人教A版（2019）必修第一册第四章4．3对数（Word含答案）

人教A版（2019） 必修第一册 第四章 4．3 对数
一、单选题
1．某工厂设计了一款纯净水提炼装置，该装置可去除自来水中的杂质并提炼出可直接饮用的纯净水，假设该装置每次提炼能够减少水中50%的杂质，要使水中的杂质不超过原来的4%，则至少需要提炼的次数为（ ）（参考数据：取）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．下列函数中，是对数函数的是（ ）
A． B． C． D．
二、解答题
3．化简下列各式：
(1)；
(2)
4．计算：
（1）
（2）
5．有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵，科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数，单位是，其中表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，为表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差.（参考数据：，，）
（1）若，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位？
（2）若雄鸟的飞行速度为，雌鸟的飞行速度为，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍？
6．已知函数是奇函数.
(1)若，求的取值范围；
(2)若的解集为，求的值.
7．方程的实数解为___________.
8．将＝化为对数式.
9．解下列方程：
（1）
（2）
10．化简、计算：
（1）
（2）
11．计算（1）-
（2）
12．求值：
（1）
（2）
13．按要求完成下列各题
（1）求值
（2）已知，求.
14．（1）计算的值；
（2）已知tanα＝2，求和sin2α的值．
15．计算：（1） ；
（2）若，求的值．
16．计算：lg－lg＋lg 12.5－log89×log34.
17．将下列指数式与对数式互化：
(1);
(2)；
(3);
(4)（且，）．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【解析】
【分析】
根据题意列出相应的不等式，利用对数值计算可得答案.
【详解】
设经过次提炼后，水中的杂质不超过原来的4%，
由题意得，
得，
所以至少需要5次提炼，
故选：A.
2．A
【解析】
【分析】
根据对数函数的定义直接得到答案.
【详解】
A. 是对数函数；B. 是一次函数；C. 是正弦函数；D. 是二次函数.
故选：.
【点睛】
本题考查了对数函数定义，属于简单题.
3．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）将小数化成分数再由指数幂的运算性质即可求解
（2）根据对数的运算性质即可求解.
(1)
.
(2)
.
4．（1）；（2）3
【解析】
【分析】
（1）根据指数幂的运算法则计算即可；
（2）根据对数的运算法则计算即可.
【详解】
（1）原式；
（2）原式
.
5．（1）候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为466个单位（2）此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的9倍.
【解析】
【分析】
（1）将，代入函数，计算得到答案.
（2）根据题意得到方程组，两式相减化简得到答案.
【详解】
（1）将，代入函数式可得，
即.所以，于是.
故候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为466个单位.
（2）设雄鸟每分钟的耗氧量为，雌鸟每分钟的耗氧量为，依题意可得
，
两式相减可得，于是，
故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的9倍.
【点睛】
本题考查了函数的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.
6．(1)；
(2)4.
【解析】
【分析】
（1）根据奇函数的定义可知，则有，再根据对数的运算性质化简求出的值，从而得出，再由，解对数不等式即可得出结果；
（2）解分式不等式得出的定义域为，再由，得出，进而变形得，根据分式不等式的解法，从而得出方程的两根分别为和，再结合题意可求出的值，即可求得结果.
(1)
解：是奇函数，
则，即，
即，则，
得，解得：或，
当时，，此时无意义，不符合题意；
当时，是奇函数，符合题意；
所以，
若，则，即，解得：，
所以时，的取值范围为.
(2)
解：由于，解得：，
所以的定义域为，
若，即，得，
变形得，即，
，
则可得方程的两根分别为和，
由题可知的解集为，
即方程的两个根为和，
所以得，，解得：，
所以.
7．
【解析】
令，原方程可转化为关于的一元二次方程，即可求解.
【详解】
令,原方程可化为，
解得或（舍去），
即，
所以，
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了换元法解一元二次方程，指数式与对数式的转换，属于中档题.
8．；
【解析】
【分析】
利用指数式与对数式的互化即可求解.
【详解】
由，，
则；
【点睛】
本题考查了指数式与对数式的互化，属于基础题.
9．（1）或（2）
【解析】
【分析】
(1)将原式看成的二次函数求解即可.
(2)利用对数函数的运算法则求解出,再看成关于的二次函数求解方程,求得结果后代入原式检验即可.
【详解】
（1）
或
或
经检验,或是原方程的解.
（2）
或
或
经检验,是原方程的解.
【点睛】
本题主要考查了二次函数复合函数的根.需要根据题意看成关于或的二次方程.属于中等题型.
10．（1） ,(2)5
【解析】
【分析】
（1）由根式与分数指数幂的互化及指数幂的运算即可得解；
（2）由对数的运算性质及运算即可得解.
【详解】
（1）原式=；
（2）原式.
【点睛】
本题考查了根式与分数指数幂的互化及指数幂的运算，重点考查了对数的运算性质，属基础题.
11．（1）；（2）.
【解析】
（1）综合利用指数对数运算法则运算；
（2）利用对数的运算法则化简运算.
【详解】
解：（1）原式；
（2）原式．
【点睛】
本题考查指数对数的运算，属基础题，在指数运算中，往往先将幂化为指数幂，然后利用指数幂的运算法则化简；在对数的运算中，要注意的运用和对数有关公式的运用.
12．（1）0；（2）.
【解析】
（1）根据对数的运算法则计算化简即可得解；
（2）根据指数幂的运算性质化简求值.
【详解】
（1）原式
（2）原式
【点睛】
此题考查指数对数的综合运算，关键在于熟练掌握对数及指数幂的运算性质，准确化简求值.
13．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用对数的运算律、指数的运算律、对数的恒等式以及根式的运算性质可得出结果；
（2）在等式两边平方，可求出的值，由此可计算出，从而得出的值.
【详解】
（1）原式；
（2），，则.
，因此，.
【点睛】
本题考查指数幂的化简与计算、对数的运算性质，熟悉指数与对数的运算律是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.
14．（1）；（2）1，.
【解析】
【分析】
（1）利用指数幂化简求解即可．（2）根据同角三角函数基本关系式化简即可求解．
【详解】
（1）
＝
．
（2）∵tanα＝2，
∴1，
所以sin2α．
【点睛】
本题考查有理指数幂运算法则以及对数运算法则，同角三角函数基本关系式的应用，考查计算能力，属于基础题．
15．（1）2；（2） 2.
【解析】
【分析】
（1）根据式子特点部分提取公因式，即可化简求值（2）取对数后可得，计算即可求值.
【详解】
（1）
.
（2）因为所以
【点睛】
本题主要考查了对数的运算法则，指数式与对数式的转化，换底公式，属于中档题.
16．
【解析】
【详解】
试题分析：根据对数运算法则以及换底公式 进行化简求值
试题解析：解：法一：lg－lg＋lg 12.5－log89×log34＝
lg(××12.5)－×＝1－＝－.
法二：lg－lg＋lg 12.5－log89×log34＝
lg－lg＋lg－×＝
－lg 2－lg 5＋3lg 2＋(2lg 5－lg 2)－×＝
(lg 2＋lg 5)－＝1－＝－.
17．(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【解析】
【分析】
根据指对数关系，结合已知等式将指数式化为对数式，或将对数式化成指数式即可.
(1)
由已知等式，两边取对得：，即.
(2)
由已知等式，两边取对得：，即.
(3)
由已知等式，可得：，即32＝9.
(4)
由已知等式，可得：，即.
答案第1页，共2页
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