人教A版（2019）必修第一册第四章4．2指数函数（Word含答案）

人教A版（2019） 必修第一册 第四章 4．2 指数函数
一、解答题
1．已知．
(1)若，求a的值；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出函数图象，并写出函数的值域、单调区间；
(3)若方程有三个实数根，求实数b的取值范围．
2．如图，一条小河岸边有相距的两个村庄（村庄视为岸边上两点），在小河另一侧有一集镇（集镇视为点），到岸边的距离为，河宽为，通过测量可知，与的正切值之比为．当地政府为方便村民出行，拟在小河上建一座桥（分别为两岸上的点，且垂直河岸，在的左侧），建桥要求：两村所有人到集镇所走距离之和最短，已知两村的人口数分别是人、人，假设一年中每人去集镇的次数均为次．设．（小河河岸视为两条平行直线）
（1）记为一年中两村所有人到集镇所走距离之和，试用表示；
（2）试确定的余弦值，使得最小，从而符合建桥要求．
3．如图，在四边形中，，且，点E是线段上靠近点A的一个三等分点，以为折痕将折起，使点A到达点的位置，且.
（1）证明：平面平面.
（2）求四棱锥的体积与棱的长.
4．已知函数，.
（1）求函数的值域；
（2）求满足方程的的值.
5．设集合，
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围.
6．和的图象的示意图如图所示，设两函数的图象交于点，，且．
（1）请指出示意图中曲线，分别对应哪一个函数？
（2）证明：，且；
（3）结合函数图象的示意图，判断，，，的大小，并按从小到大的顺序排列．
7．已知函数的图象经过和.
（1）若，求x的取值范围；
（2）若函数，求的值域.
8．比较下列各组数的大小：
（1），，，；
（2）；
（3）.
9．（1）求在x轴上与点A(5，12)的距离为13的点的坐标.
（2）已知点P的横坐标是7，点P与点N(-1，5)间的距离等于10，求点P的纵坐标.
10．某网站就“民众是否支持加大修建城市地下排水设施的资金投入”进行投票.按照北京暴雨前后两个时间收集有效投票，暴雨后的投票收集了份，暴雨前的投票也收集了份，所得统计结果如下表：
支持 不支持 总计
北京暴雨后
北京暴雨前
总计
已知工作人员从所有投票中任取一个，取到“不支持投入”的投票的概率为.
（1）求列联表中的数据 的值；
（2）绘制条形统计图，通过图形判断本次暴雨是否影响到民众对加大修建城市地下排水设施的投入的态度？
（3）能够有多大把握认为北京暴雨对民众是否赞成加大对修建城市地下排水设施的投入有关？
11．已知函数
（1）若，求的值；
（2）若函数在上的最大值与最小值的差为，求实数a的值.
12．已知函数.
（1）当时，求函数的值域；
（2）若有最大值81，求实数的值.
13．比较下列各题中的两个值的大小．
（1），；
（2），1；
（3），.
14．（1）运用函数单调性定义，证明：函数在区间 (0,+∞)上是单调减函数；
（2）设 a 为实数， 0 15．设，求证：
（1）；
（2）.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．(1)
(2)图像见解析，函数的值域为，在和上单调递增，在上单调递减
(3)
【解析】
【分析】
（1）考虑和两种情况，代入函数解得答案.
（2）画出函数图像，根据图像得到值域和单调区间.
（3）计算，根据图像得到答案.
(1)
当时，，方程无解；
当时，，解得.
综上所述：.
(2)
函数图像如图所示：
根据图像知：函数的值域为，在和上单调递增，在上单调递减.
(3)
方程有三个实数根，则与图像有3个交点，，
根据图像知：.
2．（1），；（2）当时，符合建桥要求.
【解析】
【分析】
（1）利用正切值之比可求得，；根据可表示出和，代入整理可得结果；（2）根据（1）的结论可得，利用导数可求得时，取得最小值，得到结论.
【详解】
（1）与的正切值之比为
则，
，
，
，
（2）由（1）知：，
，
令，解得：
令，且
当时，，；当时，，
函数在上单调递减；在上单调递增；
时，函数取最小值，即当时，符合建桥要求
【点睛】
本题考查函数解析式和最值的求解问题，关键是能够通过根据题意建立起所求函数和变量之间的关系，利用导数来研究函数的最值.
3．（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）取的中点O，连接，通过证明可得平面，从而可得平面平面；
（2）取的中点H，连接，可证平面，求出后，可求出四棱锥的体积，再根据勾股定理可求得棱的长.
【详解】
（1）证明：因为，点E是线段上靠近点A的一个三等分点，且，所以，又，所以四边形为菱形，连接，取的中点O，连接，如图所示：
在中，，且，由余弦定理可得，
，
所以，
则，则，即，所以.
是的中点，.
为等边三角形，
，且，
，即.
又，且平面，
平面，∴平面平面.
（2）取的中点H，连接.
为正三角形，
.
由（1）知平面平面，且平面平面，
平面.
，
.
，所以，
，
又.
【点睛】
关键点点睛：证明面面垂直的关键是找到线面垂直，取的中点O，连接，通过证明可得平面，即可得所要的线面垂直.
4．（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）求函数的值域先研究其性质，由于，故得，进而求得，得到的值域；
（2）将的解析式代入方程，得到，整理得到，解此指数型方程，求得的值.
【详解】
（1），
因为，所以，
所以，故的值域是．
（2）由，得，
所以，
所以或，
所以或，
所以，即满足方程的的值为.
【点睛】
该题考查的是有关指数型函数的问题，涉及到的知识点有指数型函数的值域的求解，指数型方程的求解，属于简单题目.
5．（1）；（2）.
【解析】
（1）根据对数函数的定义域求出函数的值域从而化简集合的表示，求解函数的定义域化简集合的表示，再运用集合交集的定义运算即可；
【详解】
（1），因此，因为，所以有
，因此，；
（2）.由，因此，
因为，所以，则有，故实数的取值范围是.
【点睛】
本题考查了交集的运算性质，考查了已知集合并集的结果求参数问题，考查了指数函数和对数函数的不等式的解法，考查了数学运算能力.
6．（1）对应的函数为，对应的函数为；（2）证明见解析；（3）
【解析】
【分析】
（1）对应的函数为，对应的函数为．
（2）令，则为函数的零点，根据的符号，利用函数零点的判定定理可得，且．
（3）从图象上结合函数的单调性可得，，，的大小．
【详解】
（1）对应的函数为，对应的函数为．
（2）证明：令，则为函数的零点，
由于，，，，，
所以的两个零点，且．
（3）从图象上可以看出，当时，，
∴．
当时，，
∴，
∵，
∴．
【点睛】
本题主要考查函数的零点与方程根的关系，函数的单调性的应用，属于中档题．
7．（1）；（2）.
【解析】
（1）根据函数图象经过和，由求得a，b，然后利用对数函数的单调性求解.
（2）由（1）得到，然后分和求解.
【详解】
（1）因为函数的图象经过和，
所以，
解得，
，
解得，
所以x的取值范围；
（2）由（1）知：，
所以，
当时，，
当时，
所以的值域为.
【点睛】
结论点睛：分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
8．（1）；（2）；（3）
【解析】
（1）由单调性比较两个幂的大小，借助0和1比较对数的大小，从而得结果．
（2）结合幂函数和指数函数的单调性比较；
（3）结合幂函数和指数函数的 单调性比较．
【详解】
（1）由幂函数在上为增函数，得.
同时，即.
（2）由幂函数在上增函数，得.又指数函数为减函数，则，从而.
（3）由幂函数在上为增函数，得.
又指数函数为减函数，则，从而.
【点睛】
本题考查幂和对数的大小比较，解题时，需利用幂函数、指数函数单调性比较幂的大小，利用对数函数单调性比较对数的大小，借助中间值0和1或其它中间值比较不同类型的数的大小．
9．（1）或；（2）或11.
【解析】
【分析】
（1）设x轴上点的坐标为，由距离公式可得关于x的方程，解方程可得；（2）设点P的纵坐标为y，由距离公式可得关于y的方程，解方程即可.
【详解】
（1）设x轴上点的坐标为，
由距离公式可得，解得或，
所以所求点的坐标为或；
（2）设点P的纵坐标为y，
由距离公式可得，解得或，
所以点P的纵坐标为或11.
【点睛】
本题考查两点间的距离公式，属于基础题.
10．（1），，，；（2）条形统计图答案见解析，暴雨影响到民众对加大修建城市地下排水设施的投入的态度；（3）有把握.
【解析】
（1）先求出的值，再求的值；
（2）先求出暴雨前后的支持率和不支持率，画出条形统计图，再通过图形判断本次暴雨是否影响到民众对加大修建城市地下排水设施的投入的态度.
（3）利用独立性检验求解即可.
【详解】
（1）设“从所有投票中抽取一个，取到不支持投入的投票”为事件，
由已知得，∴，，，；
（2）由（1）知北京暴雨后支持为，不支持率为，
北京暴雨前支持率为，不支持率为，
条形统计图如图：
由图可以看出暴雨影响到民众对加大修建城市地下排水设施的投入的态度；
（3），
故至少有把握认为北京暴雨对民众是否赞成加大对修建城市地下排水设施的投入有关.
【点睛】
方法点睛：独立性检验的解题步骤：（1）2*2列联表；（2）提出假设：设与没有关系；
（3）根据列联表中的数据计算的值；（4）根据计算得到的随机变量的观测值作出判断.
11．（1）（2）3或
【解析】
【分析】
（1）利用，求出a，得到结果．
（2）当a＞1时，f（x）＝ax在[﹣1，1]上单调递增，利用单调性求解函数的最值，通过已知条件转化求解即可．
【详解】
解：（1）∵f（x）＝ax，，
∴，解得：a＝2或，
当a＝2时，f（x）＝2x，，
当时，，，
故．
（2）当a＞1时，f（x）＝ax在[﹣1，1]上单调递增，
∴，化简得3a2﹣8a﹣3＝0，
解得：（舍去）或a＝3．
当0＜a＜1时，f（x）＝ax在[﹣1，1]上单调递减，
∴，化简得3a2+8a﹣3＝0．
解得：a＝﹣3（舍去）或．
综上，实数a的值为3或．
【点睛】
本题考查指数函数的单调性和运用：求最值，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
12．（1），；（2）
【解析】
【分析】
（1）当时，求出的解析式，结合指数函数和二次函数的单调性的性质进行求解即可．（2）利用换元法结合指数函数和二次函数的单调性的性质求出最大值，建立方程关系进行求解即可．
【详解】
（1）当时，，
函数的值域为，．
（2）令，
当时，无最大值，不合题意；
当时，，
，
又在上单调递增，
，
，
．
【点睛】
本题主要考查复合函数单调性和值域的求解，结合指数函数和二次函数的单调性的关系是解决本题的关键．
13．（1）（2）（3）
【解析】
【分析】
（1）化为同底数的幂的形式后，根据指数函数的单调性可得结果；
（2）根据指数函数的单调性可得结果；
（3）找中间量0，比较可得结果.
【详解】
（1）因为， ，
又指数函数为增函数，且，
所以，即.
（2），
（3），，
所以.
【点睛】
本题考查了利用指数函数的单调性比较幂值的大小，属于基础题.
14．（1）证明见解析； （2）<
【解析】
（1）运用单调性的定义直接证明即可；
（2）运用指数函数的单调性可以比较出两个式子的大小关系.
【详解】
（1）对任意的，且，
因为，所以，即 ，所以函数在区间 (0,+∞) 上是单调减函数；
（2）因为 0因为 0< x< y，所以 0<3x<3y， 0< 4x+ 3y<3x+4y，
所以 ，
且，
所以<.
【点睛】
本题考查了利用函数单调性证明函数的单调性，考查了指数函数的应用，考查了不等式的应用.
15．（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）利用指数的运算性质可直接得结果；（2）直接利用指数的运算性质可得结果.
【详解】
（1）∵，
∴左边，右边，即左边右边，
所以原式得证.
（2）∵
∴左边，右边，即左边右边，
所以原式得证.
【点睛】
本题主要考查了指数的运算性质，熟练掌握运算性质是解题的关键，属于基础题.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页