人教A版（2019）必修第一册第四章4．1指数（Word含答案）

人教A版（2019） 必修第一册 第四章 4．1 指数
一、单选题
1．意大利画家列奥多·达芬奇(1452.4-1519.5)的画作《抱银貂的女人》中，女士脖颈上悬挂的黑色珍珠项链与主人相互映衬呈现出不一样的美与光泽，达芬奇提出，固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”．后人给出了悬链线的函数解析式：，其中是悬链线系数，称为双曲余弦函数，其表达式为，相应地双曲正弦函数的表达式为若直线与双曲余弦函数和双曲正弦函数分别交于两点，曲线在点A处的切线与曲线在点处的切线相交于点则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．随的增大而减小
D．的面积随的增大而减小
2．化简的结果是（ ）
A．a B． C．a2 D．
二、填空题
3．已知,,,将,,按从小到大的顺序排列______.
4．化简（，）得___________.
5．在平面直角坐标系中，已知直线l：，点，动点P满足.若P点到直线l的距离恒小于8，则实数m的取值范围______.
三、解答题
6．已知函数.
（1）若，解方程；
（2）若函数在上有零点，求实数的取值范围.
7．化简与计算
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
8．（1）计算：；
（2）.
9．化简求值：
（1）；
（2）．
10．化简或计算
（1）
（2）
（3）
11．已知，，求的值.
12．计算：（1）；
（2）.
13．计算下列各式的值．
（1）；
（2）．
14．定义域均为的奇函数与偶函数满足．
(1)求函数与的解析式；
(2)证明：；
(3)试用，，，表示与．
15．（1）化简：；
（2）已知集合，，若，求，的值.
16．计算:
（1）
（2）
17．（1）计算：;
（2）解关于x的不等式：．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【解析】
【分析】
根据题意，得到的表达式，结合指数幂的运算，即可判断A的正误；根据题意，得到的表达式，化简整理，可判断B的正误；设出A、B坐标，利用导数求得A、B处切线的斜率，进而可得A、B处切线方程，联立求得P点坐标，表示出和的面积，根据对勾函数、指数函数的性质，可判断C、D的正误，即可得答案.
【详解】
对于A：，故A错误；
对于B：
=，故B错误；
对于C：设，
又，
所以线在点A处斜率，
所以曲线在点A处切线方程为.
同理，曲线在点处的切线为，
两式联立可得，
所以，所以，
根据对勾函数的性质可得随m的增大，先减小后增大，故C错误；
对于D：，所以的面积随的增大而减小，故D正确.
故选：D
【点睛】
解题的关键是理解题中所给函数，根据指数幂运算性质，进行化简运算，考查导数的几何意义，考查分析理解，运算化简的能力，属中档题.
2．B
【解析】
【分析】
利用根式和分数指数幂的转化公式，即可容易求得结果.
【详解】
原式＝＝＝a.
故选：.
【点睛】
本题考查根式和分数指数幂的转化，属简单题.
3．；
【解析】
【分析】
根据指数函数是减函数,可得:,根据幂函数是增函数可得:,即可求得,,按从小到大关系.
【详解】
指数函数是减函数
可得:
幂函数是增函数
可得:
即:
有
综上所述,
故答案为:.
【点睛】
本题考查比较数值大小,这类大小比较一般是借助中间值,与中间值比较后可得它们的大小关系.
4．##
【解析】
【分析】
根据实数指数幂的化简公式，合理运算，即可得到答案.
【详解】
，
由，，则.
故答案为：.
5．
【解析】
【分析】
设，由已知列式求得点的轨迹方程，可得在以为圆心，以5为半径的圆上，把点到直线的距离恒小于8，转化为圆心到直线的距离小于3列式求解，即可得到的取值范围．
【详解】
设.
∵，动点满足
∴，即.
∴在以为圆心，以5为半径的圆上
∵点到直线：的距离恒小于8
∴，解得.
故答案为：.
【点睛】
本题考查轨迹方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．
6．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）将代入函数的解析式，然后再解方程得出结果；
（2）由，利用参变量分离法得出，换元，问题转化为直线与在上有交点时，求实数的取值范围，考查函数在的单调性，可得出实数的取值范围.
【详解】
（1）当时，，解方程，即，得，
解得，因此，方程的解为；
（2）由，得出，即，
令，由于，得，
问题转化为直线与在上有交点时，求实数的取值范围.
由于函数在上单调递增，则，
当时，即当时，函数在上有零点.
因此，实数的取值范围是.
【点睛】
本题考查指数方程的求解，考查指数型函数的零点问题，解题时利用参变量进行求解，可简化分类讨论，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
7．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.
【解析】
【分析】
（1）利用有理数指数幂的运算性质求值即可；
（2）利用对数的运算性质求值即可；
（3）利用诱导公式化简求值即可；
（4）利用两角和正切公式及特殊角的函数值，即可求值；
（5）（6）利用基本初等函数的导数公式及导数的运算法则求导即可.
【详解】
（1）原式.
（2）原式.
（3）原式.
（4）∵，
∴原式.
（5）.
（6）.
8．(1)； (2) .
【解析】
【详解】
试题分析：把根式化为分数指数幂，再按照幂的运算法则进行运算即可．
试题解析：(1)；
(2) .
9．（1）；（2）.
【解析】
（1）直接利用根式和指数幂的运算求解.
（2）直接利用对数运算和对数换底公式求解.
【详解】
（1）原式，
.
（2）原式，
，
．
10．（1）；（2）；（3）.
【解析】
（1）利用二次根式的性质运算即可得解；
（2）由指数幂的运算法则逐步运算即可得解；
（3）由指数幂的运算法则逐步运算即可得解.
【详解】
（1）原式；
（2）原式；
（3）原式.
【点睛】
本题考查了指数幂的化简与运算，考查了运算求解能力，属于基础题.
11．.
【解析】
【分析】
先把根式化为分数指数幂，再由分数指数幂的运算法则即可得解.
【详解】
因为，，
所以原式.
【点睛】
本题考查了根式化为分数指数幂的应用及分数指数幂的运算，考查了运算求解能力，属于基础题.
12．(1) (2)
【解析】
【详解】
试题分析：（1）利用对数的运算公式进行运算；（2）利用根指转化进行运算．
试题解析：
（1）；
（2）．
13．（1）103（2）6
【解析】
【分析】
（1）根据根式与分数指数幂的互化以及指数的运算性质即可求解.
（2）由对数的运算性质即可求解.
【详解】
计算下列各式的值．
（1）
（2）
【点睛】
本题主要考查指数与对数的运算性质，需掌握指数与对数的运算性质，并灵活运用.
14．(1)，
(2)证明见解析
(3)，
【解析】
【分析】
（1）由题意可得：，再根据函数的奇偶性可得：，进而结合两个式子求出两个函数的解析式．
（2）由（1）可得的表达式，再利用基本不等式把进行化简整理即可得到答案．
（3）由（1）可得、、、、与的表达式与结构特征，进而可求
(1)
解：①
，
为奇函数，为偶函数
，
②
由①，②解得，．
(2)
解：
，当且仅当，即时取等号；
所以
(3)
解：，．
．
即，；
15．（1）－2；（2），或，.
【解析】
【分析】
（1）结合指数幂及对数的运算律,化简计算即可;
（2）由集合,可知或,分别讨论即可求出答案.
【详解】
（1）.
（2）集合,则或,
①若,解得或,
当时,显然不符合集合的互异性,舍去;
当时,集合,符合题意.
②若,解得或,
当时,不符合题意,舍去;
当,时,,符合题意.
综上,或,.
【点睛】
本题考查指数式与对数式的化简计算,考查了相同集合的性质,考查学生的计算能力与推理能力,属于基础题.
16．(1)(2)3
【解析】
【分析】
(1)根据指数幂的运算法则进行计算即可得到结论．
(2) 根据对数的运算法则进行计算即可得到结论．
【详解】
(1)原式
(2)
原式
【点睛】
本题主要考查指数幂及对数的运算，要求熟练掌握指数幂及对数的运算法则，比较基础．
17．（1）；（2）.
【解析】
（1）利用根式、分数指数幂、对数的运算法则以及对数的运算性质完成计算；
（2）先求解出的取值范围，然后求解出的取值范围即为解集.
【详解】
（1）原式
；
（2）因为，所以，
所以或，所以或，
所以解集为.
答案第1页，共2页
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