表示出平均成本；利用基本不等式求出平均成本的最小值．
（2）利用收入减去总成本表示出年利润；通过配方求出二次函数的对称轴；由于开口向下，对称轴处取得最大值．
解：（1）生产每吨产品的平均成本为
，
由于，
当且仅当时，即时等号成立．
答：年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元；
（2）设年利润为，则
，
由于在上为增函数，故当
时，的最大值为1660．
答：年产量为210吨时，可获得最大利润1660万元．
4．（1）1千米；（2）．
【解析】
【分析】
（1）连接CB，CN，CM，可得，OM，ON，PM，QN均与圆C相切，通过圆心角为可求出∠QCB＝，从而得到四边形BCQN是正方形，进而可得QN＝CQ＝1，
（2）因为∠PCA＝，所以∠MCP＝，∠NCQ＝，利用弧长公式可求得MP＝，，NQ＝，由于，所以（，），设新路长为，则，然后结合基本不等式进行计算即可得解
【详解】
（1）连接CB，CN，CM，
因为OM⊥ON，所以OM，ON，PM，QN均与圆C相切
所以CB⊥ON，CA⊥OM，CP⊥MP，CQ⊥NQ，
所以CB⊥CA
因为∠PCA＝，∠PCQ＝，
所以∠QCB＝，
此时四边形BCQN是正方形，所以QN＝CQ＝1，
答：QN的长度为1千米；
（2）∵∠PCA＝，可得∠MCP＝，∠NCQ＝，
则MP＝，，NQ＝
设新路长为，其中（，），即
∴，
，当时取“＝”，
答：新路总长度的最小值为．
【点睛】
本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查三角函数在实际生活中的应用，考查基本不等式求最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题．
5．（1）答案见解析；（2）.
【解析】
（1）根据一元二次不等式的解法，分，和，三种情况分类讨论即可求解；
（2）化简，结合基本不等式，即可求解.
【详解】
（1）由题意，不等式 ，
当时，不等式恒成立，解集为，
当时，
若，不等式等价于，
解得或，所以不等式的解集为；
若，不等式等价于，所以不等式的解集为；
若，不等式等价于，
解得或，所以不等式的解集为；
当时，不等式等价于，
解得，所以不等式的解集为.
综上可得：当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
（2）由，可得，，
则，
当且仅当时，即时，等号成立，
综上可得，函数的最小值为.
【点睛】
解含参数的一元二次不等式的步骤：
（1）若二次项含有参数，应先讨论参数是等于0、小于0，还是大于0，然后整理不等式；
（2）当二次项系数不为0时，讨论判别式与0的关系，判断方程的根的个数；
（3）确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集的形式.
6．（1）；（2）
【解析】
【详解】
试题分析：（1）
（2）总造价：
∴易知函数在区间上单调递减，故当时，总造价最低.
考点：建立函数模型，求函数的最值
点评：审清题意，合理建立数学模型，利用函数的单调性求函数的最值
7．椭圆弧的方程为；曲线方程为； .
【解析】
【分析】
设椭圆方程为由已知易求出AB=2a的长，结合其他已知条件，列式求得a，b，可得椭圆方程；
由N到P的路程相等，可得，即，故点N在以A，B为焦点的双曲线上，采用定义法即可求得曲线方程；
由且点C，D在椭圆弧上，结合矩形面积公式，得函数式然后利用基本不等式求最值，进而问题得解．
【详解】
在直角三角形PAB中，，，
由勾股定理得：．
设椭圆方程为．
由题意得，解得，．
椭圆弧的方程为；
由点N到P的路程相等，，即．
得，在以A，B为焦点的双曲线上，
设双曲线方程为，
则，解得，．
双曲线方程为；
由，设，则．
．
商场地面积为．
，，
则．
当且仅当，即时“”成立．
当时，商场地面的面积最大为平方百米．
【点睛】
本题考查了与圆锥曲线有关的实际问题，考查了椭圆与双曲线标准方程的求法，考查了利用基本不等式求最值；在实际应用题的解题过程中，要注意自变量的取值范围需符合实际．
8．(1)
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）由在处，有最小值，可知对称轴为，列出关系式，化简可得，利用基本不等式1的应用，代入求出最小值.（2）代入化简可得，两边平方，结合重要不等式可证明.
(1)
解：因为当时，有最小值，所以且对称轴，即，（，）所以
，当且仅当时等号成立. 的最小值为.
(2)
解：，化简得：，
所以，
所以.
9．（1）；（2）；（3）．
【解析】
【分析】
（1）根据新定义可得，求解即可；
（2）根据新定义可得，求解即可；
（3）根据新定义可得，求解即可．
【详解】
（1）由，
知，
当且仅当时，取到最小值；
（2）由，
知
当且仅当时，取到最小值；
（3）由，
知；
当且仅当时，取到最小值．
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
10．(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）运用作差法，进而展开、分组，然后提公因式、配方，最后证明问题；
（2）根据题意得到，进而乘出化简，然后通过基本不等式证明问题.
(1)
，
∵都是正数，∴，
当且仅当“”时等号成立，∴.
(2)
，
当且仅当“”时等号成立，∴.
11．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由，可得，化简变形后可求出的最大值；
（2）由于，变形后可得，而恒成立恒成立，从而可求出实数的取值范围.
【详解】
（1）当时，有，
即，当且仅当，即时等号成立.
而，故函数的最大值为.
（2）当，时，有，所以
即，当且仅当时等号成立.因此的最小值为.
恒成立恒成立.
故实数的取值范围是.
12．采用第（1）种方案，利用旧墙米为矩形的一面边长时，建墙总费用最省，为元.
【解析】
【分析】
以建造总费用为目标函数，把方案（1）和（2）的函数关系式求出来，通过函数求最小值来解决问题
【详解】
利用旧墙的一面矩形边长为x米，则矩形的另一面边长为米，
方案（1）：利用旧墙的一段x米，（x<14）为矩形一面边长，则修旧墙费用为元，将剩余旧墙拆得的材料建设新墙的费用为元，其余建新墙的费用为元，故总费用为，利用基本不等式可得：，当且仅当，即时，等号成立，即；
方案（2）若利用旧墙的一面矩形边长，则修旧墙的费用为元，建新墙的费用为元，故总费用，设，则
，因为，所以，，从而，所以函数在上为增函数，故当时，.
综上所述，采用第（1）种方案，利用旧墙12米为矩形的一面边长时，建墙总费用最省，为元.
13．(1)2；
(2)2．
【解析】
【分析】
（1）由基本不等式求得函数的最小值，即点的纵坐标的最小值；
（2）设点P的坐标，由点到直线的距离公式及基本不等式即可得解.
(1)
因为，所以，当且仅当时等号成立，
故得到函数最小值为
点的纵坐标的最小值
(2)
设点，
则点到直线的距离，
因为，所以，当且仅当时，等号成立，
所以点到直线的距离的最小值2.
14．(1)9
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
(1)分类讨论求出f(x)的分段函数解析式，求f(x)值域即可；
(2)两边平方结合基本不等式求出最小值，展开即可求其最小值.
(1)
∵
∴当时，；
当时，；
当时，；
∴函数的最小值为9，即m=9.
(2)
由(1)知，即证，
∵，
∴，
即，
∴.
15．（1）证明见解析；（2）3.
【解析】
【分析】
（1）直接利用基本不等式即可证明；
（2）原等式化简可得，由（1）的结论，即可得到答案．
【详解】
（1）因为，由基本不等式可得，，，三式相乘可得：，当且仅当时，等号成立.
（2），
由（1）可得，当且仅当时，取最小值为3.
【点睛】
本题考查基本不等式在证明不等式成立以及求最小值中的应用，在利用基本不等式时，注意使用的前提条件，属于中档题
16．（1）；（2）.
【解析】
【详解】
试题分析：第一步利用正弦定理进行“边转角”化为三角函数关系，借助两角和公式进行恒等变形，求出角A的余弦值，进而求出角A；第二步利用余弦定理，转化为b+c与bc的关系，然后利用基本不等式“等转不等”，求出b+c的范围，再根据三角形两边之和大于第三边，求出范围.
试题解析：
（1）依题意由正弦定理可得：
又．
（2）由余弦定理知：
（当且仅当时成立）
，又
故的取值范围是．
【点睛】有关解斜三角形问题，常用正弦定理、余弦定理、面积公式等，多用正弦定理和余弦定理进行“边角转化”，求范围或最值问题常用方法有两种，第一边化角，利用三角函数式恒等变形转化为某个角的三角函数式，根据角的范围研究函数值的范围，另一种方法是化边，利用基本不等式求范围或最值.
17．（1）（2）（3）证明见解析；
【解析】
【分析】
（1）由题意设圆心为，半径，利用基本不等式求出半径的最小值，从而得到面积的最小值；
（2）由，知，运用两直线垂直的条件：斜率之积为，解方程可得，讨论的取值，求得圆心到直线的距离的距离，即可得到所求圆的方程；
（3）设，，，求得，的坐标，和的方程，联立圆的方程，运用韦达定理，．设，则．设直线的方程为，代入圆的方程，运用韦达定理，可得，的关系，即可得到所求定点．
【详解】
解：（1）由题意可设圆的圆心为，
则半径为（当且仅当时取等号），
所以圆的面积最小值为.
（2）由，知.
所以，解得.
当时，圆心到直线的距离小于半径，符合题意；
当时，圆心到直线的距离大于半径，不符合题意.
所以，所求圆的方程为.
（3）设，，，又知，，
所以，．
显然，设，则．
从而直线方程为：，
与圆的方程联立，
消去，可得：，
所以，，即；
同理直线方程为：，
与圆的方程联立，
消去，可得：，
所以，，即．
所以；
．
消去参数整理得． ①
设直线的方程为，代入，
整理得．
所以，．
代入①式，并整理得，
即，解得或．
当时，直线的方程为，过定点；
当时，直线的方程为，过定点
第二种情况不合题意（因为，在直径的异侧），舍去．
所以，直线过定点．
【点睛】
本题考查圆的方程的求法和运用，注意运用联立直线方程和圆的方程，消去一个未知数，运用韦达定理，考查直线方程的运用和恒过定点的求法，考查运算能力，属于难题．
答案第1页，共2页
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