人教A版（2019）必修第一册第三章3．2函数的基本性质（Word含答案）

人教A版（2019） 必修第一册 第三章 3．2 函数的基本性质
一、解答题
1．北京市自2014年5月1日起，居民用水实行阶梯水价：年用水量不超过的部分，水价为5元/；超过但不超过的部分，水价为7元/．如果北京市一居民年用水量为，其要缴纳的水费为元．假设，试写出的解析式，并作出的图像．
2．已知二次函数在区间上有最大值，试求实数b的值．
3．已知函数，（，且）.
（1）若，求的值；
（2）若为定义在R上的奇函数，且，是否存在实数，使得对任意的恒成立若存在，请写出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.
4．已知在区间上的最大值为，最小值为.
（1）求的表达式；
（2）设，若，不等式成立，求的取值范围．
5．已知函数（a为常数，且，aR）.
(1)求证：函数在上是增函数；
(2)当时，若对任意的，都有成立，求实数m的取值范围；
(3)当为偶函数时，若关于x的方程有实数解，求实数m的取值范围.
6．利用技术工具（如计算器或计算机）画函数的图象，并求函数的单调区间.
7．已知函数，其中．
（1）当时，求函数的最值；
（2）若存在唯一整数，使得，求实数的取值范围．
8．2016年汕头市开展了一场创文行动一直以来，汕头市部分市民文明素质有待提高、环境脏乱差现象突出、交通秩序混乱、占道经营和违章搭建问题严重，为了解决这一老大难问题，汕头市政府打了一场史无前例的“创文”仗，目的是全力改善汕头市环境、卫生道路、交通各方面不文明现象，同时争夺2020年“全国文明城市”称号随着创文活动的进行，我区生活环境得到了很大的改善，但因为违法出行的三轮车减少，市民出行偶有不便有一商人从中看到商机，打算开一家汽车租赁公司，他委托一家调查公司进行市场调查，调查公司的调查结果如表：
每辆车月租金定价元 3000 3050 3100 3150 3200 3250
能出租的车辆数辆 100 99 98 97 96 95
若他打算购入汽车100辆用于租赁业务，通过调查发现租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元由上表，他决定每辆车月租金定价满足：
为方便预测，月租金定价必须为50的整数倍；不低于3000元；定价必须使得公司每月至少能出租10辆汽车设租赁公司每辆车月租金定价为x元时，每月能出租的汽车数量为y辆．
(1)按调查数据，请将y表示为关于x的函数．
(2)当x何值时，租赁公司月收益最大？最大月收益是多少？
9．已知函数是上的奇函数．
(1)求的值；
(2)证明在上单调递减；
(3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
10．已知函数是定义域为的奇函数．
(1)求的值；
(2)判断并证明函数的单调性；
(3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
11．为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的产品.已知该单位每月处理二氧化碳最少400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似表示为y＝x2－200x＋80000，且每处理1吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.
（1）若该单位每月成本(每月成本＝每月处理成本－每月可利用的化工产品价值)支出不超过105000元，求月处理量x的取值范围.
（2）该单位每月能否获利 如果能获利，求出能获得的最大利润；如果不能获利，那么国家每月至少补贴多少元，才能使该单位不亏损
12．已知函数．
（1）证明：y＝f（x）在R上是增函数；
（2）当a＝2时，方程f（x）＝﹣2x+1的根在区间（k，k+1）（k∈Z）内，求k的值．
13．已知函数.
（1）判断并证明函数的奇偶性：
（2）用定义证明函数在上为减函数：
（3）已知，且，求x的值.
14．是定义在上的函数，对任意非零实数，满足：，且在上是增函数，
（1）判断函数的奇偶性并请证明；
（2）若，求不等式的解集.
15．求函数的定义域，并讨论它的奇偶性单调性 .
16．设均为实数，判断“”是“方程有一个正实根和一个负实根”的什么条件.
17．已知函数.
（1）求的值；
（2）设，证明：在上单调递减.
18．已知函数．
(1)判断函数奇偶性并证明；
(2)写出函数的单调区间；
(3)利用函数的单调性求不等式的解集．
19．函数的定义域为，且对一切，，都有，当时，有.
（1）求的值；
（2）判断的单调性并证明；
（3）若，解不等式.
20．已知函数.
（1）求函数的定义域；
（2）求证：函数在定义域上是递增的；
（3）求函数的最小值．
21．已知函数是定义域为上的奇函数，且.
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）用定义证明：在上是增函数；
（Ⅲ）若实数满足，求实数的范围.
22．设函数和都是定义在集合上的函数，对于任意的，都有成立，称函数与在上互为“互换函数”．
（1）函数与在上互为“互换函数”，求集合；
（2）若函数 （且）与在集合上互为“互换函数”，求证：；
（3）函数与在集合且上互为“互换函数”，当时,，且在上是偶函数,求函数在集合上的解析式．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．，图像见解析
【解析】
分别讨论和的情况,由题意即可求得解析式,进而画出图像即可
【详解】
解：如果,则；
如果,则,
所以,
注意到在不同的区间上,解析式都是一次函数的形式,因此在每个区间上的图像都是直线的一部分,
因为,.
由此可作出函数图像如图所示,
【点睛】
本题考查分段函数在实际中的应用,考查函数的图像
2．
【解析】
【分析】
首先将函数配成顶点式，求出函数的对称轴，再对对称轴分类讨论，即可计算可得；
【详解】
解：因为
对称轴为，开口向下，
当时，，
函数在处取得最大值，
所以解得（舍去）
当时，即，
函数在处取得最大值,
所以即，解得或（舍去）
综上可得
【点睛】
本题考查二次函数的性质的应用，属于典型的定轴动区间问题，属于中档题.
3．（1）47；（2）存在，
【解析】
（1）由指数幂的运算求解即可.
（2）由函数的性质可将问题转化为对任意的恒成立，分离变量后利用均值不等式求最值即可得解.
【详解】
解：（1）由已知，
，，
，
，
即.
（2）若为定义在R上的奇函数，
则，解得，
，，在R上为减函数，
则，
可化为，
即对任意的恒成立，
即，对任意的恒成立，
令，则为减函数，
当时，y取最小值为3，
所以.
【点睛】
本题考查了不等式恒成立问题，重点考查了均值不等式，属中档题.
4．（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）先求出二次函数的对称轴方程，然后根据开口方向讨论其单调性，由最大最小值确定出的值；
（2）由（1）结果先化简出表达式，根据已知条件转化为求函数的最大值问题，利用换元法即可求出函数的最大值，即得到的取值范围.
【详解】
解：（1）的对称轴为.
当时，在上为增函数，
则即解得，故.
当时，在上为减函数，
则即解得，由于，所以这组解舍去.
综上，.
（2）
若，不等式成立，即成立
即.
令，则，，当时，，故.
即的取值范围为.
【点睛】
本题考查二次函数的单调性、不等式恒成立问题，关键在于不等式恒成立问题转化为求函数最值问题，属于中档题.
5．(1)证明见解析
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）利用单调性的定义进行作差进行证明；
（2）先化简，并判定其单调性、求出值域，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，再利用换元思想和（1）问结论求最值即可确定的取值范围；
（3）先利用函数的奇偶性得到值，利用换元思想和基本不等式确定的范围，再根据方程在给定区间有解进行求解.
(1)
证明：任取，，且，
则，
因为，所以，，，
所以，即，
所以在上是增函数.
(2)
解：当时，在上单调递增，
所以当时，
，
所以对任意的，都有成立，
转化为恒成立，
即对恒成立，
令，则恒成立，
所以，
由（1）知在上单调递增，
所以，
所以的取值范围是.
(3)
解：当为偶函数时，
对xR，都有，
即恒成立，
即恒成立，
所以，解得，
所以，
所以方程，
即有实数解
令（当时取“”），
则
所以方程，
即在上有实数解，
而在上单调递增，
所以.
6．图象见解析；单调递增区间为和，单调递减区间为.
【解析】
【分析】
作出函数的图象，结合函数图象可求出单调区间.
【详解】
作出函数的图象，如图所示：
结合函数图象可知：数的单调递增区间为和，单调递减区间为.
7．（1）最小值1，无最大值；（2）.
【解析】
【分析】
（1）当时求出，利用的单调性可得答案；
（2）即，令，，作出函数与的大致图象结合图象可得答案.
【详解】
（1）当时，，
，且为定义在上的偶函数，
令，解得，且当时，，当时，，
，无最大值；
（2）即，
令，，作出函数与的大致图象如下，
易知恒过点，且，
由图象可知，要使存在唯一整数，使得，则，
即，解得，
故实数的取值范围为．
8．(1)，，且，；(2) 当时，即月租金定为4050时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307050元．
【解析】
【分析】
由题意结合表格可知，当定价为3000元时，能出租100辆，当定价每提升50元时能出租的车辆将减少1辆，据此列出函数关系式即可，注意函数的定义域.
由结合题意求得收益函数，，结合二次函数的性质确定x何值时，租赁公司月收益最大即可.
【详解】
由表格可知，当定价为3000元时，能出租100辆，当定价每提升50元时能出租的车辆将减少1辆，
则，
令，得，得，得，
所以所求函数，，且，，
由知，租赁公司的月收益为，
则
，，
当时，取得最大值为307050，
即月租金定为4050时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307050元．
【点睛】
本题主要考查函数的应用问题，根据条件建立函数关系，利用一元二次函数对称轴与最值的关系是解决本题的关键．
9．（1）（2）证明见解析；（3）
【解析】
【分析】
(1)利用即可求解；
(2)利用函数单调性的定义证明即可；
(3)根据函数的单调性以及奇偶性，将不等式化为，再根据，由二次函数的性质，求出实数的取值范围．
【详解】
解：(1) 由函数是上的奇函数知道其图像必经过原点，
即必有，即，解得
(2)由(1)知．任取且，则
因为，所以，所以，
又因为且，故，
所以，即
所以在上单调递减
(3) 不等式可化为
因为是奇函数，故
所以不等式又可化为
由(2)知在上单调递减，故必有
即
因此知题设条件是：对任意的，不等式恒成立
设，则易知当时，
因此知当时，不等式恒成立
【点睛】
本题主要考查了函数的奇偶性，单调性，以及利用单调性求解抽象不等式，考查了学生分析和计算能力，属于中档题.
10．(1)
(2)是上的减函数，证明见解析
(3)
【解析】
【分析】
（1）利用、来求得.
（2）利用定义法计算的符号，由此判断出的单调性.
（3）利用的奇偶性和单调性化简不等式，然后分离常数，再结合二次函数的性质求得的取值范围.
(1)
由于函数是定义域为的奇函数，
所以，，
，
由得，
所以，即，所以，
所以
(2)
，
所以是上的减函数，证明如下：
任取，
，
由于在上递增，所以，
所以，
所以是上的减函数.
(3)
依题意，对任意的，不等式恒成立，
，
由于在上递减，所以，
化简得，
即.所以的取值范围是.
11．（1）；（2）单位每月不能获利，需国家每月至少补贴元，才能使该单位不亏损.
【解析】
【分析】
（1）根据题意列不等式组，再解一元二次不等式，最后求交集得结果；
（2）列出利润函数，求其最大值，根据最大值与零关系得结果.
【详解】
（1）由题意得
所以月处理量x的取值范围为；
（2）设利润为元，,则，
所以 在单调递减，即时
因此单位每月不能获利，需国家每月至少补贴元，才能使该单位不亏损.
【点睛】
本题考查函数实际应用、解一元二次不等式、二次函数最值，考查基本分析求解能力，属基础题.
12．（1）证明见解析；（2）0.
【解析】
（1）利用单调性的定义证得在上递增.
（2）结合零点的存在性定理求得的值.
【详解】
（1）：∵x∈R，设x1＜x2，
则
.
∵x1＜x2，且a＞1，
∴．
又，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2），
∴f（x）为增函数．
（2）令g（x）＝f（x）+2x﹣1，
当a＝2时，由（1）知，函数f（x）是R上的增函数，
∴函数g（x）是R上的增函数且连续，
又g（0）＝f（0）﹣1＝﹣1＜0，，
所以，函数g（x）的零点在区间（0，1）内，
即方程f（x）＝﹣2x+1的根在区间（0，1）内，
∴k＝0．
【点睛】
利用函数单调性的定义证明函数的单调性，主要是判断的符号.
13．（1）奇函数，证明见解析；（2）证明见解析；（3）或.
【解析】
（1）由已知得函数的定义域关于原点对称，再由，可得结论；
（2）任取，作差，判断其差的符号，可得证；
（3）由三角函数的值域和（1），（2）的结论可得在也是减函数，由此可得，解之可得答案．
【详解】
解.（1）奇函数；证明：
函数，定义域，关于原点对称，又，
故为奇函数；
（2）任取，
，
因为，，，所以，
则，
所以在上为减函数.
（3），，，
又在R上为奇函数且在为减函数，所以在也是减函数，
所以，
又，则或.
【点睛】
方法点睛：利用定义判断函数单调性的步骤：
1、在区间D上，任取，令；
2、作差；
3、对的结果进行变形处理；
4、确定符号的正负；
5、得出结论．
14．（1）偶函数，证明见解析；（2）．
【解析】
【分析】
（1）取，则有，取，则有，即可判断奇偶性；
（2）由得，结合奇偶性与单调性解不等式即可．
【详解】
（1）取，则有；
取，则有；
对，取，则有，
又，，为偶函数；
（2），原不等式
为上的增函数且为偶函数，所以必有：，
解得其解集为．
15．定义域为，为奇函数，在和上单调递减
【解析】
由可求出函数的定义域，根据与的关系判断奇偶性，利用单调性的定义判断函数的单调性
【详解】
解：由，得且，
所以函数的定义域为，
因为，
所以为奇函数，
研究在上的单调性，任取，且，
则
因为，且，
所以，，
所以，
所以，即，
所以在上单调递减，
因为为奇函数，所以在上单调递减，
【点睛】
关键点点睛：此题考查对数型复合函数的奇偶性的判断和单调性的判断，解题的关键是利用奇偶性的定义和单调性的定义判断即可，考查计算能力，属于中档题
16．充要条件
【解析】
分别从充分性、必要性两方面判断，可得出结论.
【详解】
充分性：
因为，所以，即方程有两个不相同的实根，
设两根为，则，即一正一负，故充分性成立；
必要性：
因为“方程有一个正实根和一个负实根”成立，
所以，即，故必要性成立.
所以“”是“方程有一个正实根和一个负实根”的充要条件.
【点睛】
本题考查充要条件的判断，注意从充分性、必要性两方面判断，考查学生的推理能力，属于基础题.
17．（1）；（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）将各个自变量代入可计算出的值；
（2）由题意得出，任取，作差，经过通分、因式分解后，判断出的符号，可判断出函数在上的单调性.
【详解】
（1）由题意可得；
（2）由题意得，任取，
则，
，，，，
，即.
因此，函数在上是减函数.
【点睛】
本题考查利用函数的解析式求值，同时也考查了利用单调性的定义证明函数的单调性，解题时要熟悉单调性定义证明的基本步骤，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
18．(1)函数为奇函数，证明见解析
(2)单调递增区间为和，无单调递减区间
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据奇函数的判定方法即可证明；
（2）根据幂函数的单调性，结合函数的奇偶性判定出函数的单调性，进而写出函数的单调区间；
（3）结合（2），解出不等式即可.
(1)
函数定义域为，关于原点对称，，所以函数为奇函数.
(2)
因为函数均在上单调递增，所以在上单调递增，由（1）函数是奇函数，所以函数在上单调递增，函数无单调递减区间.
(3)
令，解得,又因为函数在与上均单调递增，
所以可化为或，
所以不等式的解集为．
19．（1）（2）在上是增函数；证明见解析；（3）
【解析】
【分析】
（1）令，代入已知关系式可整理出结果；
（2）令，可得，进而可得到本题答案；
（3）利用，可求得，从而将不等式整理为，然后根据单调性和定义域可确定不等式组，解不等式组即可求得本题答案.
【详解】
解：（1）令，则，所以；
（2）任取，且，
则，
，
∴，
∴，
即，
所以在上是增函数；
（3）因为，所以，
所以.
由，得，
所以
所以原不等式的解集为.
【点睛】
本题考查抽象函数单调性的判断与证明、利用函数单调性求解函数不等式的问题；求解函数不等式的关键是能够将所求不等式化为函数值的比较，进而利用单调性转化为自变量的大小关系；易错点是忽略函数定义域的要求，造成求解错误.
20．（1）（2）见解析（3）函数的最小值是0
【解析】
【分析】
（1）根据偶次根号下的数大于等于零，即可求出函数的定义域，
（2）利用作差法即可证明函数在定义域上是递增的，
（3）根据（2）的证明，可得
【详解】
（1）要使函数有意义，自变量的取值需满足，解得，所以函数的定义域是．
（2）设，则，
.
∵，∴，，.
∴，即，
∴函数在定义域上是递增的．
（3）∵函数在定义域上是递增的，
∴，即函数的最小值是0.
【点睛】
本题考查函数的定义域、单调性的证明以及函数最值的求法，属于基础题．
21．（1）见解析（2）
【解析】
【详解】
试题分析：（I）利用可求得，利用可求得，由此得到函数的解析式.（II）在定义域上任取，利用差比较法计算，由此证得函数为定义域上的增函数.（III）根据函数的奇偶性和单调性，可将原不等式转化为，由此列出不等式组，解这个不等式组即可求得的范围.
试题解析：（Ⅰ）∵函数是定义域为上的奇函数，∴，
所以，又，∴，∴．
（Ⅱ）任取，，且，
，
∵，∴，，，，
∴，即，
∴在上是增函数．　
（Ⅲ），∴，
又由已知是上的奇函数，
∴，
∵是上的增函数，
∴∴.
22．（1）（2）见解析（3），
【解析】
【分析】
（1）利用列方程，并用二倍角公式进行化简，求得或，进而求得集合.
（2）由，得（且），化简后根据的取值范围，求得的取值范围.
（3）首先根据为偶函数，求得当时，的解析式，从而求得当时，的解析式.依题意“当，恒成立”，化简得到，根据函数解析式的求法，求得时，以及，进而求得函数在集合上的解析式.
【详解】
（1）由得
化简得，，所以或．
由解得或，，
即或，．
又由解得 ，．
所以集合，或，
即集合．
（2）证明：由，得（且）．
变形得 ，所以．
因为，则 ，所以 ．
（3）因为函数在上是偶函数，则 ．当，则，所以．所以 ，
因此当时，．
由于与函数在集合上“互换函数”，
所以当，恒成立．
即对于任意的恒成立．
即．
于是有，
，．
上述等式相加得 ，即．
当（）时,，
所以 ．
而，，
所以当时，
，
【点睛】
本小题主要考查新定义函数的理解和运用，考查二倍角公式和特殊角的三角函数值，考查指数运算和指数函数的值域，考查根据函数的奇偶性求函数的解析式，考查化归与转化的数学思想方法，考查分析、思考与解决问题的能力，属于难题.
答案第1页，共2页
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